Geometrijski red

Svaki od ljubičastih kvadrata ima 1/4 površine od sledećeg većeg kvadrata  (1/2×1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16). Suma porvršina ljubičastih kvadrata predstavlja jednu trećinu površine velikog kvadrata.

U matematici, geometrijski red je red sa konstantnom razmerom između uzastopnih izraza. Na primer, red

${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$

je geometrijski, zato što svaki uzastopni izraz može biti dobijen množenjem prethodnog izraza 1/2. 

Geometrijski red je jedan od najjednostavnijih beskonačnih redova sa konačnim vrednostima, iako nemaju svi tu osobinu. Istorijski gledano, geometrijski red je igrao veoma važnu ulogu u ranom razvitku računa, ali i danas nastavlja da ima bitnu ulogu u učenju konvergentnih redova. Geometrijske serije se koriste u matematici, i oni imaju važan uticaj u fizici, inženjerstvu, biologiji, ekonomiji, računarstvu, teorijama i finansijama.

Količnik

Konvergencija geometrijskih redova sa r=1/2 i a=1/2

 Konvergencija geometrijskih redova r=1/2 i a=1

Izrazi za oblik geometrijske forme tj. geometrijska progresija, znači to da je količnik uzastopnih izraza konstantan. Ovaj odnos se koristi za prikazivanje geometrijskog reda sa samo dva izraza, r i a. Izraz r je delilac, a izraz a je prvi izraz ovog reda. Kao primer geometrijskog reda,

${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$

ovaj izraz se može napisati kao

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots$ , sa $r={\frac {1}{2}}$ i $a={\frac {1}{2}}$ .

Sledeća tabela pokazuje uzastopni geometrijski red sa različitim uzastupnim brojevima :

delilac, r	Početni izraz, a	Primeri reda
10	4	4 + 40 + 400 + 4000 + 40,000 + ···
1/3	9	9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ···
1/10	7	7 + 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ···
1	3	3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ···
−1/2	1	1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + 1/16 − 1/32 + ···
–1	3	3 − 3 + 3 − 3 + 3 − ···

Ponašanje izraza zavisi od delioca r.

Ako je r između −1 i +1, izraz reda postaje sve manji i manji, približavajući se nuli u ograničenju i red konvergira ka sumi . U slučaju iznad, gde je r jedna polovina, serija ima sumu jedan.

Ako je r  veće od jedan ili manje od minus jedan izraz reda postaje sve veći i veći. Suma izraza postaje takođe sve veća i veća, tako da red nema sumu. (Divergentni redovi.)

Ako je r  jednako jedan, svi izrazi reda su isti. Divergentni redovi.

Ako je r  minus jedan izrazi uzimaju dve ačternativne vrednosti (npr. 2, −2, 2, −2, 2,... ). Suma izraza oscilira između dve vrednosti (npr. 2, 0, 2, 0, 2,... ). Ovo je različit tip divergencije i opet red nema sumu. Videti na primer Gandijev red: 1 − 1 + 1 − 1 + ···.

Suma

Zbir geometrijskog reda je konačan i zavisi od toga da li je dužina apsolutne vrednosti delioca manji od 1; kao brojevi bliѕu nule, oni postaju veoma mali, omogućavajući to da se izračuna zbir uprkos tome što red sadrži beskonačno-mnogo izraza. Suma se može izračunati koristeći samosličnost reda-

Primer

Ilustracija samosličnosti zbira s. Uklanjajući najveći krug rezultira dobijanje sličnog kruga 2/3 originalne veličine.

Posmatrajmo zbir sledećeg geometrijskog niza:

$s\;=\;1\,+\,{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,\cdots .$

Red ima uzastupnog delioca koji iznosi 2/3. Ako pomnožimo ovaj izraz istim tim iznosom od 2/3, onda 1 postaje 2/3, a 2/3 postaje 4/9, i tako dalje:

${\frac {2}{3}}s\;=\;{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,{\frac {16}{81}}\,+\,\cdots .$

Ovaj novi red je ista kao i originalni, osim što nedostaje prvi član. Oduzimanjem novog reda (2/3) od originalnog reda s poništava svaki član u originalu osim prvog,

$s\,-\,{\frac {2}{3}}s\;=\;1,\;\;\;{\mbox{so }}s=3.$

Slična tehnika se koristi za izračunavanje ekspresije samosličnosti.

Formula

Za $r\neq 1$, zbir prvih n članova geometrijskog reda je

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a\,{\frac {1-r^{n}}{1-r}},$

gde je a prvi izraz ovog reda, a r uzastopni delilac. Možemo izvući ovu formulu kao:

${\begin{aligned}s&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1},\\rs&=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots +ar^{n},\\s-rs&=a-ar^{n},\\s(1-r)&=a(1-r^{n}),\end{aligned}}$

pa,

$s=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}\quad {\text{(if }}r\neq 1{\text{)}}.$

Ako n teži beskonačnosti, apsolutna vrednost r mora biti manja od jedan za konvergirajću red. Zbir tada postaje :

Kada je a = 1, ovo se može pojednostaviti na :

$1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1-r}},$

Leva strana posaje geometrijsi red sa uzastopnim deliocem r.

Formula takođe važi za r, sa odgovarajućom restrikcijom, modul r je striktno manji od jedan.

Dokaz konvergencije

Možemo dokazati da geometrijski red konvergira koristeći formulu zbira za geometrijsku progresiju :

${\begin{aligned}1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots &=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.\end{aligned}}$

Za (1 + r + r² + ... + rⁿ)(1−r) = 1−rⁿ⁺¹ i rⁿ⁺¹ → 0 za | r | < 1.

Konvergencija geometrijskog reda se može takođe dokazati ponovnim pisanjem reda kao ekvivalenti skraćeni red.

Posmatrati funkciju,

$g(K)={\frac {r^{K}}{1-r}}.$

Primetiti da,

$1=g(0)-g(1),r=g(1)-g(2),r^{2}=g(2)-g(3),\cdots$

Dakle

$S=1+r+r^{2}+r^{3}+...=(g(0)-g(1))+(g(1)-g(2))+(g(2)-g(3))+\cdots .$

Ako

$\left|r\right\vert <1$

onda

$g(K)\longrightarrow 0{\text{ as }}K\to \infty .$

Zaključujemo da S konvergira do

$g(0)={\frac {1}{1-r}}.$

Uprošćena formula

Za $r\neq 1$,  zbir prvih n članova geometrijskog reda je :

$\sum _{k=a}^{b}r^{k}={\frac {r^{a}-r^{b+1}}{1-r}},$

gde su $a,b\in \mathbb {N}$.

Formula se može izvesti:

 $b=n-1\Rightarrow n=b+1$

${\begin{aligned}\sum _{k=a}^{b}r^{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}r^{k}-\sum _{k=0}^{a-1}r^{k}\\&={\frac {1-r^{n}}{1-r}}-{\frac {1-r^{a}}{1-r}}\\&={\frac {1-r^{n}-1+r^{a}}{1-r}}\\&={\frac {r^{a}-r^{b+1}}{1-r}}.\end{aligned}}$

Aplikacije

Ponavljanje decimala

Ponavljanje decima se može posmatrati kao geometrijski red čiji je uzastupni delilac 1/10. Na primer :

$0.7777\ldots \;=\;{\frac {7}{10}}\,+\,{\frac {7}{100}}\,+\,{\frac {7}{1000}}\,+\,{\frac {7}{10000}}\,+\,\cdots .$

Formula za sumu geometrijskog reda se takođe može koristiti za konvertovanje decimala u razlomak,

$0.7777\ldots \;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {7/10}{1-1/10}}\;=\;{\frac {7}{9}}.$

Formula radi ne samo za jedno ponavljanje, već za grupu ponavljanja. Na primer :

$0.123412341234\ldots \;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {1234/10000}{1-1/10000}}\;=\;{\frac {1234}{9999}}.$

Primetiti da svaki red ponavljajućih uzastopnih decimala, može biti lako uprošćen :

$0.09090909\ldots \;=\;{\frac {09}{99}}\;=\;{\frac {1}{11}}.$

$0.143814381438\ldots \;=\;{\frac {1438}{9999}}.$

$0.9999\ldots \;=\;{\frac {9}{9}}\;=\;1.$

Drugačije rečeno, ponavljanje devima sa ponavljanjem dužine n je jednak količniku ponavljajućeg dela (kao jedan broj) i 10ⁿ - 1.

Arhimedova kvadratura parabole

Arhimedova disekcija paraboličnog segmenta u beskonačno mnogo trouglova.

Arhimed je koristio zbir geometrijskog reda da izračuna površinu zatvorenu parabolom i pravom linijom. Njegova zamisao je bila da secira površino u beskonačan broj trouglova.

Arhimoedova teorema kaže da je ukupna površina ispod parabole 4/3 površine plavog trougla.

Arhimed je izračunao da svaki zeleni trougao ima osminu površine plavog trougla, svaki žuti trouga ima osminu površine zelenog trougla, i tako dalje.

Pretpostavljajući da plavi trougao ima površinu 1, ukupna površina je beskonačan zbir:

$1\,+\,2\left({\frac {1}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}\,+\,8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}\,+\,\cdots .$

Prvi član predstavlja površinu plavog trougla, drugi predstavlja površinu dva zelena trougla, treći predstavlja površinu četiri žuta trougla, i tako dalje.

Uprošćavajući razlomke dobijamo

$1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots .$

Ovo je geometrijski red sa uzastopnim deliocem od 1/4 i frakcioni deo je jednak

$\sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}.\;$

Zbir je

${\frac {1}{1-r}}\;=\;{\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}\;=\;{\frac {4}{3}}.$

Ovo izračunavanje koristi metod iscrpljenja, ranu verziju integracije. Koristeći račun, ista površina se može naći uz pomoć određenog integrala

Fraktalna geometrija

Unutrašnjost Kohove pahuljice predstavlja skup beskonačno mnogo trouglova.

U učenju o fraktalima, geometrijski red često nastaje kao obim, površina, ili zapremina samoslične figure.

Na primer, površina unutrašnjosti Kohove pahuljice se može opisati kao unija beskonačno mnogo jednakostraničnih trouglova (videti sliku iznad). Svaka strana zelenog trougla je tačno 1/3 dužine velikog plavog trougla, samim tim zauzima tačno 1/9 površine. Slično, svaki žuti trougao ima 1/9 površine zelenog trougla, i tako dalje. Uzimajući plavi trougao kao jedinicu površine, ukupna površina pahuljice je

$1\,+\,3\left({\frac {1}{9}}\right)\,+\,12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}\,+\,48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}\,+\,\cdots .$

Prvi član ovog reda predstavlja površinu plavog trougla, drugi predstavlja ukupnu površinu tri zelena trougla, treći član predstavlja ukupnu površinu dvanaest žutih trouglova, i tako dalje. Uzimajući 1 za početnu vrednost, red je geometrijski sa konstantnim deliocem r = 4/9. Prvi član geometrijskog reda je a = 3(1/9) = 1/3, pa je zbir 

$1\,+\,{\frac {a}{1-r}}\;=\;1\,+\,{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}\;=\;{\frac {8}{5}}.$

Prema tome, Kohova pahuljica ima površinu od 8/5 plavog trougla.

Zenonov paradoks

Konvergencija geometrijskog niza otkriva da suma uključuje beskonačan broj sabiraka koji mogu biti konačni, pa samim tim omogućava rešavanje mnogih Zenonovih paradoksa. Na primer, Zenon tvrdi da je pokretanje nemoguće, zato što jedan može podeliti bilo koji konačan broj koraka gde svaki korak uzima polovinu preostale distance. Zenonova greška se ogleda u pretpostavci da zbir beskonačnih brojeva ili konačnih koraka ne može biti konačan. Ovo je naravno netačno, što nam govori i konvergencija geometrijskog niza sa $r=1/2$.

Euklid

Knjiga IX, predlog 35 Euklidovih elemenata iskazuje parcijalni zbir geometrijskog reda u izrazu sa članovima tog reda. Ekvivalentan je modernoj formuli.

Ekonomija

U ekonomiji, geometrijski red se veoma često koristi da predstavi vrednost anuiteta (suma novca za isplatu u redovnim terminima).

Na primer, pretpostavimo da će isplata od $100 biti dostavljena vlasniku anuiteta jednom godišnje (na kraju godine) doživotno. Primanje $100 godišnje od sada vredi manje nego tadašnjih $100, zato što vlasnik ne može da investira novac dok ga ne dobije. Praktično, predstavljanje $100 godišnje se može predstaviti kao $100 / (1 + $I$ ), gde je $I$ godišnja kamatna stopa.

Slično tome, uplata od $100 na dve godine se može predstaviti kao $100 / (1 + $I$)² (I je kvadrirano zbog toga što kamatna stopa raste dve godine). Predstavljanje primanja vrednosti od $100 godišnje doživotno je

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\$100}{(1+I)^{n}}},$

Što predstavlja beskonačan red :

${\frac {\$100}{(1+I)}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{2}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{3}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{4}}}\,+\,\cdots .$

Ovo je geometrijski  red sa uzastopnim deliocem 1 / (1 + $I$ ). Zbir je predstavlja prvi član podeljen sa (jedan minus uzastopni delilac):

${\frac {\$100/(1+I)}{1-1/(1+I)}}\;=\;{\frac {\$100}{I}}.$

Na primer, ako je kamatna stopa 10% ($I$ = 0.10), onda cela renta ima vrednost od $100 / 0.10 = $1000.

Ova vrsta obračuna se koristi za izračunavanje procenta kamate (kao npr. stambeni kredit). Takođe se može koristiti za procenu trenutne vrednosti očekivanih dividendi, ili konačne vredosti kaucije.

Geometrijska snaga reda

Formula za geometrijski red

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots$

se može predstaviti kao stepeni red u Tejlorovoj teoremi, konvergiranjem, gde je $|x|<1$. Odavde, jedan se može izvesti da sadrži ostale karakteristike reda. Na primer,

${\begin{aligned}\tan ^{-1}(x)&=\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}\\&=\int {\frac {dx}{1-(-x^{2})}}\\&=\int \left(1+\left(-x^{2}\right)+\left(-x^{2}\right)^{2}+\left(-x^{2}\right)^{3}+\cdots \right)dx\\&=\int \left(1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots \right)dx\\&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}.\end{aligned}}$

Diferenciranjem geometrijskog reda, jedan sadrži varijantu 

$\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}\quad {\text{ for }}|x|<1.$

Slično su dobijeni:

$\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)x^{n-2}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}\quad {\text{ for }}|x|<1,$ i

$\sum _{n=3}^{\infty }n(n-1)(n-2)x^{n-3}={\frac {6}{(1-x)^{4}}}\quad {\text{ for }}|x|<1.$

Vidi još

• 0.999...
• Asimptota
• Divergentni geometrijski red
• Uprošćena hipergeometrijska funkcija
• Geometrijska progresija
• Nojmanova serija
• Testiranje količnika
• Testiranje korena
• Red (matematika)
• Hanojska kula

Specifična geometrijska serija

• Grandijev red: 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Geometric progression”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Geometric Series”. MathWorld. 
• Geometric Series at PlanetMath.org.
• Peppard, Kim. „College Algebra Tutorial on Geometric Sequences and Series”. West Texas A&M University. 
• Casselman, Bill. „A Geometric Interpretation of the Geometric Series”. Arhivirano iz originala (Applet) 29. 09. 2007. g. Pristupljeno 13. 12. 2015. 
• "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.