Vektorska analiza

Vektorska analiza je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima, primarily in 3-dimensional Euclidean space $\mathbb {R} ^{3}.$ The term "vector calculus" is sometimes used as a synonym for the broader subject of multivariable calculus, which spans vector calculus as well as partial differentiation and multiple integration.

Najveću primenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednačinama, a od ostalih grana nauke, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl.

Osnovni objekti

Skalarna polja

Glavni članak: Skalarna polja

Skalarno polje pridružuje skalarnu vrednost svakoj tački u prostoru. Skalar je matematički broj koji predstavlja fizičku veličinu. Primeri skalarnih polja u aplikacijama uključuju distribuciju temperature u prostoru, raspodelu pritiska u fluidu i kvantna polja sa spinom nula (poznata kao skalarni bozoni), kao što je Higsovo polje. Ova polja su predmet teorije skalarnog polja.

Vektorska polja

Glavni članak: Vektorsko polje

Vektorsko polje je dodeljivanje vektora svakoj tački u prostoru. Vektorsko polje u ravni, na primer, može se vizualizovati kao kolekcija strelica sa datom veličinom i smerom, svaka vezana za tačku u ravni. Vektorska polja se često koriste za modelovanje, na primer, brzine i pravca fluida koji se kreće kroz prostor, ili jačine i smera neke sile, kao što je magnetna ili gravitaciona sila, kako se menja od tačke do tačke. Ovo se može koristiti, na primer, za izračunavanje rada obavljenog duž linije.

Vektori i pseuvektori

U naprednijim tretmanima, dalje se razlikuju pseudovektorska polja i pseudoskalarna polja, koja su identična vektorskim poljima i skalarnim poljima, osim što menjaju predznak pod mapom koja menja orijentaciju: na primer, rotor vektorskog polja je pseudovektorsko polje, a ako se odražava vektorsko polje, rotor je usmeren u suprotnom smeru. Ova razlika je razjašnjena i razrađena u geometrijskoj algebri, kao što je opisano u nastavku.

Vektorska algebra

Algebarske (nediferencijalne) operacije u vektorskom računu nazivaju se vektorskom algebrom, definišu se za vektorski prostor i zatim se globalno primenjuju na vektorsko polje. Osnovne algebarske operacije se sastoje od:

Notacije u vektorskom računu

Operacija	Notacija	Opis
Sabiranje vektora	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	Sabiranje dva vektora, dajući vektor.
Množenje vektora	$a\mathbf {v}$	Množenje skalara i vektora, dajući vektor.
Skalarni proizvod vektora	$\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$	Množenje dva vektora, dajući skalar.
Vektorski proizvod	$\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$	Množenjem dva vektora u $\mathbb {R} ^{3}$ dobija se (pseudo)vektor.

Takođe se često koriste dva trostruka proizvoda:

Trostruki proizvodi vektorskog računa

Operacija	Notacija	Opis
Skalarni trostruki proizvod	$\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	Skalarni proizvod vektorskog proizvoda dva vektora.
Vektorski trostruki proizvod	$\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	Vektorski proizvod vektorskog proizvoda dva vektora.

Operatori i teoreme

Glavni članak: Identiteti vektorskog računa

Diferencijalni operatori

Glavni članci: Gradijent, Divergencija, Rotor (matematika) i Laplasov operator

Vektorski račun proučava različite diferencijalne operatore definisane na skalarnim ili vektorskim poljima, koji se obično izražavaju u vidu del operatora ($\nabla$), takođe poznatog kao „nabla”. Tri osnovna vektorska operatora su:

Diferencijalni operatori u vektorskom računu

Operacija	Notacija	Opis	Notacija analogija	Domen/opseg
Gradijent	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Meri brzinu i smer promene u skalarnom polju.	Skalarno množenje	Preslikava skalarna polja u vektorska polja.
Divergencija	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Meri skalar izvora ili ponora u datoj tački u vektorskom polju.	Skalarni proizvod vektora	Preslikava vektorska polja u skalarna polja.
Rotor	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Meri tendenciju rotacije oko tačke u vektorskom polju u $\mathbb {R} ^{3}$.	Vektorski proizvod	Preslikava vektorska polja u (pseudo)vektorska polja.
f označava skalarno polje i F označava vektorsko polje

Takođe se često koriste dva Laplasova operatora:

Laplasovi operatori u vektorskom računu

Operacija	Notacija	Opis	Domen/opseg
Laplasijan	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Meri razliku između vrednosti skalarnog polja sa njegovim prosekom na infinitezimalnim kuglama.	Mape između skalarnih polja.
Vektorski Laplasijan	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Meri razliku između vrednosti vektorskog polja sa njegovim prosekom na infinitezimalnim kuglama.	Mape između vektorskih polja.
f označava skalarno polje i F označava vektorsko polje

Kvantitet koji se naziva Jakobijanska matrica je koristan za proučavanje funkcija kada su domen i opseg funkcije multivarijabilni, kao što je promena promenljivih tokom integracije.

Teoremi integrala

Tri osnovna vektorska operatora imaju odgovarajuće teoreme koje generalizuju osnovnu teoremu računa na više dimenzije:

Integralne teoreme vektorskog računa

Teorema	Iskaz	Opis
Teorema gradijenta	$\int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]$	Krivolinijski integral gradijenta skalarnog polja duž krive L jednak je promeni skalarnog polja između krajnjih tačaka p i q krive.
Teorema divergencije	$\underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$	Integral divergencije vektorskog polja nad n-dimenzionalnim čvrstim telom V jednak je fluksu vektorskog polja kroz (n−1)-dimenzionalnu zatvorenu graničnu površinu tela.
Teorema rotoara (Kelvin–Stouks)	$\iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\!\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	Integral krivulje vektorskog polja preko površine Σ u $\mathbb {R} ^{3}$ jednak je kruženju vektorskog polja oko zatvorene krive koja ograničava površinu.
$\varphi$ označava skalarno polje i F označava vektorsko polje

U dve dimenzije, teoreme o divergenciji i uvijanju svode se na Grinovu teoremu:

Grinova teorema vektorskog računa

Teorema	Iskaz	Opis
Grinova teorema	$\iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	Integral divergencije (ili zavoja) vektorskog polja preko nekog regiona A u $\mathbb {R} ^{2}$ jednak je fluksu (ili cirkulaciji) vektorskog polja preko zatvorene krive koja ograničava region.
Za divergenciju, F = (M, −L). Za rotor, F = (L, M, 0). L i M su funkcije od (x, y).

Literatura

• Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
• Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover Publications; Reprint edition. ISBN 978-0-486-67910-5. 
• J.E. Marsden (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1. 
• H. M. Schey (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6. 
• Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
• Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
• Wilson, Edwin Bidwell; Gibbs, Josiah Willard (1901). Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics & Physics: Founded Upon the Lectures of J. W. Gibbs. Scribner. 
• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Calculus III. Berlin: Springer-Verlag. str. 775. ISBN 0-387-90985-0. 
• Strang, Gilbert (1991). Calculus. Wellesley College. str. 94. ISBN 0-9614088-2-0. 
• Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). How to Prepare for the AP Calculus. Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. str. 118. ISBN 0-7641-2382-3. 
• Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83378-7. 
• Gill, P. E.; Murray, W.; Wright, M. H. (1982). Practical Optimization. London: Academic Press. ISBN 0-12-283952-8. 
• Lee, Jon (2004). A First Course in Combinatorial Optimization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01012-8. 
• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Numerical Optimization (2nd izd.). Berlin: Springer. ISBN 0-387-30303-0. 
• Snyman, J. A.; Wilke, D. N. (2018). Practical Mathematical Optimization : Basic Optimization Theory and Gradient-Based Algorithms (2nd izd.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-319-77585-2. 
• Martins, Joaquim R. R. A.; Ning, Andrew (2021-10-01). Engineering Design Optimization (na jeziku: engleski). Cambridge University Press. ISBN 978-1108833417. 
• Du, D. Z.; Pardalos, P. M.; Wu, W. (2008). „History of Optimization”. Ur.: Floudas, C.; Pardalos, P. Encyclopedia of Optimization. Boston: Springer. str. 1538—1542. 
• Battiti, Roberto; Mauro Brunato; Franco Mascia (2008). Reactive Search and Intelligent Optimization. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-09623-0. Arhivirano iz originala 2012-03-16. g. 
• Vereshchagin, A.F. (1989). „Modelling and control of motion of manipulation robots”. Soviet Journal of Computer and Systems Sciences. 27 (5): 29—38. 
• Haggag, S.; Desokey, F.; Ramadan, M. (2017). „A cosmological inflationary model using optimal control”. Gravitation and Cosmology. 23 (3): 236—239. Bibcode:2017GrCo...23..236H. ISSN 1995-0721. S2CID 125980981. doi:10.1134/S0202289317030069. 
• Dorfman, Robert (1969). „An Economic Interpretation of Optimal Control Theory”. American Economic Review. 59 (5): 817—831. JSTOR 1810679. 
• Sargent, Thomas J. (1987). „Search”. Dynamic Macroeconomic Theory. Harvard University Press. str. 57—91. ISBN 9780674043084. 
• Rotemberg, Julio; Woodford, Michael (1997). „An Optimization-based Econometric Framework for the Evaluation of Monetary Policy” (PDF). NBER Macroeconomics Annual. 12: 297—346. JSTOR 3585236. doi:10.2307/3585236 . 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Vector analysis”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Vector algebra”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Vector Calculus Video Lectures
• A survey of the improper use of ∇ in vector analysis
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis