Аритметичка прогресија

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

У математици, аритметичка прогресија (АП) или аритметички низ је низ бројева таквих да је разлика између узастопних чланова константна. На пример, ред 5, 7, 9, 11, 13, 15 … је аритметичка прогресија са међусобном разликом 2.

Ако је почетни члан аритметичке прогресије  и међусобна разлика узастопних чланова d, онда је n-ти члан низа () дат формулом:

и генерално

Коначан део аритметичке прогресије се зове коначна аритметичка прогресија, а понекад се само зове аритметичка прогресија. Збир коначне аритметичке прогресије се назива аритметички низ.

Понашање аритметичке прогресије зависи од међусобне разлике d. Ако је међусобна разлика:

  • Позитивна, чланови ће расти ка позитивној бесконачности.
  • Негативни, чланови ће расти ка негативној бесконачности.

Збир[уреди]

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
14 + 11 + 8 + 5 + 2 = 40
16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

Обрачун збира 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Када је низ обрнут и додаје себи члан по члан, резултујући низ има једну поновљену вредност у себи, једнау збиру првог и последњег броја (2 + 14 = 16). Тако је 16 × 5 = 80 дупли збир.

Збир чланова коначне аритметичке прогресије се зове аритметички низ. На пример, размотримо збир:

Збир може бити брзо пронађен множењем броја n чланова који се додају (овде 5) збиром првог и последњег члана прогресије (овде 2 + 14 = 16), и дељењем 2:

У горњем случају, добијамо једначину:

Формула ради за било које реалне бројеве  и . На пример:

Извођење[уреди]

Анимирани доказ за формулу која даје збир првих целих бројева 1+2+...+n.

За извођење формуле изнад, треба почети изражавањем аритметичког низа на два различита начина: 

Додавање обе стране две једначине, све чланови који се односе на d поништити:

Дељење обе стране 2 доводи до уобицајеног облика једначине:

Алтернативна форма резултата из поновног додавања замене: :

Додатно, главна вредност низа може бити израчуната помоћу: :

499. године АД Ариабата, истакнути математичар-астроном из класичног доба индијске математике и индијске астрономије, је дао овај метод у Ариабатији (одељак 2.18).

Производ[уреди]

Производ чланова коначне аритметичке прогресије са почетним чланом a1, међусобним разликама d, и n чланова укупно се одређује у затвореном изазу

где  означава растуће факторијеле и  означава Гама функцију. (Приметимо да формула није валидна када је  i+негативан цео број или нула.)

Ово је генералисана форма чињенице да је производ прогресије  дат факторијелом  што производи 

за позитивне целе бројеве  и  и дат је формулом

Узимајући пример одозго, производ чланова аритметичке прогресије дат као  an = 3 + (n-1)(5) до 50-ог члана је

Стандардна девијација[уреди]

Стандардна девијација било које формуле аритметичке прогресије се може израчунати преко формуле:

где је  број чланова у прогресији, а  је међусобна разлика између чланова

Пресек[уреди]

Пресек било које две дупле бесконачне аритметиче прогресије је или празан или друга аритметичка прогресија, која се може пронаћи коришћењем теореме кинески подсетник. Ако сваке две прогресије у породици или дупле аритметичке прогресије имају не-празан пресек, онда постоји број заједнички за све њих; то је бесконачна аритметичка прогресија из Хели породице. Међутим, пресек бесконачно много бесконачних аритметичких прогресија може бити један број, пре него сама бесконачна прогресија.

 

Формуле на длану [уреди]

Ако је

 први члан аритметичке прогресије.
 n-ти члан аритметичке прогресије.
 разлика између чланова аритметичке прогресије.
број чланова аритметичке прогресије.
збир n чланова аритметичке прогресије.
средња вредност аритметичког низа.

онда је

1.
2.
3.
4.
5. =
6.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

Литература[уреди]

  • Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. стр. 259—260. ISBN 978-0-387-95419-6. 

Спољашње везе[уреди]