Електрични потенцијал

Из Википедије, слободне енциклопедије

Било која тачка простора има електрични потенцијал чија потенцијална енергија по јединици наелектрисања има неку вредност а налази се у статичком (временски непроменљивом) електричном пољу. То је скаларна величина, уобичајено изражена у волтима. Разлика електричног потенцијала између две тачке у простору, назива се напон.

Такође, имамо јединствени електрични скаларни потенцијал који се користи у електродинамици када имамо временски променљиво електрично поље. Међутим, овај генерализовани електрични потенцијал се не може једноставно представити као потенцијал енергије по јединици наелектрисања.

Увод[уреди]

Познато је да неки предмети могу имати електрични набој (потенцијал). Електрично поље врши померање наелектрисаних честица, убрзавајући их у смеру вектора електричног поља, односно у смеру или насупрот смеру вектора електричног поља, у зависности од врсте наелектрисања. Уколико је наелектрисана честица наелектрисана позитивним наелектрисањем, сила деловања и убрзања те честице ће бити у смеру са електричним пољем, а вредност силе која делује, одређена је величином наелектрисања честице и вредношћу електричног поља.

Класична механика изучава области силе и енергије са више детаља.

Сила и потенцијална енергија су у директном односу. Како се честица креће у смеру у којем га сила убрзава, њена потенцијална енергија се смањује. На пример, гравитациона потенцијална енергија топовског ђулета има већу потенцијалну енергију на врху брда, него на дну. Како објекат пада, потенцијална енергија се смањује на рачун инерцијалне (кинетичке) енергије.

Потенцијал електричног поља се назива електрични потенцијал.

Електрични потенцијал и вектор магнетног потенцијала формирају четврти вектор, тако да су ова два потенцијала помешани и дефинисани Лоренцовим трансформацијама.

Математички увод[уреди]

Појам електричног потенцијала (дефинисан: \phi, \phi_\mathrm{E} или V) уско је повезан са потенцијалном енергијом, па стога:


U_ \mathrm{E} = q\phi

где U_\mathrm{E} је потенцијал електричне енергије честице q у електричном пољу.

Исправно, дефиниција електричног потенцијала користи појам електричног поља \mathbf{E}:


\phi_ \mathrm{E} = - \int_C \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\ell}

где је C путања која повезује тачке са нула потенцијала и ону тачку за коју се потенцијал израчунава. Када је \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} = 0, линијски интеграл изнад горе не зависи од специфичне путање C, већ само од крајњих тачки. Крајње, електрични потенцијал дефинише електрично поље преко градијента потенцијала:


\mathbf{E} = - \mathbf{\nabla} \phi_\mathrm{E}

и према томе, по Гаусовом закону, потенцијал задовољава Поасонове једначине:


\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \mathbf{\nabla} \cdot \left (- \mathbf{\nabla} \phi_\mathrm{E} \right) = -\nabla^2 \phi_\mathrm{E} = \rho / \varepsilon_0

где је ρ укупна густина наелектрисања (укључујући Везана наелектрисања).

Пажња:ове једначине се не могу користити ако \mathbf{\nabla}\times\mathbf{E} \ne 0, у случају не затвореног вектора поља (изазваног променом магнетског поља, видите Максвелове једначине).

Увод у електромагнетизам[уреди]

Када су присутна временски променљива магнетна поља (што се дешава онда када имамо временски променљива електрична поља и обрнуто), не може се бити описано електрично поље само помоћу скаларног потенцијала \phi; зато што електрично поље више није конзервативно: \int \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S} а интеграција је зависна због \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}\neq 0.

Уместо тога, може се дефинисати скаларни потенцијал преко вектора магнетног потенцијала \mathbf{A}. У суштини, \mathbf{A} се дефинише преко:

\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}

где је \mathbf{B} густина флукса магнетског поља (такође познат као магнетна индукција или магнетско поље). Увек се може пронаћи такво \mathbf{A} зато што \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0 (одсуство магнетног монопола). Вредност \mathbf{F} = \mathbf{E} + \partial\mathbf{A}/\partial t је конзервативно поље одређено фарадејевим законом и може се писати:

\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla}\phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}

где је φ скаларни потенцијал описан конзервативним пољем \mathbf{F}.

Електростатички потенцијал, једноставно је посебан случај ове дефиниције где је \mathbf{A} временски непроменљива вредност. Са друге стране, за временски променљива поља важи следеће \int_a^b \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \neq \phi(b) - \phi(a).

Обратите пажњу да ова дефиниција φ зависи од нормирања потенцијалне функције за вектор потенцијала \mathbf{A} (градијент било којег скаларног поља може бити додат \mathbf{A} без мењања \mathbf{B}). Један начин је да #Кулонов калибрациони услов (за потенцијал) Нормирање потенцијалне функције, у којем ћемо изабрати услов да је \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = 0. У овом случају, добијамо -\nabla^2 \phi = \rho/\varepsilon_0, где је ρ густина наелектрисања. Други начин је Лоренцов калибрациони услов, у којем усвајамо \mathbf{A} да би задовољили \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = - \frac{1}{c^2} \frac{\partial\phi}{\partial t}.

Посебни случајеви и примери израчунавања[уреди]

Електрични потенцијал у тачки \mathbf{l} у константном електричном пољу \mathbf{E} може се представити:

\phi_\mathrm{E} = - \int \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}.

Електрични потенцијал око пунктуалног наелектрисања q, на удаљености r од наелектрисања, рачуна се:

\phi_\mathbf{E} = \frac{q} {4 \pi \epsilon_o r}.

Укупан потенцијал низа пунктуалних наелектрисања једнак је суми индивидуалних потенцијала свих наелектрисања. Ова чињеница поједностављује прорачун у великој мери, због тога што је сабирање потенцијала (скаларно) поља много једноставније него сабирање вектора електричног поља.

Електрични потенцијал настао од тродимензионалног сферно симетричног Гаусовог наелектрисања густине  \rho(r) given by:

 \rho(r) = \frac{q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}},

где је q количина наелектрисања, добијен је решавањем Поасонове једначине:

\nabla^2 \phi_\mathbf{E} = - 4 \pi \rho.

решење је преко:

 \phi_\mathbf{E}(r) = \frac{q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

где је erf(x) функција грешке. Ово решење се може проверити опрезном ручном евалуацијом \nabla^2 \phi_\mathbf{E}. Обратите поажњу, да за r много веће од σ, erf(x) потенцијал \phi_\mathbf{E} постаје по вредности ближи потенцијалу пунктуалног наелектрисања \frac{q}{r}.

Примена у електроници[уреди]

Електрични потенцијал, уобичајено мерен у волтима, обезбеђује једноставан начин анализирања електричних кола без претходног познавања облика кола или поља у њима.

Електрични потенцијал обезбећује једноставан начин анализе електричних кола уз помоћ Кирхофових закона, без потпуног решавања Максвелових једначина за статичка електрична поља.

Јединице[уреди]

СИ јединица за електрични потенцијал је волт (у част Алесандро Волта), и у толико широкој употреби је да су термини напон и електрични потенцијал постали синоними. Старије јединице су ретке. Варијанте јединице електричног потенцијала су статволт (= 299.792 458 V) и абволт који је ≡ 1×10−8 V.

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]