Kvadratni piramidalni broj

U matematici, piramidalni broj, ili kvadratni piramidalni broj je figurativni broj koji predstavlja broj naslaganih sfera u piramidi sa kvadratom u osnovi. Kvadratni piramidalni brojevi rešavaju problem brojanja kvadrata u $n \times n$ mreži.

Formula[uredi | uredi izvor]

Prvi novi kvadratni piramidalni brojevi su:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140,

204, 285, 385, 506, 650, 819

, ...

Ovi brojevi se mogu napisati u formuli kao

P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}.

Ovo je specijalni slučaj Faulhaberove formule, i može se dokazati matematičkom indukcijom.^[1] Ekvivalentna formula je data u Fibonačijevom Liber Abačiju (1202, ch. II.12).

U savremenoj matematici, figurativni brojevi se formalizuju od Ehrhartovih polinoma. Ehrhartov polinom $L (P, t)$ poloedra P $je$ $polinom koji prebrojava cele poene u kopiji$ P $koji se proširio množenjem svih svojih koordinata brojem$ t. Ehrhartov polinom piramide čija je osnova jedinični kvadrat sa celim koordinatama, a čiji je vrh ceo broj tačke na visini jedan iznad bazne ravni, je $(t + 1)(t + 2)(2 t + 3)/6 = P t + 1$ .^[2]

Svojstva[uredi | uredi izvor]

Jedini kvadratni piramidalni brojevi u obliku n*(n+1)*(n+2)*(n^2+2*n+17)/120 su 0, ±1, ±5 i ±91.

Trougaoni brojevi ≤10^30 koji su takođe kvadratni piramidalni brojevi su 0, 1, 55, 91 i 208335. Dokazano je odavno da je ova sekvenca kompletna.

Takođe, kvadrati ≤10^30 koji su takođe kvadratni piramidalni brojevi su 0, 1 i 4900. Lukas je pretpostavio i G. N. Watson dokazao 1918. godine da je sekvenca kompletna.

Veza sa figurativnim brojevima[uredi | uredi izvor]

Kvadratni piramidalni brojevi mogu biti izraženi kao sume binomnih koeficijenata:

P_{n}={{n+2} \choose 3}+{{n+1} \choose 3}.

Binomni koeficijenti koji se javljaju u ovoj reprezentaciji su tetraedski brojevi, i ova formula izražava kvadratni piramidalni broj kao zbir dva teatraedarska broja na isti način kao što su kvadratni brojevi sume dva uzastopna trougaona brojeva. U ovom zbiru, jedan od dva tetraedarska broja računa lopte u složenoj piramide koje su direktno iznad ili na jednoj strani dijagonale baze kvadrata, a sa druge tetraedarski broj u iznosu računa lopte koje su na drugoj strani dijagonale. Kvadratni piramidalni brojevi su takođe povezani sa tetraedarskim brojevima na drugačiji način:

P_{n}={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}.

Zbir dva uzastopna kvadratna piramidalna broja je oktaedarski broj.

Povećavajući piramidu čiji ivica baze ima n lopti dodavanjem jednog njihovog trougla dobijamo tetraedar čija ivica baze ima $n - 1$ loptu daje trouglastu prizmu. Ekvivalentno, piramida se može izraziti kao rezultat oduzimanja tetraedra iz prizme. Ovaj geometrijski aort dovodi do još jedne veze:

P_{n}=n{\binom {n+1}{2}}-{\binom {n+1}{3}}.

Osim 1, postoji samo jedna cifra koja je i kvadrat i broj piramida: 4900, što je i 70. kvadratni broj i 24. kvadratni piramidalni broj. Ovu činjenicu je dokazao G. N. Vatson 1918. godine.

Drugi odnos podrazumeva Paskalov trougao: Dok klasični Paskalov trugao sa stranama (1,1) ima dijagonale sa prirodnim brojevima, trougaoni brojevi, i tetraedarski brojevi, generisanje Fibonačijevih brojeva kao suma uzorkovanja preko dijagonala, sestra Paskal sa stranama (2,1) ima jednake dijagonale sa neparnim brojevima, kvadratnim brojevima i kvadratnim piramidalnim brojevima, i generiše (po istoj proceduri) i Lukasove brojeve, radije nego Fibonačijeve.

Na isti način se kvadratni piramidalni brojevi mogudefinisati kao zbir uzastopnih kvadrata, kvadratni trouglasti brojevi se mogu definisati kao zbir uzastopnih kubova.

Kvadrati u kvadratu[uredi | uredi izvor]

Zajednička matematička zagonetka podrazumeva pronalaženje broja kvadrata u velikoj n od n kvadratne mreže. Ovaj broj može da se izvede na sledeći način:

Broj $1 \times 1$ kutija nalaze mrežu $n 2$ .
Broj $2 \times 2$ kutija nalazi mrežu $(n - 1) 2$ . Ovo se može računati brojanjem svih mogućih gornjih levih uglova $2 \times 2$ kutija.
Broj $k \times k$ kutija $(1 \leq k \leq n)$ nalazi mrežu $(n - k + 1) 2$ . Ovo se može računati brojanjem svih mogućih gornjih levih uglova $k \times k$ kutija.

Iz toga sledi da je broj kvadrata u $n \times n$ kvadratnoj mreži:

n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots +1^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.

To je rešenje zagonetke dato od strane kvadratnih piramidalnih brojeva.

Broj pravougaonika u kvadratnoj mreži dat od strane kvadratnih trougaonih brojeva.

Izvođenje sume formula[uredi | uredi izvor]

Razlika dva uzastopna kvadrata brojeva je uvek neparan broj. Preciznije, zbog identiteta $k 2 - (k - 1) 2 = 2 k - 1$ , razlika između k-tog i $(k - 1)$ tog kvadrata broja je $2 k - 1$ . Ovo dovodi do sledeće šeme:

{\begin{array}{ccccccccccccccc}0&&1&&4&&9&&16&&25&\ldots &(n-1)^{2}&&n^{2}\\&1&&3&&5&&7&&9&&\ldots &&2n-1&\end{array}}

Stoga svaki kvadratni broj može biti napisan kao suma neparnih brojeva, koji je $n^{2}=\sum _{i=1}^{n}2i-1$ . Ova reprezentacija kvadratnih brojeva može da se koristi da se izrazi zbir prvih n kvadratnih brojeva neparnim brojem raspoređenim u trouglu sa zbirom svih brojeva u trouglu jednakim zbiru prvih n kvadratnih brojeva:

{\begin{array}{rcccccccc}\scriptstyle 1^{2}\scriptstyle =&1&&&&&&&\\\scriptstyle 2^{2}\scriptstyle =&1&3&&&&&&\\\scriptstyle 3^{2}\scriptstyle =&1&3&5&&&&&\\\scriptstyle 4^{2}\scriptstyle =&1&3&5&7&&&&\\\scriptstyle 5^{2}\scriptstyle =&1&3&5&7&9&&&\\\vdots &\vdots &&&&&\ddots &&\\\scriptstyle (n-1)^{2}\scriptstyle =&1&\cdots &&&&\cdots &\scriptstyle 2n-3&\\\scriptstyle n^{2}\scriptstyle =&1&\cdots &&&&\cdots &\scriptstyle 2n-3&\scriptstyle 2n-1\end{array}}

Isti neparni brojevi su sada raspoređeni na dva različita načina u podudarnim trouglovima.

{\begin{array}{cccccccc}\scriptstyle 2n-1&&&&&&\\\scriptstyle 2n-3&\scriptstyle 2n-3&&&&&\\\vdots &&\ddots &&&&\\9&\cdots &\cdots &9&&&&\\7&\cdots &\cdots &7&7&&&\\5&\cdots &\cdots &5&5&5\\3&\cdots &\cdots &3&3&3&3\\1&\cdots &\cdots &1&1&1&1&1\\\hline \scriptstyle =n^{2}&\scriptstyle =(n-1)^{2}&\cdots &\scriptstyle =5^{2}&\scriptstyle =4^{2}&\scriptstyle =3^{2}&\scriptstyle =2^{2}&\scriptstyle =1^{2}\end{array}}

{\begin{array}{cccccccc}1&&&&&&&\\3&1&&&&&&\\5&3&1&&&&&\\7&5&3&1&&&&\\9&7&5&3&1&&&\\\vdots &&&&&\ddots &&\\\scriptstyle 2n-3&\cdots &&&&\cdots &1&\\\scriptstyle 2n-1&\scriptstyle 2n-3&&&&\cdots &&1\\\hline \scriptstyle =n^{2}&\scriptstyle =(n-1)^{2}&\cdots &\scriptstyle =5^{2}&\scriptstyle =4^{2}&\scriptstyle =3^{2}&\scriptstyle =2^{2}&\scriptstyle =1^{2}\end{array}}

Slaganje tri trougla jedan na vrh jdrugog dovodi do kolone koja se sastoji od tri broja, koji imaju svojstvo da je njihov zbir uvek $2 n + 1$ . Na svakom vrhu zbir kolone je $2 n - 1 + 1 + 1 = 2 n + 1$ . Sada, ako pređete iz jedne kolone u drugu, onda će se u jednom trouglu broj povećati za dva, ali u drugom trouglu će se smanjiti za dva i ostaje isti u trećem trouglu, stoga zbir kolone ostaje konstantan. Ima $1+2+\ldots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}$ takvih kolona, pa je bir svih brojeva u sva tri trougla ${\tfrac {n(n+1)(2n+1)}{2}}$ . To je tri puta zbir prvih n kvadratnih brojeva, tako da sledi:

P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

^ Hopcroft, Motwani & Ullman 2007, str. 20.
^ Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., str. 15—36, MR 2134759

Literatura[uredi | uredi izvor]

Hopcroft, John E.; Motwani, Rajeev; Ullman, Jeffrey D. (2007). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Pearson/Addison Wesley. str. 20. ISBN 978-0-321-45536-9.
Abramowitz, M.; Stegun, I. A., ur. (1964). Handbook of Mathematical Functions. Applied Math. Series. 55. National Bureau of Standards. str. 813. ISBN 978-0-486-61272-0.
Beiler, A. H. (1964). Recreations in the Theory of Numbers. Dover. str. 194. ISBN 978-0-486-21096-4.
Goldoni, G. (2002). „A visual proof for the sum of the first $n$ squares and for the sum of the first $n$ factorials of order two”. The Mathematical Intelligencer. 24 (4): 67—69. doi:10.1007/bf03025326.
Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. str. 260–261. ISBN 978-0-387-95419-6.

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

Weisstein, Eric W. „Square Pyramidal Number”. MathWorld.

[FOOTNOTEHopcroftMotwaniUllman200720-1] Hopcroft, Motwani & Ullman 2007, str. 20.

[2] Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., str. 15—36, MR 2134759

[1]

[2]