Пређи на садржај

Тополошки простор

С Википедије, слободне енциклопедије

Тополошки простори су математичке структуре које омогућавају формалну дефиницију појмова као што су конвергенција, повезаност и непрекидност. Они се јављају у практично свим гранама модерне математике. Грана математике која проучава саме тополошке просторе се назива топологија.[1][2][3]

Тополошки простор је најопштији тип математичког простора[4][5][6] који омогућава дефинисање граница, континуитета и повезаности.[7][8] Уобичајени типови тополошких простора укључују еуклидске просторе,[9] метричке просторе[10] и многострукости.

Дефиниција

[уреди | уреди извор]

Тополошки простор је уређени пар скупа X и колекције подскупова од X (подскуп партитивног скупа X) у ознаци , који задовољавају следеће особине:

  1. празан скуп и X налазе се у .
  2. унија свих колекција скупова из је такође скуп у .
  3. пресек сваке коначне колекције скупова из је такође у .

Колекција се назива топологијом над X. Елементи скупа X се обично називају тачкама, мада могу бити произвољни математички објекти. Тополошки простор у коме су тачке представљене неким функцијама, назива се функционални или функцијски простор.

Скупови у су отворен скупови, а њихови комплементи у X су затворени скупови. Произвољни подскуп од X може бити отворен, затворен, и отворен и затворен истовремено или нити отворен, нити затворен.

Покривач скупа X је скуп подскупова у X такав да њихова унија даје цео скуп X. Покривач скупа је отворен, ако се састоји од отворених скупова.[11]

Околина тачке x је сваки скуп који садржи отворен скуп у којем се налази x. Систем околине на x се састоји од свих околина од x. Топологију може да одреди скуп аксиома које се тичу свих система околина.

Четири примера и два контрапримера топологија над скупом од три тачке, {1, 2, 3}. Доњи леви пример није топологија јер недостаје {2,3}, унија {2} и {3}; доњи десни пример није топологија јер недостаје {2} пресек {1,2} и {2,3}.
  • Специјални тополошки простори у зависности од топологије :
  1. Тривијална топологија је топологија коју чине само произвољан скуп X и колекција = {, X} која се састоји од само два обавезна подскупа који морају да је чине по дефиницији тополошког простора, од празног и целог скупа.
  2. Дискретна топологија је топологија која се састоји од произвољног скупа X и колекције = P(X), која је највећи могући подскуп партитивног скупа од X, тј. овде је топологија цео партитивни скуп од X.
  3. Код бесконачних скупова, када је нпр. X = и колекција је једнака унији свих коначних подскупова целих бројева и целог скупа , овако формирани уређени пар није тополошки простор, јер није топологија, пошто постоје бесконачни скупови елемената из Х који се не налазе у .

Еквивалентне дефиниције

[уреди | уреди извор]

Осим наведене дефиниције, еквивалентни тополошки простор се може дефинисати и преко затворених скупова:

Тополошки простор је уређени пар скупа X и колекције подскупова од X који задовољавају следеће аксиоме:

  1. Празан скуп и X су у .
  2. Пресек сваке колекције скупова из је такође у .
  3. унија сваког пара скупова из је такође у .

Еквивалентност дефиниција тополошког простора преко отворених и затворених скупова се добија преко де Морганових закона, када аксиоме које дефинишу отворене скупове постају аксиоме које дефинишу затворене скупове:

  1. Празан скуп и X су затворени.
  2. Пресек сваке колекције затворених скупова је такође затворен.
  3. Унија сваког пара затворених скупова је такође затворена.

По овој дефиницији тополошког простора, скупови у топологији су затворени скупови, а њихови комплементи у X су отворени скупови.

Још један начин за дефинисање тополошког простора је коришћењем аксиома затворености Куратовског, које дефинишу затворене скупове као фиксне тачке оператора над партитивним скупом од X.

Поређење топологија

[уреди | уреди извор]

Над истим скупом може постојати више топологија тако да граде различите тополошке просторе.

Топологија је грубља (мања, слабија) од , односно, топологија је финија (већа, јача) од топологије ако важи да је сваки скуп из топологије истовремено садржан у топологији . Овакво поређење топологија се записује: > .

Доказ који се ослања само на постојање одређених отворених скупова ће уједно важити и на финијој топологији, и слично, доказ који се ослања само на то да одређени скупови нису отворени ће важити и на свакој грубљој топологији.

Непрекидне функције

[уреди | уреди извор]

За функцију између два тополошка простора се каже да је непрекидна ако је инверзна слика сваког отвореног скупа отворена.

Хомеоморфизам је бијекција која је непрекидна и чији је и инверз такође непрекидан. За два простора се каже да су хомеоморфна ако постоји хомеоморфизам између њих. Са гледишта топологије, хомеоморфни простори су у суштини идентични.

Референце

[уреди | уреди извор]
  1. ^ Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2 
  2. ^ Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], „Chapter XVIII Topology”, Ур.: Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A., Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd изд.), The M.I.T. Press 
  3. ^ Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press 
  4. ^ Carlson, Kevin (2. 8. 2012). „Difference between 'space' and 'mathematical structure'?”. Stack Exchange. 
  5. ^ Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the history of mathematicsНеопходна слободна регистрација. Masson (original), Springer (translation). ISBN 978-3-540-64767-6. doi:10.1007/978-3-642-61693-8. 
  6. ^ Gray, Jeremy (1989). Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean and RelativisticНеопходна слободна регистрација (second изд.). Clarendon Press. ISBN 978-0198539353. 
  7. ^ Schubert 1968, p. 13
  8. ^ Sutherland, W. A. (1975). Introduction to metric and topological spaces. Oxford [England]: Clarendon Press. ISBN 0-19-853155-9. OCLC 1679102. 
  9. ^ Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd изд.). New York: Dover. „"Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions." 
  10. ^ Čech, Eduard (1969). Point Sets. Academic Press. ISBN 0121648508. 
  11. ^ Хилбертови простори и групе, Милан Дамњановић, приступљено: 17.10.2014.

Литература

[уреди | уреди извор]

Спољашње везе

[уреди | уреди извор]