Пријатељски број

Природни бројеви a и b чине пријатељски пар бројева ако је збир правих делитеља броја a (оних који су мањи од a) једнак броју b и истовремено збир правих делитеља броја b једнак је броју a. Другим речима два броја су пријатељски бројеви ако је сваки од њих сума правих делилаца другог броја. Под правим делиоцима неког природног броја ņ подражумевају се сви делиоци овог броја, укључујући и број 1, изузев самог броја ņ.^[1]

Такав пар није нимало једноставно наћи. Најмањи је (220, 284). Прави делитељи броја 220 су: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, а њихов збир је управо 284. Збир правих делитеља броја 284 је једнак 220.

Познати француски математичар Ферма нашао је 1636. године други пар пријатељских бројева (17 296, 18 416). Заједно са Декартом, Ферма је открио правило за формирање таквих парова. Касније се испоставило да је за то знао, далеко пре њих, још у 10. веку, арапски математичар по имену Абу-л-Хасан Сабит ибн Марван ас-Саби ал Харани.

Следећи текст транспарентно показује његов приступ:

Уколико су једначине (p = 3x2^n-1 – 1), (q = 3x2^n-1 – 1) i (r = 9x2^n-1 – 1) валидне, а свака од споменутих варијабли, односно „p“, „q“ i „r“ буду прости бројеви већи од 2, тада ће бројеви „2ⁿpq“ i „2ⁿr“ бити „пријатељски бројеви“.^[2]^{‍:стр. 217.}

Сабит ибн Кура у X веку, пре других математичара, у својим истраживањима долази до прва два пријатељска броја, тачније до пара 284 и 220. Сабитово откриће је у исламском свету било толико познато да није било могуће пренебрегнути га. Ово достигнуће су многи други муслимански математичари и аритметичари, попут Бин Бена Маракешија, Кемалудина Фарсија и Бин Хидра, користили у својим књигама и научним тракатима много пре Пјера де Ферме и нешто после Сабита.^[2]^{‍:стр. 255.}

У 18. веку Ојлер је објавио списак од 64 пара пријатељских бројева, међу којима су два била погрешна. Шеснаестогодишњи Италијан Паганини нашао је 1867. године пар пријатељских бројева (1 184, 1 210) који су далеко мањи од Фермаових.

Уз помоћ рачунара данас је пронађено више од 600 пријатељских парова. Прво место на листи заузима (220,284), иза њега је Паганинијев (1 184, 1 210), затим долази (2 620, 2 924) итд. Фермаов пар је тек на 8. месту.

Парност пријатељског броја

У свим познатим паровима пријатељских бројева, оба су парна или, што је много ређе, оба непарна. Није познато да ли постоји мешовит пар, састављен од једног парног и једног непарног броја. Такође, није позната формула та све пријтељске парове, нити се зна да ли их има коначно или бесконачно много.

Хронологија пријатељских бројева

Откриће пријатељских бројева се приписује грчким математичарима. Сматра се да је Питагора нашао један пар таквих бројева: 220 и 284. Заиста прави делиоци броја 220 су 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 и њихова сума је 284. Делиоци броја 284 су 1, 2, 4, 71, и 142 и њихова сума је тачно 220.

У периоду од 2000 година ово је био једини пар пријатељских бројева.

У деветом веку Табнт Ибн Кора је у виду теореме предложио алгоритам за регенерисање нижа пријазељских бројева.

Примери парова пријатељских бројева

17296 и 18426: 9363584 9437056

Пријатељски бројеви до 1 000 000

220 и 284
1184 и 1210
2620 и 2924
5020 и 5564
6232 и 6368
10744 и 10856
12285 и 14595
17296 и 18416
63020 и 76084
66928 и 66992
67095 и 71145
69615 и 87633
79750 и 88730
100485 и 124155
122265 и 139815
122368 и 123152
141664 и 153176
142310 и 168730
171856 и 176336
176272 и 180848
185368 и 203432
196724 и 202444
280540 и 365084
308620 и 389924
319550 и 430402
356408 и 399592
437456 и 455344
469028 и 486178
503056 и 514736
522405 и 525915
600392 и 669688
609928 и 686072
624184 и 691256
635624 и 712216
643336 и 652664
667964 и 783556
726104 и 796696
802725 и 863835
879712 и 901424
898216 и 980984

Истина или празноверје

Ово фантасично својство поменутог пара бројева, послужило је да се осигура нераскидиво пријатељство између особа које их носе.

Види још

Референце

^ Петковић, Миодраг (2008). Занимљиви математички проблеми великих математичара. Друштво математичара Србије.
^ ^а ^б Velajati, Ali Akbar (2016), Istorija kulture i civilizacije islama i Irana, preveo Muamer Halilović, Beograd, Centar za religijske nauke „Kom”.

Литература

Овај чланак укључује текст из публикације која је сада у јавном власништву: Chisholm, Hugh, ур. (1911). „Amicable Numbers”. Encyclopædia Britannica (на језику: енглески) (11 изд.). Cambridge University Press.
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. стр. 32—36. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl 1079.11001.
Wells, D. (1987). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin Group. стр. 145—147.
Weisstein, Eric W. „Amicable Pair”. MathWorld.
Weisstein, Eric W. „Thâbit ibn Kurrah Rule”. MathWorld.
Weisstein, Eric W. „Euler's Rule”. MathWorld.
M. García; J.M. Pedersen; H.J.J. te Riele (2003-07-31). „Amicable pairs, a survey” (PDF). Report MAS-R0307.

Спољашње везе

Grime, James. „220 and 284 (Amicable Numbers)”. Numberphile. Brady Haran. Архивирано из оригинала 2017-07-16. г. Приступљено 2013-04-02.
Grime, James. „MegaFavNumbers - The Even Amicable Numbers Conjecture”. YouTube. Архивирано из оригинала 2021-11-23. г. Приступљено 2020-06-09.
Koutsoukou-Argyraki, Angeliki (4. 8. 2020). „Amicable Numbers (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)”.

[1] Петковић, Миодраг (2008). Занимљиви математички проблеми великих математичара. Друштво математичара Србије.

[Istorija_kulture_i_civilizacije_islama_i_Irana-2] а ^б Velajati, Ali Akbar (2016), Istorija kulture i civilizacije islama i Irana, preveo Muamer Halilović, Beograd, Centar za religijske nauke „Kom”.

[1]

[2]