Aritmetička progresija
U matematici, aritmetička progresija (AP) ili aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika između uzastopnih članova konstantna. Na primer, red 5, 7, 9, 11, 13, 15 … je aritmetička progresija sa međusobnom razlikom 2.
Ako je početni član aritmetičke progresije i međusobna razlika uzastopnih članova d, onda je n-ti član niza () dat formulom:
i generalno
Ponašanje aritmetičke progresije zavisi od međusobne razlike d. Ako je međusobna razlika:
- Pozitivna, članovi će rasti ka pozitivnoj beskonačnosti.
- Negativni, članovi će rasti ka negativnoj beskonačnosti.
Zbir
[uredi | uredi izvor]2 | + | 5 | + | 8 | + | 11 | + | 14 | = | 40 |
14 | + | 11 | + | 8 | + | 5 | + | 2 | = | 40 |
16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | = | 80 |
Zbir članova konačne aritmetičke progresije se zove aritmetički niz. Na primer, razmotrimo zbir:
Zbir može biti brzo pronađen množenjem broja n članova koji se dodaju (ovde 5) zbirom prvog i poslednjeg člana progresije (ovde 2 + 14 = 16), i deljenjem 2:
U gornjem slučaju, dobijamo jednačinu:
Formula radi za bilo koje realne brojeve i . Na primer:
Izvođenje
[uredi | uredi izvor]Za izvođenje formule iznad, treba početi izražavanjem aritmetičkog niza na dva različita načina:
Dodavanje obe strane dve jednačine, sve članovi koji se odnose na d poništiti:
Deljenje obe strane 2 dovodi do uobičajenog oblika jednačine:
Alternativna forma rezultata iz ponovnog dodavanja zamene: :
Dodatno, glavna vrednost niza može biti izračunata pomoću: :
Godine 499. AD Ariabata, istaknuti matematičar-astronom iz klasičnog doba indijske matematike i indijske astronomije, je dao ovaj metod u Ariabatiji (odeljak 2.18).
Proizvod
[uredi | uredi izvor]Proizvod članova konačne aritmetičke progresije sa početnim članom a1, međusobnim razlikama d, i n članova ukupno se određuje u zatvorenom izrazu
gde označava rastuće faktorijele i označava Gama funkciju. (Primetimo da formula nije validna kada je i+negativan ceo broj ili nula.)
Ovo je generalisana forma činjenice da je proizvod progresije dat faktorijelom što proizvodi
za pozitivne cele brojeve i i dat je formulom
Uzimajući primer odozgo, proizvod članova aritmetičke progresije dat kao an = 3 + (n-1)(5) do 50. člana je
Standardna devijacija
[uredi | uredi izvor]Standardna devijacija bilo koje formule aritmetičke progresije se može izračunati preko formule:
gde je broj članova u progresiji, a je međusobna razlika između članova
Presek
[uredi | uredi izvor]Presek bilo koje dve duple beskonačne aritmetičke progresije je ili prazan ili druga aritmetička progresija, koja se može pronaći korišćenjem teoreme kineski podsetnik. Ako svake dve progresije u porodici ili duple aritmetičke progresije imaju ne-prazan presek, onda postoji broj zajednički za sve njih; to je beskonačna aritmetička progresija iz Heli porodice. Međutim, presek beskonačno mnogo beskonačnih aritmetičkih progresija može biti jedan broj, pre nego sama beskonačna progresija.
Formule na dlanu
[uredi | uredi izvor]Ako je
- prvi član aritmetičke progresije.
- n-ti član aritmetičke progresije.
- razlika između članova aritmetičke progresije.
- broj članova aritmetičke progresije.
- zbir n članova aritmetičke progresije.
- srednja vrednost aritmetičkog niza.
onda je
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
- 5. =
- 6.
Vidi još
[uredi | uredi izvor]- Aritmetičko-geometrijski niz
- Generalisana aritmetička progresija - je skup celih brojeva konstruisan kao da je aritmetička progresija, ali uz nekoliko razlika.
- Harmonijska progresija
- Heronijski trouglovi sa stranama u aritmetičkoj progresiji
- Problemi koji se odnose na aritmetičke progresiju
- Atonalnost
Reference
[uredi | uredi izvor]Literatura
[uredi | uredi izvor]- Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. str. 259-260. ISBN 978-0-387-95419-6.
Spoljašnje veze
[uredi | uredi izvor]- Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Arithmetic series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Weisstein, Eric W. „Arithmetic progression”. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Arithmetic series”. MathWorld.