1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ...

У математици, дивергентни ред

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!$

је први пут разматрао Ојлер, који је користио методе сабирања да додели коначну вредност редовима. Ред је збир факторијела који су наизменично додати или одузети. Један начин да се додели вредност дивергентном реду је коришћење Бореловог збира, где формално пишемо

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,dx$

Ако заменимо сабирање и интеграцију (игноришући чињеницу да ниједна страна не конвергира), добијамо:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx$

Збир у заградама конвергира и иноси 1/(1 + x) ако је x < 1. Ако ово аналитички наставимо 1/(1 + x) за свако реално x, добијамо конвергентни интеграл за збир:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots$

где је $E_{1}(z)$ експоненцијални интеграл. Ово је по дефиницији Бореловог збира за редове.

Извођење

Размислите о спојеном систему диференцијалних једначина

${\dot {x}}(t)=x(t)-y(t),\qquad {\dot {y}}(t)=-y(t)^{2}$

где тачке означавају временске деривате.

Решење са стабилном равнотежом за $(x,y)=(0,0)$ кад $t\to \infty$ је $y(t)=1/t$. И његовом заменом у првој једначини нам даје фомално решење реда

$x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(n-1)!}{t^{n}}}$

Обратите пажњу да је $x(1)$ управо Ојлеров ред.

Са друге стране, видимо да систем диференцијалних једначине има решење

$x(t)=e^{t}\int _{t}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\mathrm {d} u.$

Узастопном интеграцијом делова, поправљамо формални степен реда као асимптотска апроксимација овг израза за $x(t)$. Ојлер се слаже (више или мање) да поставка једнака једначини даје

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n-1)!=e\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\mathrm {d} u.$

Резултати

Резултати за првих 10 вредности k су приказани испод:

k	Повећање рачунице	Повећање	Резултат
0	1 · 0! = 1 · 1	1	1
1	−1 · 1	−1	0
2	1 · 2 · 1	2	2
3	−1 · 3 · 2 · 1	−6	−4
4	1 · 4 · 3 · 2 · 1	24	20
5	−1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−120	−100
6	1 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	720	620
7	−1 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−5040	−4420
8	1 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	40320	35900
9	−1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−362880	−326980

Види још

• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Грандијеви редови)
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

Додатна литература

• Kline, Morris (новембар 1983), „Euler and Infinite Series”, Mathematics Magazine, 56 (5): 307—313, doi:10.2307/2690371 
• Kozlov, V. V. (2007), „Euler and mathematical methods in mechanics” (PDF), Russian Mathematical Surveys, 62 (4): 639—661, doi:10.1070/rm2007v062n04abeh004427 
• Leah, P. J.; Barbeau, E. J. (мај 1976), „Euler's 1760 paper on divergent series”, Historia Mathematica, 3 (2): 141—160, doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6