Teorija grupa

Popularna slagalica Rubikova kocka koju je 1974. godine izmislio Erno Rubik korišćena je kao ilustracija permutacionih grupa. Pogledajte grupu Rubikovih kocki.

Teorija grupa je grana matematike koja se bavi proučavanjem grupa. Grupe su skupovi sa operacijom. Operacija u grupi mora da zadovoljava zatvorenost, i da ima sledeća tri dodatna svojstva:

1. Operacija mora da bude asocijativna.
2. Mora postojati neutral.
3. Svaki element mora imati odgovarajući inverzan element.

Teorija grupa se koristi širom matematike a ima i primene u fizici i hemiji. Grupe mogu biti konačne ili beskonačne. Klasifikacija konačnih prostih grupa, završena 1983, je jedno od većih matematičkih dostignuća 20. veka.

Rana istorija teorije grupa datira iz 19. veka. Jedno od najvažnijih matematičkih dostignuća 20. veka bio je zajednički napor, koji je zauzeo više od 10.000 stranica časopisa i uglavnom objavljen između 1960. i 1980. godine, koji je kulminirao potpunom klasifikacijom konačnih jednostavnih grupa.

Glavne klase grupa

Opseg grupa koje se razmatraju postepeno se proširio od konačnih permutacionih grupa i posebnih primera matričnih grupa do apstraktnih grupa koje se mogu specificirati kroz prezentaciju pomoću generatora i relacija.

Permutacione grupe

Prva klasa grupa koja je bila podvrgnuta sistematskoj studiji bile su permutacione grupe. Ako je dat bilo koji skup X i kolekcija G bijekcija X u sebe (poznata kao permutacije) koja je zatvorena pod kompozicijama i inverzima, G je grupa koja deluje na X. Ako se X sastoji od n elemenata, a G se sastoji od svih permutacija, G je simetrična grupa S_n; generalno, svaka permutaciona grupa G je podgrupa simetrične grupe X. Jedna rana konstrukcija po Kejlijevom predlogu je prikazala bilo koju grupu kao permutacionu grupu, delujući na sebe (X = G) pomoću leve regularne reprezentacije.

U mnogim slučajevima, struktura permutacione grupe se može proučavati korišćenjem osobina njenog delovanja na odgovarajući skup. Na primer, na ovaj način se dokazuje da je za n ≥ 5 alternativna grupa A_n jednostavna, tj. da ne prihvata nijednu odgovarajuću normalnu podgrupu. Ova činjenica igra ključnu ulogu u nemogućnosti rešavanja opšte algebarske jednačine stepena n ≥ 5 u radikalima.

Matrične grupe

Sledeća važna klasa grupa je data matričnim grupama, ili linearnim grupama. Ovde je G skup koji se sastoji od inverzibilnih matrica datog reda n nad poljem K koje je zatvoreno ispod proizvoda i inverzija. Takva grupa deluje na n-dimenzionalni vektorski prostor Kⁿ linearnim transformacijama. Ova akcija čini matrične grupe konceptualno sličnim permutacionim grupama, a geometrija akcije se može korisno iskoristiti za uspostavljanje svojstava grupe G.

Transformacione grupe

Permutacione grupe i matrične grupe su posebni slučajevi transformacionih grupa: grupa koje deluju na određenom prostoru X čuvajući njegovu inherentnu strukturu. U slučaju permutacionih grupa, X je skup; za matrične grupe, X je vektorski prostor. Koncept transformacione grupe je usko povezan sa konceptom simetrije grupe: transformacione grupe se često sastoje od svih transformacija koje čuvaju određenu strukturu.

Apstraktne grupe

Većina grupa koje su razmatrane u prvoj fazi razvoja teorije grupa bile su „konkretne“, realizovane kroz brojeve, permutacije ili matrice. Tek krajem devetnaestog veka ideja o apstraktnoj grupi kao skupu sa operacijama koje zadovoljavaju određeni sistem aksioma počela je da se primenjuje. Tipičan način specificiranja apstraktne grupe je kroz prezentaciju pomoću generatora i relacija,

$G=\langle S|R\rangle .$

Značajan izvor apstraktnih grupa dat je konstruisanjem faktorske grupe, ili količnika grupe, G/H, grupe G pomoću normalne podgrupe H. Klasa grupe polja algebarskih brojeva bile su među najranijim primerima faktorskih grupa, od veliko interesa za teoriju brojeva. Ako je grupa G permutaciona grupa na skupu X, faktor grupe G/H više ne deluje na X; ali ideja apstraktne grupe dozvoljava da se može zanemariti ovoj nesklad.

Grupe sa dodatnom strukturom

Važno proširenje koncepta grupe se dešava ako G poseduje dodatnu strukturu, posebno topološkog prostora, diferencibilne mnogostrukosti ili algebarskog varijeteta. Ako su grupne operacije m (množenje) i i (inverzija),

$m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},$

kompatibilne sa ovom strukturom, odnosno neprekidne, glatke ili pravilne (u smislu algebarske geometrije) mape, onda je G topološka grupa, Lijeva grupa ili algebarska grupa.

Primene teorije grupa

U važnije primene teorije grupa spada i sledeće:

• Grupe se često koriste da uhvate unutrašnju simetriju drugih struktura. Unutrašnja simetrija strukture je obično povezana sa invarijantnim svojstvom; skup transformacija koje očuvavaju ovo invarijantno svojstvo, zajedno sa operacijom kompozicije transformacija čini grupu koju nazivamo simetričnom grupom . Vidi i automorfizam grupa.

• Teorija Galoa, koja je istorijsko izvorište koncepta grupe, koristi grupe da opiše simetrije jednačina koje zadovoljavaju nule polinoma. Rešive grupe su tako nazvane zbog njihove važne uloge u ovoj teoriji. Teorija Galoa je prvobitno korišćena da dokaže da polinomi petog i viših stepena ne mogu (u opštem slučaju) biti rešeni u zatvorenoj formi na način na koji polinomi nižeg stepena mogu.

• Abelove grupe, koje zahtevaju i svojstvo komutativnosti $a\cdot b=b\cdot a$, leže u osnovi nekoliko drugih struktura koje se proučavaju u apstraktnoj algebri, kao što su prsteni, polja i moduli.

• U algebarskoj topologiji, grupe se koriste da opišu invarijante topoloških prostora. One se nazivaju invarijantama jer su definisane na takav način da se ne menjaju ako se prostor podvrgne nekoj deformaciji.

• Koncept Lijevih grupa (dobio ime po matematičaru Sofus Li) je važan u proučavanju diferencijalnih jednačina i mnogostrukosti; one kombinuju analizu i teoriju grupa i to ih čini odgovarajućim objektima za opisivanje simetrija analitičkih struktura. Analiza na ovim i drugim grupama se zove harmonička analiza.

• Razumevanje teorije grupa je takođe važno u fizici i hemiji. U fizici, grupe su važne jer opisuju simetrije za koje izgleda da ih poštuju zakoni fizike. Fizičari su vrlo zainteresovani za reprezentacije grupa, posebno Lijevih grupa, jer ove reprezentacije često ukazuju na moguće fizičke teorije.

• U hemiji, grupe se koriste da klasifikuju kristalne strukture, regularne poliedre i simetrije molekula. Teorija grupa pomaže u određivanju fizičkih svojstava (kao što su polarnost i hiralnost), spektroskopskih svojstava, i u konstruisanju molekularnih orbitala.

• Teorija grupa ima široku primenu u kriptografiji. Vrlo velike grupe prostog reda se konstruišu definisanjem eliptičkih krivih nad konačnim poljima.

Literatura

• Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, 126 (2nd izd.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012, doi:10.1007/978-1-4612-0941-6 
• Carter, Nathan C. (2009), Visual group theory, Classroom Resource Materials Series, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-757-1, MR 2504193 
• Cannon, John J. (1969), „Computers in group theory: A survey”, Communications of the ACM, 12: 3—12, MR 0290613, doi:10.1145/362835.362837 
• Frucht, R. (1939), „Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe”, Compositio Mathematica, 6: 239—50, ISSN 0010-437X, Arhivirano iz originala 2008-12-01. g. 
• Golubitsky, Martin; Stewart, Ian (2006), „Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 43 (03): 305—364, MR 2223010, doi:10.1090/S0273-0979-06-01108-6   Shows the advantage of generalising from group to groupoid.
• Judson, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: Theory and Applications  An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory. Free downloadable PDF with open-source GFDL license.
• Kleiner, Israel (1986), „The evolution of group theory: a brief survey”, Mathematics Magazine, 59 (4): 195—215, ISSN 0025-570X, JSTOR 2690312, MR 863090, doi:10.2307/2690312 
• Livio, M. (2005), The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry, Simon & Schuster, ISBN 0-7432-5820-7  Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to symmetries in physics and other sciences.
• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290 
• Rotman, Joseph (1994), An introduction to the theory of groups, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8  A standard contemporary reference.
• Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. (2001), Combinatorial group theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41158-1 
• Scott, W. R. (1987) [1964], Group Theory, New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3  Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
• La Harpe, Pierre de (2000), Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-31721-2 
• Artin, Michael (2018), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-468960-9 , Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
• Cook, Mariana R. (2009), Mathematicians: An Outer View of the Inner World, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 9780691139517 
• Hall, G. G. (1967), Applied Group Theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, MR 0219593 , an elementary introduction.
• Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract Algebra (3rd izd.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019 .
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in Algebra (2nd izd.), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988 .
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third izd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd izd.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3 .
• Ledermann, Walter (1953), Introduction to the Theory of Finite Groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, MR 0054593 .
• Ledermann, Walter (1973), Introduction to Group Theory, New York: Barnes and Noble, OCLC 795613 .
• Robinson, Derek John Scott (1996), A Course in the Theory of Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 .
• Artin, Emil (1998), Galois Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-62342-9 .
• Aschbacher, Michael (2004), „The status of the classification of the finite simple groups” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 51 (7): 736—740 .
• Awodey, Steve (2010), Category Theory, Oxford University Press, ISBN 9780199587360 
• Behler, Florian; Wickleder, Mathias S.; Christoffers, Jens (2014), „Biphenyl and bimesityl tetrasulfonic acid – new linker molecules for coordination polymers”, Arkivoc, 2015 (2): 64—75, doi:10.3998/ark.5550190.p008.911  
• Bersuker, Isaac (2006), The Jahn–Teller Effect, Cambridge University Press, ISBN 0-521-82212-2 .
• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2001), „The groups of order at most 2000”, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 7: 1—4, MR 1826989, doi:10.1090/S1079-6762-01-00087-7  .
• Bishop, David H. L. (1993), Group Theory and Chemistry, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4 .
• Carter, Roger W. (1989), Simple Groups of Lie Type, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50683-6 .
• Chancey, C. C.; O'Brien, M. C. M. (2021), The Jahn–Teller Effect in C60 and Other Icosahedral Complexes, Princeton University Press, ISBN 9780691225340 
• Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), „On three-dimensional space groups”, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475—507, MR 1865535, arXiv:math.MG/9911185  .
• Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory], Lecture Notes in Mathematics (na jeziku: francuski), 1441, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, MR 1075994 .
• Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2002), Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-254-1 .
• Dove, Martin T (2003), Structure and Dynamics: An Atomic View of Materials, Oxford University Press, str. 265, ISBN 0-19-850678-3 .
• Dudek, Wiesław A. (2001), „On some old and new problems in n-ary groups” (PDF), Quasigroups and Related Systems, 8: 15—36, MR 1876783 .
• Eliel, Ernest; Wilen, Samuel; Mander, Lewis (1994), Stereochemistry of Organic Compounds, Wiley, ISBN 9780471016700 
• Ellis, Graham (2019), „6.4 Triangle groups”, An Invitation to Computational Homotopy, Oxford University Press, str. 441—444, ISBN 978-0-19-883298-0, MR 3971587, doi:10.1093/oso/9780198832973.001.0001 .
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation Theory: A First Course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249 
• Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (2nd izd.), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, str. 588—596, ISBN 0-201-02918-9 .
• Gollmann, Dieter (2011), Computer Security (2nd izd.), West Sussex, England: John Wiley & Sons, Ltd., ISBN 978-0470741153 
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1 .
• Husain, Taqdir (1966), Introduction to Topological Groups, Philadelphia: W.B. Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3 
• Jahn, H.; Teller, E. (1937), „Stability of polyatomic molecules in degenerate electronic states. I. Orbital degeneracy”, Proceedings of the Royal Society A, 161 (905): 220—235, Bibcode:1937RSPSA.161..220J, doi:10.1098/rspa.1937.0142  .
• Kuipers, Jack B. (1999), Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality, Princeton University Press, Bibcode:1999qrsp.book.....K, ISBN 978-0-691-05872-6, MR 1670862 .
• Kuga, Michio (1993), Galois' Dream: Group Theory and Differential Equations, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, MR 1199112 .
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), The Theory of Finite Groups, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, MR 2014408 .
• Lay, David (2003), Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-70970-4 .
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd izd.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2 .
• Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004) [1966], Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations, Courier, ISBN 978-0-486-43830-6 
• MathSciNet (2021), List of papers reviewed on MathSciNet on "Group theory and its generalizations" (MSC code 20), published in 2020, Pristupljeno 14. 5. 2021 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Michler, Gerhard (2006), Theory of Finite Simple Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86625-5 .
• Milne, James S. (1980), Étale Cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7 
• Naber, Gregory L. (2003), The Geometry of Minkowski Spacetime, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, MR 2044239 .
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021 
• Romanowska, A. B.; Smith, J. D. H. (2002), Modes, World Scientific, ISBN 978-981-02-4942-7 .
• Ronan, Mark (2007), Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280723-6 .
• Rosen, Kenneth H. (2000), Elementary Number Theory and its Applications (4th izd.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2, MR 1739433 .
• Rudin, Walter (1990), Fourier Analysis on Groups, Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-X .
• Seress, Ákos (1997), „An Introduction to Computational Group Theory” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 44 (6): 671—679, MR 1452069 .
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, MR 0450380 .
• Schwartzman, Steven (1994), The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-883-85511-9 .
• Shatz, Stephen S. (1972), Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778 
• Simons, Jack (2003), An Introduction to Theoretical Chemistry, Cambridge University Press, ISBN 9780521530477 
• Solomon, Ronald (2018), „The classification of finite simple groups: A progress report”, Notices of the AMS, 65 (6): 1, doi:10.1090/noti1689  
• Stewart, Ian (2015), Galois Theory (4th izd.), CRC Press, ISBN 978-1-482-24582-0 
• Suzuki, Michio (1951), „On the lattice of subgroups of finite groups”, Transactions of the American Mathematical Society, 70 (2): 345—371, JSTOR 1990375, doi:10.2307/1990375  .
• Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6 .
• Šablon:Weibel IHA
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5 .
• Welsh, Dominic (1989), Codes and Cryptography, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3 .
• Weyl, Hermann (1952), Symmetry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8 .
• Zee, A. (2010), Quantum Field Theory in a Nutshell (second izd.), Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 9780691140346, OCLC 768477138 
• Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5 
• Cayley, Arthur (1889), The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley, II (1851–1860), Cambridge University Press .
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „The development of group theory”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
• Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2677-5 .
• von Dyck, Walther (1882), „Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical studies)”, Mathematische Annalen (na jeziku: nemački), 20 (1): 1—44, S2CID 179178038, doi:10.1007/BF01443322, Arhivirano iz originala 2014-02-22. g. .
• Galois, Évariste (1908), Tannery, Jules, ur., Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] (na jeziku: francuski), Paris: Gauthier-Villars  (Galois work was first published by Joseph Liouville in 1843).
• Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations] (na jeziku: francuski), Paris: Gauthier-Villars .
• Lie, Sophus (1973), Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1] (na jeziku: nemački), New York: Johnson Reprint Corp., MR 0392459 .
• Mackey, George Whitelaw (1976), The Theory of Unitary Group Representations, University of Chicago Press, MR 0396826 
• Smith, David Eugene (1906), History of Modern Mathematics, Mathematical Monographs, No. 1 .
• Weyl, Hermann (1950) [1931], The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Prevod: Robertson, H. P., Dover, ISBN 978-0-486-60269-1 .
• Wussing, Hans (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-45868-7 .

Spoljašnje veze

• History of the abstract group concept
• Higher dimensional group theory This presents a view of group theory as level one of a theory which extends in all dimensions, and has applications in homotopy theory and to higher dimensional nonabelian methods for local-to-global problems.
• Plus teacher and student package: Group Theory This package brings together all the articles on group theory from Plus, the online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge, exploring applications and recent breakthroughs, and giving explicit definitions and examples of groups.
• Burnside, William (1911), „Groups, Theory of”, Ur.: Chisholm, Hugh, Encyclopædia Britannica (na jeziku: engleski), 12 (11 izd.), Cambridge University Press, str. 626—636  This is a detailed exposition of contemporaneous understanding of Group Theory by an early researcher in the field.