Множење
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/220px-Three_by_Four.svg.png)
Множење је бинарна операција у математици. Записује се као a · b или a × b. Операнди a и b се називају чиниоци (фактори), а резултат множења производ.[1]
Ако је један операнд природан број, онда множење представља скраћени запис сабирања. Нпр, ако је n ∈ ℕ, онда је
У алгебри се ознака за множење подразумева и може се прескочити, па се 3 · a · b може записати и као 3 a b[2]
На пример, 4 помножено са 3, често написано као и изговорено као „3 пута 4”, може се израчунати додавањем 3 копије од 4 заједно:
Овде су 3 (множилац) и 4 (множеник) чиниоци, а 12 је производ.
Једно од главних својстава множења је комутативно својство, које у овом случају наводи да сабирање 3 копије од 4 даје исти резултат као додавање 4 копије од 3:
Систематске генерализације ове основне дефиниције дефинишу множење целих бројева (укључујући негативне бројеве), рационалних (разломака) и реалних бројева.
Множење се такође може визуализовати као бројање објеката распоређених у правоугаоник (за целе бројеве) или као проналажење површине правоугаоника чије странице имају неке дате дужине. Површина правоугаоника не зависи од тога која се страница прва мери — последица комутативног својства.
Производ два мерења је нова врста мерења. На пример, множењем дужина две стране правоугаоника добија се његова површина. Такав производ је предмет димензионалне анализе.[3][4][5]
Инверзна операција множењу је дељење.[6] На пример, пошто је 4 помножено са 3 једнако 12, 12 подељено са 3 је једнако 4.
Множење бројева
[уреди | уреди извор]Особине
[уреди | уреди извор]Множење има приоритет над сабирањем. Множење бројева има следеће особине (за множење других објеката погледати ниже у тексту):
1. | (неутрал) |
2. | (сваки број помножен нулом једнак је нули) |
3. | (асоцијативност) |
4. | комутативност |
5. | дистрибутивност множења према сабирању |
- На скупу рационалних, реалних и комплексних бројева, сваки број осим нуле има тачно један инверзан број, такав да је њихов производ јединица:
Инверзан број броја се записује као . Инверзан број инверзног броја је полазни број:
Множење целих бројева
[уреди | уреди извор]Приликом множења целих бројева, ако су оба истог знака (оба позитивна или негативна), резултат је позитиван. Производ позитивног и негативног броја је негативан.
Рационални чиниоци
[уреди | уреди извор]Производ рационалних бројева је рационалан број коме је бројилац производ бројилаца чинилаца, а именилац производ именилаца чинилаца:
Ирационални чиниоци
[уреди | уреди извор]Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број, тада је производ a · b гранична вредност
где је рационалан број и представља приближну вредност броја b.
Множење комплексних бројева
[уреди | уреди извор]Сваки комплексан број z можемо записати као уређени пар или у тригонометријском (поларном) запису:
- .
Како је , формула за множење у алгебарском запису гласи
- .
Из тригонометријских једначина следи формула за множење комплексних бројева у тригонометријском облику:
Множење вектора
[уреди | уреди извор]Постоји неколико врста множења вектора: множење вектора скаларом, скаларни, векторски и мешовити производ вектора. Скаларни производ вектора се обележава са „·“, а векторски са „×“.
Посматрајмо вектор у тродимензионалном Еуклидском простору: .
Множење вектора скаларом
[уреди | уреди извор]Вектор се множи скаларом тако што се свака његова координата помножи скаларом. Ова операција је комутативна.
Скаларни производ
[уреди | уреди извор]Скаларни производ вектора је скалар једнак суми производа одговарајућих координата:
Скаларни производ је комутативан.
Векторски производ
[уреди | уреди извор]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Cross_product_vector.svg/220px-Cross_product_vector.svg.png)
Векторски производ вектора је нови вектор, чији је интензитет једнак површини паралелограма који вектори-чиниоци заклапају, правац му је нормалан на раван коју вектори-чиниоци дефинишу, а смер се дефинише правилом леве или десне руке, зависно од конвенције. Овај производ је специфичан за , и антикомутативан је.[7] Векторски производ се рачуна као детерминанта матрице:[8][9][10]
где су и ортови дуж x, y и z осе.
Мешовити производ
[уреди | уреди извор]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Parallelepiped_volume.svg/240px-Parallelepiped_volume.svg.png)
Мешовити производ три вектора је скалар који је једнак запремини паралелопипеда који ти вектори заклапају. Записује се као [a, b, c] и по дефиницији је:
Множење матрица
[уреди | уреди извор]Нека су дате матрице А и B величине mА×nА и mB×nB. Производ AB је дефинисан ако је nА = mB, а добијена матрица има димензије mА×nB. Елементи матрице-производа су
Множење матрица није комутативно. Матрице 1×3 и 3×2 можемо помножити само на један начин, а 5×4 и 4×5 са обе стране, али производи неће имати исту величину (5×5 на један и 4×4 на други начин). Ако се помноже две квадратне матрице исте величине, производи су такође исте величине, и може се дефинисати комутатор:[11][12]
Види још
[уреди | уреди извор]Референце
[уреди | уреди извор]- ^ Devlin, Keith (јануар 2011). „What Exactly is Multiplication?”. Mathematical Association of America. Приступљено 14. 5. 2017. „With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first)”
- ^ Khan Academy (14. 8. 2015), Intro to multiplication | Multiplication and division | Arithmetic | Khan Academy, Приступљено 7. 3. 2017
- ^ Fourier, Joseph (1822), Theorie analytique de la chaleur (на језику: француски), Paris: Firmin Didot
- ^ BIPM (2019). „2.3.3 Dimensions of quantities”. SI Brochure: The International System of Units (SI) (PDF) (на језику: енглески и француски) (v. 1.08, 9th изд.). стр. 136—137. ISBN 978-92-822-2272-0. Приступљено 1. 9. 2021.
- ^ Buckingham, Edgar (1914), „On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Analysis”, Physical Review, 4 (4): 345—376, Bibcode:1914PhRv....4..345B, doi:10.1103/PhysRev.4.345, hdl:10338.dmlcz/101743
- ^ Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017). Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment (на језику: енглески). CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. Архивирано из оригинала 2021-02-21. г. Приступљено 2020-10-15.
- ^ Bourbaki, Nicolas (1989), „Chapter III. Tensor algebras, exterior algebras, symmetric algebras”, Algebra. Chapters 1–3, Elements of Mathematics (2nd printing изд.), Berlin-Heidelberg-New York City: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, MR 0979982, Zbl 0904.00001
- ^ „Determinants and Volumes”. textbooks.math.gatech.edu. Приступљено 16. 3. 2018.
- ^ Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th изд.), Wiley International
- ^ Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd изд.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
- ^ Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
- ^ Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics
(2nd изд.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
Литература
[уреди | уреди извор]- Boyer, Carl B. (1991). History of Mathematics. Merzbach, Uta C. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
- Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan
- Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
- Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd изд.), Boston: Allyn and Bacon
- Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2nd изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8.
- Gandz, S. (јануар 1936). „The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra”. Osiris. 1: 263—277. JSTOR 301610. S2CID 60770737. doi:10.1086/368426.
- Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X.
- Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6.
- Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.
- Euler, Leonhard (2005). Elements of Algebra. ISBN 978-1-899618-73-6. Архивирано из оригинала 2011-04-13. г.
- Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra
. ISBN 0-471-02371-X.
- Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press.
- Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books. ISBN 978-0140277784.
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). „History Topics: Algebra Index”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Архивирано из оригинала 2016-03-03. г. Приступљено 2011-12-10.
- Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books.
- Bareiss, Erwin (1968), „Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination” (PDF), Mathematics of Computation, 22 (102): 565—578, JSTOR 2004533, doi:10.2307/2004533, Архивирано (PDF) из оригинала 2012-10-25. г.
- de Boor, Carl (1990), „An empty exercise” (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3—7, S2CID 62780452, doi:10.1145/122272.122273, Архивирано (PDF) из оригинала 2006-09-01. г.
- Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435
- Bunch, J. R.; Hopcroft, J. E. (1974). „Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication”. Mathematics of Computation. 28 (125): 231—236. doi:10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8
.
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd изд.), Hoboken, NJ: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264
- Fisikopoulos, Vissarion; Peñaranda, Luis (2016), „Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation”, Computational Geometry, 54: 1—16, doi:10.1016/j.comgeo.2015.12.001
- Garibaldi, Skip (2004), „The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions”, American Mathematical Monthly, 111 (9): 761—778, JSTOR 4145188, MR 2104048, arXiv:math/0203276
, doi:10.2307/4145188
- Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). „A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems” (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98—109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007
. Архивирано (PDF) из оригинала 2019-05-05. г.
- Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495
- Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ур., A history of abstract algebra, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1
- Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894