Gausov zakon

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu

U fizici, Gausov zakon, poznat i kao Gausova teorema o fluksu, je zakon koji se odnosi na raspodelu naelektrisanja do postignuća električnog polja.

Zakon je formulisao Karl Fridrih Gaus 1835, ali nije objavljen do 1867.[1] Gausov zakon je je jedna od četiri Maksvelove jednačine koji čine osnovu klasične elektrodinamike, ostala tri su Gausov zakon magnetizma, Faradejev zakon elektromagnetske indukcije i Amperov zakon sa Maksvelovom korekcijom. Gausov zakon se može koristiti za izvođenje Kulonovog zakona,[2] i obrnuto.

Kvalitativni opis zakona[uredi]

Rečima, Gausov zakon navodi da:

Mrežni izvor normalnog električnog fluksa putem bilo koje zatvorene površine je proporcionalan ukupnom naelektrisanju. [3]

Gausov zakon ima bliske matematičke sličnosti sa nekoliko zakona u drugim oblastima fizike, kao što su Gausov zakon magnetizma i Gausov zakon gravitacije. U stvari, bilo koji "inverzno-kvadratni zakon" može da se formuliše na način sličan Gausovom zakonu: Na primer, sam Gausov zakon je u suštini jednaka inverznom-kvadratu Kulonovog zakona, i Gausov zakon gravitacije je u suštini jednaka inverznom-kvadratu Njutnovog zakona gravitacije.

Gausov zakon je nešto kao električna analogija Amperovog zakona, koja se bavi magnetizmom.


Zakon se može izraziti matematički korišćenjem vektorskih formula u Integral formama i diferencijalne forme, oba su ekvivalentni, jer su one vezane u divergenciji teorema, takođe nazivan Gausova teorema. Svaki od ovih oblika zauzvrat može se izraziti na dva načina: u pitanju odnos između električnog polja E, i ukupnog naelektrisanja, ili u smislu električno varijabilno polje D i slobodanog naelektrisanja.[4]

Jednačine koje uključuju E polje[uredi]

Gausov zakon se može konstatovati pomoću ili električnog polja E ili električnog varijabilnog polja D. Ovaj deo pokazuje neke od oblika sa E, oblik sa D ispod, kao i drugi oblici sa E.

Integralni oblik[uredi]

Gausov zakon se može izraziti kao: :[4]

gde je Φ E je električni fluks kroz zatvorenu površinu S zagrađujući bilo koji zvuk V, Q je ukupn naelektrisanje zatvorena u S, i ε0 je električna konstanta. Električni fluks ΦE se definiše kao integralna površina od električnog polja:

{{preintegral=|intsubscpt=|integrand=}}

gde je E električno polje, dA je vektor koji predstavlja beskonačni element područja, [5] i predstavlja tačku proizvoda dva vektora.

Pošto je fluks definisan kao integral električnog polja, ovaj izraz Gausovog zakona se zove integralnim oblikom.

Primena integralnog oblika[uredi]

Ako je električno polje poznato svuda, Gausov zakon ga čini prilično lakim, teoretski, da pronađe raspodelu naelektrisanja: punjenje u svakom regionu se može zaključiti integrisanjem električno polje za nalaženje fluksa.

Međutim, mnogo češće, to je obrnuti problem koji treba rešiti: poznato je raspodela naelektrisanja, dok električno polje treba izračunati. To je mnogo teže, jer ako znate ukupan fluks kroz datu površinu, koja daje skoro nikakve informacije o električnom polju, koja (koliko znate) može da ulazi i izlazi na površinu u proizvoljno komplikovanom obrazacu.

Izuzetak je ako ima neke simetrije u situaciji, koji propisuje da električno polje prolazi kroz površinu na jedinstven način. Zatim, ako je ukupan fluks poznat, samo polje se može izvesti u svakom trenutku. Uobičajeni primeri simetrije koji su pogodni za Gausov zakon obuhvata cilindričnu simetriju, planarnu simetriju, i sfernu simetriju. Pogledajte članak Gausova površina za primere gde se ove simetrije koriste da se izračuna električno polje.

Diferencijalna forma[uredi]

Do divergentnoj teoremi Gausov zakon može alternativno biti napisan u diferencijalnoj formi:

gde ∇ • E je divergencija električnog polja, ε0 je električna konstanta, i ρ je ukupana gustina električnog naelektrisanja.

Jednakost integralnog i diferencijalog oblika[uredi]

Integralni i diferencijali oblici su matematički ekvivalentni, u teoremi divergencije. Evo i konkretnijeg arguenta.

Integralni oblik Gausovog zakona je:

za bilo koje zatvorene površine S koja sadrži naelektrisanje Q. po divergentnoj teoremi, ova jednačina je jednaka ovoj:

za bilo koji jačinu V koji sadrži naelektrisanje Q. Od odnosa između naelektrisanja i gustine naelektrisanja, ova jednačina je jednaka ovoj:

za bilo koji jačinu V. Da bi ova jednačine bila 'istovremeno važeća' u svakoj mogućoj jačini V, potrebno je (a i dovoljna) da integracija budu jednaki svuda. Dakle, ova jednačina je jednaka ovom:

Tako su integralni i diferencijalni oblici ekvivalentni.


Jednačina koja uključuje D polja[uredi]

Slobodno, vezano i ukupno naelektrisanje[uredi]

Naelektrisanje koje se postavlja u najjednostavnijim situacijama moglo bi se klasifikovati kao „slobodno“, na primer, naboj koji se prenosi u statički elektricitet, ili je naelektrisanje na kondenzatorskoj ploči. Nasuprot tome, „površinsko naelektrisanje“ se javlja samo u kontekstu dielektričnih materijala. (Svi materijali su polarizovani donekle.) Kada su ti materijali smešteni u spoljašnjem električnom polju, elektroni i dalje ostaju vezani za svoj atom, ali pomere mikroskopsko rastojanje u odgovoru na polje, tako da su oni više na jednoj strani atoma. Sva ova mikroskopska pomeranja u gore datoj makroskopskoj mrežoj raspodeli naelektrisanja, a to predstavlja „vezano naelektrisanje“.

Iako mikroskopska, sva naelektrisanja su u osnovi ista, često postoje praktični razlozi koji žele da se vezano naelektrisanje tretira drugačije od slobodnog naelektrisanja. Rezultat je da je više „osnovni“ Gausov zakon, u smislu E (gore), se ponekad stavlja u formu ekvivalentna ispod, što je samo u odnosu na D i slobodnog naelektrisanja.

Integralni oblik[uredi]

Ova formulacija Gausovog zakona navodi analogno ukupnom obliku naelektrisanja:

gde je ΦD D-polja fluks kroz površinu S koji obuhvata zapreminu V, i Qfree je besplatno naelektrisanje koje se sadrži u V. Fluks ΦD analogno se definiše na fluks ΦE električnog polja E kroz S:

{{preintegral=|intsubscpt=|integrand=}}

Diferencijalni oblik[uredi]

Diferencijalni oblik Gausovog zakona, uključući sao besplatno naelektrisanje, daje:

gde ∇ • D je divergencija električnog polja pomeranja, a ρfree je gustina besplatanog naelektrisanja.

Jednakost ukupnog i besplatnog iskaza naelektrisanja[uredi]

Dokaz da formulisanje Gausovog zakona u okviru slobodnog naelektrisanja ju ekvivalentne formulisanje koje obuhvata ukupno naelektrisanje.

U ovoj dokaza, mi ćemo pokazati da jednačina

je ekvivalentna jednačini

Imajte na umu da se samo bavimo diferencijalnim oblikom, ne integralnim oblikom, ali to je dovoljno, jer diferencijalni i integralni oblici su jednaki u svakom slučaju, po divergencijskoj teoremi.

Uvodimo gustinu polarizacije P, koja ima sledeći odnos prema E i D:

i sledeći odnos na vezano naelektrisanje:

Sada, ijamte u vidu tri jednačine:

Ključni uvid je da je zbir prve dve jednačine treća jednačina. Ovim se završava dokaz: Prva jednačina je istina po definiciji, i stoga druga jednačina važi ako i samo ako je treća jednačina istinita. Dakle, druga i treća jednačina su ekvivalentne, što je ono što smo želeli da dokažemo.

Jednačina za linearne materijale[uredi]

U homogenim, izotropnim, Disperzivnim, linearnim materijalima, postoji jednostavan odnos između E i D:

gde je ε dielektrična konstanta materijala. U slučaj vakuuma (tj slobodanog prostora), ε = ε0. Pod ovim okolnostima, Gausov zakon se menja u

u integralnom obliku, i

u diferencijalnom obliku.

Odnos prema Kulonovom zakonu[uredi]

Podsticanje Gausovog zakon iz Kulonovog zakona[uredi]

Gausov zakon se može izvesti iz Kulonovog zakona.

Kulonov zakon navodi da je električno polje zbog stacionarne tačka naelektrisanja:

gde je

er je radijalna vektorska jedinica,
r je radijus, |r|,
je električna konstanta,
q je naelektrisanje čestice, za koji se pretpostavlja da se nalazi u koordinatnom početku.

Koristeći izraz iz Kulonovog zakona, dobijamo ukupnu polje u r koristeci integral za sabiranje polja u r zbog premalog naelektrisanja na svakom drugom mestu s u prostoru, da daje:

gde je gustina naelektrisanja. Ako uzmemo divergentnost obe strane ove jednačine u odnosu na r, i iskoriste poznatu teoremu [6]

gde je δ(r) Dirakova delta funkcija, rezultat je

Korišćenje "tranzlacionog pomeranja"iz Dirakove delta funkcije, stižemo u

što je diferencijalni oblik Gausovg zakon, kao sto je i trženo.

Podsticanje Kulonovog zakon od Gausovg zakona[uredi]

Strogo govoreći, Kulonov zakon se ne može izvesti sama iz Gausovg zakona, jer Gausov zakon ne daje nikakve informacije u vezi sa Rotorovim (matematika) E (vidi Helmholcovo raspadanje i Faradejev zakon). Međutim, Kulonov zakon može da se dokaže Gausovim zakonom ako se pretpostavi, kao dodatak, da je električno polje od tačke naelektrisanja sferno-simetrično (ova pretpostavka, kao i sam Kulonov zakona, je potpuno istinit ako je naelektrisanje stacionarno, a približno tačno ako je naelektrisanje u pokretu).

Uzimajući S u integralnom obliku Gausovog zakona da bude sferična površina poluprečnika r, centriran u tački naelektrisanja Q, imamo

Po pretpostavci sferne simetrije, integrand je konstanta koja se može izneti iz integrala. Rezultat je

Gde je jedinični vektor koji ukazuje radijalno od naelektrisanja. Opet po sfernoj simetriji, E tačke u radijalnom pravcu, i tako dobijamo

što je u suštini jednaka Kulonovom zakonu. Prema inverznao-kvadratnim zakonom zavisnost električnog polja u Kulonovom zakonu sledi iz Gausovog zakona.

Vidi još[uredi]

Reference[uredi]

  1. Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution. 
  2. Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, Inc. str. 452—53. 
  3. Serway, Raymond A. (1996). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 4th edition. str. 687. 
  4. 4,0 4,1 Grant, I.S.; Phillips, W.R. (2008). Electromagnetism (2nd izd.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9. 
  5. Matthews, Paul (1998). Vector Calculus. Springer. ISBN 978-3-540-76180-8. 
  6. See, for example, Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. str. 50. ISBN 978-0-13-805326-0. 

Literatura[uredi]

  • Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution. 
  • Jackson, John David . Classical Electrodynamics, 3rd ed., New York: Wiley. 1999. ISBN 978-0-471-30932-1.

Spoljašnje veze[uredi]