Зрачење електричног дипола постављеног дуж вертикалне осе у приказаној равни који осцилује дуж те осе фреквенцијом 1 Hz . Јачина електричног поља дипола у равни
E
=
E
x
2
+
E
z
2
{\displaystyle E={\sqrt {E_{x}^{2}+E_{z}^{2}}}}
E
z
>
0
{\displaystyle E_{z}>0}
E
z
<
0
{\displaystyle E_{z}<0}
магнетног поља су ортогоналне на приказану раван. Компоненте Поинтинговог вектора
S
x
{\displaystyle S_{x}}
S
z
{\displaystyle S_{z}}
Поинтингов вектор у електромагнетизму је вектор који се добија из Поинтингове теореме о одржању енергије у електромагнетном пољу и има значење трансферзалног протока енергије у односу на раван сачињену од временски променљивог електричног и магнетног поља .
Поинтингов вектор
S
{\displaystyle \mathbf {S} }
S
=
E
×
H
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }
где је
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
јачина електричног поља , а
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
јачина магнетног поља .
Поинтингов вектор изражен у облику преко јачине електричног и јачине магнетног поља се добија из Поинтингове теореме .
Укупан флукс енергије кроз дату запремину
V
{\displaystyle V}
површински интеграл :
∬
A
S
⋅
d
A
{\displaystyle \iint _{A}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} }
који се преко Гаусове теореме о дивергенцији може записати преко запреминског интеграла :
∬
A
S
⋅
d
A
=
∫
V
∇
⋅
S
d
V
{\displaystyle \iint _{A}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {S} dV}
Одавде је густина енергетског флукса:
∇
⋅
S
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} }
Промена густине електромагнетне енергије у времену [ уреди | уреди извор ] Густина електромагнетне енергије је:
u
=
E
⋅
D
+
H
⋅
B
{\displaystyle u=\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} }
где су
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
електрична индукција , а
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
магнетна индукција :
D
=
ϵ
0
E
,
H
=
B
μ
0
{\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}}
Налажењем временског извода густине електромагненте енергије
u
{\displaystyle u}
∂
u
∂
t
=
1
2
(
E
⋅
∂
D
∂
t
+
D
⋅
∂
E
∂
t
+
H
⋅
∂
B
∂
t
+
B
⋅
∂
H
∂
t
)
=
E
⋅
∂
D
∂
t
+
H
⋅
∂
B
∂
t
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {D} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\right)=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
Како би се десна страна израза преписала преко само јачине електричног поља
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
јачина магнетног поља
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
Максвелове једначине и тиме се магнетна индукција
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
∂
B
∂
t
=
−
∇
×
E
→
H
⋅
∂
B
∂
t
=
−
H
⋅
∇
×
E
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} \ \rightarrow \ \mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} }
а електрична индукција
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
∂
D
∂
t
+
J
=
∇
×
H
→
E
⋅
∂
D
∂
t
+
E
⋅
J
=
E
⋅
∇
×
H
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} \ \rightarrow \ \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} }
Одавде се добија да израз за промену густине електромагнетног поља у времену:
∂
u
∂
t
=
E
⋅
∂
D
∂
t
+
H
⋅
∂
B
∂
t
=
E
⋅
∇
×
H
−
H
⋅
∇
×
E
−
J
⋅
E
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }
где је
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
густина струје .[1]
У произвољној запремини простора
V
{\displaystyle V}
закона о одржању енергије , збир промене густине електромагнетне енергије у јединици времена
∂
u
∂
t
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}}
флукса који протекне кроз ту запремину
∇
⋅
S
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} }
J
⋅
E
{\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }
∂
u
∂
t
+
∇
⋅
S
=
−
J
⋅
E
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} }=-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }
Одавде се добија да је:
−
∇
⋅
S
=
∂
u
∂
t
+
J
⋅
E
=
(
H
⋅
∂
B
∂
t
+
E
⋅
∂
D
∂
t
)
+
J
⋅
E
=
E
⋅
∇
×
H
−
H
⋅
∇
×
E
{\displaystyle {\begin{aligned}-\nabla \cdot \mathbf {S} &={\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} \\\end{aligned}}}
Коначно, коришћењем векторског идентитета:
∇
⋅
(
E
×
H
)
=
H
⋅
(
∇
×
E
)
−
E
⋅
(
∇
×
H
)
{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )=\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )}
добија се израз за Поинтингов вектор[2]
S
=
E
×
H
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }
