Negativan broj

Negativan broj, u matematici, je stvarni broj koji je manji od nule. Negativni brojevi predstavljaju suprotnosti. Ako pozitivno predstavlja kretanje udesno, negativno predstavlja kretanje ulevo. Ako pozitivno predstavlja nadmorsku visinu, onda negativna predstavlja ispod nivoa mora. Ako pozitivno predstavlja depozit, negativno predstavlja povlačenje. Često se koriste za predstavljanje veličine gubitka ili nedostatka. Dug koji duguje mogu se shvatiti kao negativno sredstvo, smanjenje neke količine može se smatrati negativnim porastom. Ako količina može imati bilo koje od dva suprotna čula, onda se može izabrati da razlikuje ta čula- možda proizvoljno- kao pozitivna i negativna. U medicinskom kontekstu borbe protiv tumora, ekspanzija se može smatrati negativnim skupljanjem. Negativni brojevi se koriste da opišu vrednosti na skali koja ide ispod hule, kao što su Celzijusa i Farenhajta skalira za temperaturu. Zakon aritmetike za negativne brojeve osiguravaju da se ideja o zdravom razumu o suprotnom održava u aritmetici. Na primer, - (- 3) = 3 jer je suprotno od suprotne vrednosti originalna vrednost.

Negativni brojevi se obično pišu sa znakom minus ispred. Na primer, -3 predstavlja negativnu veličinu magnitude tri, a izgovara se "minus tri" ili "negativna tri". Da bi Vam pomogli da odredite razliku između operacije oduzimanja i negativnog broja, ponekad je negativni znak postavljen nešto više od znaka minus (kao superskript). Nasuprot tome, broj koji je veći od nule naziva se pozitivan; nula se obično (ali ne uvek) smatra da nije ni pozitivna ni negativna. Pozitivnost broja može se naglasiti stavljanjem znaka plus ispred njega, na primer +3. Generalno, negativnost ili pozitivnost broja se naziva njegov znak.

Svaki stvarni broj osim nule je ili pozitivan ili negativan. Pozitivni celi brojevi nazivaju se prirodnim brojevima, dok se pozitivni i negativni celi brojevi (zajedno sa nulom) nazivaju celim brojevima. U knjigovodstvu, dugovanja se često predstavljaju crvenim brojevima, ili brojem u zagradama, kao alternativna notacija koja predstavlja negativne brojeve.

Pojava negativnih brojeva

Negativni brojevi pojavili su se prvi put u istoriji u Devet poglavlja o matematičkoj umetnosti, koja u sadašnjoj formi datira iz perioda kineske dinastije Han (202. p. n. e. - 220. ), ali može sadržati mnogo stariji materijal. Liu Hui (oko 3. veka) je uspostavio pravila za dodavanje i oduzimanje negativnih brojeva. Do 7. veka indijski matematičari poput Bramagupta su opisivali korišćenje negativnih brojeva. Islamski matematičari su dalje razvijali pravila oduzimanja i množenja negativnih brojeva i rešavali probleme s negativnim koeficijentima. Zapadni matematičari su prihvatili ideju o negativnim brojevima do 17. veka. Pre koncepta negativnih brojeva, matematičari kao što je Diofant smatrao je da su negativna rešenja problema "lažna", a jednačine koje zahtevaju negativna rešenja opisane kao apsurdne.

Negativni brojevi se mogu smatrati rezultatima oduzimanja većeg broja iz manjeg. Na primer, negativna tri je rezultat oduzimanja tri od nule:

0 - 3 = -3

U principu, oduzimanje većeg broja od manjeg dale negativan rezultat, a veličina rezultata je razlika između ta dva broja. Na primer,

5 - 8 = -3

od 8 - 5 = 3.

Brojčana linija

Odnos između negativnih brojeva, pozitivnih brojeva i nula se često izražava u obliku brojčane linije. Brojevi koji se ponavljaju na desnoj strani ove linije su veći, dok su brojevi koji se pojavljuju dalje ulevo manji. Tako se nula pojavljuje u sredini, sa pozitivnim brojevima desno i negativnim brojevima levo.

Imajte na umu da se negativni broj sa većom veličinom smatra manjim. Na primer, iako je (pozitivno) 8 veće od (pozitivno = 5, napisano

8 > 5

negativno 8 se smatra manje od negativnog 5:

-8 < -5

(Jer na primer, ako imate ₤ -8, imali biste dug od ₤ -5 nakon dodavanja, recimo ₤10, nego ako imate ₤ -5. ) Iz toga sledi da je bilo koji negativan broj manji od bilo kojeg pozitivnog broja, tako

-8 < 5 i -5 < 8.

Potpisan broj

U kontekstu negativnih brojeva, broj koji je veći od nule označen je kao pozitivan. Tako je svaki stvarni broj, osim nule, ili pozitivan ili negativan, dok se samo nula ne smatra znakom. Pozitivni brojevi se ponekad pišu sa znakom plus ispred, na primer +3 označava pozitivno tri.

Pošto nula nije ni pozitivan ni negativan broj, termin nenegativan se ponekad koristi da označi broj koji je ili pozitivan ili nula, dok se nepozitivan koristi za broj koji je ili negativan ili nula. Nula je neutralan broj.

Sport

• Gol razlika u fudbalu i hokeju; bodovi razlike u ragbi fudbalu; stopu neto trčanja u kriketu; rezultati golfa u odnosu na par.
• Razlika u plus-minusu u hokeju na ledu; razlika u ukupnom broju postignutih golova za tim (+) i protiv tima (-) kada je određeni igrač na ledu je igračev +/- rejting. Igrači mogu imati negativan +/- rejting.
• Pokrenite diferencijal u bejzbolu: diferencijalna vožnja je negativna ako tim dopušta više trčanja nego što su postigli.
• Britanski fudbalski klubovi odbijaju bodove ako uđu u administraciju, i tako imaju negativne brojeve sve dok ne zarade barem toliko poena u toj sezoni.
• Vremena kruga (ili sektora) u Formuli 1 mogu se dati kao razlika u odnosu na prethodni krug (ili sektor) (kao što je prethodni zapis ili krug koji je vozač završio ispred) i biće pozitivan ako je sporije i negativan ako je brže.
• U nekim atletskim disciplinama, kao što su sprint trke, prepone, trostruki skok i skok u dalj, pomoć pri vetru se meri i beleži, i pozitivna je za vetar i negativan za vetar.

Nauka

• Temperature koje su hladnije od 0 °C ili 0°F.
• Širine južno od ekvatora i dužine zapadno od početnog meridijana.
• Topografske karakteristike Zemljine površine imaju visinu iznad nivoa mora, što može biti negativno (na primer Povišenje površine Mrtvog mora ili Doline smrti).
• Electrical circuits. Kada je baterija priključena u obrnutom polaritetu, za napon koji se primenjuje se kaže da je suprotan njegovom nominalnom naponu. Na primer, 6 (V) baterija povezana u obrnutom pravcu primenjuje napon od -6 (V).
• Joni imaju pozitivan ili negativan električni naboj.
• Impedansa AM radio- difuzne kule koja se koristi u antenskim nizovima sa više kula može imati pozitivnu ili negativnu impedansu.

Finansije

• Stanja na bankovnim računima koja su prekoračena.
• Povrati na kreditnu ili debitnu karticu su negativna zaduženja.
• Kompanija može ostvariti negativan godišnji profit (tj. gubitak).
• Godišnji rast BDP-a jedne zemlje može biti negativan, što je jedan od pokazatelja recesije.
• Povremeno, stopa inflacije može biti negativna (deflacija) , što ukazuje na pad prosečne cene.
• Dnevna promena cene akcija ili berzanskog indeksa, kao što je FTSE100 ili Dov Jones.
• Negativan broj u finansiranju je sinonim za "dug" i "deficit" koji su takođe poznati kao "biti u crvenom".
• Kamatne stope mogu biti negativne, kada je zajmodavac zadužen da deponuje svoj novac.

Drugo

• Broj etaža u zgradi ispod prizemlja.
• Kada reprodukujete audio fajl na prenosivom media plejeru, kao što je iPod, na ekranu se može prikazati preostalo vreme kao negativan broj, koji se povećava do nule istom brzinom kao što se vreme koje je već reprodukovano povećava sa nule.
• TV emisija pokazuje:
• Učesnici na KI često se završavaju negativnim rezultatom.
• Timovi na Univerzitetskom izazovu imaju negativan rezultat ako su njihovi prvi odgovori netačni i prekidaju pitanja.

Opasnost! ima negativnu ocenu novca - takmičari igraju za određeni iznos novca i svaki pogrešan odgovor koji košta više od onoga što sada imaju može rezultirati negativnim rezultatom.

• Cena je prava cena za kupovinu Kupite ili prodajte, ako je bilo koji novac izgubljen i koji je veći od iznosa koji je trenutno u banci, on takođe ima negativan rezultat.
• Promena u podršci političkoj stranci između izbora, poznata kao zamah.
• Rejting odobrenja političara.
• U video igrama, negativni broj ukazuje na gubitak života, štetu, kaznu za rezultat ili potrošnju resursa, u zavisnosti od žanra simulacije.
• Zaposleni sa fleksibilnim radnim vremenom mogu imati negativan saldo na svom vremenskom rasporedu ako su radili manje ukupnih sati nego što su ugovoreni do tog trenutka. Zaposleni mogu biti u mogućnosti da uzmu više od godišnjeg odmora za godišnji odmor, i prenose negativni bilans u narednu godinu.
• Transponovanje beleški na sintisajzeru prikazano je na ekranu sa pozitivnim brojevima za uvećanje i negativnim brojevima za smanjenje, na primer '-1' za jedan poluton.

Aritmetika sa negativnim brojevima

Znak minus "-" označava operator i za binarni (dvostrukom operand) rad na oduzimanje (kao u I-Z) i Unarni (one-operand) rad negacije (kao u- Ks, ili dvaput) - (-K) ). Poseban slučaj unarnog negiranja javlja se kada radi na pozitivnom broju, u kojem slučaju je rezultat negativan broj (kao u- 5).

Dvosmislenost simbola "- " obično ne dovodi do dvosmislenosti u aritmetičkim izrazima, jer redosled operacija čini samo jedno tumačenje ili drugo moguće za svaki "- ". Međutim, to može dovesti do konfuzije i biti teško za osobu da razume izraz kada se simboli operatera pojavljuju jedan pored drugog. Rješenje može biti zagrada unikarnog "- " zajedno sa njegovim operandom.

Na primer, izraz 7+- 5 može biti jasniji ako je napisan 7+ (- 5) 8iako oni formalno znače istu stvar). Oduzimanje Izraz 7- 5 je drugačiji izraz koji ne predstavlja iste operacije, ali ocenjuje do istog rezultata.

2+5 daje 7.

Sabiranje

Dodavanje dva negativna broja vrlo je slično dodatku dva pozitivna broja. Na primer,

(- 3) + (- 5) = - 8.

Ideja da se dva duga mogu kombinovati u jedan dug većeg obima.

Pri sabiranju kombinacije pozitivnih i negativnih brojeva, negativni brojevi se mogu smatrati pozitivnim količinama koje se oduzimaju. Na primer:

8+ (- 3) = 8- 3 = 5 i (- 2) +7 = 7- 2 = 5

U prvom primeru, kredit od 8 kombinuje se s dugom od 3, koji daje ukupan kredit od 5. Ako je negativni broj veći, onda je rezultat negativan: (- 8) +3 = 3- 8 = - 5 i 2+ (- 7) = 2- 7 = - 5.

Ovde je kredit manji od duga, tako da je neto rezultat dug.

Oduzimanje

Kao što je gore razmotreno, moguće je oduzimanje dva ne- negativna broja da bi se dobio negativan odgovor:

5- 8 = - 3

i

(- 3) - 5 = (- 3) + (- 5) = - 8

S druge strane oduzimanje negativnog broja daje isti rezultat kao i dodavanje pozitivnog broja jednake veličine. (Ideja je da je gubitak duga ista stvar kao i sticanje kredita). Tako

3- (- 5) = 3+5 = 8

i

(- 5) - (- 8) = (- 5) +8 = 3.

Kada množite brojeve, veličina proizvoda je uvek samo proizvod dve veličine. Znak proizvoda je određen sledećim pravilima:

• Proizvod jednog pozitivnog broja i jednog negativnog broja je negativan.
• Produkt dva negativna broja je pozitivan.

Tako

(- 2) ×3 = - 6

i

(- 2) × (- 3) = 6

Razlog za prvi primer je jednostavan: dodavanjem tri - 2 zajedno - 6:

(- 2) ×3 = (- 2) + (- 2) + (- 2) = - 6.

Razlozi koji stoje iza drugog primera su složeni. Ideja je opet da je gubitak duga ista stvar kao i sticanje kredita. U ovom slučaju, gubitak dva puta od po tri je isti kao i dobijanje kredita od šest:

(- 2 dugova) × (- 3 svaki) = +6 kredit.

Konvencija da je proizvod dva negativna broja pozitivan je takođe neophodna da bi multiplikacija sledila distributivni zakon. U ovom slučaju to znamo

(- 2) × (- 3) +2× (- 3) = (- 2+2) × (- 3) = 0× (- 3) = 0.

Pošto 2× (- 3) = - 6, proizvod (- 2) × (- 3) mora biti jednak 6.

Ova pravila vode do drugog (ekvivalentnog) pravila - znam bilo kog proizvoda a×b zavisi od znaka a kao što sledi:

• ako je a pozitivan, onda je znak a×b isti kao i znak b, i
• ako je a negativan, onda je znam a×b suprotan znaku b.

Opravdanje zašto je proizvod dva negativna broja pozitivan broj može se uočiti u analizi kompleksnih brojeva.

Deljenje

Pravila znaka za deljenje su ista kao i za množenje. Na primer,

8÷ (- 2) = - 4,

Negativna verzija pozitivnog broja naziva se njenom negacijom. Na primer, - 3 je negacija pozitivnog broja 3. Zbir jednog broja i njegove negacije jednaka nuli:

3+ (- 3) = 0

To jest negacija pozitivnog broja je aditivna inverzija broja.

Pomoću algebre možemo da napišemo ovaj princip kao algebarski identitet:

K+ (- K) = 0

Ovaj identitet važi za bilo koji pozitivan broj K. Može se napraviti za sve realne brojeve proširivanjem definicije negacije na nulti i negativni broj. Konkretno:

• Negacija 0 je 0, i
• Negacija negativnog broja odgovora odgovarajućem pozitivnom broju.

Na primer, negacija od - 3 je +3. U globalu:

- (- K) = K.

Apsolutna vrednost jednog broja je non- negativan broj sa iste veličine. Na primer, apsolutna vrednost od - 3 i apsolutna vrednost 3 su jednake 3, a apsolutna vrednost 0 je0.

Na sličan način kao i racionalni brojevi, možemo proširiti prirodne brojeveN na cele brojeve 3 definišući cele brojeve kao uređeni par prirodnih brojeva (a, b). Možemo proširiti dodavanje i množenje na ove parove sa sledećim pravilima:

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) (a, b) ÷ (c, d) = (a×c+b×d, a×d+b×c)

Na ovim parovima definišemo odnos ekvivalencije sa sledećim pravilima:

(a, b) ~ (c, d) ako i samo ako a+d = b+c.

Ovaj odnos ekvivalencije je kompatibilan sa gorenavedenim zbrajanjem i množenjem i možemo definisati 3 kao količnički skup N²/~, tj. Identifikovati dva para (a, b) i (c, d) ako su ekvivalentni u iznad smisla. Treba imati na umu da je 3, opremljen ovim operacijama dodavanja i množenja, prsten i zapravo je prototipski primer prstena.

Možemo definisati i ukupan redosled na 3 pisanjem

(a, b) ≤ (c, d) ako i samo ako a+d≤b+d.

To će dovesti do aditiva nula forme (, ) , jedan aditiv inverznog og (, b) oblika (b, ) , multiplikativnom jedinica oblika (+1, ) , i definicija oduzimanja

(a, b) - (c, d) + (a+d; b+c).

Ova konstrukcija je poseban slučaj konstrukcije Grothendiek.

Jedinstvenost

Negativ broja je jedinstven, kao što pokazuje sledeći dokaz.

Neka je k je broj i neka je i negativan. Pretpostavimo da je i još jedan negativ k. Po jedan aksiom realnog broja sistema

x+y' = 0, x+y = 0.

I tako, k+i' = k+i. Koristeći zakon poništenja za dodavanje, vidi se da je i' = i. Tako je i jednaka bilo kom drugom negativ k. To jest, i je jedinstveni negativ k.