Ред 76:
Ред 76:
[[Категорија:Фибоначијеви бројеви]]
[[Категорија:Фибоначијеви бројеви]]
[[Категорија:Целобројни низови]]
[[Категорија:Целобројни низови]]
[[bn:লুকাস ধারা]]
[[de:Lucas-Folge]]
[[fr:Suite de Lucas]]
[[he:סדרת לוקאס]]
[[nl:Rij van Lucas]]
[[pt:Sequência de Lucas]]
Дефиниција
Слично Фибоначијевим бројевима, сваки Лукас број је дефинисан збиром своја два непосредно претходна термина, чиме се формира
Фибоначијев целобројни ред . Прва два Лукас броја су
Л 0 = 2 и
Л 1 = 1 за разлику од прва два Фибоначијева број
Ф 0 = 0 и
Ф 1 = 1. Иако уско повезани у дефиницији, Лукас и Фибоначијеви бројеви показују различите особине.
Лукас бројеви могу бити дефинисани на следећи начин:
L
n
:=
{
2
if
n
=
0
;
1
if
n
=
1
;
L
n
−
1
+
L
n
−
2
if
n
>
1.
{\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{if }}n>1.\\\end{cases}}}
Ред Лукас бројева је:
2
,
1
,
3
,
4
,
7
,
11
,
18
,
29
,
47
,
76
,
123
,
…
{\displaystyle 2,\;1,\;3,\;4,\;7,\;11,\;18,\;29,\;47,\;76,\;123,\;\ldots \;}
(секвенца A000032 у OEIS )OEIS).
Сви цели бројеви слични Фибоначијевом реду се појављују у облику померања као ред
Вајтоф низа ;Фибоначијев сам ред је први ред и Лукас ред је други ред. Такође, као сви цели бројеви слични Фибоначијевом реду, однос између два узастопна Лукас броја
конвергира од
златног пресека .
Проширење до негативних целих бројева
Користећи Л н −2 = Л н − Л н −1 , можемо проширити Лукас бројеве до негативних целих бројева да добијемо двоструки бесконачни низ:
..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... термини
L
n
{\displaystyle L_{n}}
за
−
5
≤
n
≤
5
{\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}
су показани).
Формула за термине са негативним индексом у овом низу је
L
−
n
=
(
−
1
)
n
L
n
.
{\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}
Повезаност са Фибоначијевим бројевима
Лукас бројеви су повезани са Фибоначијевим бројевима идентитетима
L
n
=
F
n
−
1
+
F
n
+
1
=
F
n
+
2
F
n
−
1
=
F
n
+
2
−
F
n
−
2
{\displaystyle \,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}}
L
m
+
n
=
L
m
+
1
F
n
+
L
m
F
n
−
1
{\displaystyle \,L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}
L
n
2
=
5
F
n
2
+
4
(
−
1
)
n
{\displaystyle \,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}
, и како се
n
{\displaystyle n\,}
приближава +∞, однос
L
n
F
n
{\displaystyle {\frac {L_{n}}{F_{n}}}}
се приближава
5
.
{\displaystyle {\sqrt {5}}.}
F
2
n
=
L
n
F
n
{\displaystyle \,F_{2n}=L_{n}F_{n}}
F
n
+
k
+
(
−
1
)
k
F
n
−
k
=
L
k
F
n
{\displaystyle \,F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}
F
n
=
L
n
−
1
+
L
n
+
1
5
=
L
n
−
3
+
L
n
+
3
10
{\displaystyle \,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}={L_{n-3}+L_{n+3} \over 10}}
Њихова затворена формула је дата као:
L
n
=
φ
n
+
(
1
−
φ
)
n
=
φ
n
+
(
−
φ
)
−
n
=
(
1
+
5
2
)
n
+
(
1
−
5
2
)
n
,
{\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}
где је
φ
{\displaystyle \varphi }
такође златни пресек . Алтернативно, како је за
n
>
1
{\displaystyle n>1}
величина термина
(
−
φ
)
−
n
{\displaystyle (-\varphi )^{-n}}
мања од 1/2,
L
n
{\displaystyle L_{n}}
је најближи цео број броју
φ
n
{\displaystyle \varphi ^{n}}
или, еквивалентно, целобројни део
φ
n
+
1
/
2
{\displaystyle \varphi ^{n}+1/2}
, пише се и као
⌊
φ
n
+
1
/
2
⌋
{\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }
.
Насупрот томе, како Бинетова формула даје:
F
n
=
φ
n
−
(
1
−
φ
)
n
5
,
{\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,}
имамо:
φ
n
=
L
n
+
F
n
5
2
.
{\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}
Односи подударности
Ако је Ф н ≥ 5 Фибоначијев број онда ниједан Лукас број није дељив Ф н.
Л н је у складу за 1 мод н ако је н прост број, али неке композитне вредности н- а такође имају ову особину.
Лукас прости бројеви
Лукас прост број је Лукас број који је прост . Првих неколико Лукас простих бројева су -ом
2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (секвенца A005479 у OEIS ).
За ове нс су
0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (секвенца A001606 у OEIS ).
Ако је Лн прост број онда је н или 0, прост, или снага 2.[ 1] Л 2м је прост број за м = 1, 2, 3, и 4 и нема више познатих вредности за м .
Лукас полиноми
На исти начин на који су Фибоначијеви полиноми изведени из Фибоначијевих бројева , Лукас полиноми Л н (x ) су полиноми реда изведени из Лукас бројева.
Види још
Референце
Спољашње везе
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Lucas polynomials" , Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W., "Lucas Number" , MathWorld .
Weisstein, Eric W., "Lucas Polynomial" , MathWorld .
Dr Ron Knott
Lucas numbers and the Golden Section
A Lucas Number Calculator can be found here.
(sequence A000032 in OEIS) Lucas Numbers in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
По формули Целобројни редови По особинама Зависни од основе Обрасци
Двоструки (p , p + 2)
Дупло двоструки прост број (p − 1, p + 1, 2p − 1, 2p + 1, …)
Троструки (p , p + 2 or p + 4, p + 6)
Четвороструки (p , p + 2, p + 6, p + 8)
k −струки
Сродни (p , p + 4)
Секси (p , p + 6)
Чен
Софи Жермен (p , 2p + 1)
Кунингам чем (p , 2p ± 1, …)
Безбедан (p , (p − 1)/2)
Аритметичка прогресија (p + a·n , n = 0, 1, …)
Балансирани (узастопни p − n , p , p + n )
По величини Комплексни бројеви Композитни бројеви Повезане теме Првих 100 простих бројева