1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Првих шест сабирака извучених као делови квадрата.

Геометријски низ као права линија.

У математици, бесконачни низ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · је елементарни пример геометријског низа који конвергира апсолутно.

Његов збир је

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1.$

Директан доказ

Као и код сваког бесконачног низа, бесконачни збир

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$

је дефинисан да значи ограничење збира првих н израза

$s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$

како се н приближава бесконачности. Множењем s_n 2 открива користан однос:

$2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}.$

Одузимањем s_n са обе стране,

$s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.$

Како н тежи бесконачности, s_n тежи 1.

Историја

Овај низ је коришћен као представљање једног од Зенонових парадокса. Делови Уџат ока једном су мислили да представљају првих шест сабирака низа.

Види још

• 0.999...
• Тачкаста напомена

Литература

• Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. стр. 76–80. ISBN 978-1-84668-292-6.