Гаусов закон

У физици, Гаусов закон, познат и као Гаусова теорема о флуксу, је закон који се односи на расподелу наелектрисања до постигнућа електричног поља.

Закон је формулисао Карл Фридрих Гаус 1835. године, али није објављен до 1867. године. Гаусов закон је је једна од четири Максвелове једначине који чине основу класичне електродинамике, остала три су Гаусов закон магнетизма, Фарадејев закон електромагнетске индукције и Амперов закон са Максвеловом корекцијом. Гаусов закон се може користити за извођење Кулоновог закона, и обрнуто.

Квалитативни опис закона

Гаусов закон каже да је:

Укупан електрични флукс кроз било какву затворену површину је једнак количнику диелектричне константе и укупног наелектрисања унутар те површине.

Гаусов закон има блиске математичке сличности са неколико закона у другим областима физике, као што су Гаусов закон магнетизма и Гаусов закон гравитације. У ствари, било који "инверзно-квадратни закон" може да се формулише на начин сличан Гаусовом закону. На пример, сам Гаусов закон је у суштини једнака инверзном-квадрату Кулоновог закона, и Гаусов закон гравитације је у суштини једнака инверзном-квадрату Њутновог закона гравитације.

Гаусов закон је у неку руку аналоган Амперовом закону, која се бави магнетизмом.

Закон се може векторима изразити у интегралној и у диференцијалној форми. Обе форме су еквивалентне, јер су везане Гаус-Остроградсковом теоремом. Сваки од ових облика заузврат може се изразити на два начина: као однос између електричног поља E и укупног наелектрисања или као однос вектора диелектричног помјераја D и слободаног наелектрисања.

Примена Гасове теореме у одређивању електричног поља

Гаусов закон се може констатовати помоћу или електричног поља E или вектора диелектричног помјераја D. Овај део показује неке од формула са E, формула са D је у следећој секцији.

Интегрални облик

Гаусов закон се може изразити као:

$\Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

где је Φ_E је електрични флукс кроз затворену површину S, Q је укупно наелектрисање унутар површине S а ε₀ је диелектрична константа. Електрични флукс Φ_E се дефинише као површински интеграл електричног поља:

$\Phi _{E}=$$\scriptstyle _{S}$$\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

где је E електрично поље, dA је вектор који је представља инфинитезимални дио површине S и нормалан је на тај дио површине a · представља скаларни производа два вектора.

Пошто је флукс дефинисан као интеграл електричног поља, овај израз Гаусовог закона се зове интегралним обликом.

Примена интегралног облика

Ако је електрично поље познато свуда, Гаусов закон чини прилично лаким, теоретски, одређивање расподјеле наелектрисања: наелектрисање у сваком региону може бит одређено интегрисањем електричног поља како би се нашао флукс.

Међутим, много чешће, потребно је да ријешимо обрнути проблем: позната је расподела наелектрисања док електрично поље треба израчунати. То је много теже, јер и ако можемо одредити електрични флукс кроз неку дату површину, то нам није довољно да одредимо правац, смјер и интензитет електричног поља који може да буде веома комплексног облика.

Изузетак је случај када постоји одређена доза симетрије, који бу дефинисала да је електрично поље униформно кроз површину. У том случају ако је укупан флукс познат могуће је одредити правац, смјер и интензитет поља у свакој тачки. Уобичајени примери симетрије погодни за Гаусов закон укључује цилиндричну симетрију, планарну симетрију и сферну симетрију.

Диференцијална форма

Према теореми Гаус-Остроградског, Гаусов закон може алтернативно бити написан у диференцијалној форми:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

где ∇ • E је дивергенција електричног поља, ε₀ је електрична константа, и ρ је густина електричног наелектрисања.

Једнакост интегралног и диференцијалог облика

Интегрални и диференцијали облици су математички еквивалентни, по теореми дивергенције. Ево и конкретног аргумента.

Интегрални облик Гаусовог закона је:

$\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

за било које затворене површине S која садржи наелектрисање Q. по дивергентној теореми, ова једначина је једнака овој:

$\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \ \mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

за било који јачину V који садржи наелектрисање Q. Од односа између наелектрисања и густине наелектрисања, ова једначина је једнака овој:

$\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \ \mathrm {d} V=\iiint \limits _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\ \mathrm {d} V$

за било који јачину V. Да би ова једначине била 'истовремено важећа' у свакој могућој јачини V, потребно је (а и довољна) да интеграција буду једнаки свуда. Дакле, ова једначина је једнака овом:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$

Тако су интегрални и диференцијални облици еквивалентни.

Примена Гаусове теореме у диелектрицима

Слободно, везано и укупно наелектрисање

Наелектрисање које се поставља у најједноставнијим ситуацијама могло би се класификовати као „слободно“, на пример, набој који се преноси у статички електрицитет, или је наелектрисање на кондензаторској плочи. Насупрот томе, „површинско наелектрисање“ се јавља само у контексту диелектричних материјала. (Сви материјали су поларизовани донекле.) Када су ти материјали смештени у спољашњем електричном пољу, електрони и даље остају везани за свој атом, али помере микроскопско растојање у одговору на поље, тако да су они више на једној страни атома. Сва ова микроскопска померања у горе датој макроскопској мрежој расподели наелектрисања, а то представља „везано наелектрисање“.

Иако микроскопска, сва наелектрисања су у основи иста, често постоје практични разлози који желе да се везано наелектрисање третира другачије од слободног наелектрисања. Резултат је да је више „основни“ Гаусов закон, у смислу E (горе), се понекад ставља у форму еквивалентна испод, што је само у односу на D и слободног наелектрисања.

Интегрални облик

Ова формулација Гаусовог закона наводи аналогно укупном облику наелектрисања:

$\Phi _{D}=Q_{\text{free}}\!$

где је Φ_D D-поља флукс кроз површину S који обухвата запремину V, и Q_free је слободно наелектрисање које се садржи у V. Флукс Φ_D аналогно се дефинише на флукс Φ_E електричног поља E кроз S:

{{preintegral=$\Phi _{D}=$|intsubscpt=${\scriptstyle S}$|integrand=$\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$}}

Диференцијални облик

Диференцијални облик Гаусовог закона, укључући сао бесплатно наелектрисање, даје:

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}}$

где ∇ • D је дивергенција електричног поља померања, а ρ_free је густина бесплатаног наелектрисања.

Једнакост укупног и слободног наелектрисања

Доказ да формулисање Гаусовог закона у оквиру слободног наелектрисања ју еквивалентне формулисање које обухвата укупно наелектрисање.

У овој доказа, ми ћемо показати да једначина

$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

је еквивалентна једначини

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }$

Имајте на уму да се само бавимо диференцијалним обликом, не интегралним обликом, али то је довољно, јер диференцијални и интегрални облици су једнаки у сваком случају, по дивергенцијској теореми.

Уводимо густину поларизације P, која има следећи однос према E и D:

$\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$

и следећи однос на везано наелектрисање:

$\rho _{\mathrm {bound} }=-\nabla \cdot \mathbf {P}$

Сада, ијамте у виду три једначине:

$\rho _{\mathrm {bound} }=\nabla \cdot (-\mathbf {P} )$

$\rho _{\mathrm {free} }=\nabla \cdot \mathbf {D}$

$\rho =\nabla \cdot (\epsilon _{0}\mathbf {E} )$

Кључни увид је да је збир прве две једначине трећа једначина. Овим се завршава доказ: Прва једначина је истина по дефиницији, и стога друга једначина важи ако и само ако је трећа једначина истинита. Дакле, друга и трећа једначина су еквивалентне, што је оно што смо желели да докажемо.

Једначина за линеарне материјале

У хомогеним, изотропним, Дисперзивним, линеарним материјалима, постоји једноставан однос између E и D:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$

где је ε диелектрична константа материјала. У случај вакуума (тј слободаног простора), ε = ε₀. Под овим околностима, Гаусов закон се мења у

$\Phi _{E}={\frac {Q_{\text{free}}}{\epsilon }}$

у интегралном облику, и

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\text{free}}}{\varepsilon }}$

у диференцијалном облику.

Однос према Кулоновом закону

Подстицање Гаусовог закон из Кулоновог закона

Гаусов закон се може извести из Кулоновог закона.

Кулонов закон наводи да је електрично поље због стационарне тачка наелектрисања:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}$

где је

e_r је радијална векторска јединица,

r је радијус, |r|,

$\epsilon _{0}$ је електрична константа,

q је наелектрисање честице, за који се претпоставља да се налази у координатном почетку.

Користећи израз из Кулоновог закона, добијамо укупну поље у r користеци интеграл за сабирање поља у r због премалог наелектрисања на сваком другом месту s у простору, да даје:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,d^{3}\mathbf {s}$

где је $\rho$ густина наелектрисања. Ако узмемо дивергентност обе стране ове једначине у односу на r, и искористе познату теорему

$\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )$

где је δ(r) Диракова делта функција, резултат је

$\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,d^{3}\mathbf {s}$

Коришћење "транзлационог померања"из Диракове делта функције, стижемо у

$\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},$

што је диференцијални облик Гаусовг закон, као сто је и тржено.

Подстицање Кулоновог закон од Гаусовг закона

Строго говорећи, Кулонов закон се не може извести сама из Гаусовг закона, јер Гаусов закон не даје никакве информације у вези са Роторовим (математика) E (види Хелмхолцово распадање и Фарадејев закон). Међутим, Кулонов закон може да се докаже Гаусовим законом ако се претпостави, као додатак, да је електрично поље од тачке наелектрисања сферно-симетрично (ова претпоставка, као и сам Кулонов закона, је потпуно истинит ако је наелектрисање стационарно, а приближно тачно ако је наелектрисање у покрету).

Узимајући S у интегралном облику Гаусовог закона да буде сферична површина полупречника r, центриран у тачки наелектрисања Q, имамо

$\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

По претпоставци сферне симетрије, интегранд је константа која се може изнети из интеграла. Резултат је

$4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

Где је ${\hat {\mathbf {r} }}$ јединични вектор који указује радијално од наелектрисања. Опет по сферној симетрији, E тачке у радијалном правцу, и тако добијамо

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}$

што је у суштини једнака Кулоновом закону. Према инверзнао-квадратним законом зависност електричног поља у Кулоновом закону следи из Гаусовог закона.

Види још

• Максвелове једначине
• Карл Фридрих Гаус
• Магнетни флукс
• Електрично поље
• Кулонов закон
• Амперов закон

Литература

• Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution. 
• Jackson, John David . Classical Electrodynamics, , New York: Wiley. (3rd изд.). 1999. ISBN 978-0-471-30932-1. 
• Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
• McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
• Irodov, I.E. (1986). Basic Laws of Electromagnetism. Mir Publishers, CBS Publishers & Distributors. ISBN 81-239-0306-5
• Matveev. A. N. (1986). Electricity and Magnetism. Mir Publishers.
• C.A. Gonano; R.E. Zich; M. Mussetta (2015). „Definition for Polarization P and Magnetization M Fully Consistent with Maxwell's Equations” (PDF). Progress in Electromagnetics Research B. 64: 83—101. doi:10.2528/PIERB15100606 . Архивирано из оригинала (PDF) 17. 10. 2020. г. Приступљено 08. 10. 2023. 
• Gray, Andrew (1888). The theory and practice of absolute measurements in electricity and magnetism. Macmillan & Co. стр. 126–127. 

Спољашње везе

• Медији везани за чланак Гаусов закон на Викимедијиној остави
• MIT Video Lecture Series (30 x 50 minute lectures)- Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
• section on Gauss's law in an online textbook Архивирано на сајту Wayback Machine (27. мај 2010)
• MISN-0-132 Gauss's Law for Spherical Symmetry (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
• MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.