Množenje
Množenje je binarna operacija u matematici. Zapisuje se kao a · b ili a × b. Operandi a i b se nazivaju činioci (faktori), a rezultat množenja proizvod.[1]
Ako je jedan operand prirodan broj, onda množenje predstavlja skraćeni zapis sabiranja. Npr, ako je n ∈ ℕ, onda je
U algebri se oznaka za množenje podrazumeva i može se preskočiti, pa se 3 · a · b može zapisati i kao 3 a b[2]
Na primer, 4 pomnoženo sa 3, često napisano kao i izgovoreno kao „3 puta 4”, može se izračunati dodavanjem 3 kopije od 4 zajedno:
Ovde su 3 (množilac) i 4 (množenik) činioci, a 12 je proizvod.
Jedno od glavnih svojstava množenja je komutativno svojstvo, koje u ovom slučaju navodi da sabiranje 3 kopije od 4 daje isti rezultat kao dodavanje 4 kopije od 3:
Sistematske generalizacije ove osnovne definicije definišu množenje celih brojeva (uključujući negativne brojeve), racionalnih (razlomaka) i realnih brojeva.
Množenje se takođe može vizualizovati kao brojanje objekata raspoređenih u pravougaonik (za cele brojeve) ili kao pronalaženje površine pravougaonika čije stranice imaju neke date dužine. Površina pravougaonika ne zavisi od toga koja se stranica prva meri — posledica komutativnog svojstva.
Proizvod dva merenja je nova vrsta merenja. Na primer, množenjem dužina dve strane pravougaonika dobija se njegova površina. Takav proizvod je predmet dimenzionalne analize.[3][4][5]
Inverzna operacija množenju je deljenje.[6] Na primer, pošto je 4 pomnoženo sa 3 jednako 12, 12 podeljeno sa 3 je jednako 4.
Množenje brojeva[uredi | uredi izvor]
Osobine[uredi | uredi izvor]
Množenje ima prioritet nad sabiranjem. Množenje brojeva ima sledeće osobine (za množenje drugih objekata pogledati niže u tekstu):
1. | (neutral) |
2. | (svaki broj pomnožen nulom jednak je nuli) |
3. | (asocijativnost) |
4. | komutativnost |
5. | distributivnost množenja prema sabiranju |
- Na skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj, takav da je njihov proizvod jedinica:
Inverzan broj broja se zapisuje kao . Inverzan broj inverznog broja je polazni broj:
Množenje celih brojeva[uredi | uredi izvor]
Prilikom množenja celih brojeva, ako su oba istog znaka (oba pozitivna ili negativna), rezultat je pozitivan. Proizvod pozitivnog i negativnog broja je negativan.
Racionalni činioci[uredi | uredi izvor]
Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca činilaca, a imenilac proizvod imenilaca činilaca:
Iracionalni činioci[uredi | uredi izvor]
Neka je b ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj, tada je proizvod a · b granična vrednost
gde je racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja b.
Množenje kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]
Svaki kompleksan broj z možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom (polarnom) zapisu:
- .
Kako je , formula za množenje u algebarskom zapisu glasi
- .
Iz trigonometrijskih jednačina sledi formula za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:
Množenje vektora[uredi | uredi izvor]
Postoji nekoliko vrsta množenja vektora: množenje vektora skalarom, skalarni, vektorski i mešoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora se obeležava sa „·“, a vektorski sa „ד.
Posmatrajmo vektor u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru: .
Množenje vektora skalarom[uredi | uredi izvor]
Vektor se množi skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna.
Skalarni proizvod[uredi | uredi izvor]
Skalarni proizvod vektora je skalar jednak sumi proizvoda odgovarajućih koordinata:
Skalarni proizvod je komutativan.
Vektorski proizvod[uredi | uredi izvor]
Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralelograma koji vektori-činioci zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-činioci definišu, a smer se definiše pravilom leve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za , i antikomutativan je.[7] Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice:[8][9][10]
gde su i ortovi duž x, y i z ose.
Mešoviti proizvod[uredi | uredi izvor]
Mešoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [a, b, c] i po definiciji je:
Množenje matrica[uredi | uredi izvor]
Neka su date matrice А i B veličine mА×nА i mB×nB. Proizvod AB je definisan ako je nА = mB, a dobijena matrica ima dimenzije mА×nB. Elementi matrice-proizvoda su
Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator:[11][12]
Vidi još[uredi | uredi izvor]
Reference[uredi | uredi izvor]
- ^ Devlin, Keith (januar 2011). „What Exactly is Multiplication?”. Mathematical Association of America. Pristupljeno 14. 5. 2017. „With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first)”
- ^ Khan Academy (14. 8. 2015), Intro to multiplication | Multiplication and division | Arithmetic | Khan Academy, Pristupljeno 7. 3. 2017
- ^ Fourier, Joseph (1822), Theorie analytique de la chaleur (na jeziku: francuski), Paris: Firmin Didot
- ^ BIPM (2019). „2.3.3 Dimensions of quantities”. SI Brochure: The International System of Units (SI) (PDF) (na jeziku: engleski i francuski) (v. 1.08, 9th izd.). str. 136—137. ISBN 978-92-822-2272-0. Pristupljeno 1. 9. 2021.
- ^ Buckingham, Edgar (1914), „On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Analysis”, Physical Review, 4 (4): 345—376, Bibcode:1914PhRv....4..345B, doi:10.1103/PhysRev.4.345, hdl:10338.dmlcz/101743
- ^ Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017). Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment (na jeziku: engleski). CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. Arhivirano iz originala 2021-02-21. g. Pristupljeno 2020-10-15.
- ^ Bourbaki, Nicolas (1989), „Chapter III. Tensor algebras, exterior algebras, symmetric algebras”, Algebra. Chapters 1–3, Elements of Mathematics (2nd printing izd.), Berlin-Heidelberg-New York City: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, MR 0979982, Zbl 0904.00001
- ^ „Determinants and Volumes”. textbooks.math.gatech.edu. Pristupljeno 16. 3. 2018.
- ^ Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th izd.), Wiley International
- ^ Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd izd.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
- ^ Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
- ^ Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd izd.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
Literatura[uredi | uredi izvor]
- Boyer, Carl B. (1991). History of Mathematics. Merzbach, Uta C. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
- Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan
- Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
- Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd izd.), Boston: Allyn and Bacon
- Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2nd izd.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8.
- Gandz, S. (januar 1936). „The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra”. Osiris. 1: 263—277. JSTOR 301610. S2CID 60770737. doi:10.1086/368426.
- Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X.
- Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6.
- Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.
- Euler, Leonhard (2005). Elements of Algebra. ISBN 978-1-899618-73-6. Arhivirano iz originala 2011-04-13. g.
- Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X.
- Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press.
- Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books. ISBN 978-0140277784.
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). „History Topics: Algebra Index”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Arhivirano iz originala 2016-03-03. g. Pristupljeno 2011-12-10.
- Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books.
- Bareiss, Erwin (1968), „Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination” (PDF), Mathematics of Computation, 22 (102): 565—578, JSTOR 2004533, doi:10.2307/2004533, Arhivirano (PDF) iz originala 2012-10-25. g.
- de Boor, Carl (1990), „An empty exercise” (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3—7, S2CID 62780452, doi:10.1145/122272.122273, Arhivirano (PDF) iz originala 2006-09-01. g.
- Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435
- Bunch, J. R.; Hopcroft, J. E. (1974). „Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication”. Mathematics of Computation. 28 (125): 231—236. doi:10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8 .
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd izd.), Hoboken, NJ: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264
- Fisikopoulos, Vissarion; Peñaranda, Luis (2016), „Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation”, Computational Geometry, 54: 1—16, doi:10.1016/j.comgeo.2015.12.001
- Garibaldi, Skip (2004), „The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions”, American Mathematical Monthly, 111 (9): 761—778, JSTOR 4145188, MR 2104048, arXiv:math/0203276 , doi:10.2307/4145188
- Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). „A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems” (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98—109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007 . Arhivirano (PDF) iz originala 2019-05-05. g.
- Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495
- Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ur., A history of abstract algebra, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1
- Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894