Pointingov vektor

Zračenje električnog dipola postavljenog duž vertikalne ose u prikazanoj ravni koji osciluje duž te ose frekvencijom 1 Hz. Jačina električnog polja dipola u ravni$E={\sqrt {E_{x}^{2}+E_{z}^{2}}}$ je predstavljena bojom (crvena boja označava $E_{z}>0$, a plava označava $E_{z}<0$). Linije magnetnog polja su ortogonalne na prikazanu ravan. Komponente Pointingovog vektora $S_{x}$ i $S_{z}$ su prikazane crnim strelicama.

Pointingov vektor u elektromagnetizmu je vektor koji se dobija iz Pointingove teoreme o održanju energije u elektromagnetnom polju i ima značenje transferzalnog protoka energije u odnosu na ravan sačinjenu od vremenski promenljivog električnog i magnetnog polja.

Pointingov vektor $\mathbf {S}$ je:

$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

gde je $\mathbf {E}$ jačina električnog polja, a $\mathbf {H}$ jačina magnetnog polja.

Pointingova teorema

Pointingov vektor izražen u obliku preko jačine električnog i jačine magnetnog polja se dobija iz Pointingove teoreme.

Energetski fluks

Ukupan fluks energije kroz datu zapreminu $V$ je površinski integral:

$\iint _{A}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A}$

koji se preko Gausove teoreme o divergenciji može zapisati preko zapreminskog integrala:

$\iint _{A}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {S} dV$

Odavde je gustina energetskog fluksa:

$\nabla \cdot \mathbf {S}$

Promena gustine elektromagnetne energije u vremenu

Gustina elektromagnetne energije je:

$u=\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$

gde su $\mathbf {D}$ električna indukcija, a $\mathbf {B}$ magnetna indukcija:

$\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}$

Nalaženjem vremenskog izvoda gustine elektromagnente energije $u$, dobija se:

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {D} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\right)=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

Kako bi se desna strana izraza prepisala preko samo jačine električnog polja $\mathbf {E}$ i jačina magnetnog polja $\mathbf {H}$, mogu se koristiti Maksvelove jednačine i time se magnetna indukcija $\mathbf {B}$ može izraziti preko $\mathbf {E}$:

${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} \ \rightarrow \ \mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E}$

a električna indukcija $\mathbf {D}$ preko $\mathbf {H}$:

${\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} \ \rightarrow \ \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H}$

Odavde se dobija da izraz za promenu gustine elektromagnetnog polja u vremenu:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$

gde je $\mathbf {J}$ gustina struje.

Održanje energije

U proizvoljnoj zapremini prostora $V$, na osnovu zakona o održanju energije, zbir promene gustine elektromagnetne energije u jedinici vremena ${\frac {\partial u}{\partial t}}$ i gustine energetskog fluksa koji protekne kroz tu zapreminu $\nabla \cdot \mathbf {S}$, jednak je negativnom radu u jedinici vremena na premeštanju slobodnih i spolja unetih naelektrisanja u taj prostor $\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$, tako da važi:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} }=-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$

Odavde se dobija da je:

${\begin{aligned}-\nabla \cdot \mathbf {S} &={\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} \\\end{aligned}}$

Konačno, korišćenjem vektorskog identiteta:

$\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )=\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )$

dobija se izraz za Pointingov vektor:

$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

Vidi još

• Elektromagnetno polje
• Pointingova teorema
• Maksvelove jednačine