Trigonometrijske funkcije

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Trigonometrijske funkcije su funkcije ugla. Dobile su ime po grani matematike koja ih koristi za rešavanje trouglova, a koja se naziva trigonometrija.

Kada je ugao, dakle argument ovih funkcija realan broj, tada su to funkcije ravninske trigonometrije: sinus i kosinus, od kojih se izvode sve ostale. Od ostalih osnovnih funkcija ugla često su u upotrebi tangens, pa i kotangens, zatim, malo ređe se sreću kosekans i sekans, i konačno najređe sinus versus i kosinus versus. Kada je ugao kompleksan broj tada funkcije ugla mogu preći u hiperboličke funkcije.

Inverzne trigonometrijske funkcije zovu se ciklometrijske funkcije i arkus-funkcije, tj. funkcija-1.

Definicije[uredi]

Sl.1. Trigonometrijski trougao

Osnovne trigonometrijske funkcije sinus, kosinus i tangens se obično definšu pomoću pravouglog trougla, slika desno.

Pozitivan matematički ugao ima suprotan smer od kazaljke na satu, slično kao i kretanje Sunca u odnosu na sunčevu senku na slici 2.

Kretanje-sunca.gif

Trigonometrijska kružnica[uredi]

Na slici (3) dole je kružnica poluprečnika jedan sa centrom u ishodištu, tj. koja se zove trigonometrijska kružnica.

U sledećoj definiciji i teoremi (1), tangens i kotangens (b) se u anglosaksonskim zemljama označavaju tan i cot, kosekans (v) se i kod nas označava cosec.

Sl.3. Trigonometrijska kružnica
Definicija 1

Trigonometrijske realne funkcije ugla φ definišu se jednakostima

(a) sinus i kosinus su realni brojevi;
(b) tangens i kotangens;
(v) sekans i kosekans.
(g) kosinus versus i sinus versus.

Funkcije (v), a naročito (g) retko srećemo.

Teorema 1
(a) kosinus i sinus;
(b) tangens i kotangens;
(v) sekans i kosekans.
Dokaz
Tačka T sa slike 1. ovde (sl.2.) je tačka D.
(a) Sledi neposredno zbog poluprečnika r = 1.
(b) Uočimo slične trouglove odakle tj. uočimo slične trouglove odatle tj.
(v) Iz istih sličnih trouglova (b) dobijamo tj. zatim tj.

Kraj dokaza.

Posebni uglovi[uredi]

Ovde će biti anlizirane osobine vrednosti trigonometrijskih funkcija za posebne uglove.

Predznak[uredi]

Na prethodnoj slici (3) predstavljen je Dekartov pravougli sistem koordinata i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Ugao BOD = φ može neograničeno rasti dok pokretni krak ugla (OD) prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao φ može rasti do 360° i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvek računaju kao kosinus i sinus ugla φ. To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu. Detaljno to vidimo u sledećoj tabeli:

Trigonometrijske funkcije po kvadrantima
Kvadrant 1. (0°-90°) 2. (90°-180°) 3. (180°-270°) 4. (270°-360°)
sinus + + - -
kosinus + - - +
tangens + - + -

Svođenje na prvi kvadrant[uredi]

Lako je preko trigonometrijske kružnice ili adicionih formula proveriti tačnost formula za svođenje vrednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta:

Funkcije kosinus i sinus su periodične sa osnovnim periodom 360°, a funkcija tangens je periodična sa periodom 180°:

Period sinusne i kosinusne funkcije može se naći iz formule:

Tako je period funkcije jednak , odnosno .

Funkcije uglove većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant, na način vidljiv u sledećoj tabeli:

U opštem slučaju to se može zapisati ovako:

Pritom je f — proizvoljna trigonometrijska funkcija, g — odgovarajuća joj funkcija (kosinus za sinusa, sinus za kosinus i analogno za ostale funkcije), a nceo broj.

Vrednosti trigonometrijskih funkcija[uredi]

Vrednosti trigonometrijskih funkcija prikazane na trigonometrijskoj kružnici

Za neke od uglova iz prvog kvadranta se funkcije lakše izračunavaju:

Najčešće vrednosti trigonometrijskih funkcija
30° 45° 60° 90°
0 1
1 0
0 1

Jedan od načina izračunavanja ovih vrednosti je prikazan u pregledu osnovnih uglova. Iz tabele se vidi da su već kod „osnovnih“ uglova trigonometrijske funkcije iracionalni brojevi i da bi slični izrazi za druge uglove mogli biti još složeniji. Jednostavniji od tih složenijih izraza bio bi, na primer i to je najmanji ugao čiji se sinus može predstaviti pisanjem proste algebarske kombinacije racionalnih brojeva i korenova. Vekovima su trigonometrijske vrednosti zapisivane u trigonometrijske tablice, na 5 do 10 decimala, a u poslednje vreme koristi se skoro isključivo računar ili kalkulator.

Vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova koje se nešto dužim putem izračunavaju dati su u sledećoj tabeli:

Kada tačka D jednom obiđe kružnicu pređe put 2π odnosno napravi 360°. Luk dužine π odgovara uglu 180° - ispruženi ugao, π/2 je 90° - pravi ugao, π/3 je 60°, π/4 je 45°, π/6 je 30°, i uopšte luk dužine x radijana odgovara uglu 360x/2π stepeni. Za jedan radijan, h = 1, dobija se ugao 57,2957795... stepeni, tj. u stepenima, minutama i sekundama 57°17'44,8". Jedan stepen ima 60 minuta, a jedna minuta ima 60 sekundi. Izrazi minute i sekunde potiču od latinskih reči: partes minutae primae i partes minutae secundae, tj. prvi mali delovi i drugi mali delovi. Matematički tekstovi za jedinicu ugla podrazumevaju radijan.

Redovi[uredi]

Trigonometrijske funkcije se, takođe, mogu predstavljati (beskonačnim) redovima:

Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija.

Imajući u vidu jednakosti i u Tejlorov red se mogu razložiti sledeće funkcije:

Grafici[uredi]

Trigonometrijske funkcije se mogu grafički predstaviti. Na sledećim slikama su prikazani njihovi grafici:

Sine cosine plot.svg
Grafici trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangensa, sekansa, kosekansa, kotangensa

Parnost[uredi]

Kosinus i sekans su parne funkcije, dok su preostale četiri neparne funkcije:

Granična vrednost[uredi]

Sl.4. Tetiva je kraća od luka

Na slici (4) levo vidimo tetivu koja je sigurno kraća od luka Tetiva je najkraće rastojanje između dve tačke na kružnici. Zato je polutetiva kraća od poluluka Trougao OAD, sa oštrim uglom φ je pravougli. Pravi ugao je u temenu A, kateta OA iznosi , kateta DA iznosi , hipotenuza je dužine jedan. Kada je ugao u radijanima i tada je

Teorema 1

Dokaz: Sledi iz i Kraj.

Kada ugao teži nuli preko pozitivnih vrednosti, sinus je tada pozitivan, a negativan je kada ugao teži nuli preko negativnih vrednosti. Naprotiv, kosinus je u oba slučaja pozitivan. Iz toga proizilaze limesi za kotangens: Zamenom h sa komplementnim uglom dobićete odgovarajuće limese za tangens.

Sl.5. Trigonometrijski krug
Teorema 2
Dokaz
Na slici (5) desno, površina pravouglog trougla OAD manja je od površine kružnog isečka OBD, a ova opet manja od površine pravouglog trougla OBE. Nazovimo sa h ugao BOE. Otuda Podelimo li ove nejednakosti sa (pozitivnim) dobićemo a otuda Sa vredi pa je Sinus je parna funkcija pa je dokaz za negativne uglove isti. Kraj dokaza.

Izvod[uredi]

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrednost:

Teorema 3
(a)
(b)
(v)
(g)
Dokaz
(a) pa je
kada (teorema 2).
(b) Zbog biće
(v) Izvod količnika
(g) Izvod količnika
Kraj dokaza 3.

Integrali trigonometrijskih funkcija[uredi]

Integrali nekih trigonometrijskih funkcija prikazani su ovde:

Druge osobine[uredi]

Pregled skoro svih osobina trigonometrijskih funkcija koje se tiču rešavanja trouglova dat je u prilogu: ravninska trigonometrija.

U posebnom prilogu mogu se pronaći dokazi za adicione formule, gde spadaju i formule za dvostruke uglove, zatim polovine uglova, te predstavljanje zbira i razlike trigonometrijskih funkcija pomoću proizvoda i obratno, i izražavanje ostalih trigonometrijskih funkcija pomoću tangensa polovine ugla.

Takođe, u posebnom prilogu se nalaze trigonometrijske jednačine.

Trigonometrijske funkcije kao rešenja diferencijalnih jednačina[uredi]

Trigonometrijske funkcije kosinus i sinus mogu se predstaviti kao rešenja diferencijalne jednačine:

sa početnim uslovom .

Trigonometrijske funkcije kao rešenja funkcionalnih jednačina[uredi]

Funkcije kosinus i sinus se mogu odrediti kao neprekidna rešenja sistema funkcionalnih jednačina:

Inverzne trigonometrijske funkcije[uredi]

Inverzne trigonometrijske funkcije su arcsin x (arkus sinus iks), arccos x (arkus kosinus), arctg x (arkus tangens), arcctg x (arkus kotangens). One su inverzne trigonometrijskim funkcijama sin x (sinus iks), cos x (kosinus), tg x (tangens), ctg x (kotangens). Prefiks arkus potiče od latinske reči arcus - luk, ugao. Nazivaju se još i ciklometrijskim funkcijama.

Primena u fizici[uredi]

Primena trigonometrije i trigonometrijskih funkcija u fizici je jako velika.

Tako se na primer prilično koriste u analizi prostiranja talasa, opisivanju harmonijskih oscilacija kao periodičnog kretanja, predstavljanja naizmenične struje itd.

Vidi još[uredi]