1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

С Википедије, слободне енциклопедије

У математици, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … је бесконачан низ чији су чланови узастопна степен двојке. Као геометријске низове, карактерише их први члан, 1, и њихов заједнички однос, 2. Као низ реалних бројева дивергира у бесконачност, тако да у уобичајеном смислу да нема суму. У много ширем смислу, низ је повезан са другим вредностима осим са ∞, односно −1.

Збир[уреди | уреди извор]

Парцијалне суме 1 + 2 + 4 + 8 + … су 1, 3, 7, 15, …; како ово дивергира до бесконачности, дивергира и низ. Због тога сваки потпуно регуларан начин сумирања даје збир бесконачности, укључујући Цесаро збир и Абел збир.[1] С друге стране, постоји најмање један генерално корињћен метод који сумира 1 + 2 + 4 + 8 + ... до коначне вредности -1. Повезана степен низова

има радијус конвергенције око 0 од само 1/2, тако да не конвергира на x = 1. Ипак, тако дефинисана функција f  има јединствени аналитички наставак на комплексној равни са тачке x = 1/2 избрисано, а дато је истим правилом  f(x) = 1/(1 − 2x). Како је f(1) = −1, за оригиналан низ 1 + 2 + 4 + 8 + … се каже да га је могуће сабрати (E) до −1, и −1 је (E) збир низа. (Израз је настао захваљујући Г. Х. Хардију у односу на приступ дивергентним редовима Леонарда Ојлера).[2]

Готово идентичан приступ (један од стране Ојлера самог) је да се размотри степен низа чији коефицијенти су сви 1, односно 

и повезани са y = 2. Наравно, ова два низа су повезана заменом y = 2x.

Чињеница даt (E) збир даје коначну вредност 1 + 2 + 4 + 8 + … показује да општи метод није потпуно регуларан. Са друге стране, поседује неке друге пожељне квалитете за метод сумирања, укључујући стабилност и линеарност. Ова два аксиома заправо приморавају збир да буде −1, јер они чине следећу манипулацију валидном:

У корисном смислу, s = ∞ је корен једначине s = 1 + 2s. (На пример, ∞ је једна од две фиксне тачке Мебијусове трансформације z → 1 + 2z на Римановој сфери). Ако је за неки метод сумирања познато да враћа обичан број за s, односно не ∞, тада је то лако утврдити. У овом случају s се могже одузети од обе стране једначине, дајући 0 = 1 + s, тако да је s= −1.[3]

Наведена манипулацја може бити позвана да произведе −1 ван контекста довољно моћног сумирања процедуре. За најпознатије и једноставне концепте збира, укључујући фундаментално конвергентни, апсурдно је да низ позитивних чланова има негативну вредност. Сличан феномен се јавља код дивергентних геометријских редова 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , где се појављује ред целих бројева који имају не-цео збир 12. Ови примери илуструју потенцијалну опасност у примени сличних аргумената на редове имплициране таквим понављањем децимала као што је 0.111… и пре свега 0.999…. Аргументи су на крају оправдани за ове конвергентне редове, укључујући да је 0.111… = 190.111… = 19 и 0.999… = 1, али су у основи докази захтевају пажљиво размишљање о тумачењу бесконачних сума.[4]

Такође је могуће видети ове низове као конвергентне у великом броју система различитих од стварног броја, наиме, 2-адик бројеви. Како низ 2-адик бројева конвергира до исте суме, -1, као што је изведена пре помоћу аналитичког наставка.[5]

Види још[уреди | уреди извор]

  • 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
  • 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
  • Комплемент двојке, конвенција података за представљање негативних бројева у којима је  -1 представљен као да је  .

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Hardy, стр. 10.
  2. ^ Hardy, стр. 8, 10.
  3. ^ The two roots of s = 1 + 2s are briefly touched on by Hardy pp. 19.
  4. ^ Gardiner, стр. 93—99; the argument on pp. 95 for 1 + 2 + 4 + 8 + … is slightly different but has the same spirit.
  5. ^ Koblitz, Neal (1984). p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions. Graduate Texts in Mathematics, vol. 58. Springer-Verlag. стр. chapter I, exercise 16. pp. 20. ISBN 978-0-387-96017-3. 

Литература[уреди | уреди извор]