Petougao
Petougao | |
---|---|
Ivice i temena | 5 |
Unutrašnji ugao (stepeni) | 108° (ako je jednakougaon, uključujući i regularan) |
U geometriji, petougao (ode grčkog πέντε pente sa značenjem pet i γωνία gonia sa značenjem ugao[1]) mnogougao je sa pet temena i pet stranica. Suma unutrašnjih uglova jednostavnog petougla je 540°.
Pravilni petougao[uredi | uredi izvor]
Pravilni petougao je petougao kod koga su sve stranice jednake dužine i svi unutrašnji uglovi jednaki. Svaki unutrašnji ugao pravilnog petougla ima po 108° (stepeni), a zbir svih unutrašnjih uglova bilo kog petougla iznosi 540°. Ako mu je osnovna stranica dužine , površina pravilnog petougla se određuje formulom .
Površina se može izračunati i sa
gde je - poluprečnik opisanog kruga, a - poluprečnik upisanog kruga. Obim petougla kome je stranica dužine biće jednak . Odnos dijagonale i stranice petougla jednak je , što odgovara zlatnom preseku.
Pravilan petougao ima pet linija refleksijske simetrije, i rotacionu simetriju reda 5 (kroz 72°, 144°, 216° i 288°). Dijagonale konveksnog pravilnog petougla su u zlatnom preseku prema njegovim stranicama. Njegova visina (udaljenost od jedne strane do suprotnog vrha) i širina (udaljenost između dve najudaljenije razdvojene tačke, koja je jednaka dužini dijagonale) su date kao
gde je R poluprečnik opisanog kruga.
Površina konveksnog pravilnog petougla sa dužinom stranice t je data sa
Kada je pravilan petougao opisan krugom poluprečnika R, njegova dužina ivice t je data izrazom
a njegova površina je
pošto je površina opisanog kruga pravilni pentagon ispunjava približno 0,7568 svog opisanog kruga.
Izvođenje formule površine[uredi | uredi izvor]
Površina bilo kog pravilnog poligona je:
gde je P obim poligona, a r poluprečnik (ekvivalentno apotema). Zamena vrednosti regularnog pentagona za P i r daje formulu
sa dužinom stranice t.
Intraradijus[uredi | uredi izvor]
Slično svakom pravilnom konveksnom poligonu, pravilan konveksni petougao ima upisan krug. Apotema, koja je poluprečnik r upisanog kruga, pravilnog petougla je povezana sa dužinom stranice t pomoću
Tetive od opisanog kruga do vrhova[uredi | uredi izvor]
Kao i svaki pravilan konveksni mnogougao, pravilni konveksni petougao ima opisan krug. Za pravilan petougao sa uzastopnim vrhovima A, B, C, D, E, ako je P bilo koja tačka na opisanoj kružnici između tačaka B i C, onda je PA + PD = PB + PC + PE.
Tačka u ravni[uredi | uredi izvor]
Za proizvoljnu tačku u ravni pravilnog petougla sa poluprečnikom kruga , čija su rastojanja do težišta pravilnog pentagona i njegovih pet vrhova i respektivno, važi[2]
Ako su rastojanja od vrhova pravilnog petougla do bilo koje tačke na njegovoj opisanoj kružnici, onda je [2]
Konstrukcija[uredi | uredi izvor]
Pravilni petougao se može konstruisati uz pomoć lenjira i šestara. Sledeća animacija ilustruje korak po korak, jednu od mogućih konstrukcija.
Euklidov metod[uredi | uredi izvor]
Pravilan petougao se može konstruisati pomoću šestara i lenjira, bilo upisivanjem u dati krug, ili konstruisanjem na datoj ivici. Ovaj proces je opisao Euklid u svojim Elementima oko 300. godine p. n. e.[3][4]
Galerija[uredi | uredi izvor]
-
Državna oznaka za kvalitet korišćena u nekadašnjem Sovjetskom Savezu imala je modifikovani petougao u svojoj osnovi.
-
Petougao se može dobiti vezivanjem papirne trake u čvor.
Vidi još[uredi | uredi izvor]
Reference[uredi | uredi izvor]
- ^ "pentagon, adj. and n." OED Online. Oxford University Press, June 2014. Web. 17 August 2014.
- ^ a b Meskhishvili, Mamuka (2020). „Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids”. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355. arXiv:2010.12340 .
- ^ George Edward Martin (1998). Geometric constructions. Springer. str. 6. ISBN 0-387-98276-0.
- ^ Fitzpatrick, Richard (2008). Euklid's Elements of Geometry, Book 4, Proposition 11 (PDF). Prevod: Richard Fitzpatrick. str. 119. ISBN 978-0-6151-7984-1.
Literatura[uredi | uredi izvor]
- Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd izd.). CRC Press. str. 329. ISBN 1-58488-347-2.
- DeTemple, Duane W. (februar 1991). „Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions” (PDF). The American Mathematical Monthly. 98 (2): 97—108. JSTOR 2323939. doi:10.2307/2323939. Arhivirano iz originala (PDF) 2015-12-21. g.
- Bagina, Olga (2004), „Tiling the plane with congruent equilateral convex pentagons”, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 105 (2): 221—232, ISSN 1096-0899, MR 2046081, doi:10.1016/j.jcta.2003.11.002
- Bagina, Olga (2011), Mozaiki iz vыpuklыh pяtiugolьnikov [Tilings of the plane with convex pentagons], Vestnik (na jeziku: ruski), 4 (48): 63—73, ISSN 2078-1768, Pristupljeno 29. 1. 2013
- Bellos, Alex (11. 8. 2015), „Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile”, The Guardian
- Chavey, D. (1989), „Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings”, Computers & Mathematics with Applications, 17 (1–3): 147–165, doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9
- Gardner, Martin (1988), „Tiling with Convex Polygons”, Time travel and other mathematical bewilderments, New York: W.H. Freeman, Bibcode:1988ttom.book.....G, ISBN 978-0-7167-1925-0, MR 0905872
- Gerver, M. L. (2003), „Theorems on tessellations by polygons”, Sbornik: Mathematics, 194 (6): 879—895, Bibcode:2003SbMat.194..879G, doi:10.1070/sm2003v194n06abeh000743
- Godrèche, C. (1989), „The sphinx: a limit-periodic tiling of the plane”, Journal of Physics A: Mathematical and General, 22 (24): L1163—L1166, Bibcode:1989JPhA...22L1163G, MR 1030678, doi:10.1088/0305-4470/22/24/006
- Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1978), „Isohedral tilings of the plane by polygons”, Commentarii Mathematici Helvetici, 53: 542—571, ISSN 0010-2571, doi:10.1007/bf02566098
- Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1987), „Tilings by polygons”, Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 978-0-7167-1193-3, MR 0857454
- Hirschhorn, M. D.; Hunt, D. C. (1985), „Equilateral convex pentagons which tile the plane” (PDF), Journal of Combinatorial Theory, Series A, 39 (1): 1—18, ISSN 1096-0899, MR 787713, doi:10.1016/0097-3165(85)90078-0 , Pristupljeno 2020-10-30
- Kershner, Richard (1968), „On paving the plane”, American Mathematical Monthly, 75 (8): 839—844, ISSN 0002-9890, JSTOR 2314332, MR 0236822, doi:10.2307/2314332
- Klaassen, Bernhard (2016), „Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons”, Elemente der Mathematik, 71 (4): 137—144, ISSN 0013-6018, arXiv:1509.06297 , doi:10.4171/em/310
- Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer; Von Derau, David (2018), „Convex pentagons that admit -block transitive tilings”, Geometriae Dedicata, 194 (1): 141—167, arXiv:1510.01186 , doi:10.1007/s10711-017-0270-9
- Rao, Michaël (2017), Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane (PDF), arXiv:1708.00274
- Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (Dissertation) (na jeziku: nemački), Borna-Leipzig: Druck von Robert Noske
- Schattschneider, Doris (1978), „Tiling the plane with congruent pentagons”, Mathematics Magazine, 51 (1): 29—44, ISSN 0025-570X, JSTOR 2689644, MR 0493766, doi:10.2307/2689644
- Schattschneider, Doris (1985), „A new pentagon tiler”, Mathematics Magazine, 58 (5): 308, The cover has a picture of the new tiling
- Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2005), „Systematic study of convex pentagonal tilings. I. Case of convex pentagons with four equal-length edges”, Forma, 20: 1—18, MR 2240616, Arhivirano iz originala 04. 03. 2016. g., Pristupljeno 21. 12. 2021
- Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2009), „Systematic study of convex pentagonal tilings, II: tilings by convex pentagons with four equal-length edges”, Forma, 24 (3): 93—109, MR 2868775, Arhivirano iz originala 22. 08. 2020. g., Pristupljeno 21. 12. 2021; Errata Arhivirano na sajtu Wayback Machine (5. avgust 2021), Forma 25 (1): 49, 2010, MR2868824
- Sugimoto, Teruhisa (2012), „Convex pentagons for edge-to-edge tiling, I”, Forma, 27 (1): 93—103, MR 3030316, Arhivirano iz originala 20. 05. 2020. g., Pristupljeno 21. 12. 2021
- Wolchover, Natalie (11. 7. 2017), „Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem”, Quanta Magazine
- Becker, Udo (1994). „Pentagram”. The Continuum Encyclopedia of Symbols. Prevod: Garmer, Lance W. New York City: Continuum Books. str. 230. ISBN 978-0-8264-0644-6.
- Conway, John Horton; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (april 2008). „Chapter 26, Higher Still: Regular Star-Polytopes”. The Symmetries of Things. Wellesley, Massachusetts: A. K. Peters. str. 404. ISBN 978-1-56881-220-5.
- Ferguson, George Wells (1966) [1954]. Signs and Symbols in Christian Art. New York City: Oxford University Press. str. 59. OCLC 65081051.
- Gravrand, Henry (januar 1990). La civilisation Sereer, Volume II: Pangool. Nouvelles éditions Africaines du Sénégal (na jeziku: francuski). Dakar, Senegal. ISBN 2-7236-1055-1.
- Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey Colin (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.
- Grünbaum, Branko (1994). „Polyhedra with Hollow Faces”. Ur.: Bisztriczky, T.; McMullen, P.; Schneider, A.; Weiss, A. Ivić. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences. 440. Dordrecht: Springer Netherlands. str. 43—70. ISBN 978-94-010-4398-4. doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3.
Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]
- Petougao na Mathworld (jezik: engleski)
- Definicija i osobine petougla, sa interaktivnom animacijom (jezik: engleski)
- Raul A. Simon, Approximate Construction of Regular Polygons: Two Renaissance Artists (jezik: engleski)
- Animated demonstration constructing an inscribed pentagon with compass and straightedge.
- How to construct a regular pentagon with only a compass and straightedge.
- How to fold a regular pentagon using only a strip of paper
- Renaissance artists' approximate constructions of regular pentagons
- Pentagon. How to calculate various dimensions of regular pentagons.