Aritmetička progresija

U matematici, aritmetička progresija (AP) ili aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika između uzastopnih članova konstantna. Na primer, red 5, 7, 9, 11, 13, 15 … je aritmetička progresija sa međusobnom razlikom 2.

Ako je početni član aritmetičke progresije $a_{1}$ i međusobna razlika uzastopnih članova d, onda je n-ti član niza ($a_{n}$) dat formulom:

$\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$

i generalno

$\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$

Konačan deo aritmetičke progresije se zove konačna aritmetička progresija, a ponekad se samo zove aritmetička progresija. Zbir konačne aritmetičke progresije se naziva aritmetički niz.

Ponašanje aritmetičke progresije zavisi od međusobne razlike d. Ako je međusobna razlika:

• Pozitivna, članovi će rasti ka pozitivnoj beskonačnosti.
• Negativni, članovi će rasti ka negativnoj beskonačnosti.

Zbir

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

Obračun zbira 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Kada je niz obrnut i dodaje sebi član po član, rezultujući niz ima jednu ponovljenu vrednost u sebi, jednaku zbiru prvog i poslednjeg broja (2 + 14 = 16). Tako je 16 × 5 = 80 dupli zbir.

Zbir članova konačne aritmetičke progresije se zove aritmetički niz. Na primer, razmotrimo zbir:

$2+5+8+11+14$

Zbir može biti brzo pronađen množenjem broja n članova koji se dodaju (ovde 5) zbirom prvog i poslednjeg člana progresije (ovde 2 + 14 = 16), i deljenjem 2:

${\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

U gornjem slučaju, dobijamo jednačinu:

$2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.$

Formula radi za bilo koje realne brojeve $a_{1}$ i $a_{n}$. Na primer:

$\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.$

Izvođenje

Animirani dokaz za formulu koja daje zbir prvih celih brojeva 1+2+...+n.

Za izvođenje formule iznad, treba početi izražavanjem aritmetičkog niza na dva različita načina: 

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.$

Dodavanje obe strane dve jednačine, sve članovi koji se odnose na d poništiti:

$\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).$

Deljenje obe strane 2 dovodi do uobičajenog oblika jednačine:

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).$

Alternativna forma rezultata iz ponovnog dodavanja zamene: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$:

$S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].$

Dodatno, glavna vrednost niza može biti izračunata pomoću: $S_{n}/n$:

${\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

Godine 499. AD Ariabata, istaknuti matematičar-astronom iz klasičnog doba indijske matematike i indijske astronomije, je dao ovaj metod u Ariabatiji (odeljak 2.18).

Proizvod

Proizvod članova konačne aritmetičke progresije sa početnim članom a₁, međusobnim razlikama d, i n članova ukupno se određuje u zatvorenom izrazu

$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d({\frac {a_{1}}{d}}+1)d({\frac {a_{1}}{d}}+2)\cdots d({\frac {a_{1}}{d}}+n-1)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},$

gde $x^{\overline {n}}$ označava rastuće faktorijele i $\Gamma$ označava Gama funkciju. (Primetimo da formula nije validna kada je $a_{1}/d$ i+negativan ceo broj ili nula.)

Ovo je generalisana forma činjenice da je proizvod progresije $1\times 2\times \cdots \times n$ dat faktorijelom $n!$ što proizvodi 

$m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!$

za pozitivne cele brojeve $m$ i $n$ i dat je formulom

${\frac {n!}{(m-1)!}}.$

Uzimajući primer odozgo, proizvod članova aritmetičke progresije dat kao  a_n = 3 + (n-1)(5) do 50. člana je

$P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.$

Standardna devijacija

Standardna devijacija bilo koje formule aritmetičke progresije se može izračunati preko formule:

$\sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}$

gde je $n$ broj članova u progresiji, a $d$ je međusobna razlika između članova

Presek

Presek bilo koje dve duple beskonačne aritmetičke progresije je ili prazan ili druga aritmetička progresija, koja se može pronaći korišćenjem teoreme kineski podsetnik. Ako svake dve progresije u porodici ili duple aritmetičke progresije imaju ne-prazan presek, onda postoji broj zajednički za sve njih; to je beskonačna aritmetička progresija iz Heli porodice. Međutim, presek beskonačno mnogo beskonačnih aritmetičkih progresija može biti jedan broj, pre nego sama beskonačna progresija.

 

Formule na dlanu 

Ako je

$a_{1}$ prvi član aritmetičke progresije.

$a_{n}$ n-ti član aritmetičke progresije.

$d$ razlika između članova aritmetičke progresije.

$n$ broj članova aritmetičke progresije.

$S_{n}$ zbir n članova aritmetičke progresije.

${\overline {n}}$ srednja vrednost aritmetičkog niza.

onda je

1. $\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$

2. $\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$

3. $S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].$

4. $S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

5. ${\overline {n}}$ = $S_{n}/n$

6. ${\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

Vidi još

• Aritmetičko-geometrijski niz
• Generalisana aritmetička progresija - je skup celih brojeva konstruisan kao da je aritmetička progresija, ali uz nekoliko razlika.
• Harmonijska progresija
• Heronijski trouglovi sa stranama u aritmetičkoj progresiji
• Problemi koji se odnose na aritmetičke progresiju
• Atonalnost

Literatura

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. str. 259-260. ISBN 978-0-387-95419-6. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Arithmetic series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Arithmetic progression”. MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. „Arithmetic series”. MathWorld.