Релације неодређености

Из Википедије, слободне енциклопедије

У квантној механици, Хајзенбергов принцип неодређености даје у облику прецизних неједнакости да одређени парови физичких својстава, као што су позиција и моменат, не могу да буду истовремено познати са арбитрарно високом прецизношћу. Другим речима, што је прецизније једно својство измерено, то се мање прецизно друго својство може измерити.[1][2][3]

Хајзенбергове релације неодређености[уреди]

Резултат идеалног мерења у квантној физици је увек карактерисан статистичком расподелом. Стандардна девијација ове расподеле представља неодређеност датог мерења и што је она већа, то је већа и неодређеност. Класична физика претпоставља да је увек могуће истовремено мерити произвољан број физичких величина са произвољно малим неодређеностима. Ова претпоставка не важи у квантној физици и у општем случају такво мерење више није могуће те се стога мора формулисати нови принцип који ће дати везу између неодређености истовремено мерених величина. Овакав принцип је историјски први формулисао Вернер Хајзенберг 1927. године за положај и импулс. Математички формулисан он гласи

\Delta x \Delta p \geq\frac{\hbar}{2},

тј, производ неодређености мерења положаја и импулса је увек већи или једнак половини редуковане планкове константе. Ово значи да што прецизније меримо положај квантног објекта, истовремено мерење импулса ће бити неодређеније и обрнуто. Узрок овог понашања не лежи у несавршености мерних инструмената или опита већ је реч о општем математичком принципу који следи из међусобног односа физичких величина. Будући да је вредност константе на десној страни хајзенбергове неједнакости реда величине 10-35 Џул-секунди релације неодређености нису значајне у макросвету.

Интерпретација[уреди]

У светлу честично-таласног дуализма релације неодређености добијају своју физичку интерпретацију. Ако честицу посматрамо као талас тада његова амплитуда одговара положају, а таласна дужина је обрнуто пропорционална импулсу. У том случају локализованој честици одговара талас са оштрим врхом и са великом амплитудом. Да би се добио тако оштар врх неопходно је да таласна дужина буде мала што одговара великом импулсу и његовој великој неодређености.

Уопштење релација неодређености[уреди]

За опсервабле представљене операторима \hat{A} и \hat{B} релација која повезује њихове неодређености \Delta A и \Delta B у датом стању система, гласи:

\Delta A\Delta B\geq \frac{1}{2}|\langle [\hat{A}, \hat{B}]\rangle |

, где \langle\rangle означава очекивану вредност у датом стању. Овај став је математичке природе и он показује да су релације неодређености инхерентне структури квантне механике.

Одавде се директно уочава да се опсервабле чији оператори комутирају могу истовремено мерити са произвољном тачношћу.

Релације неодређености за енергију и време[уреди]

Друга позната релација неодређености се односи на енергију и време и она је идентична релацији која важи за положај и импулс. Она гласи

\Delta E\Delta t\geq\frac{\hbar}{2}

Међутим, ова релација се не може тривијално извести из општих релација неодређености будући да у нерелативистичкој квантној механици време није опсервабла. Иако је Пол Дирак развијајући своју релативистичку квантну механику понудио прецизно и добро дефинисано извођење које време третира симетрично са осталим координатима, данас је уобичајено да се користи следећа ригорознија релација

\Delta E\frac{\Delta B}{\left|\frac{d \langle\hat{B}\rangle}{dt}\right|}\geq\frac{\hbar}{2}

, где \tau_B=\frac{\Delta B}{\left|\frac{d \langle\hat{B}\rangle}{dt}\right|} представља минимално време у току којега можемо уочити промену опсервабле B. Ово минимално време се узима као неодређеност времена.

Референце[уреди]

  1. ^ W. Heisenberg (1927). Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. 43. стр. 172-198. DOI:10.1007/BF01397280. 
  2. ^ W. Heisenberg (1930). Physikalische Prinzipien der Quantentheorie. Leipzig: Hirzel.  English translation The Physical Principles of Quantum Theory. Chicago: University of Chicago Press, 1930.
  3. ^ Bohr, Niels (1958). Atomic Physics and Human Knowledge. New York: Wiley. стр. 38. 

Литература[уреди]

Додатна литература[уреди]

  • Amrein, W.O.; Berthier, A.M. (1977). „On support properties of Lp-functions and their Fourier transforms“. Journal of Functional Analysis 24 (3): 258-267. DOI:10.1016/0022-1236(77)90056-8. 
  • Benedicks, M. (1985), „On Fourier transforms of functions supported on sets of finite Lebesgue measure“, J. Math. Anal. Appl. 106: 180-183, DOI:10.1016/0022-247X(85)90140-4 .
  • Bonami, A.; Demange, B.; Jaming, Ph. (2003), „Hermite functions and uncertainty principles for the Fourier and the windowed Fourier transforms.“, Rev. Mat. Iberoamericana 19: 23-55. .
  • Folland, Gerald; Sitaram, Alladi (May 1997), „The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey“ (PDF), Journal of Fourier Analysis and Applications 3 (3): 207-238, DOI:10.1007/BF02649110, MR98f:42006 
  • Hardy, G.H. (1933), „A theorem concerning Fourier transforms“, J. London Math. Soc. 8: 227-231, DOI:10.1112/jlms/s1-8.3.227 .
  • Havin, V.; Jöricke, B. (1994), The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag .
  • Heisenberg, W. (1927), „Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik“, Zeitschrift für Physik 43: 172-198, DOI:10.1007/BF01397280 . English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press, 1983, pp. 62-84.
  • Hörmander, L. (1991), „A uniqueness theorem of Beurling for Fourier transform pairs“, Ark. Mat. 29: 231-240 .
  • Jaming, Ph. (2007), „Nazarov's uncertainty principles in higher dimension“, J. Approx. Theory 149: 30-41, DOI:10.1016/j.jat.2007.04.005 .
  • Mandelshtam, Leonid; Tamm, Igor (1945), „The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics“, Izv. Akad. Nauk SSSR (ser. Fiz.) 9: 122-128 . English translation: J. Phys. (USSR) 9, 249–254 (1945).
  • Nazarov, F. (1994), „Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the uncertainty principle type,“, St. Petersburg Math. J. 5: 663-717 .
  • Sitaram, A (2001). „Uncertainty principle, mathematical“. In Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
  • Zheng, Q.; Kobayashi, T. (1996), „Quantum Optics as a Relativistic Theory of Light“, Physics Essays 9: 447, DOI:10.4006/1.3029255 . Annual Report, Department of Physics, School of Science, University of Tokyo (1992) 240.
  • W. Heisenberg (1930). Physikalische Prinzipien der Quantentheorie. Leipzig: Hirzel. 
  • Bohr, Niels (1958). Atomic Physics and Human Knowledge. New York: Wiley. стр. 38. 
  • W. Heisenberg (1927). Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. 43. стр. 172-198. DOI:10.1007/BF01397280.