David Hilbert

David Hilbert
David Hilbert, fotografija iz 1912.
Lični podaci
Datum rođenja	(1862-01-23)23. januar 1862.
Mesto rođenja	Vehlau kod Kenigsberga, Pruska
Datum smrti	14. februar 1943.(1943-02-14) (81 god.)
Mesto smrti	Getingen, Nemačka
Obrazovanje	Univerzitet u Kenigsbergu
Naučni rad
Polje	Matematika
Institucija	Univerzitet u Getingenu
Poznat po	Hilbertovim aksiomama Hilbertovim problemima Hilbertovim prostorima

David Hilbert (nem. David Hilbert; Vehlau kod Kenigsberga, 23. januar 1862 — Getingen, 14. februar 1943) je bio nemački matematičar koji je dao važan doprinos u nekoliko grana matematike.

Hilbert je 1888. poopštio jednu važnu Žordanovu teoremu na sisteme višeg reda, da bi 1899. godine objavio svoje Osnove geometrije (Grundlagen der Geometrie) u kojima je tu temu, konačno, postavio na stroge aksiomatske osnove (v. Hilbertove aksiome). On je takođe pokazao da je geometrija jednako konzistentna kao aritmetika realnih brojeva. Godine 1900. Hilbert je postavio deo od 23 problema kao izazov matematičarima 20. veka; rešenja ili nekakav napredak je učinjen za oko tri četvrtine njih.

Kasnije se Hilbert posvetio radu na teorijskoj fizici i osnovama matematike. Razvijao je matematički formalizam što ga je dovelo do dela Osnove matematike (Grundlagen der Mathematik, 1934—1939.), zajedno sa Paulom Bernajsom. Drugi radovi Hilberta uključuju njegov dokaz Varingovog problema, tj. pretpostavke koju je postavio Varing 1770, a prvo potpuno rešenje je pronašao Hilbert 1909, zatim razvoj tzv. Hilbertovog prostora i doprinos u proučavanju integralnih jednačina i algebarske teorije brojeva.

Životopis Davida Hilberta

Mladi Hilbert

Hilbert je bio jedini sin Ota i Marije Tereze (Erdtman) Hilbert, rođen u Wehlau (Znamensk) kraj Kalinjingrada u tadašnjoj Pruskoj. U jesen 1872. upisuje Fridrihskoleg gimnaziju (istu školu koju je 140 godina pre njega pohađao Imanuel Kant), ali se 1879. prebacio i 1880. završio naučnu orijentisaniju gimnaziju u Vilhelmu. U jesen iste godine upisuje fakultet u Kenigsbergu. Tamo se sprijateljio sa talentovanim Hermanom Minkovskim.

Godine 1884, Adolf Hurvitc, sa fakulteta u Getingenu, postaje vanredni profesor na fakultetu u Kenigsbergu. Od tada njihova međusobna razmena naučnih ideja ima značajan uticaj na njihove naučne karijere. Hilbert je doktorirao 1885. godine, sa disertacijom „O nepromenjivim svojstvima posebnih binarnih formi, sa naglaskom na sferne harmonijske funkcije“ (nem. Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen).

Na istom fakultetu ostaje kao profesor od 1886. do 1895. godine. Oženio se 1892. sa Keti Jeroš s kojom je imao jednog sina. Godine 1895, na nagovor Feliksa Klejna dolazi na poziciju šefa katedre za matematiku na fakultetu u Getingenu, u to vreme najboljem centru za naučna istraživanja u području matematike na svetu, gde ostaje do penzionisanja 1930. godine. Njegov najbolji prijatelj, Minkowski umire 1909. godine.

Getingenska škola

Hilbertov grob s natpisom

Među Hilbertovim učenicima bili su: Herman Vajl, šahovski prvak Emanuel Lasker, Ernst Zermelo, Karl Gustav Hempel i kasnije poznati matematičari: Oto Blumental (1898), Feliks Bernstajn (1901), Herman Vajl (1908), Ričard Kurant (1910), Erih Hek (1910), Hjugo Stajnhaus (1911), Vilhelm Akerman (1925). Na fakultetu je okružen s nekima od najznačajnijih matematičara 20. veka, kao što su Emi Neter i Alonzo Čerč. Između 1902. i 1939. Hilbert je urednik „Mathematische Annalen“, vodećeg matematičkog časopisa toga vremena.

Kasnije godine života

Hilbert je doživeo nacističke progone mnogih uvaženih članova fakulteta 1933. godine, među njima i Hermana Vajl, koji ga je nasledio na katedri nakon penzionisanja 1930. godine. Nemačku je morao napustiti i Paul Bernajs, njegov saradnik na području matematičke logike i koautor značajne knjige Die Grundlagen der Mathematik (izdane 1934. i 1939. godine). To je bio nastavak knjige Hilberta i Akermanna Načela teorijske logike iz 1928. godine. Do Hilbertove smrti 1943. godine, nacisti su oterali većinu naučnika sa fakulteta tako da je njegovom sprovodu prisustvovala samo nekolicina akademika.

Na njegovom spomeniku u Getingenu, piše:

Mi moramo znati.

Mi ćemo znati.

Hilbertova osnovna teorema

Hilbertov prvi rad na nepromenljivim funkcijama doveo ga je 1888. do poznatog teorema konačnosti. Dvadeset godina ranije, Paul Gordan je demonstrirao teorem o konačnosti generatora binarnih oblika koristeći vrlo komplikovane proračune koji su onemogućili poopštavanje samog metoda na funkcije sa više od dve varijable. Hilbert je uočio potrebu sasvim drugačijeg pristupa. Kao rezultat demonstrirao je „Hilbertov osnovni teorem“ koji pokazuje postojanje konačnog skupa generatora nezavisno od broja promeljivih, u apstraktnom obliku.

Hilbertova osnovna teorema kaže da ako je k polje, tada je svaki ideal u prstenu sastavljenom od više varijabilnih polinoma, k[x1, x2, ..., xn] konačno generisan. S gledišta algebarske geometrije, algebarski skup nad k može biti opisan kao zajednički skup rešenja konačno mnogo polinomijalnih jednačina.

Hilbert je došao do dokaza kontradikcijom koristeći se matematičkom indukcijom. Njegova metoda ne daje algoritam koji će proizvesti konačno mnogo osnovnih polinoma za dati ideal, nego samo pokazuje njihovo postojanje.

Jednostavnija verzija Hilbertovog osnovnog teorema kaže: ako je R levi (odnosno desni) Neterov prsten, tada polinomijalni prsten R[X] je isto levi (odnosno desni) Neterov prsten.

Ako je, an ≠ 0, tada degf: = n i an je vodeći koeficijent od f. Neka I bude ideal u R[x] i pretpostavimo da I nije konačno generisan. Tada induktivno konstruisani niz f1,f2,... elemenata od I takav da fi + 1 ima minimalan stupanj među elementima od, gde je Ji ideal generisan od f1,...,fi.

Neka je ai vodeći koeficijent od fi i neka je J ideal od R generisan od niza a1,a2,.... Pošto je R Neterijan postoji N takav da je J generisan od a1,...,aN. Zbog toga za neke slučajeve postiže kontradikcija, ako se zna gde je ni = degfN + 1 − degfi, zbog degg = degfN + 1 i njihovi vodeći koeficijenti odgovaraju, tako da je fN + 1 − g strogo manjeg stupnja od degfN + 1, a to je u kontradikciji sa izborom fN + 1. Na taj način dobija se da je I konačno generisan. Pošto je za I uzet proizvoljan ideal u R[x], svaki ideal u R[x] je konačno generisan i sledi da je R[x] Neterijan.

To je bio dokaz postojanja konačnog skupa generatora, a ne proračun i oslanjao se na zakon ekskluzivne sredine u beskonačnosti. Objavljivanje tog rada u Mathematische Annalen je odbijeno s razlogom da nije sveobuhvatan i potpun, te da se uopšte ne radi o matematici. Hilbert u sledećem članku, koji opet šalje u Annalen, proširio svoju metodu dajući proračune o maksimalnom stupnju minimalnog seta generatora. Taj rad je ocenjen kao najznačajnije delo u području opšte algebre koje je časopis ikada objavio.

Aksiomatizacija geometrije

U tekstu Osnove geometrije (nem. Grundlagen der Geometrie) koju objavljuje 1899. Hilbert predlaže set tzv. Hilbertovih aksioma kojima zamenjuje tradicionalne Euklidove aksiome. Ti aksiomi ispravljaju slabosti uočene kod Euklidovih aksioma koji su se do tada koristili doslovce kao što su napisani. Nezavisno od Hilberta devetnaestgodišnji student Robert Li Mur je objavio jednaki set aksioma. Neki od njih se podudaraju a neki odgovaraju teoremima u Hilbertovom setu i obrnuto. Hilbertov pristup označio je prebacivanje na modernu aksiomatsku metodu. Aksiomi se više ne uzimaju kao istiniti sami po sebi.

Geometrija može da tretirara stvari, o kojima imamo snažnu intuiciju, ali nije nužno da se pripiše ekplicitno značenje nedefinisanim konceptima. Elementi kao što su: tačka, dužina, ravan i ostali mogu se zameniti, kao što je Hilbert rekao stolovima, stolicama, čašama piva i ostalim takvim objektima. Bitan je samo njihov definisani odnos.

Hilbert prvi označava nedefinisane koncepte: tačka, linija, ravan, leži na (odnos između tačaka i linija, tačaka i ravni, i linija i ravni), između kongruencije parova tačaka i kongruencija uglova. Aksiomi ujedinjavaju geometriju ravni i geometriju prostora u jedan sistem.

Hilbertova 23 problema

Hilbert je prezentirao, u obliku govora „Problemi matematike“, listu nerešenih problema na internacionalnom kongresu matematičara u Parizu 1900. godine, koju je kasnije proširio na 23 problema. Tim govorom je želio da zaokruži matematički jako uspešni 19. vek i predvidi razvoj matematike u budućnosti. Tom prilikom je rekao:

„Ako verujem u razvoj matematičkog znanja u bliskoj budućnosti, moramo se pozabaviti nedovršenim pitanjima i rešiti probleme koje zadaje današnja nauka, a čija rešenja očekujemo. Znamo da svaki vek nosi svoje probleme koje sledeći vek rješava ili zamjenjuje novim. Kraj sjajne epohe poziva nas da se osvrnemo na prošlost, ali i da pogledamo u nepoznatu budućnost.“

Hilbert je smatrao da su dva najveća dostignuća u prethodnom veku: razvoj aritmetike kontinuuma, kojoj su doprineli Koši, Bolkano i Kantor, i prihvaćanje neeuklidske geometrije Gausa, Boljaja i Lobačevskog.

Njegovi problemi su jako različiti. Neki su toliko opširni da predstavljaju cela područja koja treba istražiti. Drugi su pak puno konkretniji i rešeni su jako brzo. Ima i onih koji su rešeni suprotno Hilbertovim očekivanjima, ali i onih o kojima se i danas jako malo zna.

Hilbert je probleme podelio u četiri grupe. U prvoj se nalazi šest osnovnih problema, drugih šest se odnosi na njegovo istraživanje teorije brojeva, treća grupa od šest problema predstavlja mešavinu algebarskih i geometrijskih problema. Poslednjih pet problema odslikava Hilbertove interese.

Sam Hilbert, kao ni njegovi učenici, nisu se previše bavili rešavanjem ovih problema, već su se posvetili izučavanju Hilbertovog prostora. Međutim, problemi su bili jako brzo prihvaćeni od strane mladih matematičara, koji su svoja istraživanja usmerili u pravcima koje je Hilbert i predvideo. Značaj ovih problema može se videti i u tome što je rešavanje bilo kojeg od njih bilo povod za proslave i dodele nagrada. Hilbert je verovao da „dokle god neka grana nauke nudi mnoštvo problema, dotle će i živeti“ pa je u tom duhu izložio svoje probleme.

Nekoliko primera problema:

• Rešivost Diofantove jednačine

Da li je moguće razviti algoritam koji će moći da pokaže da li se data Diofantova jednačina, sa proizvoljno mnogo nepoznatih i sa racionalnim koeficijentima, može rešiti u konačno mnogo koraka? Npr. linearna Diofantova jednačina.

Na kraju se ispostavilo da se ne može razviti takav algoritam.

Pitanje aksiomatizacije fizike

Istraživanjima u samim osnovama geometrije nameće se problem: da li je moguće posmatrati, kao aksiome, ona saznanja u fizici u kojima matematika igra bitnu ulogu; tu se pre svega misli na teoriju relativnosti i mehaniku. Hilbert je smatrao da bi bilo dobro kada bi njihova praktična saznanja bila logična nadogradnja teorije koja je zasnovana na usuglašenim aksiomima.

Nije rešen.

Problem topologije algebarskih krivih i površina. Nije rešen.

Hilbertovi problemi su postali svojevrsni manifest koji je otvorio put razvoju formalističke škole, jedne od tri glavne matematičke škole 20. veka. Prema formalistima, matematika je igra lišena značenja u kojoj se igra sa simbolima bez značenja prema formalnim pravilima koji su dogovoreni unapred. To je autonomna igra misli. Ipak postoje sumnje da je Hilbertov način posmatranja bio formalistički u ovom smislu.

Hilbertov program

Hilbert je 1920. predložio istraživački projekt koji je postao poznat kao Hilbertov program. Želio je da se matematika formuliše na čvrstoj i potpunoj logičkoj podlozi. Verovao je da se u principu ovo može učiniti pokazujući:

• da sva matematika proizlazi iz ispravno odabranog konačnog sistema aksioma
• da je takav sistem aksioma dokazivo konzistentan kroz neke karakteristike kao što je račun epsilona

Ovaj program je prepoznatljiv u popularnoj filozofiji matematike gde se obično naziva formalizam. Na primer, Burbaki grupa (grupa francuskih matematičara 20. veka) prihvatila je selektivnu verziju programa kao prikladnu za zahteve njihovog dvojnog projekta koji se sastojao od: pisanja pregleda temeljnih radova i podržavanje aksiomatske metode kao istraživačkog pomagala. Ovaj pristup bio je uspešan u vezi sa Hilbertovim radovima u području algebre i funkcionalne analize, ali nije uspeo da privuće interest na području fizike i logike.

Gedelov doprinos

Hilbert i njegovi talentovani matematičari s kojima je radio bili su potpuno predani svom radu. Nastojali su podupru aksiomatizovanu matematiku sa definisanim principima, kojima su mogli izbaciti sve nesigurnosti u teoriji, ali na kraju ipak nisu uspeli.

Gedel je pokazao da svaki ne kontradiktorni formalni sistem koji bi bio dovoljno opsežan da bi uključio barem aritmetiku ne može sam svojim aksiomima pokazati svoju potpunost. Godine 1931, njegov teorem nepotpunosti pokazao je da Hilbertov veliki plan od početka nije bio moguć. Sledeća dostignuća teorije dokaza, u najmanju ruku, razjašnjavaju doslednost koja se odnosi na teorije kojima su matematičari zaokupljeni. Hilbert svojim radom započinje logički pristup razjašnjavanju problema. Potreba za razumijevanje Gedelovog rada, na kraju dovodi do razvoja rekurzivne teorije i matematičke logike kao zasebne discipline u 1930-ima.

Funkcionalna analiza

Oko 1909. godine, Hilbert se posvećuje istraživanju diferencijalnih i integralnih jednačina, te je tako neposredno uticao na veliki deo moderne funkcionalne analize. Kako bi sproveo svoja istraživanja, Hilbert uvodi koncept beskonačno dimenzionalnog Euklidovog prostora, kasnije nazvanog Hilbertov prostor. Njegov rad u ovom području analize daje važan doprinos matematici u fizici. Kasnije je Stefan Banač proširio njegov koncept te ga nazvao Banačov prostor. Koncept Hilbertovog prostor je najvažnija ideja u području funkcionalne analize u 20. veku.

Hilbertov prostor

Matematički koncept Hilbertovog prostora generalizuja pojam Euklidovog prostora na način kojim proširuje metode vektorske algebre sa 2-dimenzionalnog i 3-dimenzionalnog prostora na beskonačno dimenzionalan prostor. To je apstraktni vektorski prostor u kojem udaljenosti i uglovi mogu biti izmereni i ceo se nalaze u tom prostoru.

Hilbertov prostor se pojavljuje u matematici, fizici i inženjerstvu. Kao alat je nezamjenjiv u teorijama parcijalnih diferencijalnih jednačina, a u kvantnoj mehanici njegova važnost se vidi u tome što, nudi najbolju matematičku formalizaciju kvantne mehanike. Prepoznavanje uobičajenih algebarskih struktura unutar ovih različitih područja stvorilo je konceptualno razumevanje, a uspehom metoda Hilbertovog prostora započeli su plodonosnu eru za funkcionalnu analizu.

Geometrijska intuicija igra važnu ulogu u mnogim aspektima teorije. Element Hilbertovog prostora može biti jedinstveno određen sa svojim koordinatama s obzirom na ortonormiranu bazu. Osnovna intuicija, koja stoji iza Hilbertovog prostora je vrlo jednostavna: U velikom nizu fizičkih i matematičkih situacija, linearan problem može biti prikazan unutar nekog Hilbertovog prostora i analiziran u jednostavnom geometrijskom smislu.

Još jedan od razloga uspjeh teorije Hilbertovog prostora je i u činjenici da: Iako se mogu razlikovati po podreklu i izgledu, većina Hilbertovih prostora gledano u matematici i fizici, su samoumnožena manifestacija jednog odvojenog Hilbertovog prostora.

Doprinos u fizici

Do 1912. godine, Hilbert je bio isključivo matematičar. Čak se i njegov prijatelj i kolega matematičar Hermann Minkovski, koji se u Bonu bavio istraživanjima u fizici, šalio da bi trebalo da provede 10 dana u karantinu pre nego što poseti Hilberta. U stvari, Minkovski je najviše zaslužan za većinu Hilbertovih istraživanja u fizici do 1912. godine, uključujući njihov zajednički seminar 1905. godine.

Tri godine nakon što je umro Minkovski, Hilbert se skoro potpuno posvetio fizici. Počinje da istražuje teoriju kinetike gasova, a posle se prebacuje na istraživanje osnova radijacije i molekularne teorije materije. Čak i u vreme rata prisustvuje predavanjima Alberta Ajnštajna i drugih fizičara.

Hilbert 1915. godine poziva Ajnštajna u Getingen kako bi održao nedelju dana predavanja o svojoj teoriji relativnosti i teoriji gravitacije. Razmenom ideja došli su do krajnjeg oblika jednačina polja iz teorije relativnosti, kasnije nazvane Ajnštajnova jednačina polja i Ajnštajn-Hilbertov postupak. Ajnštajn i Hilbert međusobno su se dopisivali o tome ko je prvi otkrio jednačine polja, ali nikad o tome nisu pokrenuli javnu raspravu.

Nadalje, njegov rad je omogućio napredak u matematičkoj formulaciji kvantne mehanike. Herman Vajlovo i Džon fon Nojmanovo razmatranje Hilbertovog rada bilo je ključno za njihov rad na matematičkoj ekvivalenciji Hajzenbergove matrične mehanike i Šrodingerove talasne jednačine, gde Hilbertov prostor odigrava važnu ulogu u kvantnoj teoriji. Godine 1926, fon Nojman je pokazao da ako na atomska stanja gledamo kao na vektore u Hilbertovom prostoru, tada će oni odgovarati Šrodingerovoj teoriji talasnih funkcija i Hajzenbergovim matricama.

Za vreme bavljenja fizikom, Hilbert pokušava da uvede matematičku strogoću u fizici. Iako su bili zavisni od više matematike, fizičari su je nespretno koristili. Kao čistom matematičaru, Hilbertu je tako korištena matematika bilo izrazito ružna i teško razumljiva. Sa sve većim poznavanjem fizike i načinom korištenja matematike u fizici, Hilbert razvija koherentnu matematičku teoriju koju smatra vrlo važnom u području integralnih jednačina. Kad je Ričard Kurant napisao knjigu „Metode matematičke fizike“ koja uključuje neke Hilbertove ideje, postavio ga je kao koautora knjige iako nije direktno doprineo pisanju knjige.

Hilbert je jedanput rekao „fizika je preteška za fizičare“, želeći time reći da je njima potrebna matematika preteška, pa im Kurant-Hilbertova knjiga to olakšava.

Teorija brojeva

Hilbert ujedinjuje područje algebarske teorije brojeva sa svojom teorijskom raspravom Захлберицхт („izveštaj o brojevima“ ). U širem smislu rešio se Varingovog problema. Tada već ima nešto više da objavi o toj temi, ali tek pojavljivanjem Hilbertovih modularnih formi u disertaciji njegovog studenta vidimo koliko je on vezan za to područje.

Napravio je mnogo pretpostavki na klasičnoj teoriji polja. Taj koncept je bio vrlo uticajan, a njegov doprinos se najbolje vidi po nazivima Hilbertova klasa polja i Hilbertovog simbola za lokalnu klasičnu teoriju polja.

Rezultati njegovih teorija, u ovom području većinom su dokazani 1930. godine, nakon revolucionarnog rada Teijija Takagija, zbog kojeg postaje prvi Japanski internacionalni matematičar.

Hilbert nije radio na samoj srži teorije analitičkih brojeva, ali je njegovo ime postalo poznato po Hilbert–Pojevoj pretpostavci.

Neke zanimljivosti

• Hilbert je bio strani član Londonskog kraljevskog društva za unapređenja u prirodnim naukamama, poznatog kao The Royal Society. Godine 1910. bio je nagrađen drugom Boljajevom nagradom.
• Za vreme nacističkih progona, na jednoj zabavi sedio je pored Nemačkog ministra obrazovanja Bernharda Rusta. Rust ga je pitao: „Kako je matematika sada u Getingenu kad je oslobođena uticaja židova? “ A Hilbert je odgovorio: „Matematika u Getingenu? Tamo je stvarno više nema.“
• Imao je Erdosov broj 4. Broj koji se dodeljuje u čast Mađarskom matematičaru Paulu Erdosu. Da bi netko dobio Paul Erdosov broj, treba da bude koautor nekog matematičkog članka sa autorom koji poseduje Erdosov broj. Kako to izgleda vidi se na sledećem prikazu: Ako Ana surađuje sa Paul Erdosom na jednom članku, a sa Markom na drugom, a da pri tom Marko nikad ne surađuje sa samim Erdosom. Marko će dobiti Erdosov broj 2, jer je dva koraka udaljen od Erdosa.

Literatura

Primarna literatura

• Ewald, William B., ed., 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Uni. Press.
  • 1918. "Axiomatic thought," 1115–14.
  • 1922. "The new grounding of mathematics: First report," 1115–33.
  • 1923. "The logical foundations of mathematics," 1134–47.
  • 1930. "Logic and the knowledge of nature," 1157–65.
  • 1931. "The grounding of elementary number theory," 1148–56.
  • 1904. "On the foundations of logic and arithmetic," 129–38.
  • 1925. "On the infinite," 367–92.
  • 1927. "The foundations of mathematics," with comment by Weyl and Appendix by Bernays, 464–89.
• Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard University Press.
• Hilbert, David (1950) [first published 1902], The Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie] (PDF), English translation by E.J. Townsend (2nd izd.), La Salle, IL: Open Court Publishing 
• Hilbert, David (1990) [1971]. Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie]. translated by Leo Unger from the 10th German edition (2nd English izd.). La Salle, IL: Open Court Publishing. ISBN 978-0-87548-164-7. 
• Hilbert, David; Stephan Cohn-Vossen (1999). Geometry and Imagination. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1998-2.  - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.
• Hilbert, David (2004). Michael Hallett and Ulrich Majer, ur. David Hilbert's Lectures on the foundations of Mathematics and Physics, 1891–1933. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-64373-9. 

Sekundarna literatura

• Bertrand, Gabriel (20. 12. 1943b), „Allocution”, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (na jeziku: French), Paris, 217: 625—640 CS1 održavanje: Neprepoznat jezik (veza), available at Gallica. The "Address" of Gabriel Bertrand of December 20, 1943 at the French Academy: he gives biographical sketches of the lives of recently deceased members, including Pieter Zeeman, David Hilbert and Georges Giraud.
• Umberto, Bottazzini (2003). Il flauto di Hilbert. Storia della matematica. UTET. ISBN 978-88-7750-852-2. 
• Corry, L., Renn, J., and Stachel, J., 1997, "Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute," Science 278: nn-nn.
• Dawson, John W. Jr (1997). Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel. Wellesley MA: A. K. Peters. ISBN 978-1-56881-256-4. -
• Folsing, Albrecht, 1998. Albert Einstein. Penguin.
• Grattan-Guinness, Ivor, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870-1940. Princeton University Press.
• Gray, Jeremy (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850651-5. 
• Mancosu, Paolo (1998). From Brouwer to Hilbert, The Debate on the Foundations of Mathematics in 1920s. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-509631-6. 
• Mehra, Jagdish, 1974. Einstein, Hilbert, and the Theory of Gravitation. Reidel.
• Odifreddi, Piergiorgio (2003). Divertimento Geometrico - Da Euclide ad Hilbert. Bollati Boringhieri. ISBN 978-88-339-5714-2.  A clear exposition of the "errors" of Euclid and of the solutions presented in the Grundlagen der Geometrie, with reference to non-Euclidean geometry.}-
• Reid, Constance (1996). Hilbert. Springer Science and Business Media. ISBN 978-0-387-94674-0.  The definitive English-language biography of Hilbert.}-
• Rowe, D. E. (1989). „Klein, Hilbert, and the Gottingen Mathematical Tradition”. Osiris. 5: 186—213. S2CID 121068952. doi:10.1086/368687. 
• Sauer, Tilman (1999). „The relativity of discovery: Hilbert's first note on the foundations of physics”. Arch.hist.ex.sci. 53: 529—575. Bibcode:1998physics..11050S. arXiv:physics/9811050 . 
• Sieg, Wilfried, and Ravaglia, Mark, 2005, "Grundlagen der Mathematik" in Ivor Grattan-Guinness, ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 981-99. (in English)
• Thorne, Kip (1995). Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy. W. W. Norton & Company; Reprint edition. ISBN 978-0-393-31276-8. 
• Dath, Dietmar (2003). Höhenrausch. Die Mathematik des 20. Jahrhunderts in zwanzig Gehirnen. Frankfurt a. M.: Eichborn. стр. 29—48. ISBN 978-3-8218-4535-7. 
• Apostolos Doxiadis, Christos H. Papadimitriou: Logicomix - Eine epische Suche nach der Wahrheit, Süddeutsche Zeitung Bibliothek. 2012. ISBN 978-3-86497-004-7.
• Rudolf Larenz: Der Wille zum widerspruchsfreien Wissen. Zum 150. Geburtstag von David Hilbert In: Die Tagespost, Würzburg, 21. Januar 2012, Seite 10.
• Jules Leveugle: La Relativité, Poincaré et Einstein, Planck, Hilbert. Paris 2004
• Hermann Minkowski: Briefe an David Hilbert.. Herausgegeben von L. Rüdenberg und H. Zassenhaus. Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg. 1973. ISBN 978-3-540-06121-2.
• Reid, Constance (1972). Hilbert (2nd izd.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-04999-1. . ISBN 978-3-540-04999-9.
• Constance Reid (1996). Hilbert. New York: Copernicus Books. ISBN 978-0-387-94674-0.  (maßgebliche Hilbert-Biographie).
• Kurt Reidemeister (ed): Hilbert – Gedenkband.. Springer, Berlin, Heidelberg & New York. 1971. ISBN 978-3-540-05292-0.
• Klaus P. Sommer: Wer entdeckte die Allgemeine Relativitätstheorie? Prioritätsstreit zwischen Hilbert und Einstein. In: Physik in unserer Zeit. Band 36(5), S. 230–235, 2005.

Spoljašnje veze

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „David Hilbert”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
• Hilbertovi problemi (jezik: engleski)

• Hilbert Bernays Project
• Hilbert's 23 Problems Address
• ICMM 2014 dedicated to the memory of D.Hilbert
• David Hilbert na sajtu Projekat Gutenberg (jezik: engleski)
• Hilbert's radio speech recorded in Königsberg 1930 (in German) Архивирано на сајту Wayback Machine (14. фебруар 2006), with English translation Архивирано на сајту Wayback Machine (12. новембар 2020)
• 'From Hilbert's Problems to the Future' Архивирано на сајту Wayback Machine (14. мај 2008), lecture by Professor Robin Wilson, Gresham College, 27 February 2008 (available in text, audio and video formats).
• David Hilbert in Königsberg – Vortrag von Peter Roquette, gehalten am 30. September 2002 an der Mathematischen Fakultät Kaliningrad
• Radioansprache 1930 als Tondokument Архивирано на сајту Wayback Machine (14. фебруар 2006) (MP3; 1,7 MB) und als Textdokument Архивирано на сајту Wayback Machine (12. новембар 2020) (Zitat „Wir müssen wissen, wir werden wissen.“; PDF; 52 kB)