Linearna algebra

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Trodimenzionalni prostor Euklidov prostor R3 je vektor prostor, a linije i ravni koje prolaze kroz koordinatni početak su vektori R3.

Linearna algebra (lat: linealis, pripada liniji), je matematička disciplina koja se bavi vektorima i matricama i uopšte vektorskim prostorom i linearnim transformacijama. To je studija linija, ravni i njihovihog presecanja koja koriste algebru. Linearna algebra dodeljuje vektore koordinantnim tačaka u prostoru, tako da operacije na vektorima definišu operacije na tačkama u prostoru.

Skup tačaka sa koordinatama koje zadovoljavaju linearne jednačine formiraju hiperravan u n-dimenzionalnom prostoru. Uslovi pod kojima skup od n hiperravni seku u jednoj tački je ono što linearna algebra proučava. Takva istraga je u početku motivisana sistemom linearnih jednačina koje sadrže nekoliko nepoznatih. Takve jednačine su predstavljene pomoću matrica i vektora.[1][2][3]

Linearna algebra je centar sušte i primenjene matematike. Apstraktna algebra nastaje opuštanjem aksioma vektorskog prostora. Funkcionalna analiza proučava beskonačno — dimenzionalnu verzija teorije vektorskih prostora. U kombinaciji sa računom, linearna algebra olakšava rešavanje linearnih sistema diferencijalnih jednačina.

Za razliku od drugih delova matematike, u kojima se pojavljuju često novi i nerešeni problemi, u linearnoj algebri to nije česta pojava. Njena vrednost leži u njenoj primenjljivosti, počev od inženjerstva, analitičke geometrije, matematičke fizike, apstraktne algebre i primene u ekonomiji, programiranju i računarstvu.

Istorija[uredi]

Studije linearne algebre su inicijalno nastale iz izučavanja determinanti, koje su korištene za rešavanje sistema linearnih jednačina. Determinante je koristio Lajbnic 1693. godine, i naknadno je Gabrijel Kramer izveo Kramerovo pravilo za rešavanje linearnih sistema 1750. Kasnije je Gaus dalje razvio teoriju rešavanja linearnih sistema koristeći Gausovu eliminaciju, koja je inicijalno bila navedena kao napredak u geodeziji.[4]

Studiranjnje algebre matrica je prvobitno nastalo u Engleskoj sredinom 1800-tih. Godine 1844 Herman Grosman je objavio „teoriju proširenja” koja je obuhvatala osnove toga što se danas naziva linearnom algebrom. Godine 1848, Džejms Džozef Silvester je uveo termin matrica, što je latinska reč za „matericu”. Dok je izučavao kompozicije linearnih transformacija, Artur Kejli je definisao množenje matrica i nalaženje inverznih matrica. On je koristio pojedinačna slova da označi matrice, te je stoga tretirao matrice kao agregatne objekte. On je isto tako uočio vezu između matrica i determinanti, i o tome je pisao: „Moglo bi se reći puno toga o ovoj teoriji matrica koja bi, kako meni izgleda, trebala da prethodi teoriji determinanti”.[4]

Godine 1882, Husejin Tevfik Paša je napisao knjigu s naslovom „Linearna algebra”.[5][6] Prvu modernu i precizniju definiciju vektora je uveo Peano 1888. godine.[4] Do 1900, teorija linearnih transformacija konačno dimenzionalnog vektorskog prostora se pojavila. Linearna algebra je poprimila svoju modernu formu u prvoj polovini dvadesetog veka, kad su mnoge ideje i metodi ranijih vekova bili generalizovani kao apstraktna algebra. Upotreba matrica u kvantnoj mehanici, specijalnoj relativnosti, i statistici pomogla je širenju predmeta linearne algebre izvan čiste matematike. Razvoj računara je doveo do znatnijeg istraživanja efikasnih algoritama za Gaousovu eliminaciju i dekompoziciju matrica, i linearna algebra je postala esencijalno oruđe za modelovanje i simulacije.[4]

Poreklo znatnog broja tih ideja je diskutovano u člancima o determinantama i Gausovoj eliminaciji.

Obrazovna istorija[uredi]

Linearna algebra se prvi put pojavila u američkim udžbenicima tokom 1940-tih.[7] Nakon rada Studijske grupe matematičkih škola, u obrazovne programe 12. razreda srednjih škola u SAD je tokom 1960-tih uvedena „matrička algebra, koja je ranije predavana u koledžima”.[8] U Francuskoj su tokom 1960-tih uvedena predavanja linearne algebre u vidu vektorskog prostora konačnih dimenzija u prvoj godini srednje škole. To je dovelo do reakcije tokom 1980-tih godina, koja je dovela do uklanjanja linearne algebre iz nastavnog plana i programa.[9] Godine 1993, američka grupa za nastavni program linearne algebre preporučila da se fakultetski kursevi linearne algebre predaju u vidu aplikaciono bazirane „matrične orjentacije” umesto teoretske orjentacije. [10] Pregledi nastave linearne algebre preporučuju stavljanje naglaska na vizualizaciju i geometrijsku interpretaciju teoretskih ideja,[11] i uvrštavanje krunskog dragulja linearne algebre, dekompozicije singularne vrednosti (SVD), pošto ona nalazi primenu u veoma velikom broju disciplina.[12] Da bi se poboljšao asortiman primena u 21. veku, kao što upotrebe u oblastima analize podataka i analize nesigurnosti, linearna algebra može da bude bazirana na SVD umesto na Gausovoj eliminaciji.[13][14]

Opseg izučavanja[uredi]

Vektorski prostori[uredi]

Glavne strukture linearne algebre su vektorski prostori. Vektorski prostor preko polja F (obično polja realnih brojeva) je skup V na kome su primenljive dve binarne operacije koje zadovoljavaju sledeće aksiome. Elementi skupa V se nazivaju vektorima, a elementi F se nazivaju skalarima. Prva operacija, vektorska adicija, uzima dva vektora v i w i proizvodi treći vektor v + w. Druga operacija, skalarno množenje, uzima bilo koji skalar a i bilo koji vektor v i formira novi vektor av. Operacije sabiranja i množenja u vektorskom prostoru moraju da zadovolje sledeće aksiome.[15] Na donjoj listi, neka su u, v i w arbitrarni vektori u V, a a i b skalari u F.

Aksiom Smisao
Asocijativnost adicije u + (v + w) = (u + v) + w
Komutativnost adicije u + v = v + u
Element identiteta adicije Postoji element 0 ∈ V, koji se naziva nulti vektor, takav da je v + 0 = v za svako vV.
Inverzni elementi adicije Za svaki v ∈ V, postoji element −vV, koji se naziva aditivna inverzija vektora v, takav da je v + (−v) = 0
Distributivnost skalarnog množenja u pogledu vektorske adicije  a(u + v) = au + av
Distributivnost skalarnog množenja u pogledu polja adicije (a + b)v = av + bv
Kompatibilnost skalarnog množenja sa množenjem polja a(bv) = (ab)v [nb 1]
Element identita skalarnog množenja 1v = v, gde 1 označava identitet množenja u F.

Prva četiri aksioma formulišu V kao abelovu grupu u kontekstu vektorske adicije. Elementi vektorskog prostora mogu da budu različite prirode; na primer, oni mogu da budu sekvence, funkcije, polinomi ili matrice. Linearna algebra se bavi svojstvima koja su zajednička za sve vektorske prostore.

Linearne transformacije[uredi]

Slično teorijama drugih algebarskih struktura, linearna algebra studira mapiranja između vektorskog prostora koja prezerviraju vektorsko prostorne strukture. Ako su data dva vektorska prostora V i W na polju F, linearna transformacija (koja se isto tako naziva linearna mapa, linearno mapiranje ili linearni operator) je mapiranje

koje je kompatibilno sa adicijom i skalarnim množenjem:

za bilo koje vektore u,vV i skalare aF.

Dodatno za vektore u, vV i skalare a, bF:

Kad postoji bijekciono linearno mapiranje između dva vektorska prostora (drugim rečima, kad je svaki vektor iz drugog prostora asociran sa tačno jednim iz prvog), može se reći da su dva prostora izomorfna. Pošto izomorfizam prezervira linearnu strukturu, dva izomorfna vektorska prostora su „esencijalno ista” sa tačke gledišta linearne algebre. Jedno esencijalno pitanje u linearnoj algebri je da li je mapiranje izomorfno ili nije, i odgovor na to pitanje se može naći šroveravanjem da je vrednost determinante različita od nule. Ako mapiranje nije izoformno, linearna algebra ima interest u nalaženju njegovog opsega (ili slike) i stup elemenata koji se mapiraju u nulu, zvani jezgro mapiranja.

Linearne transformacije imaju geometrijski značaj. Na primer, 2 × 2 realne matrice predstavljaju standardna planarna mapiranja koja prezerviraju koordinatni početak.

Napomene[uredi]

  1. Ovaj aksiom ne potvrđuje asocijativnost operacije, pošto su u pitanju dve operacije, skalarno množenje: bv; i množenje u polju: ab.

Референце[uredi]

  1. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st изд.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388 
  2. Strang, Gilbert (19. 7. 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8 
  3. Weisstein, Eric. „Linear Algebra”. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram. Приступљено 16. 4. 2012. 
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 Vitulli, Marie. „A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory”. Department of Mathematics. University of Oregon. Архивирано из оригинала на датум 2012-09-10. Приступљено 2014-07-08. 
  5. http://www.journals.istanbul.edu.tr/tr/index.php/oba/article/download/9103/8452
  6. https://archive.org/details/linearalgebra00tevfgoog
  7. Tucker, Alan (1993). „The Growing Importance of Linear Algebra in Undergraduate Mathematics”. College Mathematics Journal. 24 (1): 3—9. doi:10.2307/2686426. 
  8. Goodlad, John I.; von stoephasius, Reneta; Klein, M. Frances (1966). „The changing school curriculum”. U.S. Department of Health, Education, and Welfare: Office of Education. Приступљено 9. 7. 2014. 
  9. Dorier, Jean-Luc; Robert, Aline; Robinet, Jacqueline; Rogalsiu, Marc (2000). Dorier, Jean-Luc, ур. The Obstacle of Formalism in Linear Algebra. Springer. стр. 85—124. ISBN 978-0-7923-6539-6. Приступљено 9. 7. 2014. 
  10. Carlson, David; Johnson, Charles R.; Lay, David C.; Porter, A. Duane (1993). „The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra”. The College Mathematics Journal. 24 (1): 41—46. doi:10.2307/2686430. 
  11. Carol S. Schumacher, Martha J. Siegel, and Paul Zorn (2015) 2015 CUPM Curriculum Guide to Majors in the Mathematical Sciences. The Mathematical Association of America. department-guidelines-recommendations/cupm
  12. Peter R. Turner et al. (2015) Modeling across the Curriculum II. Report on the second SIAM-NSF Workshop, Alexandria, VA. [1]
  13. Cleve Moler, (2006) Mathworks
  14. A. J. Roberts (2017) Linear Algebra Reformed for 21st-C Application. [2]
  15. Roman 2005, ch. 1, p. 27

Литература[uredi]

Историја[uredi]

  • Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979). стр. 809.–817.
  • Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.

Уводни уџбеници[uredi]

Напредни уџбеници[uredi]

Студијски водичи и прегледи[uredi]

  • Leduc, Steven A. (1. 5. 1996). Linear Algebra (Cliffs Quick Review). Cliffs Notes. ISBN 978-0-8220-5331-6. 
  • Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (6. 12. 2000). Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-136200-9. 
  • Lipschutz, Seymour (1. 1. 1989). 3,000 Solved Problems in Linear Algebra. McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-038023-3. 
  • McMahon, David (28. 10. 2005). Linear Algebra Demystified. McGraw–Hill Professional. ISBN 978-0-07-146579-3. 
  • Zhang, Fuzhen (7. 4. 2009). Linear Algebra: Challenging Problems for Students. The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9125-0. 

Спољашње везе[uredi]

Onlajn knjige[uredi]