Zračenje električnog dipola postavljenog duž vertikalne ose u prikazanoj ravni koji osciluje duž te ose frekvencijom 1 Hz . Jačina električnog polja dipola u ravni
E
=
E
x
2
+
E
z
2
{\displaystyle E={\sqrt {E_{x}^{2}+E_{z}^{2}}}}
je predstavljena bojom (crvena boja označava
E
z
>
0
{\displaystyle E_{z}>0}
, a plava označava
E
z
<
0
{\displaystyle E_{z}<0}
). Linije magnetnog polja su ortogonalne na prikazanu ravan. Komponente Pointingovog vektora
S
x
{\displaystyle S_{x}}
i
S
z
{\displaystyle S_{z}}
su prikazane crnim strelicama.
Pointingov vektor u elektromagnetizmu je vektor koji se dobija iz Pointingove teoreme o održanju energije u elektromagnetnom polju i ima značenje transferzalnog protoka energije u odnosu na ravan sačinjenu od vremenski promenljivog električnog i magnetnog polja .
Pointingov vektor
S
{\displaystyle \mathbf {S} }
je:
S
=
E
×
H
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }
gde je
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
jačina električnog polja , a
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
jačina magnetnog polja .
Pointingov vektor izražen u obliku preko jačine električnog i jačine magnetnog polja se dobija iz Pointingove teoreme .
Ukupan fluks energije kroz datu zapreminu
V
{\displaystyle V}
je površinski integral :
∬
A
S
⋅
d
A
{\displaystyle \iint _{A}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} }
koji se preko Gausove teoreme o divergenciji može zapisati preko zapreminskog integrala :
∬
A
S
⋅
d
A
=
∫
V
∇
⋅
S
d
V
{\displaystyle \iint _{A}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {S} dV}
Odavde je gustina energetskog fluksa:
∇
⋅
S
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} }
Gustina elektromagnetne energije je:
u
=
E
⋅
D
+
H
⋅
B
{\displaystyle u=\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} }
gde su
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
električna indukcija , a
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
magnetna indukcija :
D
=
ϵ
0
E
,
H
=
B
μ
0
{\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}}
Nalaženjem vremenskog izvoda gustine elektromagnente energije
u
{\displaystyle u}
, dobija se:
∂
u
∂
t
=
1
2
(
E
⋅
∂
D
∂
t
+
D
⋅
∂
E
∂
t
+
H
⋅
∂
B
∂
t
+
B
⋅
∂
H
∂
t
)
=
E
⋅
∂
D
∂
t
+
H
⋅
∂
B
∂
t
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {D} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\right)=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
Kako bi se desna strana izraza prepisala preko samo jačine električnog polja
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
i jačina magnetnog polja
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
, mogu se koristiti Maksvelove jednačine i time se magnetna indukcija
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
može izraziti preko
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
:
∂
B
∂
t
=
−
∇
×
E
→
H
⋅
∂
B
∂
t
=
−
H
⋅
∇
×
E
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} \ \rightarrow \ \mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} }
a električna indukcija
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
preko
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
:
∂
D
∂
t
+
J
=
∇
×
H
→
E
⋅
∂
D
∂
t
+
E
⋅
J
=
E
⋅
∇
×
H
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} \ \rightarrow \ \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} }
Odavde se dobija da izraz za promenu gustine elektromagnetnog polja u vremenu:
∂
u
∂
t
=
E
⋅
∂
D
∂
t
+
H
⋅
∂
B
∂
t
=
E
⋅
∇
×
H
−
H
⋅
∇
×
E
−
J
⋅
E
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }
gde je
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
gustina struje .[ 1]
U proizvoljnoj zapremini prostora
V
{\displaystyle V}
, na osnovu zakona o održanju energije , zbir promene gustine elektromagnetne energije u jedinici vremena
∂
u
∂
t
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}}
i gustine energetskog fluksa koji protekne kroz tu zapreminu
∇
⋅
S
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} }
, jednak je negativnom radu u jedinici vremena na premeštanju slobodnih i spolja unetih naelektrisanja u taj prostor
J
⋅
E
{\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }
, tako da važi:
∂
u
∂
t
+
∇
⋅
S
=
−
J
⋅
E
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} }=-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }
Odavde se dobija da je:
−
∇
⋅
S
=
∂
u
∂
t
+
J
⋅
E
=
(
H
⋅
∂
B
∂
t
+
E
⋅
∂
D
∂
t
)
+
J
⋅
E
=
E
⋅
∇
×
H
−
H
⋅
∇
×
E
{\displaystyle {\begin{aligned}-\nabla \cdot \mathbf {S} &={\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} \\\end{aligned}}}
Konačno, korišćenjem vektorskog identiteta:
∇
⋅
(
E
×
H
)
=
H
⋅
(
∇
×
E
)
−
E
⋅
(
∇
×
H
)
{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )=\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )}
dobija se izraz za Pointingov vektor[ 2] :
S
=
E
×
H
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }