Кулонов закон

Из Википедије, слободне енциклопедије

У физици, Кулонов закон дефинише интензитет, правац и смер електростатичке силе којом непокретно наелектрисање малих димензија (у идеалном случају тачкасто наелектрисање) делује на друго. Та сила се често назива и „Кулонова сила“. Названа је по Шарлу Кулону који је користио торзиону вагу како би је измерио.

Кулонов закон се може дефинисати као:

„Интензитет електростатичке силе између два тачкаста наелектрисања је директно пропорционалан производу количина њихових наелектрисања, а обрнуто пропорционалан квадрату растојања између та два наелектрисања“.

Историја[уреди]

Древне културе широм Медитерана знају да поједини објекти, као што су шипке од ћилибара , при трљању са крзном мачке могу да привуку лаке предмете попут перја. Талес из Милета је направио низ запажања о статичком електрицитету око 600те године п. н. е., из којих је веровао да трење прави амбер магнетом , за разлику од минерала као што су магнетит , који немају потребу за трењем. Талес је погрешио верујући да се привлачност догађа због магнетног дејства, јер ће касније наука доказати везу између магнетизма и електрицитета.

Струја ће остати нешто више од интелектуалне радозналости миленијумима све до 1600. године, када је енглески научник Вилијам Гилберт успео пажљивим проучавањем електрицитета и магнетизма, да направи разлику између Лодестоновог ефеката и статичког електрицитета произведеног трљањем ћилибар. Он је измислио нову латинску реч lectricus ("од ћилибара" или "попут ћилибара", из ηλεκτρον [Електрон], грчка реч за "Амбер") која се односи на особину привлачења малих објеката након трења. Ова асоцијација је довело до енглеских речи "електрични" и "струја", које су своје прво појављивање добиле од стране Томаса Брауна у „Pseudodoxia Epidemica“ 1646.

Рана истражитељи из 18. века, који сумњу да се електрична сила смањује са дистанцом као и гравитациона сила (тј., као обрнутом квадрату растојања) укључује Даниела Бернулија и Алесандра Волта , обојица која су мерила силу између плоче кондензатор, и Аепинуса који је објавио инверзно-квадратни закон у 1758. години.

На основу експеримената на наелектрисаним сферама, Џозеф Пристли у Енглеској био је међу првима који предлаже да електрична снага прати инверзно-квадратни закон , сличан Њутновом закону универзалне гравитације. Међутим, он није генерализовао или разрадио ово. У 1767. години, он је претпоставио да сила између два пуњења варира као обрнутом квадрату растојања.

Кулонова торзиона вага

У 1769, шкотски физичар Џон Робисон је најавио да, према његовим мерењима, сила одбијања између две сфере са истим знаком варира као x -2.06.

Почетком 1770-их година, зависност силе између наелектрисаних тела на обе дистанце и пуњења већ је било откривено, али није објављено, по Хенрију Кевендишу из Енглеске.

Коначно, 1785те године, француски физичар Чарлс Аугустин де Цоуломб је објавио своја прва три извештаја о електрицитету и магнетизму, где је изнео свој закон. Ова публикација је од суштинског значаја за развој теорије електромагнетизма. Он је користио торзиону вагу за проучавање одбојности и привлачности снаге наелектрисаних честица, и утврдио да је величина електричне снаге између две кључне тачке пуњења директно пропорционална производу пуњења и обрнуто пропорционална квадрату растојања између њих.

Торзиона вага састоји се од шипке закачена кроз своју средину танким влакнима. Влакна делује као јако слаба торзионова опруга. У Кулоновом експерименту, торзионова вага је изолациони штап са лоптоm са металном кошуљицом на једног краја закачена свиленим концем. Лопта је била наелектрисана са познатим наелектрисањем за статичи електрицитет, а друга наелектрисана лопта истог поларитета је доведен до ње. Две наелектрисане кугле су се одбиле једана другоге, уврцујуци влакна под одређеним углом, што се може прочитати са скале на инструменту.

Знајући колико снаге је требало да се уврну влакана до датогм угла, Кулонов је успео да израчуна силе између кугли и изведе свој инверзно-квадрати пропорционални закон.

Закон[уреди]

Кулонов закон наводи да:

Интензитет електростатичке силе између два тачкаста наелектрисања је директно пропорционалан производу количина њихових наелектрисања, а обрнуто пропорционалан квадрату растојања између та два наелектрисања.
Графички приказ Кулоновог закона

Кулонов закон се може навести као једноставан математички израз. Скаларни и векторски облици математичке једначине су

|\boldsymbol{F}|=k_e{|q_1q_2|\over r^2}    and    \boldsymbol{F_{1}}=k_e{q_1q_2\boldsymbol{\hat{r}_{21}} \over |\boldsymbol{r_{21}}|^2} ,   respectively,

где је ke Кулонова константа , q1 i q2 су магнитуде наелектрисања, скаларно r је растојање између наелекрисања, вектор \boldsymbol{r_{21}}=\boldsymbol{r_1-r_2} је векторско растојање између наелекрисања и \boldsymbol{\hat{r}_{21}}={\boldsymbol{r_{21}}/|\boldsymbol{r_{21}}|}(Јединични вектор од q2 do q1). Векторски облик једначине изнад израчунава силу \boldsymbol{F_{1}} примењује на q1 од стране q2. Ако је r12 уместо тога искоришћен, онда се ефекат на q2 може наћи. Такође се може израчунати коришћењем Њутновог трећег закона : \boldsymbol{F_{2}}=-\boldsymbol{F_{1}}.

Јединице[уреди]

Електромагнетна теорија обично се изражава помоћу Међународног система јединица. Сила се мери у њутнима , наелектрисање у кулонима , и удаљеност у метрима. Кулонова константа је дата са k_e = 1 / (4\pi\varepsilon_0\varepsilon). Константа \varepsilon_0 је диелектрична константа слободног простора у C2 m−2 N−1. И је релативна диелектрична константа материјала у који је уроњено наелектрисање, па је бездимензиона. У Међународном систему изведених јединица за електрично поље је волт по метру, Њутан по Кулону, или тесла метара у секунди. Кулонов закон и Кулонова константа може се тумачити у различитим условима:

  • атомска јединица. У атомским јединицама снага се изражава у Хартрееју по Бохраовом радијусу , наелектрисање у смислу основног наелектрисања , и даљина у смислу Бохровог радијуса.
  • електростатичке јединице или Гаусове јединице. У електростатичке јединице и Гаусова јединица, јединица пуњење се дефинише на такав начин да Кулонова константа k нестаје јер има вредност једног и постаје бездимензиона .

Електрично поље[уреди]

Ако два наелектрисања имају исти знак, електростатичка сила између њих је одбојна; ако имају различите знакове, сила између њих је привлачна.

Електрично поље је векторско поље које повезује сваку тачку у простору Кулонових сила кроз који пролази тест наелектрисања. У најједноставнијем случају, сматра се да ће бити генерисан од стране искључиво једног извора наелектрисане тачке. Снага и правац силе Кулона \boldsymbol{F} на тест наелектрисања q_t зависи од електричног поља \boldsymbol{E} да се нађе у њему, тако да је \boldsymbol{F} = q_t \boldsymbol{E}. Ако се поље генерише позитивно наелектрисаном изворном тачком q, смер електричног поља тачака дуж линија усмерених радијално ка споља од њега, односно у смеру позитиваном набоју тачка теста q_t померило би се ако је стављено на поље. За негативно наелектрисани извор наелектрисања, правац је радијално ка унутра. Величина електричног поља \boldsymbol{E} се може извести из Кулоновог закона. Избором једне од тачака наелектрисања да је извор, а други да буде тест пуњења, прати да је из Кулоновог закона величина овог електричног поља \boldsymbol{E} направљен од стране једног извора наелектрисане тачка q на одређеној удаљености од њега r у вакууму даје:

|\boldsymbol{E}|={1\over4\pi\varepsilon_0}{|q|\over r^2}.

Кулонова константа[уреди]

Кулонов константа пропорционалности је фактор који се појављује у Кулоновом закону, као и у другим електро-сродних формула. Означава k_e, позната као константна електричне силе или електростатичка константа, па индексни e.

Тачна вредност Кулонове константе је:

\begin{align}
k_e &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{c_0^2\mu_0}{4\pi}=c_0^2\cdot10^{-7}\mathrm{H\ m}^{-1}\\
               &= 8.987\ 551\ 787\ 368\ 176\ 4\cdot10^9\mathrm{N\ m^2\ C}^{-2}.
\end{align}

Стање пуноважности[уреди]

Постоје два услова које треба испунити за важења Кулоновог закона:

  1. Разматрана наелектрисање морју бити део тачке наелектрисања.
  2. Они треба да буду стационарне у међусобном односу једна на другу.

Скаларни облик[уреди]

Апсолутна вредност силе \boldsymbol{F} између две тачке наелектрисања q and Q односи се на растојање између тачке наелектрисања и његовог једноставног производа наелектрисања. Дијаграм показује да као и код одбојности наелектрисања једног од другог, суптротна наелектрисања привлаче један другог.

Када је то само од интереса да се зна величина електростатичке силе (а не његов смер), је лакше да се размотри скаларни облик закона. Скаларни облик Кулоновог закона се односи на обим и знак електростатичке силе \boldsymbol{F} која делује истовремено на две тачке оптужнице q_1 и q_2 на следећи начин:

|\boldsymbol{F}|=k_e{|q_1q_2|\over r^2}

где је r растојање и k_e Кулонова константа. Ако је производ q_1 q_2 позитиван, сила између два наелектрисања је одбојана, а ако је производ негативан, сила између њих је привлачна.

Векторски облик[уреди]

На слици, вектор \boldsymbol{F}_1 је сила на коју утиче q_1, и вектор \boldsymbol{F}_2 је сила на коју утиче q_2. Када q_1 q_2 > 0 је сила одбојна (као што је на слици) и када q_1 q_2 < 0 је сила привлачна (супротно од онога што је на слици). Јачина силе це увек бити једнака.

Кулонов закон каже да се електростатичка сила \boldsymbol{F_1} на које утиче наелектрисање, q_1 на позицији \boldsymbol{r_1}, у близини другог наелектрисања, q_2 на позицији \boldsymbol{r_2}, у вакууму је једнака:

\boldsymbol{F_1}={q_1q_2\over4\pi\varepsilon_0}{(\boldsymbol{r_1-r_2})\over|\boldsymbol{r_1-r_2}|^3}={q_1q_2\over4\pi\varepsilon_0}{\boldsymbol{\hat{r}_{21}}\over |\boldsymbol{r_{21}}|^2},

Где је \boldsymbol{r_{21}}=\boldsymbol{r_1-r_2}, јединични вектор \boldsymbol{\hat{r}_{21}}={\boldsymbol{r_{21}}/|\boldsymbol{r_{21}}|}, и \varepsilon_0 електрични константа .

Векторски облик Кулоновог закона је једноставна скаларна дефиниција закона са датим правцем од векторске јединице, \boldsymbol{\hat{r}_{21}} , паралелно са линијом од наелектрисања q_2 до наелектрисања q_1. Ако оба наелектрисања имају исти знак онда је производ q_1q_2 позитиван и правац силе на q_1 је дат од стране \boldsymbol{\hat{r}_{21}}; Наелектрисања одбијају једни друге. Ако наелектрисања имају супротне знаке онда производа q_1q_2 је негативан и правац силе q_1 је дат од стране -\boldsymbol{\hat{r}_{21}};Наелектрисања привлаче једни друге.

Електростатичка сила \boldsymbol{F_2} на које утиче наелектрисање q_2, према трећем Њутновом закону, је \boldsymbol{F_2}=-\boldsymbol{F_1}.

Систем изолованих наелектрисања[уреди]

Закон поклапања Кулоновом закону дозвољава да буде проширен на било који број тачака наелектрисања. Сила која делује на тачку наелектрисања, због тога сто је система тачака наелектрисања једноставно векторско додавање појединачних сила које делују само на тачку наелектрисања због сваког наелектрисања. Резултат је вектор сила паралелна са електричним пољем вектора у том тренутку, с уклоњеном тачком наелектрисања.

Сила \boldsymbol{F} на малом наелектрисању q, на позицији \boldsymbol{r}, због система N изоловано наелектрисање у вакууму је:

\boldsymbol{F(r)}={q\over4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^Nq_i{\boldsymbol{r-r_i}\over|\boldsymbol{r-r_i}|^3}={q\over4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^Nq_i{\boldsymbol{\widehat{R_i}}\over|\boldsymbol{R_i}|^2},

Где су q_i и \boldsymbol{r_i} величина и положај, у односно на i^{th} наелектрисања, \boldsymbol{\widehat{R_i}} је јединични вектор у правцу \boldsymbol{R}_{i} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_i (Вектор показује на основно наелектрисање од q_i до q)).

Непрекидна расподела наелектрисања[уреди]

У овом случају, принцип линеарне суперпозиције се такође користи. За непрекидну расподелу наелектрисања, интеграл целом региону који садржи наелектрисање одговара бесконачном збиру, третирајући сваки инфинитезимални елемент простора као тачка наелектрисања dq. Расподела наелектрисања је обично линеарна, површинска или запреминска.

За линеарну расподелу наелектрисања (добра апроксимација за наелектрисање у жице), где \lambda(\boldsymbol{r'}) даје наелектрисање по јединици дужине на позицији \boldsymbol{r'}, и dl' је инфинитезимални елемент дужине,

dq = \lambda(\boldsymbol{r'})dl'.

За расподелу површинског наелектрисања, где \sigma(\boldsymbol{r'}) даје наелектрисање по јединици површине, на позицији \boldsymbol{r'} и dA' је инфинитезимални елемент простора,

dq = \sigma(\boldsymbol{r'})\,dA'.

За расподелу запреминског наелектрисања (као што су наелектрисање у оквиру расутих метала), где \rho(\boldsymbol{r'}) даје наелектрисање по јединици запремине, на позицији \boldsymbol{r'}, и dV' је инфинитезимални елемент запремине,

dq = \rho(\boldsymbol{r'})\,dV'.

Сила на мали тест наелектрисања q' на позицији \boldsymbol{r} у вакууму дат од стране интеграла преко расподеле наелектрисања:

\boldsymbol{F} = {q'\over 4\pi\varepsilon_0}\int dq {\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r'} \over |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r'}|^3}.

Једноставан експеримент за проверу Кулоновог закона[уреди]

Могуће проверити Кулонов закон са једноставним експериментом. Размотримо две мале сфере масе m и истим знаком наелектрисања q, које виси о два ужета занемарљиве масе дужине l. Три силе које делују на сваку сфери су: тежина m g, закегнутос конопца T и електричне силе \boldsymbol{F}.

У стању равнотеже:

T \ \sin \theta_1 =F_1 \,\!

 

 

 

 

(1)

и:

T \ \cos \theta_1 =mg \,\!

 

 

 

 

(2)

Дељењем (1) са (2):

\frac {\sin \theta_1}{\cos \theta_1 }=
\frac {F_1}{mg}\Rightarrow F_1= mg \tan \theta_1

 

 

 

 

(3)

Ако је L_1 \,\! растојање између наелектрисаних сферама, онда је одбојна сила између њих F_1 \,\!, под претпоставком да је Кулонов закон тачно, је једнака

 F_1 = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 L_1^2}

 

 

 

 

(Кулонов закон)

тако да је:

\frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 L_1^2}=mg \tan \theta_1 \,\!

 

 

 

 

(4)

Ако сада разелектришемо једну од сфера, а ставимо је у контакту са наелектрисаном сфером, сваки од њих добија наелектрисање q/2. У стању равнотеже, растојање између наелектрисања ће бити L_2<L_1 \,\! и одбојност сила између њих ће бити:

F_2 = \frac{{(q/2)}^2}{4 \pi \epsilon_0 L_2^2}=\frac{q^2/4}{4 \pi \epsilon_0 L_2^2} \,\!

 

 

 

 

(5)

Знамо да је F_2= mg. \tan \theta_2 \,\!. И:

\frac{\frac{q^2}{4}}{4 \pi \epsilon_0 L_2^2}=mg. \tan \theta_2

Дељењем (3) са (4), добијамо:

\frac{\left(\cfrac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 L_1^2} \right)}{\left(\cfrac{q^2/4}{4 \pi \epsilon_0 L_2^2}\right)}=
\frac{mg \tan \theta_1}{mg \tan \theta_2}
\Longrightarrow 4 {\left (\frac {L_2}{L_1} \right ) }^2= 
\frac{ \tan \theta_1}{ \tan \theta_2}

 

 

 

 

(6)

Мерењем углове \theta_1 \,\! и \theta_2 \,\! и растојање између наелектрисања L_1 \,\! и L_2 \,\! могуће је проверити да једнакост важи, узимајући у обзир експерименталну грешку. У пракси, углови могу бити тешко измериви, па ако је дужина ужета довољно велика, углови ће бити довољно мали да би се добила следећа апроксимација:


\tan \theta  \approx \sin \theta= \frac{\frac{L}{2}}{l}=\frac{L}{2l}\Longrightarrow\frac{ \tan \theta_1}{ \tan \theta_2}\approx \frac{\frac{L_1}{2l}}{\frac{L_2}{2l}}

 

 

 

 

(7)

Користећи ову апроксимацију, однос (6) постаје много једноставнији израз:


\frac{\frac{L_1}{2l}}{\frac{L_2}{2l}}\approx 4 {\left (\frac {L_2}{L_1} \right ) }^2 \Longrightarrow \,\! \frac{L_1}{L_2}\approx 4 {\left (\frac {L_2}{L_1} \right ) }^2\Longrightarrow \frac{L_1}{L_2}\approx\sqrt[3]{4} \,\!

 

 

 

 

(8)

На овај начин, верификација је ограничена на мерење растојања између наелектрисања и провера да ли је подела апроксимира теоријску вредност.

Електростатичке апроксимације[уреди]

У обема формулацијама, скаларној и векторској, Кулонов закон је тачан само ако су наелектрисања у мировању, а остаје приближно тачан за мање брзине кретања. Када се наелектрисања крећу, ствара се магнетско поље које мења Кулонове силе које делују на наелектрисања. Сила која настаје услед магнетског поља може се сматрати као сила електростатичког поља под условом да се у обзир узме и Ајнштајнова теорија релативитета.

Види још[уреди]

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]