Generalisana hipergeometrijska funkcija

Za druge generalizacije hipergeometrijske funkcije, pogledajte hipergeometrijsku funkciju

Ne treba mešati sa opštom hipergeometrijskom funkcijom

Generalisani hipergeometrijski red u matematici, je stepeni red u kom odnos uzastopnih koeficijenata indeksiran sa n je racionalna funkcija n-a. Red, ako konvergira, definiše generalisanu hipergeometrijsku funkciju, koja tada može biti definisana u širem domenu argumenata analitičkim nastavkom. Generalisani hipergeometrijski red se ponekad naziva hipergeometrijski red, mada se ovaj termin ponekad odnosi samo na Gausov geometrijski red. Generalisana hipergeometrijska funkcija uključuje (Gausovu) hipergemetrijsku funkciju i konfluentnu hipergeometrijsku funkciju kao specijalne slučajeve, koji zauzvrat ima mnogo određenih specijalnih funkcija, kao specijalnih slučajeva, kao što su elementarna funkcija, Baselova funkcija, i klasični ortogonalni polinomi.

Obeležavanje

Hipergemetrijski redovi se formalno definišu kao stepeni redovi 

$\beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{n}$

u kojima je odnos uzastopnih koeficijenata racionalna funkcija n-a. To je,

${\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}$

gde su A(n) i B(n) polinomi n-a.

Na primer, za slučaj niza eksponencijalne funkcije,

$1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+c\dots ,$

imamo:

$\beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}.$

Što zadovoljava definiciju da je A(n) = 1 i B(n) = n + 1.

Iz istorijskih razloga, pretpostavljeno je da je (1 + n) faktor V-a. Ako ovo već nije slučaj, onda se A i V mogu pomnožiti ovim faktorom; faktor se poništava, tako da uslovi ostaju nepromenjeni i ne postoji gubitak generalnosti.

Običaj je da se faktorizuje vodeći termin, tako da je β₀ predstavljeno kao 1. Polinomi mogu biti faktorizovani u linearne faktore fome (a_j + n)i (b_k + n) odnosno, da a_j i b_k budu komleksni brojevi.

Iz istorijskih razloga, pretpostavlja se da je (1 + n) faktor B-a. Ako ovo već nije slučaj, onda i A i B mogu biti pomnoženi ovim faktorom; faktor se poništava, tako da termini ostaju neprmenjeni i ne postoji gubitak generalnosti.

Odnos uzstopnih koeficijenata je sada

${\frac {c(a_{1}+n)\dots (a_{p}+n)}{d(b_{1}+n)\dots (b_{q}+n)(1+n)}}$,

gde su c i d vodeći koeficijenti A i B. Red onda ima formu

$1+{\frac {a_{1}\dots a_{p}}{b_{1}\dots b_{q}.1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\dots a_{p}}{b_{1}\dots b_{q}.1}}{\frac {(a_{1}+1)\dots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\dots (b_{q}+1).2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\dots$,

ili, skaliranjem z odgovarajućim faktorom i preuređenjem, 

$1+{\frac {a_{1}\dots a_{p}}{b_{1}\dots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\dots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\dots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots$.

Ovo ima formu eksponencijalne generalisane funkcije. Standardno obeležavanje ovog reda je obično označeno kao:

${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)$

ili

$\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]$

Koristeći rastući faktorijel ili Pokamerov simbol:

${\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),&&n\geq 1\end{aligned}}$

ovo se može napisati kao

$\,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\dots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}$

(Primetimo da ova upotreba Pokamerovog simbola nije standardna, ali je standardna upotreba u ovom kontekstu.)

Specijalni slučajevi

Mnoge specijalne funkcije u matematici su specijalni slučajevi konfluentne hipergeometrijske funkcije ili hipergeometrijske funkcije; vidi odgovarajući artikal za primere.

Neke od funkcija koje se odnose na složenije hipergeometrijske funkcije uključuju:

• Dilogaritam:

$\operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)$

• Han polinomi:

$Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1).\$

• Vilson polinomi:

$p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left({\begin{matrix}-n&a+b+c+d+n-1&a-t&a+t\\a+b&a+c&a+d\end{matrix}};1\right).$

Terminologija

Kada su svi termini reda definisani i kada ima ne-nulu radijus konvergencije, tada red definiše analitičku funkciju. Takva funkcija, i njen analitički nastavak, se zove hipereometrijska funkcija.

Slučaj kada je radijus konvergencije 0 proizvodi mnogo interesantnih redova u matematici, na primer nepotpuna gama funkcija ima asimptotsko proširenje. 

$\Gamma (a,z)\sim z^{a-1}e^{-z}\left(1+{\frac {a-1}{z}}+{\frac {(a-1)(a-2)}{z^{2}}}\dots \right)$

što se može zapisati kao z^a−1e^−z ₂F₀(1−a,1;;−z⁻¹). Međutim, upotreba termina hipergeometrijski red je obično ograničena na slučaj kada red definiše stvarnu analitičku funkciju.

Obične gipergeometrijske redove ne treba mešati sa osnovnim hipergeometrijskim redovima, koji, uprkos svom imenu, predstavljaju prilično komplikovanije i nejasne redove. Osnovni red je ku-analogan običnom hipergeometrijskom redu. Postoji nekoliko takvih generalisanja običnih hipergeometrijskih redova, uključujući i one koje proizilaze iz zonalne sferne funkcije na Rimanovim simetričnim prostorima.

Redovi bez faktora n! u imeniocu (sabrani svi celi brojevi n, uključujući i negativne) nazivaju se bilateralni gipergeometrijski redovi.

Konvergencija uslova

Postoje određene vrednosti a_j i b_k za koje je brojilac ili imenilac koeficijenata 0.

• Ako je bilo koji a_j ne-pozitivni ceo broj (0, −1, −2, etc.) onda red ima samo konačan broj termina i, u stvari, je polinom stepena −a_j.
• Ako je bilo koji b_k ne-pozitivni ceo broj (uzimajući u obzir prethodni slučaj −b_k < a_j) onda imenilac postaje 0 i red je nedefinisan..

Uzimajući u obzir ove slučajeve, test odnosa može biti primenjen za određivanje poluprečnika konvergencije.

• Ako je p < q + 1 onda odnos koeficijenata teži nuli. Ovo implicira da red konvergira za svaku konačnu vrednost z. Primer je snaga reda za eksponencijalnu funkciju.
• Ako je p = q + 1 onda odnos koeficijenata teži jedinici. Ovo implicira da red konvergira za  |z| < 1 i divergira za |z| > 1. Da li konvergira za |z| = 1 je teže odrediti. Analitički nstavak može biti od koristi za velike vrednosti z.
• Ako je p > q + 1 onda odnos koeficijenata raste bez granica. Ovo implicira, da osim kada je z = 0, red divergira. Ovo je onda divergentni ili asimptotski red, ili se može tumačiti kao simbolička stenografija za diferencijalnu jednačinu da zbir zadovoljava.

Pitanje konvergencije za p=q+1 kada je z na jedinici kružnice je teže. Može se pokazati da red apsolutno konvergira za z = 1 ako je

$\Re \left(\sum b_{k}-\sum a_{j}\right)>0$.

Dodatno, ako je p=q+1, $\sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}$ i z je realan broj, onda se sledeća konvergencija zadržava. (Quigley et al 2013):

$\lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {d\log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{dz}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}$.

Osnovne osobine

Iz definicije je neposredno da red parametara a_j, ili parametara b_k može biti promenjen bez promene vrednosti funkcije. Taođe, ako je bilo koji od parametara a_j jednak bilo kom od parametara b_k, onda se ti jednaki parametri mogu „poništiti“, sa određenim izuzetkom kada su parametri ne-pozitivni celi brojevi. Na primer,

$\,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)$.

Ojlerova transformacija integrala

Sledeći osnovni identitet je veoma koristan jer povezuje hipergeometrijske funkcije višeg reda u smislu integrala nad nižim redovima

${}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt$

Diferencijacija

Generalisana hipergeometrijska funkcija zadovoljava

${\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}$

Kombinovanjem ovoga dobijamo diferencijalnu jednačinu zavodoljivu sa w = _pF_q:

$z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w$.

Granična funkcija i povezani identiteti

Uzmimo sledeći izraz:

$\vartheta =z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}.$

Iz diferencijalne formule date gore, linearni prostor obuhvata

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),\vartheta \;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)$

sadržeći svaki od

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),$

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q};z),$

$z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1;b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1;z),$

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).$

Kako prostor ima dve dimenzije, bilo koje tri od ovih p+q+2 funkcija su linearno zavisne. Ova zavisnost može biti napisana da generališe veliki broj identiteta uključujući ${}_{p}F_{q}$.

Na primer, u najjednostavnijem ne-trivijalnom slučaju,

$\;{}_{0}F_{1}(;a;z)=(1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)$,

$\;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)=({\frac {\vartheta }{a-1}}+1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)$,

$z\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)=(a\vartheta )\;{}_{0}F_{1}(;a;z)$,

Tako je

$\;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)-\;{}_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)$.

Ovaj, i drugi važni primeri,

$\;{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {z}{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$,

$\;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$,

$\;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$

$\;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {bz}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)$,

$\;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-a)z}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)$,

$\;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)$,

se mogu koristiti za generisanje nastavka razlomka izraza poznatog kao Gausov nastavak razlomka.

Slično tome, primenom formule diferencijalice dva puta, postije  ${\binom {p+q+3}{2}}$ takve funkcije sadržane u

$\{1,\vartheta ,\vartheta ^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),$

koji ima dimenziju tri tako da su bilo koja četiri linearno zavisna. Ovo stvara više identiteta i proces može biti nastavljen. Identiteti ovako generisani mogu se međusobno kombinovati da se proizvedu novi na drugačiji način.

Funkcija dobijena dodavanjem ±1 tačno jednom od parametara a_j, b_k u

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)$

se zove granična za

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).$

Koristeći tehniku koja je gore navedena, identitet koji se odnosi na ${}_{0}F_{1}(;a;z)$ i njegove dve susedne funkcije mogu biti date, šest identiteta povezujući ${}_{1}F_{1}(a;b;z)$ i bilo koje dve njegove funkcije, i petnaesti identitet povezujući ${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ i bilo koje dve od njegovih šest uzastopnih funkcija su nađene. (Prva je izvedena u prethodnom pasusu. Poslednju petnaestu je dao Gaus u svom radu 1812. godine)

Identiteti

Za identitete koji uključuju Gausovu hipergeometrijsku funkciju ₂F₁, vidi Hipergeometrijsku funkciju.

Izvestan broj drugih identiteta hipergeometrijskih funkcija otkriven je u devetnaestom i dvadesetom veku. Doprinos 20. vek metodologiji dokazivanja ovih identiteta je Egoričev metod.

Zailšucova teorema

Zailšucova teorema Saalschütz 1890 je

${}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.$

Za proširenje ove teoreme, vidi istraživački rad Raka i Rati.

Diksonov identitet

Glavni članak: Diksonov identitet

Diksonom identitet, dokazan od strane Dixon (1902), daje sumu dobro-uravnoteženog ₃F₂ za 1:

${}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.$

Za generalisanje Diksonovog identiteta, vidi istraživački rad Lavojea, i saradnika.

Dugalova formula

Dugalova formula (Dougall 1907)  daje zbir okončanih dobro-uravnoteženih redova:

${\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}\end{aligned}}$

pod uslovom da je m ne-negativan ceo broj (tako da se red završava) i

$1+2a=b+c+d+e-m.$

Mnogo drugih formula za specijalne vrednosti hipergeometrijske funkcije može biti izvedeno iz ovoga kao specilani ili ograničeni slučajevi.

Generallisane Kamerove transformacije i identiteti za ₂F₂

Identitet 1.

$e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)$

gde je

$f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}$;

Identitet 2.

$e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),$

koji povezuje Baselovu funkciju ₂F₂; ovo se svodi na Kamerovu drugu formulu b = 2a:

Identitet 3.

$e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)$.

Identitet 4.

${\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}$

što je konačna suma ako je b-d ne-negativni ceo broj.

Kamerova veza

Kamerova veza je

${}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).$

Klauzenova formula

Glavni članak: Klauzenova formula

Klauzenova formula

${}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}$

je korišćena od strane de Brangesa da dokaže Biberbrakova nagađanja.

Specijalni slučajevi

Red ₀F₀

Glavni članak: Eksponencijalna funkcija

Kao što je ranije primećeno, ${}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}$. Diferencijalna jednačina za ovu funkciju je ${\frac {d}{dz}}w=w$, koja ima rešenja $w=ke^{z}$ gde je k konstanta.

Red ₁F₀

Takođe ranije primećeno, 

${}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.$

Diferencijlna jednačina za ovu funkciju je

${\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,$

ili

$(1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,$

koja ima rešenja

$w=k(1-z)^{-a}$

gde je k konstanta.

${}_{1}F_{0}(1;;z)=(1-z)^{-1}$ je geometrijski red sa odnosom z i koeficijentom 1.

Red ₀F₁

Funkcije forme  ${}_{0}F_{1}(;a;z)$ se zovu are called konfluentne hipergeometrijske granične funkcije i usko su povezane sa Baselovom funkcijom. Veza je:

$J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).$

Diferencijalna jednačina za ovu funkciju je

$w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}$

ili

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.$

Kada a nije ceo pozitivan broj, zamena

$w=z^{1-a}u,$

daje linearno nezavisno rešenje

$z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),$

tako da je opšte rešenje

$k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)$

gde su k, l konstante. (Ako je a pozitivan ceo broj, nezavisno rešenje je tako odgovarajućom Baselovom funkcijom druge vrste.)

Red ₁F₁

Glavni članak: Konfluentna hipergeometrijska funkcija

Funkcije forme ${}_{1}F_{1}(a;b;z)$ se nazivaju konfluentne hipergeometrijske funkcije prve vrste, pišu se i kao $M(a;b;z)$. Nepotpuna gama funkcija $\gamma (a,z)$ je specijalni slučaj.

Diferencijalna jednačina za ovu funkciju je

$\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}$

ili

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.$

Kad je b pozitivan ceo broj, zamena

$w=z^{1-b}u,$

daje linearno nezavisno rešenje

$z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),$

tako da je opšte rešenje

$k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)$

gde su k, l konstante.

Kada je a ne-pozitivan ceo broj, −n, ${}_{1}F_{1}(-n;b;z)$ je polinom.  Do konstantnih faktora, ovo su Lagerovi polinomi. Ovo implicira da Hermitovi polinomi mogu biti u terminima ₁F₁ takođe.

Red ₂F₀

Ovo se dešava u povezanosti sa eksponencijalnom integralnom funkcijom Ei(z).

Red ₂F₁

Glavni članak: Hipergeometrijska funkcija

Istorijski, najvažnije su funkcije forme${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$. One se ponekad zovu Gausove hipergeometrijske funkcije, klasične standardne hipergeometrijske ili često jednostavno hipergeometrijske funkcije. Termin Generalisana hipergeometrijska funkcija se koristi za funkcije _pF_q ako postoji rizik od konfuzije. Ova funkcija je prvi put upotrebljena u detaljima od strane Karla Fridriha Gausa, koji je predstavio uslove njene konvergencije.

Diferencijalna jednačina za ovu funkciju je

$\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}$

ili

$z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(c-(a+b+1)z){\frac {dw}{dz}}-abw=0.$

Poznata je kao hipergeometrijska diferencijalna jednačina. Kada c nije pozitivan ceo broj, zamena

$w=z^{1-c}u$

daje linearno nezavisno rešenje

$z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),$

tako da je opšte rešenje za |z| < 1

$k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)$

gde su k, l konstante. Druga rešenja se mogu izvesti za druge vrednosti z. U stvari, postoji 24 rešenja, poznatih kao Kumerova rešenja, izvedenih koristeći različite identitete, važećih u različitim regionima kompleksne ravni.

Kada je a ne-pozitivan ceo broj, −n,

${}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)$

je polinom. is a polynomial. Do konstantni faktora i skaliranja, ovo su Jakobijevi polinomi. Nekoliko drugih klasa ortogonalnih polinom, do konstantnih faktora, su specijalni slučajevi Jakobijevih polinoma, tako da ovo može biti prošireno korišćenjem ₂F₁ takođe. Ovo uključuje Ležandrove polinome i Čebiljevševe polinome.

Širok spektar integrala elementarnih funkcija može se izraziti pomoću hipergeometrijske funkcija, npr:

$\int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.$

Red ₃F₀

Oo se dešava u povezanosti sa Motovim polinomima.

Red ₃F₁

Ovo se dešava u teoriji Baselove funkcije. Ovo pruža način da se izračuna Baselove funkcija velikih argumenata.

Generalisanja

Generalisana hipergeometrijska funkdžija je povezana sa Majer G-funkcijom i MakRobert E-funkcijom. Hipergeometrijski redovi su generalisani do nekoliko varijabli, na primer od strane Paula Emilija Apela i Josifa Kampea de Ferieta; ali je trebalo mnogo da se pojavi uporediva opšta teorija. Pronađeno je mnogo identiteta, neki sasvim izuzetni. Generalisanje, analogni ku-red, nazvan osnovni hipergeometrijski red, dat je od strane Eduarda Hejna u kasnom devetnaestom veku. Ovde se odnosi smatraju uzastopnim terminima, umesto racionalne funkcije n-a, je racionalna funkcija qⁿ. Drugo generalisanje, eliptičnog geometrijskog reda, su oni redovi u kojima je odnos termina eliptične funkcije (dvostruka periodična meromorfna funkcija) n.

Tokom dvadesetog veka ovo je bilo plodno područje kombinatorne matematike, sa brojnim povezanostima sa drugim oblastima. Postoji veliki broj novih definicija generalisane hipergeometrijske funkcije, od strane Aomota, Izraela Gelfanda, i drugih; i aplikacije za primer kombinatorike uređenja broja hiperravni u kompleksnom N-prostoru

(vidi raspored hiperravni).

Specijalne hipergeometrijske funkcije nastaju kao zonske sferne funkcije iz Rimanovih simetričnih prostora  i semi-jednostavnih Lijevih grupa. Njihov značaj u uloga mogu se razumeti putem sledeće primera: hipergeometrijski red ₂F₁ ima Ležandrove polinove kao specijalni slučaj, a kada se posmatra u obliku sfernih harmonika, ovi polinomi se odražavaju na, u izvesnom smislu, simetriju svojstva dve sfere, ili, ekvivalentno, na rotaciju datu Lijevom grupom SO(3). U tenzorima proizvoda dekompenzacija konkretnih predstava za ovu grupu Klebš-Gordanovih koeficijenata je ispunjena, što se može napisati kao ₃F₂ hipergeometrijski redovi.

Bilaternalni hipergeometrijski redovi su generalizacija hipergeometrijske funkcije gde se sabiraju svi celi brojevi, ne samo pozitivni.

Foks-Rajt funkcije su generalizacija generalisanih hipergeometrijskih funkcija gde su Pokamerovi simboli u redu izraza generalisani do gama funckija lineanih izraza sa indeksom n.

Literatura

• Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde (2010). „Generalized hypergeometric function”. Ur.: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. 
• Dixon, A. C. (1902). „Summation of a certain Series”. Proceedings of the London Mathematical Society. 35 (1): 284—291. doi:10.1112/plms/s1-35.1.284. 
• Bailey, W.N. (1935). Generalized hypergeometric series. Camb. Tracts Math. Math. Phys. 32. Cambridge University Press, Cambridge. Zbl 0011.02303. 
• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2. 
• Dougall, J. (1907). "On Vandermonde's theorem and some more general expansions". Proc. Edinburgh Math. Soc. 25: 114–132. Dougall, John (1906). „On Vandermonde's Theorem, and some more general Expansions”. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 25: 114. doi:10.1017/S0013091500033642. .
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955). Higher transcendental functions. Vol. III. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London. MR „MathSciNet”. .
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series; Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 96 (2nd izd.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83357-8. 
• Gauss, Carl Friedrich (1813). Gauss, Carl Friedrich (1866). Carl Friedrich Gauss Werke: Bd. Analysis (Various texts, in Latin and German, orig. Publ. Between 1799-1851, or found in the "Nachlass"; annotated by E.J. Schering). 1866 [i.e. 1868. . "Disquisitiones generales circa seriam infinitam $1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}$". Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (in Latin) (Göttingen) 2. (a reprint of this paper can be found in Gauss, Carl Friedrich (1866). Carl Friedrich Gauss Werke: Bd. Analysis (Various texts, in Latin and German, orig. Publ. Between 1799-1851, or found in the "Nachlass"; annotated by E.J. Schering). 1866 [i.e. 1868. . Carl Friedrich Gauss, Werke. pp. 125)
• Grinshpan, A. Z. (2013), "Generalized hypergeometric functions: product identities and weighted norm inequalities", The Ramanujan Journal 31 (1-2): 53–66, . doi:10.1007/s11139-013-9487-x. 
• Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik. . 1994. ISBN 978-0-12-336170-7.  . (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
• Lavoie, J.L.; Grondin, F.; Rathie, A.K.; Arora, K. (1994). "Generalizations of Dixon's theorem on the sum of a 3F2". Math. Comp. 62: 267–276. . doi:10.2307/2153407.  .
• Miller, A. R.; Paris, R. B. (2011). "Euler-type transformations for the generalized hypergeometric function _r+2F_r+1". Zeit. Angew. Math. Physik: 31–45. . doi:10.1007/s00033-010-0085-0.  .
• Quigley, J.; Wilson, K.J.; Walls, L.; Bedford, T. (2013). "A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates". Risk Analysis. . doi:10.1111/risa.12035.  .
• Rathie, Arjun K.; Pogány, Tibor K. (2008). "New summation formula for ₃F₂(1/2) and a Kummer-type II transformation of ₂F₂(x)". Mathematical Communications 13: 63–66. MR http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2422088.  . Zbl http://zbmath.org/?format=complete&q=an:1146.33002.  .
• Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). "Extensions of Euler's type- II transformation and Saalschutz's theorem". Bull. Korean Math. Soc. . 48 (1): 151—156. doi:10.4134/bkms.2011.48.1.151.  .
• Saalschütz, L. (1890). "Eine Summationsformel". Zeitschrift für Mathematik und Physik (in German) 35: 186–188. JFM http://zbmath.org/?format=complete&q=an:22.0262.03.  .
• Slater, Lucy Joan (1966). Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06483-5. 
• Yoshida, Masaaki Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. . 1997. ISBN 978-3-528-06925-4.  . MR http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1453580.  .

Spoljašnje veze

• The book "A = B", this book is freely downloadable from the internet.
• MathWorld
  • Weisstein, Eric W., "Generalized Hypergeometric Function", MathWorld.
  • Weisstein, Eric W., "Hypergeometric Function", MathWorld.
  • Weisstein, Eric W., "Confluent Hypergeometric Function of the First Kind", MathWorld.
  • Weisstein, Eric W., "Confluent Hypergeometric Limit Function", MathWorld.