1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

У математици, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … је бесконачан низ чији су чланови узастопна степен двојке. Као геометријске низове, карактерише их први члан, 1, и њихов заједнички однос, 2. Као низ реалних бројева дивергира у бесконачност, тако да у уобичајеном смислу да нема суму. У много ширем смислу, низ је повезан са другим вредностима осим са ∞, односно −1.

Збир

Парцијалне суме 1 + 2 + 4 + 8 + … су 1, 3, 7, 15, …; како ово дивергира до бесконачности, дивергира и низ. Због тога сваки потпуно регуларан начин сумирања даје збир бесконачности, укључујући Цесаро збир и Абел збир. С друге стране, постоји најмање један генерално корињћен метод који сумира 1 + 2 + 4 + 8 + ... до коначне вредности -1. Повезана степен низова

$f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}$

има радијус конвергенције око 0 од само ¹/₂, тако да не конвергира на x = 1. Ипак, тако дефинисана функција f  има јединствени аналитички наставак на комплексној равни са тачке x = ¹/₂ избрисано, а дато је истим правилом  f(x) = 1/(1 − 2x). Како је f(1) = −1, за оригиналан низ 1 + 2 + 4 + 8 + … се каже да га је могуће сабрати (E) до −1, и −1 је (E) збир низа. (Израз је настао захваљујући Г. Х. Хардију у односу на приступ дивергентним редовима Леонарда Ојлера).

Готово идентичан приступ (један од стране Ојлера самог) је да се размотри степен низа чији коефицијенти су сви 1, односно 

$1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}$

и повезани са y = 2. Наравно, ова два низа су повезана заменом y = 2x.

Чињеница даt (E) збир даје коначну вредност 1 + 2 + 4 + 8 + … показује да општи метод није потпуно регуларан. Са друге стране, поседује неке друге пожељне квалитете за метод сумирања, укључујући стабилност и линеарност. Ова два аксиома заправо приморавају збир да буде −1, јер они чине следећу манипулацију валидном:

${\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em]&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\[1em]&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}$

У корисном смислу, s = ∞ је корен једначине s = 1 + 2s. (На пример, ∞ је једна од две фиксне тачке Мебијусове трансформације z → 1 + 2z на Римановој сфери). Ако је за неки метод сумирања познато да враћа обичан број за s, односно не ∞, тада је то лако утврдити. У овом случају s се могже одузети од обе стране једначине, дајући 0 = 1 + s, тако да је s= −1.

Наведена манипулацја може бити позвана да произведе −1 ван контекста довољно моћног сумирања процедуре. За најпознатије и једноставне концепте збира, укључујући фундаментално конвергентни, апсурдно је да низ позитивних чланова има негативну вредност. Сличан феномен се јавља код дивергентних геометријских редова 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , где се појављује ред целих бројева који имају не-цео збир ¹⁄₂. Ови примери илуструју потенцијалну опасност у примени сличних аргумената на редове имплициране таквим понављањем децимала као што је 0.111… и пре свега 0.999…. Аргументи су на крају оправдани за ове конвергентне редове, укључујући да је 0.111… = ¹⁄₉0.111… = ¹⁄₉ и 0.999… = 1, али су у основи докази захтевају пажљиво размишљање о тумачењу бесконачних сума.

Такође је могуће видети ове низове као конвергентне у великом броју система различитих од стварног броја, наиме, 2-адик бројеви. Како низ 2-адик бројева конвергира до исте суме, -1, као што је изведена пре помоћу аналитичког наставка.

Види још

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• Комплемент двојке, конвенција података за представљање негативних бројева у којима је  -1 представљен као да је  $1+2+4+\ldots +2^{n-1}$.

Литература

• Gardiner, A. (2002) [1982]. Understanding infinity: the mathematics of infinite processes (Dover изд.). Dover. ISBN 0-486-42538-X. 
• Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCC QA295 .H29 1967. 
• Barbeau, E. J. & Leah, P. J. (мај 1976). „Euler's 1760 paper on divergent series”. Historia Mathematica. 3 (2): 141—160. doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6. 
• Ferraro, Giovanni (2002). „Convergence and Formal Manipulation of Series from the Origins of Calculus to About 1730”. Annals of Science. 59: 179—199. doi:10.1080/00033790010028179. 
• Kline, Morris (новембар 1983). „Euler and Infinite Series”. Mathematics Magazine. 56 (5): 307—314. JSTOR 2690371. doi:10.2307/2690371. 
• Sandifer, Ed (јун 2006). „Divergent series” (PDF). How Euler Did It. MAA Online. Архивирано из оригинала (PDF) 20. 03. 2013. г. Приступљено 16. 01. 2016.  Архивирано на сајту Wayback Machine (20. март 2013)
• Sierpińska, Anna (новембар 1987). „Humanities students and epistemological obstacles related to limits”. Educational Studies in Mathematics. 18 (4): 371—396. JSTOR 3482354. doi:10.1007/BF00240986.