Maksvel–Bolcmanova distribucija

U fizici (posebno u statističkoj mehanici), Maksvel-Bolcmanova raspodela je posebna distribucija verovatnoće nazvana po Džejmsu Klerku Maksvelu i Ludvigu Bolcmanu.

Prvo je definisana i korišćena za opisivanje brzina čestica u idealnim gasovima, gde se čestice slobodno kreću unutar nepokretnog kontejnera bez međusobne interakcije, izuzev vrlo kratkih sudara u kojima međusobno ili sa svojim okruženjem razmenjuju energiju i momentum. Termin „čestica“ u ovom kontekstu odnosi se samo na gasovite čestice ( atome ili molekule), a pretpostavlja se da je sistem čestica dostigao termodinamičku ravnotežu . Energije takvih čestica prate ono što je poznato kao Maksvel-Bolcmanova statistika, a statistička raspodela brzina izvedena je izjednačavanjem energija čestica sa kinetičkom energijom .

Matematički, Maksvel-Bolcmanova raspodela je hi distribucija sa tri stepena slobode (komponente vektora brzine u Euklidovom prostoru), sa parametrom skale koji meri brzine u jedinicama proporcionalnim kvadratnom korenu od $T/m$ (odnos temperature i mase čestica).

Maksvel-Bolcmanova raspodela rezultat je kinetičke teorije gasova, koja pruža pojednostavljeno objašnjenje mnogih osnovnih gasnih svojstava, uključujući pritisak i difuziju . Maksvel-Bolcmanova raspodela se u osnovi primenjuje na brzine čestica u tri dimenzije, ali se ispostavilo da zavisi samo od brzine ( iznosa brzine) čestica. Raspodela verovatnoće brzine čestice ukazuje na to koje su brzine verovatnije: čestica će imati brzinu slučajno odabranu iz raspodele i veća je verovatnoća da će biti unutar jednog opsega brzina od drugog. Kinetička teorija gasova odnosi se na klasični idealan gas, koji je idealizacija stvarnih gasova. U stvarnim gasovima postoje različiti efekti (npr. Van der Valsove interakcije, vrtložni tok, relativistička ograničenja brzine i interakcije kvantne razmene ) koji mogu učiniti njihovu raspodelu brzine drugačijom od Maksvel-Bolcmanovog modela. Međutim, razređeni gasovi na uobičajenim temperaturama ponašaju se gotovo kao idealan gas i Maksvelova raspodela brzine je odlična aproksimacija za takve gasove. Idealne plazme, koje su jonizovani gasovi sa dovoljno malom gustinom, često imaju i raspodelu čestica koja je delimično ili u potpunosti maksvelovska.

Distribuciju je prvi izveo Maksvel 1860. godine na heurističkim osnovama. Bolcman je kasnije, 1870-ih, sproveo značajna istraživanja fizičkog porekla ove distribucije.

Distribucija se može izvesti na osnovu toga što maksimalizuje entropiju sistema. Spisak izvoda su:

1. Maksimalna raspodela verovatnoće entropije u faznom prostoru, sa ograničenjem očuvanja prosečne energije$\langle H\rangle =E$ ;
2. Kanonski ansambl .

Funkcija distribucije

Pod pretpostavkom da sistem od interesa sadrži veliki broj čestica, udeo čestica unutar beskonačno malog elementa trodimenzionalnog prostora brzine,$d^{3}v$, centriran na vektor brzine veličine$v$, je$f(v)d^{3}v$, u kojima

$f(v)~\mathrm {d} ^{3}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} ^{3}v,$

gde je $m$ masa čestica i $kT$ je proizvod Bolcmanove konstantne i termodinamičke temperature .

Funkcije gustine verovatnoće brzine brzine nekoliko plemenitih gasova na temperaturi od 298,15 K (25 °C). I osa je S / M, tako da površina pod bilo kojim sekcije krive (koja predstavlja verovatnoću brzine bića u tom opsegu) je bez dimenzija.

Element prostora brzine možemo zapisati kao d$^{3}v$ = d$v_{x}$ d$v_{y}$ d$v_{z}$, za brzine u standardnom kartezijanskom koordinatnom sistemu ili kao d$^{3}v$ =$v^{2}$ d$v$ d$\Omega$ u standardnom sfernom koordinatnom sistemu, gde d$\Omega$ je element punog ugla. U ovom slučaju, $f(v)$ je data kao funkcija raspodele verovatnoće, pravilno normalizovana tako da$\int f(v)$ d$^{3}v$ preko svih brzina jednaka je jedan. U fizici plazme, raspodela verovatnoće se često pomnoži sa gustinom čestica, tako da je integral rezultujuće funkcije raspodele jednak gustini.

Maksvelova funkcija raspodele za čestice koje se kreću samo u jednom smeru, ako je ovaj pravac $x$, je

$f(v_{x})~\mathrm {d} v_{x}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{1/2}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} v_{x},$

koji se mogu dobiti integrisanjem trodimenzionalne forme dane iznad $v_{y}$ i$v_{z}$ .

Prepoznavši simetriju $f(v)$, može se integrisati preko punog ugla i napisati raspodela verovatnoće brzina kao funkcija

$f(v)~\mathrm {d} v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,4\pi v^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} v,$

Ova funkcija gustine verovatnoće daje verovatnoću, po jedinici brzine, nalaženja čestice brzinom blizu $v$ . Ova jednačina je jednostavno Maksvel-Bolcmanova raspodela (data u info kutiji) sa parametrom raspodele$a={\sqrt {kT/m}}$ . Maksvel-Bolcmanova raspodela ekvivalentna je hi distribuciji sa tri stepena slobode i parametrom skale $a={\sqrt {kT/m}}$ .

Najjednostavnija obična diferencijalna jednačina koju zadovoljava raspodela je:

$kTvf'(v)+f(v)(mv^{2}-2kT)=0,$

$f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {m}{2kT}}}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}$

ili predstavljeno bez jedinice:

$a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x)=0,$

$f(1)={\frac {{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {1}{2a^{2}}}}}{a^{3}}}.$

Darvin-Fovler-ovom metodom srednjih vrednosti dobija se Maksvel-Bolcmanova raspodela kao tačan rezultat.

Odnos prema 2D Maksvel-Bolcmanovoj raspodeli

Simulacija 2D gasa koji se relaksira prema Maksvel-Bolcmanovoj raspodeli brzine

Za čestice ograničene da se kreću u ravni, raspodela brzine je data sa

$P(s<|{\vec {v}}|<s+ds)={\frac {ms}{kT}}\exp {\bigg (}-{\frac {ms^{2}}{2kT}}{\bigg )}ds$

Ova raspodela se koristi za opis sistema u ravnoteži. Međutim, većina sistema ne započinje u ravnotežnom stanju. Evolucijom sistema ka njegovom ravnotežnom stanju upravlja Bolcmanova jednačina . Jednačina predviđa da će za interakcije kratkog dometa ravnotežna raspodela brzine slediti Maksvel-Bolcmanovu raspodelu. Desno je simulacija molekularne dinamike (MD) u kojoj je 900 čestica tvrde sfere ograničeno da se kreće u pravougaoniku. Oni komuniciraju pomoću savršeno elastičnih sudara. Sistem se pokreće iz ravnoteže, ali raspodela brzine (u plavoj boji) brzo konvergira u 2D Maksvel-Bolcman raspodelu (u narandžastoj boji).

Tipične brzine

Maksvel-Bolcmanova raspodela koja odgovara solarnoj atmosferi. Mase čestica su jedna protonska masa, $m=1{\text{ amu}}=1.67\times 10^{-24}{\text{ g }}$, a temperatura je efektivna temperatura sunčeve fotosfere, $T=5800{\text{ K }}$ .${\tilde {V}},{\bar {V}},{\text{ and }}V_{\text{rms}}$ označavaju najverovatnije, srednje i srednje srednje kvadratne brzine. Njihove vrednosti su${\tilde {V}}\approx 9.79{\text{ km/s, }}$${\bar {V}}\approx 11.05{\text{ km/s, }}$ i$V_{\text{rms}}\approx 12.00{\text{ km/s }}$ .

Srednja brzina $\langle v\rangle$, najverovatnija brzina ( režim) v_p i srednja kvadratna brzina${\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}$ mogu se dobiti iz svojstava Maksvelove raspodele.

Ovo dobro funkcioniše za gotovo idealne, monatomske gasove poput helijuma, ali i za molekularne gasove poput dvoatomskog kiseonika . To je zato što, uprkos većem toplotnom kapacitetu (većoj unutrašnjoj energiji pri istoj temperaturi) zbog većeg broja stepeni slobode, njihova translaciona kinetička energija (a samim tim i brzina) ostaje nepromenjena.

$=\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}\ e^{-bv^{2}}dv\right)^{1/2}\,\!$

$=\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {\pi }{b^{5}}}}\right)^{1/2}=\left({\frac {3}{2b}}\right)^{1/2}\,\!$

$={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{p}$}}-->Ukratko, tipične brzine su povezane na sledeći način:

$v_{p}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.$

Srednja kvadratna brzina direktno je povezana sa brzinom zvuka c u gasu, za

$c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{p},$

gde$\gamma =1+{\frac {2}{f}}$ je adijabatski indeks, f je broj stepena slobode pojedinačnog molekula gasa. Za gornji primer, dvoatomni azot (približni vazduh) na 7002300000000000000♠300, $f=5$ i

$c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{p}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,$

prava vrednost vazduha se može aproksimalizovati korišćenjem prosečne molarne težine vazduha ( 7001290000000000000♠29 ), dajući 7002347000000000000♠347 na 7002300000000000000♠300 (korekcije za promenljivu vlažnost vazduha su reda od 0,1% do 0,6%).

Prosečna relativna brzina

$v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|\rangle =\int \!d^{3}v_{1}d^{3}v_{2}|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle$

gde je trodimenzionalna raspodela brzine

$f({\vec {v}})\equiv {\frac {1}{(2\pi kT/m)^{3/2}}}e^{-{\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}/kT}.$

Integral se lako može izvršiti promenom na koordinate${\vec {u}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$ i${\vec {U}}={\frac {{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}}{2}}.$

Izvođenje i srodne distribucije

Maksvel – Bolcman statistika

Prvobitno izvođenje iz 1860. godine Džejmsa Klerka Maksvela bio je argument zasnovan na molekularnim sudarima kinetičke teorije gasova kao i određenim simetrijama u funkciji raspodele brzine; Maksvel je takođe dao rani argument da ovi molekularni sudari imaju tendenciju ka ravnoteži. Posle Maksvela, Ludvig Bolcman je 1872. godine takođe izveo raspodelu na mehaničkim osnovama i tvrdio da bi gasovi vremenom trebalo da teže ka toj raspodeli, usled sudara (vidi H-teoremu ). Kasnije (1877) je ponovo izveo raspodelu u okviru statističke termodinamike . Izvodi u ovom odeljku su u skladu sa Bolcmanovim izvođenjem iz 1877. godine, počev od rezultata poznatog kao Maksvel -Bolcman statistika (iz statističke termodinamike). Maksvel -Bolcmanova statistika daje prosečan broj čestica pronađenih u datom jednočestičnom mikrostanju. Pod određenim pretpostavkama, logaritam frakcije čestica u datom mikrostanju srazmeran je odnosu energije tog stanja i temperature sistema:

$-\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)\propto {\frac {E_{i}}{T}}.$

Pretpostavke ove jednačine su da čestice ne interaguju međusobno i da su klasične; to znači da se stanje svake čestice može smatrati nezavisno od stanja ostalih čestica. Pored toga, pretpostavlja se da su čestice u toplotnoj ravnoteži.

Ova veza se može napisati kao jednačina uvođenjem normalizujućeg faktora:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp(-E_{i}/kT)}{\sum _{j}\exp(-E_{j}/kT)}}$

(1)

gde:

• N_i je očekivani broj čestica u jednočestičnom mikrostanju i,
• N je ukupan broj čestica u sistemu,
• E_i je energija mikrostanja i,
• zbir nad indeksom j uzima u obzir sva mikrostanja,
• T je ravnotežna temperatura sistema,
• k je Bolcmanova konstanta .

Denominator u jednačini ( 1 ) je jednostavno normalizujući faktor tako da odnosi$N_{i}:N$ doprinose jedinstvu- drugim rečima, to je neka vrsta particijske funkcije (za jednoparticijski sistem, a ne uobičajena particijska funkcija čitavog sistema).

Budući da su brzina i velocitet povezani sa energijom, jednačina ( 1 ) se može koristiti za dobijanje odnosa između temperature i brzine čestica gasa. Sve što je potrebno je otkriti gustinu mikrostanja u energiji, koja se određuje podelom prostora impulsa na regione jednake veličine.

Raspodela vektora impulsa

Za potencijalnu energiju se uzima nula, tako da je sva energija u obliku kinetičke energije. Odnos između kinetičke energije i impulsa za masivne nerelativističke čestice je

$E={\frac {p^{2}}{2m}}$

(2)

gde je p ² kvadrat impulsnog vektora p = [ p _k,  p _i,  p _z ]. Stoga jednačinu ( 1 ) možemo prepisati kao:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}}\right]$

(3)

gde je Z particijska funkcija, koja odgovara denominatoru u jednačini ( 1 ). Ovde je m molekulska masa gasa, T termodinamička temperatura i k Bolcmanova konstanta . Ova distribucija$N_{i}:N$ je proporcionalan funkciji gustine verovatnoće f _p za pronalaženje molekula sa ovim vrednostima komponenti impulsa, pa:

$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]$

(4)

Normalizujuća konstanta može se odrediti prepoznavanjem da verovatnoća molekula ima određeni zamah mora biti 1. Integrisanjem eksponencijala u ( 4 ) po svim p_k,p _y i pz dobija se faktor od

$\iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]dp_{x}\ dp_{y}\ dp_{z}={({\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}})^{3}}$

Tako da je normalizovana funkcija raspodele:

$z=re^{i\phi }=x+iy\,\!$

Smatra se da je raspodela proizvod tri nezavisne normalno distribuirane promenljive$p_{x}$, $p_{y}$, i$p_{z}$, sa odstupanjem$mkT$ . Pored toga, može se videti da će veličina momentuma biti raspoređena kao Maksvel-Bolcmanova raspodela, sa$a={\sqrt {mkT}}$ . Maksvel-Bolcmanova raspodela za impuls (ili jednako za brzine) može se temeljnije dobiti pomoću H-teoreme u ravnoteži u okviru kinetičke teorije gasnih okvira.

Raspodela energije

Raspodela energije je impozantna

$f_{E}(E)dE=f_{p}({\textbf {p}})d^{3}{\textbf {p}},$

(7)

gde$d^{3}{\textbf {p}}$ je beskonačno mali zapreminski prostor impulsa faznog prostora koji odgovara energetskom intervalu$dE$ . Koristeći sfernu simetriju odnosa disperzije energije i impulsa$E=|{\textbf {p}}|^{2}/2m$, ovo se može izraziti u$dE$ na sledeći način :

$d^{3}{\textbf {p}}=4\pi |{\textbf {p}}|^{2}d|{\textbf {p}}|=4\pi m{\sqrt {2mE}}dE.$

(8)

Koristeći tada ( 8 ) u ( 7 ) i izražavajući sve u smislu energije$E$, dobijamo

$f_{E}(E)dE={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}e^{-E/kT}4\pi m{\sqrt {2mE}}dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\left({\frac {1}{kT}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-E}{kT}}\right)dE$

$z=re^{i\phi }=x+iy\,\!$

Budući da je energija proporcionalna zbiru kvadrata tri normalno raspoređene komponente impulsa, ova raspodela energije može se zapisati ekvivalentno gama raspodeli, koristeći parametar oblika,${k}_{shape}=3/2$ i parametar skale,${\theta }_{scale}=kT$ .

Koristeći teoremu o ravnoteži, s obzirom da je energija ravnomerno raspoređena između sva tri stepena slobode u ravnoteži, takođe možemo podeliti$f_{E}(E)dE$ u skup hi-kvadrat distribucija, gde energija po stepenu slobode,$\epsilon$, distribuira se kao hi-kvadrat distribucija sa jednim stepenom slobode,

$f_{\epsilon }(\epsilon )\,d\epsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \epsilon kT}}}~\exp \left[{\frac {-\epsilon }{kT}}\right]\,d\epsilon$

U ravnoteži, ova raspodela će važiti za bilo koji broj stepeni slobode. Na primer, ako su čestice rigidni maseni dipoli fiksnog dipolnog momenta, imaće tri translaciona stepena slobode i dva dodatna rotaciona stepena slobode. Energija u svakom stepenu slobode biće opisana prema gornjoj hi-kvadrat raspodeli sa jednim stepenom slobode, a ukupna energija biće raspoređena prema hi-kvadrat distribuciji sa pet stepena slobode. To ima implikacije u teoriji specifične toplote gasa.

Maksvel-Bolcman-ova raspodela se takođe može dobiti uzimajući u obzir da je gas vrsta kvantnog gasa za koji se može izvršiti aproksimacija ε >> k T.

Raspodela za vektor brzine

Shvatajući da je gustina verovatnoće brzine f _v proporcionalna funkciji gustine verovatnoće impulsa za

$f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v$

i koristeći p = m v dobijamo

$f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right]$

što je Maksvel-Bolcmanova raspodela brzine. Verovatnoća pronalaska čestice brzinom u beskonačno malom elementu [ dv _k,  dv _y, dv _z ] o brzini v = [ v_k, v _y,  v z] je

$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.$

Kao i momentum, i za ovu raspodelu se vidi da je proizvod tri nezavisne normalno distribuirane promenljive$v_{x}$, $v_{y}$, i$v_{z}$, ali sa odstupanjem${\frac {kT}{m}}$ . Takođe se može videti da je Maksvel-Bolcmanova raspodela brzine za vektorsku brzinu [v _k,  v _y,  _vz ] je umnožak raspodele za svaki od tri pravca:

$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})$

gde je raspodela za jedan pravac

$f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].$

Svaka komponenta vektora brzine ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću$\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ i standardna devijacija$\sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}$, tako da vektor ima trodimenzionalnu normalnu raspodelu, određenu vrstu multivarijantne normalne raspodele, sa srednjom vrednosti$\mu _{\mathbf {v} }={\mathbf {0} }$ i kovarijancija$\Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {kT}{m}}\right)I$, gde$I$ je$3\times 3$ identitet matrica.

Raspodela brzine

Maksvel-Bolcmanova raspodela brzine sledi neposredno iz raspodele vektora brzine, gore. Imajte na umu da je brzina

$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$

a element zapremine u sfernim koordinatama

$dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}dv\,d\Omega$

gde$\phi$ i$\theta$ su sferni koordinatni uglovi vektora brzine. Integracija funkcije gustine verovatnoće brzine preko punih uglova$d\Omega$ daje dodatni faktor od$4\pi$ . Raspodela brzine sa zamenom brzine za zbir kvadrata vektorskih komponenata:

$f(v)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}v^{2}\exp \left[-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right].$

U n -dimenzionalnom prostoru

U n- dimenzionalnom prostoru Maksvel-Bolcmanova raspodela postaje:

$f(v)~\mathrm {d} ^{n}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{n/2}\,e^{-{\frac {m|v|^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} ^{n}v$

Distribucija brzine postaje:

$f(v)~\mathrm {d} v={\text{const.}}\times e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\times v^{n-1}~\mathrm {d} v$

Sledeći integralni rezultat je koristan:

${\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }v^{a}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}dx^{\frac {1}{2}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}{\frac {x^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}dx\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}{\frac {\Gamma ({\frac {a+1}{2}})}{2}}\end{aligned}}$

gde$\Gamma (z)$ je funkcija Gama . Ovaj rezultat se može koristiti za izračunavanje trenutaka funkcije raspodele brzine:

${\begin{aligned}\langle v\rangle &={\frac {\int _{0}^{+\infty }v\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\end{aligned}}$

koja je sama srednja brzina$v_{\text{avg}}=\langle v\rangle =\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$ .

${\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\int _{0}^{+\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}$

Izvod funkcije raspodele brzine:

${\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \ e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\left(-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}\right)=0$

Vidi još

• Kvantna Bolcmanova jednačina
• Maksvel – Bolcman statistika
• Maksvel-Juttnerova raspodela
• Bolcmanova raspodela
• Bolcmanov faktor
• Raileigh distribucija
• Kinetička teorija gasova

Dodatna literatura

• Fizika za naučnike i inženjere - sa savremenom fizikom (6. izdanje), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, (2008) ISBN 0-7167-8964-7
• Termodinamika, od koncepata do primene (drugo izdanje), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Tailor i Francis Group, SAD), (2009) ISBN 978-1-4200-7368-3
• Hemijska termodinamika, DJG Ives, Univerzitetska hemija, Macdonald Technical and Scientific, (1971) ISBN 0-356-03736-3
• Elementi statističke termodinamike (drugo izdanje), LK Nash, Principles of Chemistri, Addison-Veslei, (1974) ISBN 0-201-05229-6
• Vard, CA i Fang, G 1999, „Izraz za predviđanje fluksa isparavanja tečnosti: Pristup statističkoj brzini teorije“, Phisical Reviev E, vol. 59, br. 1, str. 429–40.
• Rahimi, P & Vard, CA 2005, „Kinetika isparavanja: pristup teoriji statističke brzine“, Međunarodni časopis za termodinamiku, vol. 8, br. 9, str. 1–14.

Maksvel–Bolcmanova distribucija na Vikimedijinoj ostavi.

Spoljašnje veze

• "Raspodela brzine Maksvel" iz projekta Volfram Demonstrations na Mathvorld-u