Pređi na sadržaj

Elementarna algebra

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Kvadratna formula, koja je rešenje kvadratne jednačine gde je . Ovde simboli a,b,c predstavljaju proizvoljne brojeve, a x je promenljiva koja predstavlja rešenje jednačine.
Dvodimenzionalni grafik (crvena kriva) algebarske jednačine

Elementarna algebra je osnovna algebra koju izučavaju učenici sa malo ili nimalo formalnog znanja iz oblasti matematike izuzev aritmetike.[1][2] Dok se u aritmetici javljaju samo brojevi i njihove aritmetičke operacije (poput +, −, ×, ÷), u algebri se takođe koriste simboli (poput x i y, ili a i b) za označavanje brojeva. Ovi simboli se nazivaju promenljive. One su korisne jer:

  • omogućavaju da se generalizacije aritmetičkih jednačina (i nejednačina) izraze u obliku zakona (kao što je za svako a i b), a ovo je prvi korak u sistematskom izučavanju svojstava realnih brojeva.
  • omogućavaju pozivanje na brojeve koji nisu poznati. U kontekstu problema, promenljiva može da predstavlja neku vrednost koja nije poznata, ali može biti rešena kroz formulaciju i manipulaciju jednačinama.
  • omogućavaju proučavanje matematičkih odnosa izmeću veličina (poput ako prodaš x karata, onda će tvoj profit iznositi dinara).

U elementarnoj algebri, izraz može da sadrži brojeve, promenljive i aritmetičke operacije. Sledi nekoliko primera:

U malo naprednijoj algebri, izraz može da sadrži i elementarne funkcije.

Jednačina predstavlja tvrdnju da su dva izraza jednaka. Neke jednačine su tačne za sve vrednosti promenljivih koje se u njima pojavljuju (na primer ); takve izraze nazivamo identitetima. Uslovne jednačine su tačne samo za neke vrednosti svojih promenljivih: Vrednosti promenljivih koje čine da jednačina bude tačna se nazivaju rešenjima jednačine.

Algebarska notacija

[uredi | uredi izvor]

Algebrajska notacija opisuje pravila i konvencije za pisanje matematičkih izraza, kao i terminologiju koja se koristi za razgovor o delovima izraza. Na primer, izraz ima sledeće komponente:

Koeficijent je numerička vrednost, ili slovo koje predstavlja numeričku konstantu, koja umnožava promenljivu (operator je izostavljen). Član je dodatak ili sabirak, grupa koeficijenata, promenljivih, konstanti i eksponenata koji se mogu odvojiti od ostalih članova operaterima plus i minus.[3] Slova predstavljaju varijable i konstante. Prema konvenciji, slova sa početka abecede (npr. ) obično se koriste za predstavljanje konstanti, a slova na kraju abeceda (npr. i z) se koriste za predstavljanje promenljivih.[4] One su obično napisane kurzivom.[5]

Algebarske operacije rade na isti način kao i aritmetičke operacije,[6] kao što su sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje i eksponencija,[7] i primenjuju se na algebarske promenljive i pojmove. Simboli množenja se obično izostavljaju i podrazumevaju kada nema razmaka između dve promenljive ili člana, ili kada se koristi koeficijent. Na primer, se zapisuje kao , i se može zapisati kao .[8]

Obično se izrazi sa najvećim stepenom (eksponentom) pišu na levoj strani, na primer, se piše levo od x. Kada je koeficijent jedan, obično se izostavlja (npr. se piše ).[9] Isto tako kada je eksponent (stepen) jedan (npr. piše se ).[10] Kada je eksponent jednak nuli, rezultat je uvek 1 (npr. se uvek prepisuje u 1).[11] Međutim, , koje nije definisano, ne bi trebalo da se pojavljuje u izrazu, i potrebno je obratiti pažnju na pojednostavljivanje izraza u kojima se promenljive mogu pojaviti u eksponentima.

Zakoni elementarne algebre

[uredi | uredi izvor]
  • Sabiranje je komutativna operacija (zbir dva broja je isti nezavisno od redosleda u kojem ih zapisujemo).
    • Oduzimanje je operacija suprotna sabiranju.
    • Oduzimanje je isto što i sabiranje negativnim brojem:
Primer: ako onda
  • Množenje je komutativna operacija.
    • Deljenje je operacija suprotna množenju.
    • Podeliti jedan broj drugim je isto što i pomnožiti ga recipročnom vrednošću drugog broja:
  • Stepenovanje nije komutativna operacija.
    • Stoga stepenovanje ima dve suprotne operacije: logaritmovanje i stepenovanje recipročnim eksponentom (na primer kvadratni koren).
      • Primeri: ako onda Ako onda
    • Kvadratni koren negativnih brojeva ne postoji u sistemu realnih brojeva (Vidi: kompleksni brojevni sistem)
  • Asocijativno svojstvo sabiranja:
  • Asocijativno svojstvo množenja:
  • Distributivno svojstvo množenja u odnosu na sabiranje:
  • Distributivno svojstvo stepena u odnosu na množenje:
  • Kombinovanje eksponenata:
  • Stepen stepena:

Zakoni jednakosti

[uredi | uredi izvor]
  • Ako i , onda (tranzitivnost jednakosti).
  • (refleksivnost jednakosti).
  • Ako onda (simetrija jednakosti).

Drugi zakoni

[uredi | uredi izvor]
  • Ako i onda
    • Ako onda za svako c (adiciono svojstvo jednakosti).
  • Ako i onda =
    • Ako onda za svako c (multiplikativno svojstvo jednakosti).
  • Ako su dva simbola jednaka, onda se jedan može zameniti drugim po želji (princip smene).
  • Ako i onda (tranzitivnost nejednakosti).
  • Ako onda za svako c.
  • Ako i onda
  • Ako i onda

Primeri

[uredi | uredi izvor]

Linearne jednačine jedne promenljive

[uredi | uredi izvor]

Najjednostavnije jednačine su linearne jednačine koje imaju samo jednu promenljivu. One sadrže samo konstantne brojeve i jednu promenljivu bez eksponenta. Na primer:

Ključna tehnika je sabiranje, oduzimanje, množenje ili deljenje obe strane jednačine istim brojem kako bi se izolovala promenljiva sa jedne strane jednačine. Kada se promenljiva izoluje, sa druge strane jednačine ostaje vrednost promenljive. Na primer, oduzimanjem 4 sa obe strane gornje jednačine se dobija:

što se pojednostavljuje na:

Deljenjem obe strane brojem 2:

se dobija rešenje:

Opšti slučaj,

ima isti format rešenja:

Kvadratne jednačine

[uredi | uredi izvor]

Kvadratne jednačine mogu da se izraze u obliku ax2 + bx + c = 0, gde je a različito od nule (jer kad bi bilo jednako nuli, jednačina ne bi bila kvadratna već linearna). Zbog ovoga, kvadratna jednačina mora da sadrži term ax2. Stoga je a ≠ 0, pa možemo da podelimo jednačinu sa a i da preuradimo jednačinu da ima standardni oblik

gde je p = b/a а q = −c/a. Rešavanje ovoga, procesom dopune do kvadrata vodi do kvadratne formule.

Sistem linearnih jednačina

[uredi | uredi izvor]

U slučaju kada imamo sistem linearnih jednačina, poput na primer, dve jednačine sa dve nepoznate, često je moguće naći rešenja za obe promenljive koje zadovoljavaju obe jednačine.

Prvi metod rešavanja sistema

[uredi | uredi izvor]

Primer sistema linearnih jednačina bi mogao da bude sledeće:

Množenjem izraza u drugoj jednačini sa 2:

Sabiranjem jednačina, dobije se:

što se može pojednostaviti

Kako nam je sada poznato da je x = 2, moguće je izračunati da je y = 3 iz bilo koje od dve početne jednačine (umetanjem 2 umesto x). Kompletno rešenje ovog sistema je

Ovo nije jedini način da se reši ovaj sistem; mogli smo da nađemo y pre nego što smo našli x.

Drugi metod rešavanja sistema

[uredi | uredi izvor]

Drugi način za rešavanje istog sistema linearnih jednačina je korišćenje smene.

Ekvivalent y se može naći korišćenjem jedne od ovih jednačina. Na primer, korišćenjem druge:

Oduzimanjem 2x sa obe strane jednačine:

i množenjem sa -1:

Korišćenjem ove vrednosti y u prvoj jednačini početnog sistema:

Dodavanjem 2 sa obe strane jednačine:

što se može pojednostaviti

Korišćenjem ove vrednosti u obe jednačine dobija se isto rešenje kao i kod prethodnog metoda.

Takođe, ni ovo nije jedini način da se reši ovaj sistem; i ovde smo mogli prvo da izračunamo y pa onda x.

Drugi tipovi sistema linearnih jednačina

[uredi | uredi izvor]

Nerešivi sistemi

[uredi | uredi izvor]

U gornjem primeru, moguće je naći rešenje sistema. Međutim, postoje i sistemi linearnih jednačina koje nemaju rešenje. Očigledan primer je:

Druga jednačina u sistemu nema rešenje. Stoga, sistem ne može biti rešen. Međutim, nije sve nezadovoljive sisteme moguće isprva prepoznati. Uzmimo na primer sistem:

Ako pokušamo da rešimo ovaj sistem (na primer korišćenjem metoda smene koji je gore objašnjen), druga jednačina nakon dodavanja − 2x na obe strane i množenjem sa −1, daje:

A kada se ovo iskoristi kao vrednost y u prvoj jednačini:

Nema preostalih promenljivih, a jednakost nije tačna. Ovo znači da prva jednačina ne može da da rešenje za vrednost y dobijenu iz druge jednačine.

Neodređeni sistemi

[uredi | uredi izvor]

Postoje i sistemi sa višestrukim rešenjima ili beskonačnim brojem rešenja, za razliku od sistema sa jedinstvenim rešenjem (gde na primer postoje jedinstvene vrednosti za x i y) Na primer:

Ako izolujemo y u drugoj jednačini:

I iskoristimo ovu vrednost u prvoj jednačini sistema:

Ova jednakost je tačna, ali nam ne daje vrednost za x. Zaista, lako se može proveriti (upisivanjem nekih vrednosti za x) da za svako x postoji rešenje, sve dok je y = −2x + 6. Postoji beskonačan broj rešenja ovog sistema.

Vidi još

[uredi | uredi izvor]

Reference

[uredi | uredi izvor]
  1. ^ H.E. Slaught and N.J. Lennes, Elementary algebra, Publ. Allyn and Bacon, 1915, page 1 (republished by Forgotten Books)
  2. ^ Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 9780534999728, 654 pages, page 2
  3. ^ Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, Introductory Algebra: An Applied Approach, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 9781439046043, page 78
  4. ^ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 9781615302192, page 71
  5. ^ James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]
  6. ^ Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7
  7. ^ Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach, Publisher: Cengage Learning, 2007, ISBN 9780618851959, 1114 pages, page 6
  8. ^ Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827, 9789812738820, page 68
  9. ^ David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9780470185599, 304 pages, page 72
  10. ^ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
  11. ^ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 9780538733540, 803 pages, page 222

Literatura

[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze

[uredi | uredi izvor]
  1. ^ Euler's Elements of Algebra Arhivirano 2011-04-13 na sajtu Wayback Machine
  2. ^ Euler, Leonhard; Hewlett, John; Horner, Francis; Bernoulli, Jean; Lagrange, Joseph Louis (4. 5. 2018). „Elements of Algebra”. Longman, Orme. Pristupljeno 4. 5. 2018 — preko Google Books.