Aritmetička progresija

S Vikipedije, slobodne enciklopedije

U matematici, aritmetička progresija (AP) ili aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika između uzastopnih članova konstantna. Na primer, red 5, 7, 9, 11, 13, 15 … je aritmetička progresija sa međusobnom razlikom 2.

Ako je početni član aritmetičke progresije  i međusobna razlika uzastopnih članova d, onda je n-ti član niza () dat formulom:

i generalno

Konačan deo aritmetičke progresije se zove konačna aritmetička progresija, a ponekad se samo zove aritmetička progresija. Zbir konačne aritmetičke progresije se naziva aritmetički niz.

Ponašanje aritmetičke progresije zavisi od međusobne razlike d. Ako je međusobna razlika:

  • Pozitivna, članovi će rasti ka pozitivnoj beskonačnosti.
  • Negativni, članovi će rasti ka negativnoj beskonačnosti.

Zbir[uredi | uredi izvor]

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
14 + 11 + 8 + 5 + 2 = 40
16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

Obračun zbira 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Kada je niz obrnut i dodaje sebi član po član, rezultujući niz ima jednu ponovljenu vrednost u sebi, jednau zbiru prvog i poslednjeg broja (2 + 14 = 16). Tako je 16 × 5 = 80 dupli zbir.

Zbir članova konačne aritmetičke progresije se zove aritmetički niz. Na primer, razmotrimo zbir:

Zbir može biti brzo pronađen množenjem broja n članova koji se dodaju (ovde 5) zbirom prvog i poslednjeg člana progresije (ovde 2 + 14 = 16), i deljenjem 2:

U gornjem slučaju, dobijamo jednačinu:

Formula radi za bilo koje realne brojeve  i . Na primer:

Izvođenje[uredi | uredi izvor]

Animirani dokaz za formulu koja daje zbir prvih celih brojeva 1+2+...+n.

Za izvođenje formule iznad, treba početi izražavanjem aritmetičkog niza na dva različita načina: 

Dodavanje obe strane dve jednačine, sve članovi koji se odnose na d poništiti:

Deljenje obe strane 2 dovodi do uobicajenog oblika jednačine:

Alternativna forma rezultata iz ponovnog dodavanja zamene: :

Dodatno, glavna vrednost niza može biti izračunata pomoću: :

Godine 499. AD Ariabata, istaknuti matematičar-astronom iz klasičnog doba indijske matematike i indijske astronomije, je dao ovaj metod u Ariabatiji (odeljak 2.18).

Proizvod[uredi | uredi izvor]

Proizvod članova konačne aritmetičke progresije sa početnim članom a1, međusobnim razlikama d, i n članova ukupno se određuje u zatvorenom izazu

gde  označava rastuće faktorijele označava Gama funkciju. (Primetimo da formula nije validna kada je  i+negativan ceo broj ili nula.)

Ovo je generalisana forma činjenice da je proizvod progresije  dat faktorijelom  što proizvodi 

za pozitivne cele brojeve  i dat je formulom

Uzimajući primer odozgo, proizvod članova aritmetičke progresije dat kao  an = 3 + (n-1)(5) do 50. člana je

Standardna devijacija[uredi | uredi izvor]

Standardna devijacija bilo koje formule aritmetičke progresije se može izračunati preko formule:

gde je  broj članova u progresiji, a  je međusobna razlika između članova

Presek[uredi | uredi izvor]

Presek bilo koje dve duple beskonačne aritmetiče progresije je ili prazan ili druga aritmetička progresija, koja se može pronaći korišćenjem teoreme kineski podsetnik. Ako svake dve progresije u porodici ili duple aritmetičke progresije imaju ne-prazan presek, onda postoji broj zajednički za sve njih; to je beskonačna aritmetička progresija iz Heli porodice. Međutim, presek beskonačno mnogo beskonačnih aritmetičkih progresija može biti jedan broj, pre nego sama beskonačna progresija.

 

Formule na dlanu [uredi | uredi izvor]

Ako je

 prvi član aritmetičke progresije.
 n-ti član aritmetičke progresije.
 razlika između članova aritmetičke progresije.
broj članova aritmetičke progresije.
zbir n članova aritmetičke progresije.
srednja vrednost aritmetičkog niza.

onda je

1.
2.
3.
4.
5. =
6.

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Literatura[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]