Četvorougao

S Vikipedije, slobodne enciklopedije

Četvorougao
Različiti tipovi četvorougla
Ivice i temena4
Simbol Šlefli{4} (za kvadrat)
Površinarazni metodi
Unutrašnji ugao (stepeni)90° (za kvadrat i pravougaonik)

Četvorougao je u geometriji u ravni zatvoreni geometrijski oblik koga okružuju četiri duži spojene u četiri temena.[1] Formalna definicija četvorougla kaže da je četvorougao mnogougao koji ima četiri temena. Svaki četvorougao ima tačno dve dijagonale. Dijagonala je duž koja spaja dva nesusedna temena. Drugi naziv za opšti četvorougao je trapezoid. Trapezoidi (kao npr. deltoid) nemaju paralelne stranice.

Reč „kvadrilateralan” je izvedena iz latinskih reči quadri, varijante reči četiri, i latus, sa značenjem „strana”. Kvadrilaterali su jednostavni (bez samopresecanja) ili kompleksni (samopresecajući), koji se takođe nazivaju ukrštenim. Jednostavni četvorougli su ili konveksni ili konkavni. Četvorougao sa vrhovima , , i se ponekad označava kao .[2]

Unutrašnji uglovi jednostavnog (i planarnog) četvorougla ABCD imaju sumu od 360 ugaonih stepeni,[2] odnosno Ovo je poseban slučaj formule sume unutrašnjih uglova (n − 2) × 180°.[3] Svi četvorougaonici bez samoukrštanja postavljaju ravan formiranu ponovljenom rotacijom oko središta njihovih ivica.[4]

Podela četvorouglova[uredi | uredi izvor]

Četvorouglovi se pre svega dele na konveksne i nekonveksne. Nekonveksni se dele na četvorouglove sa i bez samopreseka. Potreban i dovoljan uslov da četvorougao bude konveksan je da se dijagonale četvorougla seku.[5][6]

Osnovna podela konveksnih četvorouglova je prema broju parova paralelnih stranica. Primetimo da susedne stranice mnogougla ne mogu biti paralelne, jer se prave koje ih sadrže seku u temenu mnogougla. Svake dve stranice trougla su susedne, pa navedena podela nije bila primenljiva na trouglove. Konveksan četvorougao koji ima jedan par paralelnih stranica zovemo trapez,[7][8] a onaj koji ima dva para paralelnih stranica zovemo paralelogram.

Napomena. U literaturi postoji izvesno neslaganje po pitanju toga da li je skup paralelograma podskup skupa trapeza ili su to dva disjunktna skupa. Stvar je u različitim interpretacijama definicije trapeza. Dok jedni smatraju da je trapez svaki četvorougao koji ima bar jedan par paralelnih stranica, drugi preferiraju da trapezom nazivaju samo onaj četvorougao koji ima tačno jedan par paralelnih stranica.

U svrhu sažetosti daljeg izlaganja navodimo definicije osnovice i kraka trapeza. Paralelne stranice trapeza zovemo osnovice, a preostale dve stranice kraci. Ako krak posmatramo kao transverzalu, onda vidimo da su dva ugla koja naležu na krak suplementni, kao uglovi sa paralelnim kracima.

Pojmovi tangentan mnogougao i tetivan mnogougao primenljivi su i u slučaju četvorougla.

Konveksni četvorouglovi se dele na tangentne (one u koje se može upisati krug) i tetivne (one oko kojih se može opisati krug) četvorouglove i na opšti slučaj trapeza, četvorougla kome su dve naspramne stranice paralelne. Četvorouglovi koji su istovremeno tetivni i tangentni se još zovu i bicentričnim.

Specijalan slučaj tangentnog četvorougla je deltoid, koji ima dva para susednih međusobno jednakih stranica.

Opšti trapez ima još tri specijalna podslučaja:

  • Paralelogram ili romboid,
  • Pravougli trapez, kome je bar jedan (pa onda i njemu suplementan) ugao prav,[9]
  • Jednakokraki trapez, koji ima jednake uglove na osnovici ili jednake dijagonale, a time i jednake krake. Ovaj trapez je takođe tetivni četvorougao.

Napomena. Iako je navedena definicija na prvi pogled u neskladu sa nazivom jednakokrakog trapeza, njome se izbegava složenost u navođenju osobina jednakokrakog trapeza i njegovog mesta u podeli četvorouglova. Naime, ako bi jednakokraki trapez bio definisan kao trapez čiji su kraci jednaki, onda bi obuhvatio paralelogram, a izgubio bi sve druge navedene osobine (tetivnost, jednakost dijagonala, uglova na osnovici).

Paralelogram ima dva specijalna slučaja:

  • Romb je četvorougao kome su sve stranice jednake, a specijalan je slučaj paralelograma i deltoida,[10]
  • Pravougaonik je četvorougao kome su svi uglovi (ili bar tri) pravi i takođe je specijalan slučaj paralelograma. Ako prihvatamo definiciju trapeza koja obuhvata paralelograme, onda je pravougaonik osim toga specijalan slučaj i jednakokrakog i pravouglog trapeza.

Kvadrat je specijalan slučaj paralelograma koji ima osobine romba i pravougaonika: svi uglovi su mu pravi i sve stranice su mu međusobno jednake. Kvadrat je primer bicentričnog četvorougla. Kvadrat se može definisati kao pravilan četvorougao. Kvadrat je takođe i specijalan slučaj deltoida jer ima tri prava ugla.

Formule[uredi | uredi izvor]

Trapezoid: opšti četvorougao
Trapezoid: opšti četvorougao

Zbir uglova u četvorouglu je jednak 360° odnosno 2π:

Ako je ugao Θ prav, naspramne stranice se mogu posmatrati kao katete pravouglih trouglova koji imaju istu dužinu hipotenuze:

Površina četvorougla može biti izražena na sledeće načine:

,
,
.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] izd.). New York: Dover Publications.  In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4
  2. ^ a b „Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram”. Mathsisfun.com. Pristupljeno 2020-09-02. 
  3. ^ „Sum of Angles in a Polygon”. Cuemath. Pristupljeno 22. 6. 2022. 
  4. ^ Martin, George Edward (1982), Transformation geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Theorem 12.1, page 120, ISBN 0-387-90636-3, MR 718119, doi:10.1007/978-1-4612-5680-9 
  5. ^ James A. H. Murray (1926). A New English Dictionary on Historical Principles: Founded Mainly on the Materials Collected by the Philological Society. X. Clarendon Press at Oxford. str. 286 (Trapezium). „With Euclid (c 300 B.C.) τραπέζιον included all quadrilateral figures except the square, rectangle, rhombus, and rhomboid; into the varieties of trapezia he did not enter. But Proclus, who wrote Commentaries on the First Book of Euclid's Elements A.D. 450, retained the name τραπέζιον only for quadrilaterals having two sides parallel, subdividing these into the τραπέζιον ἰσοσκελὲς, isosceles trapezium, having the two non-parallel sides (and the angles at their bases) equal, and σκαληνὸν τραπέζιον, scalene trapezium, in which these sides and angles are unequal. For quadrilaterals having no sides parallel, Proclus introduced the name τραπέζοειδὲς TRAPEZOID. This nomenclature is retained in all the continental languages, and was universal in England till late in the 18th century, when the application of the terms was transposed, so that the figure which Proclus and modern geometers of other nations call specifically a trapezium (F. trapèze, Ger. trapez, Du. trapezium, It. trapezio) became with most English writers a trapezoid, and the trapezoid of Proclus and other nations a trapezium. This changed sense of trapezoid is given in Hutton's Mathematical Dictionary, 1795, as ‘sometimes’ used -- he does not say by whom; but he himself unfortunately adopted and used it, and his Dictionary was doubtless the chief agent in its diffusion. Some geometers however continued to use the terms in their original senses, and since c 1875 this is the prevalent use. 
  6. ^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (5. 4. 2016). The Symmetries of Things. CRC Press. str. 286. ISBN 978-1-4398-6489-0. 
  7. ^ http://www.mathopenref.com/trapezoid.html Mathopenref definition
  8. ^ A. D. Gardiner & C. J. Bradley, Plane Euclidean Geometry: Theory and Problems, UKMT, 2005, p. 34.
  9. ^ „Types of Quadrilaterals”. Basic-mathematics.com. 
  10. ^ „CIMT - Page no longer available at Plymouth University servers” (PDF). www.cimt.plymouth.ac.uk. Arhivirano iz originala (PDF) 2014-05-14. g. 

Literatura[uredi | uredi izvor]

  • Yates, Robert C. (mart 1941), „The trisection problem”, National Mathematics Magazine, 15 (6): 278—293, JSTOR 3028413, doi:10.2307/3028413 

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]