Lepota u matematici

Primer "lepote u metodi"—jednostavan i elegantan dokaz Pitagorine teoreme.

Lepota u matematici opisuje pojavu da neki matematičari pronalaze zadovoljstvo u estetici rešenja svog rada. Matematičari opisuju matematiku kao umetničku formu ili, u najmanju ruku, kao kreativnu aktivnost. Poredi se često sa muzikom i poezijom.

Bertrand Rasel je izrazio osećanje lepote u matematici u ovim rečima:

Matematika, s pravom smatrati, ima ne samo istinu već i najvišu lepotu — lepotu hladnu i surovu, kao skulptura, bez prava na žalbu na bilo koji deo naše slabije prirode, bez izuzetnih osobina slikarstva ili muzike, ali uzvišeno čisti u stanju strogim savršenstvom koju samo umetnost može da pokaže. Pravi duh zadovoljstva, osećaj da si više nego čovek, što je merilo najviše izvrsnosti, je prisutan u matematici baš kao i poeziji.  

Pal Erdeš je izrazio svoj pogled na matematiku, rekavši "Zašto su brojevi lepi? To je kao da pitate zašto Betovenova deveta simfonija lepo zvuči. Ako ne možete da vidite, niko vam ne može da pokazati. Ja znam da su brojevi lepi. Ako nisu lepi, nije ništa".

Lepota u metodi

Matematičari opisuju posebno ugodan način dokazivanja kao elegantan. U zavisnosti od konteksta, to se može odnositi da:

• Dokaz koristi jako malo dodatnih pretpostavki ili prethodnih rezultata.
• Dokaz da je neobično jezgrovit.
• Dokaz koji donosi rezultat na iznenađujući način (npr. nepovezane teoreme ili prikupljanje teorema).
• Metod dokaza koji se može lako generalizovati da reši niz sličnih problema.

U potrazi za elegantnim dokazom, matematičari često traže različite nezavisne načine da dokažu rezultat – da se pokaže da prvi dokaz nije uvek najbolji. Primer teoreme za koju je otkriveno više različitih dokaza je Pitagorina teorema, uz stotine dokaza koji su objavljeni. Takođe, teorema koja je dokazana na različite načine je teorema kvadratnih reciprociteta. Karl Fridrih Gaus je sam objavio osam različitih dokaza ove teoreme.

Nasuprot tome, rezultati koji su logički ispravni, ali uključuju teške kalkulacije, preko-razrađene metode, vrlo konvencionalne pristupe, ili se oslanjaju na veliki broj dodatnih aksioma ili prethodnih rezultata se obično smatraju neelegantanim, a mogu se nazvati ružni ili nespretni .

Lepota u rezultatima

Počevši od toga da je e^o = 1, išavši brzinom i u odnosu na jednu poziciju u toku vremena π, i dodući 1, dolazi se na 0. (Grafikon je Argan šema).

Neki matematičari vide lepotu u matematičkim rezultatima koji uspostavljaju veze između dve oblasti matematike koji na prvi pogled izgledaju nepovezano. Ovi rezultati se često opisuju kao duboki.

Iako je teško naći univerzalni sporazum o tome da li je rezultat dubok, neki primeri se često navode. Jedan od njih je Ojlerov identitet:

$\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,.$

Ovo je poseban slučaj Ojlerove formule, koju je fizičar Ričard Fejnman nazvao "naš dragulj" i "najznačajnija formula u matematici". Moderni primeri su teorema modularnosti, kojom se uspostavljaju važne veze između eliptičkih krivih i modularnih forma (rad za koji su Endru Vajls i Robert Langlands dobili Volf nagradu), i "monstruozna mesečina", koji povezuje Monster grupu za modularne funkcije putem teorije struna za koju je Ričard Borcherds dobio Fildsovu medalju.

Drugi primeri dubokih rezultata uključuju neočekivane zaključke u matematičkoj strukturi. Na primer, Gausova Teorema Egregium je duboka teorema, koja povezuje lokalne pojave (zakrivljenost) i globalni fenomen (površina). Konkretno, površina trougla na krivoj površini je proporcionalni višak trougla i proporcionalnost je krivina. Drugi primer je osnovna teorema kalkulacije (i njegove vektor verzije, uključujući i Grinovu teoremu i Stouksova teorema).

Nasuprot dubokih rezultata su trivijalni. Trivijalna teorema može biti rezultat, koji se može dobiti na jednostavan način iz poznatih rezultata. Ponekad izjava teoreme može da bude dovoljno originalna da se smatra dubokom, iako je njen dokaz dovoljno očigledan.

U svom matematičarskom izvinjenju, Hardi govori o tome da lep dokaz ili rezultat ima "neminovnosti", "iznenađenja" i "ekonomiju".

Rota se ne slaže sa iznenađenjima uslova za lepotom i nudi kontraprimer:

Većina novih teorema su iznenađujuće; na primer pre 20 godina dokaz postojanja ne-ekvivalentnih diferencijabilnih struktura sfera viših dimenzija je bilo iznenađujuće, ali niko ovo nije pohvalio lepotom, ni onda, ni danas.

U ovoj oblasti dolazi do neslaganja. To neslaganje ilustruje subjektivni karakter matematičke lepote i njene veze sa matematičkim rezultatima.

Lepota u iskustvu

Postoji neka vrsta "hladne i stroge" lepote u ovom kompleksu od pet kocki.

Interesovanje u čistoj matematici odvojeno od empirijskog istraživanja je deo iskustva različitih civilizacija, uključujući drevne Grke, koji su "razvili matematiku zbog njene lepote". Matematička lepota može takođe biti testirana izvan čiste matematike. Na primer, estetsko zadovoljstvo koju matematička fizika ima u Ajnštajnovoj teoriji relativnosti je bila uslovljena (Pol Dirak, konkretno) u svojoj "velikoj matematičkoj lepoti".

U izvesnoj meri, radost u manipulaciji brojeva i simbola verovatno mora biti vezana matematikom. S obzirom na korisnost matematike u nauci i inženjerstvu, vrlo je verovatno da bilo koje tehnološko društvo će aktivno razvijati ove estetike, u najmanju ruku, u svojoj filozofiji nauke.

Lepota u matematici je doživljena kada se fizička realnost objekata razvija na osnovu potpuno apstraktnih matematičkih modela. Fizičari su otkrili da ove apstraktne matematičke grane shvatamo svojim zapažanjem. Na primer, u teoriji grupa, razvijene u ranim 1800-im sa svrhom rešavanja polinominalnih jednačina, ispostavilo se da je dobar metod za klasifikaciju elementarnih čestica. Na sličan način, učenje o čvorovima, sadrži važne informacije o teoriji struna i presavijene kvantne gravitacije.

Najintenzivnije iskustvo lepote u matematici za većinu matematičara dolazi od aktivnog učešća u matematici. Veoma je teško uživati matematici na čisto pasivan način – u matematici ne postoji prava analogija uloge gledaoca. Bertrand Rasel navodi na stroge lepote matematike.

Lepota i filozofija

Neki matematičari misle da radeći matematiku su bliži otkrivanju, nego izumevanju, na primer:

Ne postoji naučni istraživač, pesnik, slikar, muzičar, koji vam neće reći da je došao do izuma ili pesme ili slike – da je došlo do njega spolja, a da to nije svesno uradio u sebi.

— Vilijam Kingdon Kliford

Ovi matematičari veruju da detalji i precizni rezultati u matematici mogu biti razumno viđeni kao istiniti, ne zavisi ni od Univerzuma u kome živimo. Na primer, oni tvrde da je teorija prirodnih brojeva u osnovi ispravana, tako da ne zahteva neki posebni kontekst. Neki matematičari govore da je matematička lepota istinita, i da u nekim slučajevima postaje i mistična.

Matematičari Pitagore verovali su u bukvalnu stvarnost brojeva. Pronalaskom postojanja iracionalnih brojeva su bili šokirani. Sa današnje tačke gledišta, mističan pristup brojevima može se smatrati kao numerologija.

U Platonovoj filozofiji ima dva sveta, fizički, u kome živimo i još jedan apstraktan svet, koji sadrži suštinsku istinu, uključujući i matematiku. On je verovao da je fizički svet samo odraz više savršenog apstraktanog sveta.

Mađarski matematičar Pal Erdešo je govorio o zamišljenoj knjizi, u koju je Bog zapisao sve najlepše matematičke dokaze. Kada je Pal Erdeš hteo da izrazi posebnu zahvalnost dokazima, on bi uzviknuo "to je iz knjige!"

Dvadesetog veka francuski filozof Alen Badiu tvrdi da je ontologija matematika. Badiu takođe veruje u duboke veze između matematike, poezije i filozofije.

U nekim slučajevima, prirodni filozofi i drugi naučnici, koji su proširili upotrebu matematike su pokazali vezu između lepote i fizičke istine na način koji je bio u zabludi. Na primer, i jednoj fazi života, Johan Kepler je verovao da su proporcije orbite tada poznatih planeta u Sunčevom sistemu stvorene od Boga, da odgovara koncentričnoj lokaciji pet Platonovih tela. Jer postoji tačno pet Platonovih tela, Keplerova hipoteza može da primi samo šest planetarnih orbitala i bio je pobijen otkrićem Urana.

Lepota i matematičke teorije informacija

1970ih godina, Avram Mole i Frider Nejk su analizirali vezu između lepote, obrade informacija i teorija informacija.1990.ih godina, Jurgen Šmidhuber je formulisao matematičku teoriju subjektivne lepote na osnovu algoritamskih teorije informacija. Svaki put kada je posmatrač u procesu učenja dolazi do poboljšanja kompresije podataka.

Matematika i umetnost

Muzika

Primeri korišćenja matematike u muzici obuhvata stohastičesku Muziku iz Ksenakisa, Fibonači u Tulovom Lateralus, kontrapunkt Baha, poliritmičeskie strukture (kao u Stravinskijevom Proleću Sveta), u metričkim modulacijama Eliot Karter, permutacija teorije u serinosti od Arnolda Šenberga i primena Šepard tona u Štokhauzenovoj himni.

Likovna umetnost

Šema iz Leon Battista Albertisa 1435 Della kategorije, sa stubovima perspektive na mreži

Primeri korišćenja matematike u vizuelnim umetnostima: primena teorije haosa i fraktalne geometrije za kompjuterske umetnosti, simetrija istraživanja – Leonardo da Vinči, proektivna geometrija - razvoj gledišta teorije Preporoda umetnosti, i nekoliko aspekata analitičkih kubizma i futurizma.

Holandski  grafički dizajner  Moris Escher je stvorio matematički inspirisan drvorez, litografiju, i mecotintu. Ovo uključuje i nemoguće objekte, istraživanje beskonačnosti, arhitekturu, vizuelni paradoks i teselaciju. Britanski slikar Džon Ernest stvorio je olakšice slike koje su inspirisane od teorije grupa. Kompjuterska tehnologija se zasniva na matematičkim algoritmima.

Literatura

• The experience of mathematical beauty and its neural correlates, 2014 .
• Cellucci, Carlo (2015), „Mathematical beauty, understanding, and discovery”, Foundations of Science, 20 (4): 339—355, S2CID 254510348, doi:10.1007/s10699-014-9378-7 
• Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), „The experience of mathematical beauty and its neural correlates”, Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, PMC 3923150 , PMID 24592230, doi:10.3389/fnhum.2014.00068  

Dodatna literatura

• Tao, Terence (2007). „What is good mathematics?”. arXiv:math/0702396v1 . 

Spoljašnje veze

• Matematike, poezije i lepote
• To Je Matematika Lepa?
• Lepota matematike
• Justin Mullins
• Edna Sent Vinsent Milleй (pesnik): Eksperimenata samo gledajući na lepotu rodila
• Blog Mathbeauty
• Na Šablon:Internet Archive collectionInternet arhivi
• Matematička Romantika Džim Holt 5. decembar, 2013 izdanje nev iork Pregled knjiga, pregled ljubav i matematika srce skrivene realnosti na Edvarda Frenkelя
• Bi-bi-si anketu na najlepših jednačina (izbor iz 12)