Topološki prostor
Topološki prostori su matematičke strukture koje omogućavaju formalnu definiciju pojmova kao što su konvergencija, povezanost i neprekidnost. Oni se javljaju u praktično svim granama moderne matematike. Grana matematike koja proučava same topološke prostore se naziva topologija.[1][2][3]
Topološki prostor je najopštiji tip matematičkog prostora[4][5][6] koji omogućava definisanje granica, kontinuiteta i povezanosti.[7][8] Uobičajeni tipovi topoloških prostora uključuju euklidske prostore,[9] metričke prostore[10] i mnogostrukosti.
Definicija[uredi | uredi izvor]
Topološki prostor je uređeni par skupa X i kolekcije podskupova od X (podskup partitivnog skupa X) u oznaci , koji zadovoljavaju sledeće osobine:
- prazan skup i X nalaze se u .
- unija svih kolekcija skupova iz je takođe skup u .
- presek svake konačne kolekcije skupova iz je takođe u .
Kolekcija se naziva topologijom nad X. Elementi skupa X se obično nazivaju tačkama, mada mogu biti proizvoljni matematički objekti. Topološki prostor u kome su tačke predstavljene nekim funkcijama, naziva se funkcionalni ili funkcijski prostor.
Skupovi u su otvoren skupovi, a njihovi komplementi u X su zatvoreni skupovi. Proizvoljni podskup od X može biti otvoren, zatvoren, i otvoren i zatvoren istovremeno ili niti otvoren, niti zatvoren.
Pokrivač skupa X je skup podskupova u X takav da njihova unija daje ceo skup X. Pokrivač skupa je otvoren, ako se sastoji od otvorenih skupova.[11]
Okolina tačke x je svaki skup koji sadrži otvoren skup u kojem se nalazi x. Sistem okoline na x se sastoji od svih okolina od x. Topologiju može da odredi skup aksioma koje se tiču svih sistema okolina.
- Specijalni topološki prostori u zavisnosti od topologije :
- Trivijalna topologija je topologija koju čine samo proizvoljan skup X i kolekcija = {, X} koja se sastoji od samo dva obavezna podskupa koji moraju da je čine po definiciji topološkog prostora, od praznog i celog skupa.
- Diskretna topologija je topologija koja se sastoji od proizvoljnog skupa X i kolekcije = P(X), koja je najveći mogući podskup partitivnog skupa od X, tj. ovde je topologija ceo partitivni skup od X.
- Kod beskonačnih skupova, kada je npr. X = i kolekcija je jednaka uniji svih konačnih podskupova celih brojeva i celog skupa , ovako formirani uređeni par nije topološki prostor, jer nije topologija, pošto postoje beskonačni skupovi elemenata iz Х koji se ne nalaze u .
Ekvivalentne definicije[uredi | uredi izvor]
Osim navedene definicije, ekvivalentni topološki prostor se može definisati i preko zatvorenih skupova:
Topološki prostor je uređeni par skupa X i kolekcije podskupova od X koji zadovoljavaju sledeće aksiome:
- Prazan skup i X su u .
- Presek svake kolekcije skupova iz je takođe u .
- unija svakog para skupova iz je takođe u .
Ekvivalentnost definicija topološkog prostora preko otvorenih i zatvorenih skupova se dobija preko de Morganovih zakona, kada aksiome koje definišu otvorene skupove postaju aksiome koje definišu zatvorene skupove:
- Prazan skup i X su zatvoreni.
- Presek svake kolekcije zatvorenih skupova je takođe zatvoren.
- Unija svakog para zatvorenih skupova je takođe zatvorena.
Po ovoj definiciji topološkog prostora, skupovi u topologiji su zatvoreni skupovi, a njihovi komplementi u X su otvoreni skupovi.
Još jedan način za definisanje topološkog prostora je korišćenjem aksioma zatvorenosti Kuratovskog, koje definišu zatvorene skupove kao fiksne tačke operatora nad partitivnim skupom od X.
Poređenje topologija[uredi | uredi izvor]
Nad istim skupom može postojati više topologija tako da grade različite topološke prostore.
Topologija je grublja (manja, slabija) od , odnosno, topologija je finija (veća, jača) od topologije ako važi da je svaki skup iz topologije istovremeno sadržan u topologiji . Ovakvo poređenje topologija se zapisuje: > .
Dokaz koji se oslanja samo na postojanje određenih otvorenih skupova će ujedno važiti i na finijoj topologiji, i slično, dokaz koji se oslanja samo na to da određeni skupovi nisu otvoreni će važiti i na svakoj grubljoj topologiji.
Neprekidne funkcije[uredi | uredi izvor]
Za funkciju između dva topološka prostora se kaže da je neprekidna ako je inverzna slika svakog otvorenog skupa otvorena.
Homeomorfizam je bijekcija koja je neprekidna i čiji je i inverz takođe neprekidan. Za dva prostora se kaže da su homeomorfna ako postoji homeomorfizam između njih. Sa gledišta topologije, homeomorfni prostori su u suštini identični.
Vidi još[uredi | uredi izvor]
Reference[uredi | uredi izvor]
- ^ Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
- ^ Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], „Chapter XVIII Topology”, Ur.: Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A., Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd izd.), The M.I.T. Press
- ^ Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press
- ^ Carlson, Kevin (2. 8. 2012). „Difference between 'space' and 'mathematical structure'?”. Stack Exchange.
- ^ Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the history of mathematics. Masson (original), Springer (translation). ISBN 978-3-540-64767-6. doi:10.1007/978-3-642-61693-8.
- ^ Gray, Jeremy (1989). Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean and Relativistic (second izd.). Clarendon Press. ISBN 978-0198539353.
- ^ Schubert 1968, p. 13
- ^ Sutherland, W. A. (1975). Introduction to metric and topological spaces. Oxford [England]: Clarendon Press. ISBN 0-19-853155-9. OCLC 1679102.
- ^ Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd izd.). New York: Dover. „"Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions."”
- ^ Čech, Eduard (1969). Point Sets. Academic Press. ISBN 0121648508.
- ^ Hilbertovi prostori i grupe, Milan Damnjanović, pristupljeno: 17.10.2014.
Literatura[uredi | uredi izvor]
- Armstrong, M. A.; Osnovna topologija (Basic Topology), Springer; prvo izdanje (1. maj, 1997). Armstrong, M. A. (maj 1997). Basic Topology. Springer. ISBN 978-0-387-90839-7. .
- Bredon, Glen E., Topologija i geometrija (Topology and Geometry) (Tekstovi iz matematike, postdiplomske studije), Springer; (17. oktobar 1997). Bredon, Glen E. (24. 6. 1993). Topology and Geometry (1st izd.). Springer. ISBN 978-0-387-97926-7. .
- Fulton, William, Algebarska topologija (Algebraic Topology), (Tekstovi iz matematike, postdiplomske studije), Springer; prvo izdanje (5. septembar, 1997). Fulton, William (5. 9. 1997). Algebraic Topology: A First Course. Springer. ISBN 978-0-387-94327-5. .
- Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; prvo izdanje (1. jun, 1968). Lipschutz, Seymour (1965). Schaum's Outline of General Topology. McGraw Hill Professional. ISBN 978-0-07-037988-6..
- Munkres, James; Topologija (Topology), Prentice Hall; drugo izdanje (28. decembar, 1999). Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice Hall, Incorporated. ISBN 978-0-13-181629-9..
- Runde, Volker; Ukus topologije (univerzitetski tekst) A Taste of Topology (Universitext), Springer; prvo izdanje (6. jul, 2005). Runde, Volker (7. 12. 2007). A Taste of Topology. Springer. ISBN 978-0-387-25790-7. .
- Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7.
- Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December (1989) ISBN 3-88538-006-4.
- Breitenberger, E. (2006). „Johann Benedict Listing”. Ur.: James, I.M. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5.
- Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1.
- Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4.
- Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, (2000) ISBN 0-486-41148-6
- Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1.
- Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd izd.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1
- Bourbaki, Nicolas, Elements of mathematics, Hermann (original), Addison-Wesley (translation)
- Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics: Theory of sets, Hermann (original), Addison-Wesley (translation)
- Eisenbud, David; Harris, Joe (2000), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98638-8, doi:10.1007/b97680.
- Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ur. (2008), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11880-2
- Itô, Kiyosi, ur. (1993), Encyclopedic dictionary of mathematics (second izd.), Mathematical society of Japan (original), MIT press (translation)
- Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th izd.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
- Artin, Emil (1988) [1957], Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., str. x+214, ISBN 0-471-60839-4, MR 1009557, doi:10.1002/9781118164518
- Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th izd.). Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0.
- Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
- Aldrovandi, Ruben; Pereira, José Geraldo (2017), An Introduction to Geometrical Physics (2nd izd.), Hackensack, New Jersey: World Scientific, str. 20, ISBN 978-981-3146-81-5, MR 3561561
- Arkhangel'skii, A. V.; Pontryagin, L. S. (1990), General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer, ISBN 3-540-18178-4
- Bryant, Victor (1985). Metric spaces: Iteration and application. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31897-1.
- Buldygin, V. V.; Kozachenko, Yu. V. (2000), Metric Characterization of Random Variables and Random Processes, Translations of Mathematical Monographs, 188, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, str. 129, ISBN 0-8218-0533-9, MR 1743716, doi:10.1090/mmono/188
- Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001). A course in metric geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6.
- Cohen, Andrew R.; Vitányi, Paul M. B. (2012), „Normalized compression distance of multisets with applications”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 37 (8): 1602—1614, PMC 4566858 , PMID 26352998, arXiv:1212.5711 , doi:10.1109/TPAMI.2014.2375175
- Deza, Michel Marie; Laurent, Monique (1997), Geometry of Cuts and Metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, str. 27, ISBN 3-540-61611-X, MR 1460488, doi:10.1007/978-3-642-04295-9
- Fraigniaud, P.; Lebhar, E.; Viennot, L. (2008), „The inframetric model for the internet”, 2008 IEEE INFOCOM - The 27th Conference on Computer Communications, str. 1085—1093, CiteSeerX 10.1.1.113.6748 , ISBN 978-1-4244-2026-1, S2CID 5733968, doi:10.1109/INFOCOM.2008.163
- Gromov, Mikhael (2007). Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4582-3.
- Heinonen, Juha (2001). Lectures on analysis on metric spaces. New York: Springer. ISBN 0-387-95104-0.
- Heinonen, Juha (24. 1. 2007). „Nonsmooth calculus”. Bulletin of the American Mathematical Society. 44 (2): 163—232. doi:10.1090/S0273-0979-07-01140-8 .
- Helemskii, A. Ya. (2006), Lectures and Exercises on Functional Analysis, Translations of Mathematical Monographs, 233, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, str. 14, ISBN 978-0-8218-4098-6, MR 2248303, doi:10.1090/mmono/233
- Pascal Hitzler; Anthony Seda (19. 4. 2016). Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics. CRC Press. ISBN 978-1-4398-2962-2.
- Lawvere, F. William (decembar 1973). „Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. 43 (1): 135—166. S2CID 1845177. doi:10.1007/BF02924844.
- Margalit, Dan; Thomas, Anne (2017). „Office Hour 7. Quasi-isometries”. Office hours with a geometric group theorist. Princeton University Press. str. 125—145. ISBN 978-1-4008-8539-8. JSTOR j.ctt1vwmg8g.11.
- Šablon:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
- Ó Searcóid, Mícheál (2006). Metric spaces. London: Springer. ISBN 1-84628-369-8.
- Papadopoulos, Athanase (2014). Metric spaces, convexity, and non-positive curvature (Second izd.). Zürich, Switzerland: European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-132-3.
- Rolewicz, Stefan (1987). Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems. Springer. ISBN 90-277-2186-6.
- Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (Third izd.). New York. ISBN 0-07-054235-X. OCLC 1502474.
- Smyth, M. (1987), „Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces”, Ur.: Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, 298, Springer-Verlag, str. 236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology. Dover. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.
- Vitányi, Paul M. B. (2011). „Information distance in multiples”. IEEE Transactions on Information Theory. 57 (4): 2451—2456. S2CID 6302496. arXiv:0905.3347 . doi:10.1109/TIT.2011.2110130.
- Väisälä, Jussi (2005). „Gromov hyperbolic spaces” (PDF). Expositiones Mathematicae. 23 (3): 187—231. MR 2164775. doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010 .
- Vickers, Steven (2005). „Localic completion of generalized metric spaces, I”. Theory and Applications of Categories. 14 (15): 328—356. MR 2182680. Arhivirano iz originala 26. 04. 2021. g. Pristupljeno 27. 06. 2023.
- Xia, Qinglan (2008). „The geodesic problem in nearmetric spaces”. Journal of Geometric Analysis. 19 (2): 452—479. S2CID 17475581. arXiv:0807.3377 . doi:10.1007/s12220-008-9065-4.
- Xia, Q. (2009). „The geodesic problem in quasimetric spaces”. Journal of Geometric Analysis. 19 (2): 452—479. S2CID 17475581. arXiv:0807.3377 . doi:10.1007/s12220-008-9065-4.
Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]
- Topološki prostori na sajtu PlanetMath, pristupljeno: 17. oktobar 2014.