Степеновање

Друга значења су пописана у чланку Степен (вишезначна одредница).

Степеновање је математичка бинарна операција, у запису a^b. У овом запису a се назива основа, а b експонент. Чита се „a на b-ти степен“ или краће „a на b“, где је a кардинални, а b редни (ординални) број; на пример, 5⁷ се чита „пет на седми (степен)“.

Ако је n ∈ ℕ, онда степен представља основу помножену самом собом n пута:

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n.$

Особине степеновања

Степеновање има виши приоритет од множења. a^bc значи a^(bc), а не (a^b)^c.

За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно (пример:2³ = 8 ≠ 3² = 9), нити асоцијативно $a^{(b^c)} \ne {(a^b)}^c$.

1. a^c · b^c = (a · b)^c
2. a^b · a^c = a^{b + c}
3. a^b : a^c = a^{b − c} (за a ≠ 0)
4. (a^b)^c = a^{b · c}

Последица особине 3 су

• a⁰ = a^{b − b} = a^b : a^b = 1
• a^−b = a^{0 − b} = 1 / a^b

чиме се, полазећи од дефиниције степеновања са експонентом који је природан (односно позитиван цео) број, дефинише степеновање за сваки целобројни експонент.

Степеновање са нецелобројним експонентима

Рационални експонент

По дефиницији,

$a^{1/b} = \sqrt[b]{a}$

Нека је експонент b ∈ ℚ рационалан број. Тада се може написати b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, при чему је

$a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p} = (\sqrt[q]{a})^p$

Како парни коренови негативних бројева нису дефинисани, то није дефинисано ни $a^{p/q}$ за парно q и негативно a.

Ирационални експонент

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број. Тада је вредност a^b дефинисана само за a ∈ ℝ⁺, као гранична вредност

$\lim_{p/q\to b}a^{p/q}$

степена a^{p / q} са рационалним експонентима p / q, који теже ка датом експоненту b.

Конкретна нумеричка вредност рачуна се преко приближних вредности, са жељеном прецизношћу експонента. Нпр, ако је x = a^π, тада је a^3,141 < x < a^3,142.

Степеновање комплексних бројева

За више информација погледајте чланак Комплексан број

Како се сваки комплексан број z ∈ ℂ може записати у облику $z = \rho e^{i \phi}$ (видети Ојлерову формулу) то важи

$z^x = (\rho e^{i \phi})^x = \rho ^ x e^{i x \phi}$.

Степеновање матрица

Степеновање матрица идентично је по дефиницији степеновању реалних бројева са природним експонентима. Дефинисано је за квадратне матрице и природан број као експонент.

Инверзне функције

Из степеновања се могу извести две функције, у зависности од тога да ли је независна променљива основа или експонент. Први случај даје степену функцију ($y = x^k$), а други експоненцијалну функцију ($y = k^x$).

Инверзна функција степеној функцији је корена функција ($y = \sqrt[k]{x}$).

Инверзна функција експоненцијалне функције је логаритамска функција ($y = \log_k x$).

Види још

• е – основа природног логаритма
• Степена функција
• Експоненцијална функција
• Корен
• Логаритам