Kulonov zakon

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Skoči na: navigacija, pretraga

U fizici, Kulonov zakon definiše intenzitet, pravac i smer elektrostatičke sile kojom nepokretno naelektrisanje malih dimenzija (u idealnom slučaju tačkasto naelektrisanje) deluje na drugo. Ta sila se često naziva i „Kulonova sila“. Nazvana je po Šarlu Kulonu koji je koristio torzionu vagu kako bi je izmerio.

Kulonov zakon se može definisati kao:

„Intenzitet elektrostatičke sile između dva tačkasta naelektrisanja je direktno proporcionalan proizvodu količina njihovih naelektrisanja, a obrnuto proporcionalan kvadratu rastojanja između ta dva naelektrisanja“.

Istorija[uredi]

Drevne kulture širom Mediterana znaju da pojedini objekti, kao što su šipke od ćilibara , pri trljanju sa krznom mačke mogu da privuku lake predmete poput perja. Tales iz Mileta je napravio niz zapažanja o statičkom elektricitetu oko 600te godine p. n. e., iz kojih je verovao da trenje pravi amber magnetom , za razliku od minerala kao što su magnetit , koji nemaju potrebu za trenjem. Tales je pogrešio verujući da se privlačnost događa zbog magnetnog dejstva, jer će kasnije nauka dokazati vezu između magnetizma i elektriciteta.

Struja će ostati nešto više od intelektualne radoznalosti milenijumima sve do 1600. godine, kada je engleski naučnik Vilijam Gilbert uspeo pažljivim proučavanjem elektriciteta i magnetizma, da napravi razliku između Lodestonovog efekata i statičkog elektriciteta proizvedenog trljanjem ćilibar. On je izmislio novu latinsku reč lectricus ("od ćilibara" ili "poput ćilibara", iz ηλεκτρον [Elektron], grčka reč za "Amber") koja se odnosi na osobinu privlačenja malih objekata nakon trenja. Ova asocijacija je dovelo do engleskih reči "električni" i "struja", koje su svoje prvo pojavljivanje dobile od strane Tomasa Brauna u „Pseudodoxia Epidemica“ 1646.

Rana istražitelji iz 18. veka, koji sumnju da se električna sila smanjuje sa distancom kao i gravitaciona sila (tj., kao obrnutom kvadratu rastojanja) uključuje Daniela Bernulija i Alesandra Volta , obojica koja su merila silu između ploče kondenzator, i Aepinusa koji je objavio inverzno-kvadratni zakon u 1758. godini.

Na osnovu eksperimenata na naelektrisanim sferama, Džozef Pristli u Engleskoj bio je među prvima koji predlaže da električna snaga prati inverzno-kvadratni zakon , sličan Njutnovom zakonu univerzalne gravitacije. Međutim, on nije generalizovao ili razradio ovo. U 1767. godini, on je pretpostavio da sila između dva punjenja varira kao obrnutom kvadratu rastojanja.

Kulonova torziona vaga

U 1769, škotski fizičar Džon Robison je najavio da, prema njegovim merenjima, sila odbijanja između dve sfere sa istim znakom varira kao x -2.06.

Početkom 1770-ih godina, zavisnost sile između naelektrisanih tela na obe distance i punjenja već je bilo otkriveno, ali nije objavljeno, po Henriju Kevendišu iz Engleske.

Konačno, 1785te godine, francuski fizičar Čarls Augustin de Coulomb je objavio svoja prva tri izveštaja o elektricitetu i magnetizmu, gde je izneo svoj zakon. Ova publikacija je od suštinskog značaja za razvoj teorije elektromagnetizma. On je koristio torzionu vagu za proučavanje odbojnosti i privlačnosti snage naelektrisanih čestica, i utvrdio da je veličina električne snage između dve ključne tačke punjenja direktno proporcionalna proizvodu punjenja i obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja između njih.

Torziona vaga sastoji se od šipke zakačena kroz svoju sredinu tankim vlaknima. Vlakna deluje kao jako slaba torzionova opruga. U Kulonovom eksperimentu, torzionova vaga je izolacioni štap sa loptom sa metalnom košuljicom na jednog kraja zakačena svilenim koncem. Lopta je bila naelektrisana sa poznatim naelektrisanjem za statiči elektricitet, a druga naelektrisana lopta istog polariteta je doveden do nje. Dve naelektrisane kugle su se odbile jedana drugoge, uvrcujuci vlakna pod određenim uglom, što se može pročitati sa skale na instrumentu.

Znajući koliko snage je trebalo da se uvrnu vlakana do datogm ugla, Kulonov je uspeo da izračuna sile između kugli i izvede svoj inverzno-kvadrati proporcionalni zakon.

Zakon[uredi]

Kulonov zakon navodi da:

Intenzitet elektrostatičke sile između dva tačkasta naelektrisanja je direktno proporcionalan proizvodu količina njihovih naelektrisanja, a obrnuto proporcionalan kvadratu rastojanja između ta dva naelektrisanja.
Grafički prikaz Kulonovog zakona

Kulonov zakon se može navesti kao jednostavan matematički izraz. Skalarni i vektorski oblici matematičke jednačine su

|\boldsymbol{F}|=k_e{|q_1q_2|\over r^2}    and    \boldsymbol{F_{1}}=k_e{q_1q_2\boldsymbol{\hat{r}_{21}} \over |\boldsymbol{r_{21}}|^2} ,   respectively,

gde je ke Kulonova konstanta , q1 i q2 su magnitude naelektrisanja, skalarno r je rastojanje između naelekrisanja, vektor \boldsymbol{r_{21}}=\boldsymbol{r_1-r_2} je vektorsko rastojanje između naelekrisanja i \boldsymbol{\hat{r}_{21}}={\boldsymbol{r_{21}}/|\boldsymbol{r_{21}}|}(Jedinični vektor od q2 do q1). Vektorski oblik jednačine iznad izračunava silu \boldsymbol{F_{1}} primenjuje na q1 od strane q2. Ako je r12 umesto toga iskorišćen, onda se efekat na q2 može naći. Takođe se može izračunati korišćenjem Njutnovog trećeg zakona : \boldsymbol{F_{2}}=-\boldsymbol{F_{1}}.

Jedinice[uredi]

Elektromagnetna teorija obično se izražava pomoću Međunarodnog sistema jedinica. Sila se meri u njutnima , naelektrisanje u kulonima , i udaljenost u metrima . Kulonova konstanta je data sa k_e = 1 / (4\pi\varepsilon_0\varepsilon) . Konstanta \varepsilon_0 je dielektrična konstanta slobodnog prostora u C2 m−2 N−1. I je relativna dielektrična konstanta materijala u koji je uronjeno naelektrisanje, pa je bezdimenziona. U Međunarodnom sistemu izvedenih jedinica za električno polje je volt po metru, Njutan po Kulonu, ili tesla metara u sekundi. Kulonov zakon i Kulonova konstanta može se tumačiti u različitim uslovima:

  • atomska jedinica . U atomskim jedinicama snaga se izražava u Hartreeju po Bohraovom radijusu , naelektrisanje u smislu osnovnog naelektrisanja , i daljina u smislu Bohrovog radijusa.
  • elektrostatičke jedinice ili Gausove jedinice. U elektrostatičke jedinice i Gausova jedinica, jedinica punjenje se definiše na takav način da Kulonova konstanta k nestaje jer ima vrednost jednog i postaje bezdimenziona .

Električno polje[uredi]

Ako dva naelektrisanja imaju isti znak, elektrostatička sila između njih je odbojna; ako imaju različite znakove, sila između njih je privlačna.

Električno polje je vektorsko polje koje povezuje svaku tačku u prostoru Kulonovih sila kroz koji prolazi test naelektrisanja. U najjednostavnijem slučaju, smatra se da će biti generisan od strane isključivo jednog izvora naelektrisane tačke . Snaga i pravac sile Kulona \boldsymbol{F} na test naelektrisanja q_t zavisi od električnog polja \boldsymbol{E} da se nađe u njemu, tako da je \boldsymbol{F} = q_t \boldsymbol{E}. Ako se polje generiše pozitivno naelektrisanom izvornom tačkom q, smer električnog polja tačaka duž linija usmerenih radijalno ka spolja od njega, odnosno u smeru pozitivanom naboju tačka testa q_t pomerilo bi se ako je stavljeno na polje. Za negativno naelektrisani izvor naelektrisanja, pravac je radijalno ka unutra. Veličina električnog polja \boldsymbol{E} se može izvesti iz Kulonovog zakona. Izborom jedne od tačaka naelektrisanja da je izvor, a drugi da bude test punjenja, prati da je iz Kulonovog zakona veličina ovog električnog polja \boldsymbol{E} napravljen od strane jednog izvora naelektrisane tačka q na određenoj udaljenosti od njega r u vakuumu daje:

|\boldsymbol{E}|={1\over4\pi\varepsilon_0}{|q|\over r^2}.

Kulonova konstanta[uredi]

Kulonov konstanta proporcionalnosti je faktor koji se pojavljuje u Kulonovom zakonu, kao i u drugim elektro-srodnih formula. Označava k_e, poznata kao konstantna električne sile ili elektrostatička konstanta, pa indeksni e.

Tačna vrednost Kulonove konstante je:

\begin{align}
k_e &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{c_0^2\mu_0}{4\pi}=c_0^2\cdot10^{-7}\mathrm{H\ m}^{-1}\\
               &= 8.987\ 551\ 787\ 368\ 176\ 4\cdot10^9\mathrm{N\ m^2\ C}^{-2}.
\end{align}

Stanje punovažnosti[uredi]

Postoje dva uslova koje treba ispuniti za važenja Kulonovog zakona:

  1. Razmatrana naelektrisanje morju biti deo tačke naelektrisanja.
  2. Oni treba da budu stacionarne u međusobnom odnosu jedna na drugu.

Skalarni oblik[uredi]

Apsolutna vrednost sile \boldsymbol{F} između dve tačke naelektrisanja q and Q odnosi se na rastojanje između tačke naelektrisanja i njegovog jednostavnog proizvoda naelektrisanja. Dijagram pokazuje da kao i kod odbojnosti naelektrisanja jednog od drugog, suptrotna naelektrisanja privlače jedan drugog.

Kada je to samo od interesa da se zna veličina elektrostatičke sile (a ne njegov smer), je lakše da se razmotri skalarni oblik zakona. Skalarni oblik Kulonovog zakona se odnosi na obim i znak elektrostatičke sile \boldsymbol{F} koja deluje istovremeno na dve tačke optužnice q_1 i q_2 na sledeći način:

|\boldsymbol{F}|=k_e{|q_1q_2|\over r^2}

gde je r rastojanje i k_e Kulonova konstanta. Ako je proizvod q_1 q_2 pozitivan, sila između dva naelektrisanja je odbojana, a ako je proizvod negativan, sila između njih je privlačna.

Vektorski oblik[uredi]

Na slici, vektor \boldsymbol{F}_1 je sila na koju utiče q_1, i vektor \boldsymbol{F}_2 je sila na koju utiče q_2. Kada q_1 q_2 > 0 je sila odbojna (kao što je na slici) i kada q_1 q_2 < 0 je sila privlačna (suprotno od onoga što je na slici). Jačina sile ce uvek biti jednaka.

Kulonov zakon kaže da se elektrostatička sila \boldsymbol{F_1} na koje utiče naelektrisanje, q_1 na poziciji \boldsymbol{r_1}, u blizini drugog naelektrisanja, q_2 na poziciji \boldsymbol{r_2}, u vakuumu je jednaka:

\boldsymbol{F_1}={q_1q_2\over4\pi\varepsilon_0}{(\boldsymbol{r_1-r_2})\over|\boldsymbol{r_1-r_2}|^3}={q_1q_2\over4\pi\varepsilon_0}{\boldsymbol{\hat{r}_{21}}\over |\boldsymbol{r_{21}}|^2},

Gde je \boldsymbol{r_{21}}=\boldsymbol{r_1-r_2}, jedinični vektor \boldsymbol{\hat{r}_{21}}={\boldsymbol{r_{21}}/|\boldsymbol{r_{21}}|}, i \varepsilon_0 električni konstanta .

Vektorski oblik Kulonovog zakona je jednostavna skalarna definicija zakona sa datim pravcem od vektorske jedinice, \boldsymbol{\hat{r}_{21}} , paralelno sa linijom od naelektrisanja q_2 do naelektrisanja q_1. Ako oba naelektrisanja imaju isti znak onda je proizvod q_1q_2 pozitivan i pravac sile na q_1 je dat od strane \boldsymbol{\hat{r}_{21}}; Naelektrisanja odbijaju jedni druge. Ako naelektrisanja imaju suprotne znake onda proizvoda q_1q_2 je negativan i pravac sile q_1 je dat od strane -\boldsymbol{\hat{r}_{21}};Naelektrisanja privlače jedni druge.

Elektrostatička sila \boldsymbol{F_2} na koje utiče naelektrisanje q_2, prema trećem Njutnovom zakonu, je \boldsymbol{F_2}=-\boldsymbol{F_1}.

Sistem izolovanih naelektrisanja[uredi]

Zakon poklapanja Kulonovom zakonu dozvoljava da bude proširen na bilo koji broj tačaka naelektrisanja. Sila koja deluje na tačku naelektrisanja, zbog toga sto je sistema tačaka naelektrisanja jednostavno vektorsko dodavanje pojedinačnih sila koje deluju samo na tačku naelektrisanja zbog svakog naelektrisanja. Rezultat je vektor sila paralelna sa električnim poljem vektora u tom trenutku, s uklonjenom tačkom naelektrisanja.

Sila \boldsymbol{F} na malom naelektrisanju q, na poziciji \boldsymbol{r}, zbog sistema N izolovano naelektrisanje u vakuumu je:

\boldsymbol{F(r)}={q\over4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^Nq_i{\boldsymbol{r-r_i}\over|\boldsymbol{r-r_i}|^3}={q\over4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^Nq_i{\boldsymbol{\widehat{R_i}}\over|\boldsymbol{R_i}|^2},

Gde su q_i i \boldsymbol{r_i} veličina i položaj, u odnosno na i^{th} naelektrisanja, \boldsymbol{\widehat{R_i}} je jedinični vektor u pravcu \boldsymbol{R}_{i} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_i (Vektor pokazuje na osnovno naelektrisanje od q_i do q)).

Neprekidna raspodela naelektrisanja[uredi]

U ovom slučaju, princip linearne superpozicije se takođe koristi. Za neprekidnu raspodelu naelektrisanja, integral celom regionu koji sadrži naelektrisanje odgovara beskonačnom zbiru, tretirajući svaki infinitezimalni element prostora kao tačka naelektrisanja dq. Raspodela naelektrisanja je obično linearna, površinska ili zapreminska.

Za linearnu raspodelu naelektrisanja (dobra aproksimacija za naelektrisanje u žice), gde \lambda(\boldsymbol{r'}) daje naelektrisanje po jedinici dužine na poziciji \boldsymbol{r'}, i dl' je infinitezimalni element dužine,

dq = \lambda(\boldsymbol{r'})dl'.

Za raspodelu površinskog naelektrisanja, gde \sigma(\boldsymbol{r'}) daje naelektrisanje po jedinici površine, na poziciji \boldsymbol{r'} i dA' je infinitezimalni element prostora,

dq = \sigma(\boldsymbol{r'})\,dA'.

Za raspodelu zapreminskog naelektrisanja (kao što su naelektrisanje u okviru rasutih metala), gde \rho(\boldsymbol{r'}) daje naelektrisanje po jedinici zapremine, na poziciji \boldsymbol{r'}, i dV' je infinitezimalni element zapremine,

dq = \rho(\boldsymbol{r'})\,dV'.

Sila na mali test naelektrisanja q' na poziciji \boldsymbol{r} u vakuumu dat od strane integrala preko raspodele naelektrisanja:

\boldsymbol{F} = {q'\over 4\pi\varepsilon_0}\int dq {\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r'} \over |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r'}|^3}.

Jednostavan eksperiment za proveru Kulonovog zakona[uredi]

Moguće proveriti Kulonov zakon sa jednostavnim eksperimentom. Razmotrimo dve male sfere mase m i istim znakom naelektrisanja q, koje visi o dva užeta zanemarljive mase dužine l. Tri sile koje deluju na svaku sferi su: težina m g, zakegnutos konopca T i električne sile \boldsymbol{F}.

U stanju ravnoteže:

T \ \sin \theta_1 =F_1 \,\!

 

 

 

 

(1)

i:

T \ \cos \theta_1 =mg \,\!

 

 

 

 

(2)

Deljenjem (1) sa (2):

\frac {\sin \theta_1}{\cos \theta_1 }=
\frac {F_1}{mg}\Rightarrow F_1= mg \tan \theta_1

 

 

 

 

(3)

Ako je L_1 \,\! rastojanje između naelektrisanih sferama, onda je odbojna sila između njih F_1 \,\!, pod pretpostavkom da je Kulonov zakon tačno, je jednaka

 F_1 = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 L_1^2}

 

 

 

 

(Kulonov zakon)

tako da je:

\frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 L_1^2}=mg \tan \theta_1 \,\!

 

 

 

 

(4)

Ako sada razelektrišemo jednu od sfera, a stavimo je u kontaktu sa naelektrisanom sferom, svaki od njih dobija naelektrisanje q/2. U stanju ravnoteže, rastojanje između naelektrisanja će biti L_2<L_1 \,\! i odbojnost sila između njih će biti:

F_2 = \frac{{(q/2)}^2}{4 \pi \epsilon_0 L_2^2}=\frac{q^2/4}{4 \pi \epsilon_0 L_2^2} \,\!

 

 

 

 

(5)

Znamo da je F_2= mg. \tan \theta_2 \,\!. I:

\frac{\frac{q^2}{4}}{4 \pi \epsilon_0 L_2^2}=mg. \tan \theta_2

Deljenjem (3) sa (4), dobijamo:

\frac{\left(\cfrac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 L_1^2} \right)}{\left(\cfrac{q^2/4}{4 \pi \epsilon_0 L_2^2}\right)}=
\frac{mg \tan \theta_1}{mg \tan \theta_2}
\Longrightarrow 4 {\left (\frac {L_2}{L_1} \right ) }^2= 
\frac{ \tan \theta_1}{ \tan \theta_2}

 

 

 

 

(6)

Merenjem uglove \theta_1 \,\! i \theta_2 \,\! i rastojanje između naelektrisanja L_1 \,\! i L_2 \,\! moguće je proveriti da jednakost važi, uzimajući u obzir eksperimentalnu grešku. U praksi, uglovi mogu biti teško izmerivi, pa ako je dužina užeta dovoljno velika, uglovi će biti dovoljno mali da bi se dobila sledeća aproksimacija:


\tan \theta  \approx \sin \theta= \frac{\frac{L}{2}}{l}=\frac{L}{2l}\Longrightarrow\frac{ \tan \theta_1}{ \tan \theta_2}\approx \frac{\frac{L_1}{2l}}{\frac{L_2}{2l}}

 

 

 

 

(7)

Koristeći ovu aproksimaciju, odnos (6) postaje mnogo jednostavniji izraz:


\frac{\frac{L_1}{2l}}{\frac{L_2}{2l}}\approx 4 {\left (\frac {L_2}{L_1} \right ) }^2 \Longrightarrow \,\! \frac{L_1}{L_2}\approx 4 {\left (\frac {L_2}{L_1} \right ) }^2\Longrightarrow \frac{L_1}{L_2}\approx\sqrt[3]{4} \,\!

 

 

 

 

(8)

Na ovaj način, verifikacija je ograničena na merenje rastojanja između naelektrisanja i provera da li je podela aproksimira teorijsku vrednost.

Elektrostatičke aproksimacije[uredi]

U obema formulacijama, skalarnoj i vektorskoj, Kulonov zakon je tačan samo ako su naelektrisanja u mirovanju, a ostaje približno tačan za manje brzine kretanja. Kada se naelektrisanja kreću, stvara se magnetsko polje koje menja Kulonove sile koje deluju na naelektrisanja. Sila koja nastaje usled magnetskog polja može se smatrati kao sila elektrostatičkog polja pod uslovom da se u obzir uzme i Ajnštajnova teorija relativiteta.

Vidi još[uredi]

Literatura[uredi]

Spoljašnje veze[uredi]