Гаусов закон

Из Википедије, слободне енциклопедије


У физици, Гаусов закон, познат и као Гаусова флукс теорема, је закон који се односи на расподелу наелектрисања до постигнућа електричног поља.

Закон је формулисао Карл Фридрих Гаус у 1835, али није објављен до 1867.[1] То је једна од четири Максвелове једначине који чине основу класичне електродинамике, остала тројица која су Гаусов закон магнетизма, Фарадејев закон индукције и Амперов закон са корекцијом Максвелове. Гаусов закон се може користити за извођење Кулоновог закона,[2] и обрнуто.

Квалитативни опис закона[уреди]

Речима, Гаусов закон наводи да:

Мрежни извор нормалног електричног флукса путем било које затворене површине је пропорционалан укупном наелектрисању. [3]

Гаусов закон има блиске математичке сличности са неколико закона у другим областима физике, као што су Гаусов закон магнетизма и Гаусов закон гравитације. У ствари, било који "инверзно-квадратни закон" може да се формулише на начин сличан Гаусовом закону: На пример, сам Гаусов закон је у суштини једнака инверзном-квадрату Кулоновог закона, и Гаусов закон гравитације је у суштини једнака инверзном-квадрату Њутновог закона гравитације.

Гаусов закон је нешто као електрична аналогија Амперовог закона, која се бави магнетизмом.


Закон се може изразити математички коришћењем векторских формула у Интеграл формама и диференцијалне форме, оба су еквивалентни, јер су оне везане у дивергенцији теорема, таође називан Гаусова теорема. Сваки од ових облика заузврат може се изразити на два начина: у питању однос између електричног поља E, и укупаног наелектрисања, или у смислу електрично варијабилно поље D и слободаног наелектрисање.[4]

Једначине које укључују Е поље[уреди]

Гаусов закон се може констатовати помоћу или електричног поља E или електричног варијабилног поља D. Овај део показује неке од облика са E, облик са D испод, као и други облици са E.

Интегрални облик[уреди]

Гаусов закон се може изразити као: :[4]

\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}

где је Φ E је електрични флукс кроз затворену површину S заграђујући било који звук V, Q је укупн наелектрисање затворена у S, и ε0 је електрична константа. Електрични флукс ΦE се дефинише као интегрална површина од електричног поља:

{{preintegral=\Phi_E = |intsubscpt={\scriptstyle S}|integrand=\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} }}

где је E електрично поље, dA је вектор који представља бесконачни елемент подручја, [5] и представља тачку производа два вектора.

Пошто је флукс дефинисан као интеграл електричног поља, овај израз Гаусовог закона се зове интегралним обликом.

Примена интегралног облика[уреди]

Ако је електрично поље познато свуда, Гаусов закон га чини прилично лаким, теоретски, да пронађе расподелу наелектрисања: пуњење у сваком региону се може закључити интегрисањем електрично поље за налажење флукса.

Међутим, много чешће, то је обрнути проблем који треба решити: познато је расподела наелектрисања, док електрично поље треба израчунати. То је много теже, јер ако знате укупан флукс кроз дату површину, која даје скоро никакве информације о електричном пољу, која (колико знате) може да улази и излази на површину у произвољно компликованом образацу.

Изузетак је ако има неке симетрије у ситуацији, који прописује да електрично поље пролази кроз површину на јединствен начин. Затим, ако је укупан флукс познат, само поље се може извести у сваком тренутку. Уобичајени примери симетрије који су погодни за Гаусов закон обухвата цилиндричну симетрију, планарну симетрију, и сферну симетрију. Погледајте чланак Гаусова површина за примере где се ове симетрије користе да се израчуна електрично поље.

Диференцијална форма[уреди]

До дивергентној теореми Гаусов закон може алтернативно бити написан у диференцијалној форми:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

где ∇ • E је дивергенција електричног поља, ε0 је електрична константа, и ρ је укупана густина електричног наелектрисања.

Једнакост интегралног и диференцијалог облика[уреди]

Интегрални и диференцијали облици су математички еквивалентни, у теореми дивергенције. Ево и конкретнијег аргуента.

Интегрални облик Гаусовог закона је:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

за било које затворене површине S која садржи наелектрисање Q. по дивергентној теореми, ова једначина је једнака овој:

\iiint\limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} \ \mathrm{d}V = \frac{Q}{\varepsilon_0}

за било који јачину V који садржи наелектрисање Q. Од односа између наелектрисања и густине наелектрисања, ова једначина је једнака овој:

\iiint\limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} \ \mathrm{d}V = \iiint\limits_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} \ \mathrm{d}V

за било који јачину V. Да би ова једначине била 'истовремено важећа' у свакој могућој јачини V, потребно је (а и довољна) да интеграција буду једнаки свуда. Дакле, ова једначина је једнака овом:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.

Тако су интегрални и диференцијални облици еквивалентни.


Једначина која укључује Д поља[уреди]

Бесплатано, везано и укупно наелектрисање[уреди]

Наелектрисање које се поставља у најједноставнијим ситуацијама могло би се класификовати као "бесплатно", на пример, набој који се преноси у статички електрицитет, или је наелектрисање на кондензаторској плочи. Насупрот томе, "гранично наелектрисање" се јавља само у контексту диелектричних материјала. (Сви материјали су поларизовани донекле.) Када су ти материјали смештени у спољашњем електричном пољу, електрони и даље остају везани за свој атом, али помере микроскопско растојање у одговору на терен, тако да су они више на једној страни атома. Сва ова микроскопска померања у горе датој макроскопској мрежој расподели наелектрисања, а то представља "везано наелектрисање“.

Иако микроскопске, све наелектрисања су у основи иста, често постоје практични разлози који желе да се везано наелектрисање третира другачије од бесплатног наелектрисања. Резултат је да је више "основни" Гаусов закон, у смислу E (горе), се понекад ставља у форму еквивалентна испод, што је само у односу на D и бесплатног наелектрисања.

Интегрални облик[уреди]

Ова формулација Гаусовог закона наводи аналогно укупном облику наелектрисања:

\Phi_D = Q_\text{free}\!

где је ΦD D-поља флукс кроз површину S који обухвата запремину V, и Qfree је бесплатно наелектрисање које се садржи у V. Флукс ΦD аналогно се дефинише на флукс ΦE електричног поља E кроз S:

{{preintegral=\Phi_{D} = |intsubscpt={\scriptstyle S}|integrand=\mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} }}

Диференцијални облик[уреди]

Диференцијални облик Гаусовог закона, укључући сао бесплатно наелектрисање, даје:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_\text{free}

где ∇ • D је дивергенција електричног поља померања, а ρfree је густина бесплатаног наелектрисања.

Једнакост укупног и бесплатног исказа наелектрисања[уреди]

Доказ да формулисање Гаусовог закона у оквиру слободног наелектрисања ју еквивалентне формулисање које обухвата укупно наелектрисање.

У овој доказа, ми ћемо показати да једначина

\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0

је еквивалентна једначини

\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{\mathrm{free}}

Имајте на уму да се само бавимо диференцијалним обликом, не интегралним обликом, али то је довољно, јер диференцијални и интегрални облици су једнаки у сваком случају, по дивергенцијској теореми.

Уводимо густину поларизације P, која има следећи однос према E и D:

\mathbf{D}=\epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}

и следећи однос на везано наелектрисање:

\rho_{\mathrm{bound}} = -\nabla\cdot \mathbf{P}

Сада, ијамте у виду три једначине:

\rho_{\mathrm{bound}} = \nabla\cdot (-\mathbf{P})
\rho_{\mathrm{free}} = \nabla\cdot \mathbf{D}
\rho = \nabla \cdot(\epsilon_0\mathbf{E})

Кључни увид је да је збир прве две једначине трећа једначина. Овим се завршава доказ: Прва једначина је истина по дефиницији, и стога друга једначина важи ако и само ако је трећа једначина истинита. Дакле, друга и трећа једначина су еквивалентне, што је оно што смо желели да докажемо.

Једначина за линеарне материјале[уреди]

У хомогеним, изотропним, Дисперзивним, линеарним материјалима, постоји једноставан однос између E и D:

\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}

где је ε диелектрична константа материјала. У случај вакуума (тј слободаног простора), ε = ε0. Под овим околностима, Гаусов закон се мења у

\Phi_E = \frac{Q_\text{free}}{\epsilon}

у интегралном облику, и

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_\text{free}}{\varepsilon}

у диференцијалном облику.

Однос према Кулоновом закону[уреди]

Подстицање Гаусовог закон из Кулоновог закона[уреди]

Гаусов закон се може извести из Кулоновог закона.

Кулонов закон наводи да је електрично поље због стационарне тачка наелектрисања:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{e_r}}{r^2}

где је

er је радијална векторска јединица,
r је радијус, |r|,
\epsilon_0 је електрична константа,
q је наелектрисање честице, за који се претпоставља да се налази у координатном почетку.

Користећи израз из Кулоновог закона, добијамо укупну поље у r користеци интеграл за сабирање поља у r због премалог наелектрисања на сваком другом месту s у простору, да даје:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{s})(\mathbf{r}-\mathbf{s})}{|\mathbf{r}-\mathbf{s}|^3} \,  d^3 \mathbf{s}

где је \rho густина наелектрисања. Ако узмемо дивергентност обе стране ове једначине у односу на r, и искористе познату теорему [6]

\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\right) = 4\pi \delta(\mathbf{r})

где је δ(r) Диракова делта функција, резултат је

\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \rho(\mathbf{s})\ \delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\, d^3 \mathbf{s}

Коришћење "транзлационог померања"из Диракове делта функције, стижемо у

\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0},

што је диференцијални облик Гаусовг закон, као сто је и тржено.

Подстицање Кулоновог закон од Гаусовг закона[уреди]

Строго говорећи, Кулонов закон се не може извести сама из Гаусовг закона, јер Гаусов закон не даје никакве информације у вези са Роторовим (математика) E (види Хелмхолцово распадање и Фарадејев закон). Међутим, Кулонов закон може да се докаже Гаусовим законом ако се претпостави, као додатак, да је електрично поље од тачке наелектрисања сферно-симетрично (ова претпоставка, као и сам Кулонов закона, је потпуно истинит ако је наелектрисање стационарно, а приближно тачно ако је наелектрисање у покрету).

Узимајући S у интегралном облику Гаусовог закона да буде сферична површина полупречника r, центриран у тачки наелектрисања Q, имамо

\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

По претпоставци сферне симетрије, интегранд је константа која се може изнети из интеграла. Резултат је

4\pi r^2\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{\varepsilon_0}

Где је \hat{\mathbf{r}} јединични вектор који указује радијално од наелектрисања. Опет по сферној симетрији, E тачке у радијалном правцу, и тако добијамо

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}

што је у суштини једнака Кулоновом закону. Према инверзнао-квадратним законом зависност електричног поља у Кулоновом закону следи из Гаусовог закона.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution. 
  2. ^ Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, Inc. стр. 452-53. 
  3. ^ Serway, Raymond A. (1996). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 4th edition. стр. 687. 
  4. ^ а б I.S. Grant, W.R. Phillips (2008). Electromagnetism (2nd ed.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9. 
  5. ^ Matthews, Paul (1998). Vector Calculus. Springer. ISBN 3-540-76180-2. 
  6. ^ See, for example, Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. стр. 50. ISBN 0-13-805326-X. 

Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics, 3rd ed., New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

Спољашње везе[уреди]