1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

U matematici, 1 − 2 + 4 − 8 + ... je beskonačan red čiji članovi su uzastopna stepen dvojke sa naizmeničnim znacima. Kao geometrijski red, okarakterisan je svojim prvim članom, 1, i svojom količnikom, −2.

$\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}$

Kako red realnih brojeva divergira, tako  u uobičajenom smislu nema sumu. U mnogo širem smislu, serija ima opšti zbir ⅓.

Istorijski argumenti

Gotfrid Lajbnic je smatrao naizmenični divergentni red 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ... već 1673. On je tvrdio da bi se oduzimanjem, ili sleva ili zdesna, mogla proizvesti pozitivna ili negativna beskonačnost, a samim tim oba odgovora su pogrešna i sve treba da bude konačno:

"Sada normalno priroda bira sredinu, ako ni jedno od ta dva nije dozvoljeno, odnosno ako se ne može utvrditi koje od njih je dozvoljeno, cela je jednaka konačnoj količini. "

Lajbnic nije baš tvrdio da je niz imao zbir, ali je zaključio vezu sa ⅓ sledećeg Merkatorovog metoda. Stav da je serija mogla biti neka konačna količina bez stvarnog dodavanja do nje kao suma bi bila uobičajena u 18. veku, mada se ne pravi razlika u modernoj matematici.

Nakon što je Kristijan Volf pročitao Lajbnicovo tumačenje Grandijevog niza usred 1712. godine, Volf je bio toliko zadovoljan rešenjem da je nastojao da proširi aritmetički metod do više divergentnog reda kao što je 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − .... Ukratko, ako neko izražava parcijalnu sumu ovog reda kao funkciju pretpostavljenih članova, dobija se ili (4m + 1)/3 ili (−4n + 1)/3. Aritmetička sredina ovih vrednosti je (2m − 2n + 1)/3, i pod pretpostavkom da je m=n u beskonačnosti daje ⅓ kao vrednost serije. Lajbnicova insitucija ga je sprečavala da napreže svoje rešenje ovako daleko, i on je napisao da je Volfova ideja bila interesantna, ali nevažeća iz nekoliko razloga. Aritmetička sredstva susednih parcijalnih suma ne konvergiraju do posebnih vrednosti, i za sve konačne slučajeve imamo da je n=2m, ne n=m. Generalno, član redova koji se mogu sabirati treba da se smanji do nule; čak se 1 − 1 + 1 − 1 + ... može izraziti kao granica takvog niza. Lajbnic savetuje Volfa da razmotri to da on može da proizvede nešto vredno od nauke i sebe.

Moderne metode

Geometrijski red

Bilo koji metod sumiranja koji poseduje sledeće osobine: regularnost, linearnost i stabilnost će sumirati geometrijski niz

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.$

U ovom slučaju a = 1 i r = −2, tako da je zbir ⅓.

Ojlerovo sabiranje

U njegovim Institutions iz 1755. godine, Leonard Ojler je efektivno uzeo ono što se sada zove Ojlerova transformacija 1 − 2 + 4 − 8 + ..., dolazeći do konvergentnih redovi  ½ − ¼ + ⅛ − ¹/₁₆ + .... Kako je kasniji zbir  ⅓, Ojler je zaključiio da je 1 − 2 + 4 − 8 + ... = ⅓. Njegove ideje za beskonačni red ne prate slepo poderni pristup; danas se kaže da je 1 − 2 + 4 − 8 + ... moguće sabrati pomoću Ojlerovog sabiranja i tada je Ojlerov zbir ⅓.

Isečak iz  Institutions

Ojlerova transformacija počinje redom pozivitnih članova:

a₀ = 1,

a₁ = 2,

a₂ = 4,

a₃ = 8, ...

Red konačne razlike je onda

Δa₀ = a₁ − a₀ = 2 − 1 = 1,

Δa₁ = a₂ − a₁ = 4 − 2 = 2,

Δa₂ = a₃ − a₂ = 8 − 4 = 4,

Δa₃ = a₄ − a₃ = 16 − 8 = 8, ...,

što je isti red. Otuda ponovljena malopređašnja razlika redova koji počinju sa Δⁿa₀ = 1 za svako n. Ojlerova transformacija je niz

${\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .$

Ovo je konverentni geometrijski red čiji je zbir  ⅓ po uobičajenoj formuli.

Borel zbir

Borel zbir 1 − 2 + 4 − 8 + ... je takođe ⅓; kada je Emil Borel uveo granično formulisanje Borelovog zbira 1896. godine, ovo je bio jedan od prvih njegovih primera posle 1 − 1 + 1 − 1 + ...

Literatura

• Euler, Leonhard (1755). Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum. 
• Ferraro, Giovanni; Panza, Marco (februar 2003). „Developing into series and returning from series: A note on the foundations of eighteenth-century analysis”. Historia Mathematica. 30 (1): 17—46. doi:10.1016/S0315-0860(02)00017-4. 
• Gerhardt, C.I. (1860). Briefwechsel zwischen Leibniz und Christian Wolf aus den handschriften der Koeniglichen Bibliothek zu Hannover. Halle: H.W. Schmidt. 
• Knobloch, Eberhard (2006). „Beyond Cartesian limits: Leibniz’s passage from algebraic to "transcendental" mathematics”. Historia Mathematica. 33: 113—131. doi:10.1016/j.hm.2004.02.001. 
• Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. ISBN 978-3-540-21058-0. 
• Leibniz, Gottfried (2003). S. Probst, E. Knobloch, N. Gädeke, ur. Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe 7, Band 3: 1672–1676: Differenzen, Folgen, Reihen. Akademie Verlag. ISBN 978-3-05-004003-5. Arhivirano iz originala 17. 10. 2013. g. Pristupljeno 15. 01. 2016. CS1 održavanje: Upotreba parametra urednici (veza)
• Moore, Charles (1938). Summable Series and Convergence Factors. AMS. LCC QA1 .A5225 V.22. 
• Smail, Lloyd (1925). History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. LCC QA295 .S64.