Fibonačijev niz

Popločavanje kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonačijevi brojevi

Fibonačijev niz je matematički niz primećen u mnogim fizičkim, hemijskim i biološkim pojavama. Ime je dobio po italijanskom matematičaru Fibonačiju. Predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule a prva dva člana su mu 0 i 1.

$F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{ако је }}n=0;\\1&{\mbox{ако је }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{ако је }}n>1.\\\end{cases}}$

To jest, nakon dve početne vrednosti, svaki sledeći broj je zbir dva prethodnika. Prvi Fibonačijevi brojevi (sekvenca A000045 u OEIS), takođe označeni kao F_n, za n = 0, 1, … , su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514299, 832040...

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F₁ = 1, ali uobičajenije je uključiti F₀ = 0. U nekim starijim knjigama, vrednost $F_{0}=0$ je izostavljena, tako da sekvenca počinje sa $F_{1}=F_{2}=1,$ i ponavljanje je $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ validno za n > 2.

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonači, iako su ranije opisani u Indiji.

Ako su poznati Fibonačijevi brojevi $F_{m}$ i $F_{n}$ onda se može naći broj $F_{m+n}$ po formuli

$F_{m+n}=F_{(m-1)}F_{n}+F_{m}F_{n+1}$

Takođe važi

$F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})$

$F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}+F_{n-1}^{3}$

Uopšteno

$F_{mn}=\textstyle \sum _{k=1}^{m}{{\binom {m}{k}}(F_{n}^{k}(F_{n-1}^{m-k}}$

Fibonačijeva spirala: aproksimacija zlatne spirale stvorene crtanjem kružnih lukova koji povezuju suprotne uglove kvadrata u Fibonačijevim pločicama; (pogledajte prethodnu sliku)

Fibonačijevi brojevi su u snažnoj vezi sa zlatnim presekom: Binetova formula izražava n-ti Fibonačijev broj u smislu n i zlatnog preseka, i podrazumeva da odnos dva uzastopna Fibonačijeva broja teži zlatnom preseku kako se n povećava.

Fibonačijevi brojevi su dobili ime po italijanskom matematičaru Leonardu iz Pize, kasnije poznatom kao Leonardo Fibonači. U svojoj knjizi Liber Abaci iz 1202. godine, Fibonači je predstavio ovaj niz zapadnoevropskoj matematici, iako je taj niz bio opisan ranije u indijskoj matematici, već 200. godine pre nove ere u radu autora Pingala o nabrajanju mogućih obrazaca sanskrtske poezije nastalih od slogova dve dužine.

Binetova formula

Binetova formula je eksplicitno izražavanje vrednosti $F_{n}$ kao funkcije od $n$

$F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},$

gde je $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ zlatni presek. U tom slučaju $\varphi$ i $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi$ su rešenja jednačine $x^{2}-x-1=0$.

Iz Binetove formule za sve $n\geqslant 0$, sledi da je $F_{n}$ za ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ najbliže celom broju tj. $F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil$

Za $n\to \infty$ je $F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$.

Formula se može analitički prikazati na sledeći način

$F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}}\right).$

pri tome $F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}$ vredi za svaki kompleksni broj

Odnos prema zlatnom odnosu

U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ koji je koren jednačine $x^{2}-x-1=0$ i

$x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}=0$

Iz Binetove formule

${\frac {1}{\sqrt {5}}}(\phi ^{n}-(-\phi )^{-n})={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}$

Gde je

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\cdots$

$\varphi ^{-1}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }\approx -0.61803\,39887\cdots$

Dalje se dobija

$\varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}$

i

$(\varphi ^{-1})^{n}=(\varphi ^{-1})^{n-1}+(\varphi ^{-1})^{n-2}$

Za sve vrednosti a, b definiše se niz

$U_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}$

Zadovoljena je i relacija

$U_{n}=a\varphi ^{n-1}+b(\varphi ^{-1})^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b(\varphi ^{-1})^{n-2}=U_{n-1}+U_{n-2}$

Neka su $a$ i $b$ izabrani tako da je $U_{0}=0$ i $U_{1}=1$ onda dobijeni niz mora biti Fibonačijev niz.

Brojevi $a$ i $b$ zadovoljavaju relaciju

$a+b=0$

$a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1$

Odnosno važi

$a={\frac {1}{\varphi -\varphi ^{-1}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\,b=-a$

Uzimajući $U_{0}$ i $U_{1}$ kao početne varijable dobija se

$U_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1$

Odnosno

$a={\frac {U_{1}-U_{0}\varphi ^{-1}}{\sqrt {5}}}$

$b={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}$.

Posmatrajmo sada

$\left|{\frac {(\varphi ^{-1})^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}$

Za $n\geq 0$, broj $F_{n}$ najbliži ceo broj je ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$, koji se može dobiti iz funkcije

$F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,$

ili

$F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\ n\geq 0.$

Slično ako je F>0 Fiboničijev broj onda može odrediti njegov indeks unutar niza.

$n(F)={\bigg \lfloor }\log _{\varphi }\left(F\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}\right){\bigg \rfloor },$

gde se $\log _{\varphi }(x)$ može izračunati korištenjem logaritma druge baze

Primer

$\log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi )$

Osobine

Najveći zajednički delitelj dva Fibonačijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa

Posledice

$F_{m}$ je djeljiv sa $F_{n}$ ako i samo ako je $m$ deljivo sa $n$ (bez $n=2$)

• $F_{m}$ je deljivo sa $F_{3}=2$ samo ako je $m=3k$
• $F_{m}$ je deljivo sa $F_{4}=3$ samo ako je $m=4k$
• $F_{m}$ je deljivo sa $F_{5}=5$ samo ako je $m=5k$

$F_{m}$ je prost ako je $m$ prost broj sa isključenjem $m=4$

$F_{13}=233$

Obratno ne važi tj ako je $m$ prost broj $F_{m}$ ne mora biti prost

$F{19}=4181=37*113$

Njegov polinom $x^{2}-x-1$ ima korene $\varphi$ i $-\varphi ^{-1}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .$

Godine 1964, Koši je dokazao da su u nizu Fibonačijevih brojeva jedini kvadrati brojevi sa indeksom 0,,1,2,12 $F_{0}=0^{2}=0$, $F_{1}=1^{2}=1$, $F_{2}=1^{2}=1$, $F_{12}=12^{2}=144$

Generirajuća funkcija niza fibonačijevih brojeva je $x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}$

Fibonačijev niz brojeva

Prvih 21 Fibonačijevih brojeva $F_{n}$ za $n=0,1,2,3,....20$

F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10	F11	F12	F13	F14	F15	F16	F17	F18	F19	F20
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.

$F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1},$

$F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.$

Niz brojeva $F_{n}$ za $n=-8,-7,....0,1,2,....8$

F−8

F−7

F−6

F−5

F−4

F−3

F−2

F−1

F0

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

−21

13

−8

5

−3

2

−1

1

0

1

1

2

3

5

8

13

21

Identiteti

• $F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1$
• $F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}$
• $F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1$
• $F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}$
• $F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}$ (sm. ris.)
• $F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}$
• $F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}$
• $F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}$
• $F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}$

Opšte formule

• $F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}$
• $F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}$
• $F_{n}^{}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}$

$F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}$, kao i $\ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}$,

gde matrice imaju oblik $n\times n$, i je imaginarna jedinica.

• Fibonačijevi brojevi se mogu izraziti preko Čebiševljevih polinoma

$F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),$

$F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).$

Za bilo koji $n$

${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.$

Posledica

$(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.$

Formula za ponovno dobijanje Fibonačijevih brojeva je

$F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}\pm 4}}}{2}}$

Fibonačijev niz u prirodi

Fibonačijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i „Božanskim odnosom”. Ako se uzme jedan deo Fibonačijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podeli svaki sledeći broj s njemu prethodnim, dobiće se uvek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Sledi nekoliko primera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

1. U pčelinjoj zajednici, košnici, uvek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvek bi dobili broj fi.
2. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi se izračunao odnos svakog spiralnog prečnika prema sledećem dobio bi se broj fi.
3. Seme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi prečnika rotacije je broj fi.
4. Ako se izmeri čovečija dužinu od vrha glave do poda, zatim se to podeli s dužinom od pupka do poda, dobija se broj fi.

Vidi još

• Fibonačijevi polinomi

Literatura

• Ball, Keith M (2003). „8: Fibonacci's Rabbits Revisited”. Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11321-0. .
• Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer .
• Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3rd izd.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
  • Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4th Revised izd.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0 .
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
• Livio, Mario (2003) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (First trade paperback izd.). New York City: Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3. 
• Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (na jeziku: francuski), 1, Paris: Gauthier-Villars, https://books.google.com/books?id=_hsPAAAAIAAJ .
• Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Sigler, Laurence E, trans, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6 
• Arakelяn, Grant (2014). Matematika i istoriя zolotogo sečeniя. Logos, 404 s. ISBN 978-5-98704-663-0.

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Fibonacci numbers”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Periods of Fibonacci Sequences Mod m at MathPages
• Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature
• Fibonacci Sequence on In Our Time at the BBC. (listen now)
• OEIS sequence A000045 (Fibonacci numbers)