1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ...

U matematici, divergentni red

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!$

je prvi put razmatrao Ojler, koji je koristio metode sabiranja da dodeli konačnu vrednost redovima. Red je zbir faktorijela koji su naizmenično dodati ili oduzeti. Jedan način da se dodeli vrednost divergentnom redu je korišćenje Borelovog zbira, gde formalno pišemo

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,dx$

Ako zamenimo sabiranje i integraciju (ignorišući činjenicu da nijedna strana ne konvergira), dobijamo:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx$

Zbir u zagradama konvergira i inosi 1/(1 + x) ako je x < 1. Ako ovo analitički nastavimo 1/(1 + x) za svako realno x, dobijamo konvergentni integral za zbir:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots$

gde je $E_{1}(z)$ eksponencijalni integral. Ovo je po definiciji Borelovog zbira za redove.

Izvođenje

Razmislite o spojenom sistemu diferencijalnih jednačina

${\dot {x}}(t)=x(t)-y(t),\qquad {\dot {y}}(t)=-y(t)^{2}$

gde tačke označavaju vremenske derivate.

Rešenje sa stabilnom ravnotežom za $(x,y)=(0,0)$ kad $t\to \infty$ je $y(t)=1/t$. I njegovom zamenom u prvoj jednačini nam daje fomalno rešenje reda

$x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(n-1)!}{t^{n}}}$

Obratite pažnju da je $x(1)$ upravo Ojlerov red.

Sa druge strane, vidimo da sistem diferencijalnih jednačine ima rešenje

$x(t)=e^{t}\int _{t}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\mathrm {d} u.$

Uzastopnom integracijom delova, popravljamo formalni stepen reda kao asimptotska aproksimacija ovg izraza za $x(t)$. Ojler se slaže (više ili manje) da postavka jednaka jednačini daje

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n-1)!=e\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\mathrm {d} u.$

Rezultati

Rezultati za prvih 10 vrednosti k su prikazani ispod:

k	Povećanje računice	Povećanje	Rezultat
0	1 · 0! = 1 · 1	1	1
1	−1 · 1	−1	0
2	1 · 2 · 1	2	2
3	−1 · 3 · 2 · 1	−6	−4
4	1 · 4 · 3 · 2 · 1	24	20
5	−1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−120	−100
6	1 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	720	620
7	−1 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−5040	−4420
8	1 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	40320	35900
9	−1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−362880	−326980

Vidi još

• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandijevi redovi)
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

Dodatna literatura

• Kline, Morris (novembar 1983), „Euler and Infinite Series”, Mathematics Magazine, 56 (5): 307—313, doi:10.2307/2690371 
• Kozlov, V. V. (2007), „Euler and mathematical methods in mechanics” (PDF), Russian Mathematical Surveys, 62 (4): 639—661, doi:10.1070/rm2007v062n04abeh004427 
• Leah, P. J.; Barbeau, E. J. (maj 1976), „Euler's 1760 paper on divergent series”, Historia Mathematica, 3 (2): 141—160, doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6