Квадратни пирамидални број

Из Википедије, слободне енциклопедије
Геометријско представљање квадратног пирамидалног број 1 + 4 + 9 + 16 = 30.
Пирамида од канонкугли у Мусе Хисторикуе де Страсбург. Број лопти у пирамиди се може израчунати као пети квадрат пирамидалног броја, 55.

У математици, пирамидални број, или квадратни пирамидални број је фигуративни број који представља број наслаганих сфера у пирамиди са квадратом у основи. Квадратни пирамидални бројеви решавају проблем бројања квадрата у n × n мрежи.

Формула[уреди]

Први нови квадратни пирамидални бројеви су:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, ...

Ови бројеви се могу написати у формули као

Ово је специјални случај Фаулхаберове формуле, и може се доказати математичком индукцијом.[1] Еквивалентна формула је дата у Фибоначијевом Либер Абачију (1202, ch. II.12).

У савременој математици, фигуративни бројеви се формализују од Ехрхартових полинома. Ехрхартов полином L(P,t) полоедра P је полином који пребројава целе поене у копијикоји се проширио множењем свих својих координата бројем  t. Ехрхартов полином пирамиде чија је основа јединични квадрат са целим координатама, а чији је врх цео број тачке на висини један изнад базне равни, је (t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.[2]

Веза са фигуративним бројевима[уреди]

Квадратни пирамидални бројеви могу бити изражени као суме биномних коефицијената:

Биномни коефицијенти који се јављају у овој репрезентацији су тетраедски бројеви, и ова формула изражава квадратни пирамидални број као збир два театраедарска броја на исти начин као што су квадратни бројеви суме два узастопна троугаона бројева. У овом збиру, један од два тетраедарска броја рачуна лопте у сложеној пирамиде које су директно изнад или на једној страни дијагонале базе квадрата, а са друге тетраедарски број у износу рачуна лопте које су на другој страни дијагонале. Квадратни пирамидални бројеви су такође повезани са тетраедарским бројевима на другачији начин:

Збир два узастопна квадратна пирамидална броја је октаедарски број.

Повећавајући пирамиду чији ивица базе има n лопти додавањем једног њиховог троугла добијамо тетраедар чија ивица базе има n − 1 лопту даје троугласту призму. Еквивалентно, пирамида се може изразити као резултат одузимања тетраедра из призме. Овај геометријски аорт доводи до још једне везе:

Осим 1, постоји само једна цифра која је и квадрат и број пирамида: 4900, што је и 70. квадратни број и 24. квадратни пирамидални број. Ову чињеницу је доказао Г. Н. Ватсон 1918. године.

Други однос подразумева Паскалов троугао: Док класични Паскалов тругао са странама (1,1) има дијагонале са природним бројевима, троугаони бројеви, и тетраедарски бројеви, генерисање Фибоначијевих бројева као сума узорковања преко дијагонала, сестра Паскал са странама (2,1) има једнаке дијагонале са непарним бројевима, квадратним бројевима и квадратним пирамидалним бројевима, и генерише (по истој процедури) и Лукасове бројеве, радије него Фибоначијеве.

На исти начин се квадратни пирамидални бројеви могудефинисати као збир узастопних квадрата, квадратни троугласти бројеви се могу дефинисати као збир узастопних кубова.

Квадрати у квадрату[уреди]

5 од 5 квадратних решетки, са три од својих 55 квадрата су истакнута.

Заједничка математичка загонетка подразумева проналажење броја квадрата у великој n од n квадратне мреже. Овај број може да се изведе на следећи начин:

  • Број 1 × 1 кутија налазе мрежу  n2.
  • Број 2 × 2 кутија налази мрежу (n − 1)2. Ово се може рачунати бројањем свих могућих горњих левих углова 2 × 2 кутија.
  • Број k × k кутија (1 ≤ kn) налази мрежу (nk + 1)2. Ово се може рачунати бројањем свих могућих горњих левих углова  k × k кутија.

Из тога следи да је број квадрата у n × n квадратној мрежи:

То је решење загонетке дато од стране квадратних пирамидалних бројева.

Број правоугаоника у квадратној мрежи дат од стране квадратних троугаоних бројева.

Извођење суме формула[уреди]

Разлика два узастопна квадрата бројева је увек непаран број. Прецизније, због идентитета k2 − (k − 1)2 = 2k − 1, разлика између k-тог и (k − 1)тог квадрата броја је 2k − 1. Ово доводи до следеће шеме:

Стога сваки квадратни број може бити написан као сума непарних бројева, који је . Ова репрезентација квадратних бројева може да се користи да се изрази збир првих n квадратних бројева непарним бројем распоређеним у троуглу са збиром свих бројева у троуглу једнаким збиру првих n квадратних бројева:

Исти непарни бројеви су сада распоређени на два различита начина у подударним троугловима.

    

Слагање три троугла један на врх јдругог доводи до колоне која се састоји од три броја, који имају својство да је њихов збир увек 2n + 1. На сваком врху збир колоне је 2n − 1 + 1 + 1 = 2n + 1. Сада, ако пређете из једне колоне у другу, онда ће се у једном троуглу број повећати за два, али у другом троуглу ће се смањити за два и остаје исти у трећем троуглу, стога збир колоне остаје константан. Има таквих колона, па је бир свих бројева у сва три троугла . То је три пута збир првих n квадратних бројева, тако да следи:

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Hopcroft, Motwani & Ullman (2007). стр. 20.
  2. Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., стр. 15—36, MR 2134759 

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]