Jednačina

Ovo je članak o matematičkim jednačinama. Za izraz iz hemije, pogledati: hemijska jednačina.

Prva upotreba znaka jednakosti, koja je ekvivalentna sa 14x + 15 = 71 u modernoj notaciji. Iz The Whetstone of Witte autora Roberta Rekorda od Velsa (1557).

Jednačina je matematički pojam koji izražava vezu između poznatih i nepoznatih veličina posredstvom znaka jednakosti koji izjednačava levu i desnu stranu jednačine. U tom smislu razlikuje se matematički identitet (jednakost), gde se samo ustanovljava jednakost leve i desne strane, od jednačine, gde se u osnovi traži vrednost nepoznate veličine tako da ona udovoljava postavljenu jednačinu. Nepoznate veličine, nepoznanice, često se označavaju sa x, y, z ili bilo kojom drugom oznakom, premda nepoznata veličina u širem smislu može generalno biti i funkcija. Jednačine se rešavaju po pravilu nekim od već standardnih postupaka, odn. metoda, gde se jednačine razlikuju prema osobenostima i načinu rešavanja.

Rešavanje jednačine se sastoji od određivanja koje vrednosti promenljivih čine jednakost tačnom. Promenljive se isto tako nazivaju nepoznatima i vrednosti nepoznatih koje zadovoljavaju jednačinu se nazivaju rešenjima jednačine. Postoje dva tipa jednačina: identitetne jednačine i uslovne jednačine. Jedna jednačina identiteta je tačna za sve vrednosti promenljive. Uslovna jednačina je tačna samo za određene vrednosti promenljive.

Svaka strana jednačine se naziva izrazom. Svaki izraz sadržati jedan ili više članova. Jednačina,

$Ax^{2}+Bx+C=y$

ima dva izraza: $Ax^{2}+Bx+C$ i $y$. Levi izraz ima tri člana, a desni jedan član. Promenljive su x i y, a parametri su A, B, i C.

Jednačina je analogna vagi na koju se stavljaju tereti. Kad se jednake težine nečeg (zrna na primer) nalaze na obe strane, dva tereta uzrokuju da vaga bude u ravnoteži. Ako se neka količina zrna ukloni iz jedne posude vage, jednaka količina zrna mora biti uklonjena iz druge posude da bi se ravnoteža održala. Isto tako, da bi se održala ravnoteža, iste operacije dodavanja, oduzimanja, množenja i deljenja se moraju obaviti na obe strane jednačine da bi ostala u ravnoteži.

U geometriji, jednačine se koriste za opisivanje geometrijskih figura. Kako jednačine koje se razmatraju, poput implicitne ili parametarske jednačine, imaju beskonačno mnogo rešenja, cilj je sada različit: umesto da se eksplicitno daju rešenja ili da se prebrojavaju, što je nemoguće, jednačine se koriste za proučavanje osobina figura. To je početna ideja algebarske geometrije, jedne važne oblasti matematike.

Algebra studira dve glavne familije jednačina: polinomske jednačine i, među njima specijalni slučaj linearnih jednačina. Polinomske jednačine imaju oblik P(x) = 0, gde je P polinom. Linearne jednačine imaju oblik ax + b = 0, gde su a i b parametri. Da bi se rešile jednačine iz bilo koje od ovih familija, koriste se algoritamske ili geometrijske tehnike, koje potiču iz linearne algebre ili matematičke analize. Algebra isto tako studira diofantske jednačine gde su koeficijenti i rešenja celi brojevi. Tehnike koje se koriste su različite i potiču iz teorije brojeva. Te jednačine su generalno teške; obično je cilj samo da se pronađe postojanje ili odsustvo rešenja, i, ako postoje, da se prebroje rešenja.

Diferencijalne jednačine su jednačine koje sadrže jednu ili više funkcija i njihove derivate. One se rešavaju nalaženjem izraza za funkciju koji ne uključuje derivate. Diferencijalne jednačine se koriste za modelovanje procesa koji obuhvataju brzine promene varijabli, i nalaze primenu u oblastima kao što su fizika, hemija, biologija, i ekonomija.

Simbol „=“, koji se javlja u svakoj jednačini, je izumeo Robert Rekord 1557. godine, koji je izveo zaključak da ništa ne može da bude u većoj meri jednako nego paralelne prave linije iste dužine.

Uvod

Analogna ilustracija

Ilustracija jednostavne jednačine; x, y, z su realni brojevi, analogno sa težinama.

Jednačina je analogna sa vagom, balansom, ili klackalicom.

Svaka strana jednačine odgovara jednoj strani vage. Različiti kvantitetom se mogu staviti na svaku stranu: ako su težine na obe strane jednake, vaga je u balansu, i po analogiji jednačina je isto tako balansirana (ako nije, tada odsustvo ravnoteže odgovara nejednakosti koja se predstavlja nejednačinom).

Na ilustraciji, x, y i z su različiti kvantiteti (u ovom slučaju realni brojevi) predstavljeni kružnim tegovima, i svaki x, y, i z ima različitu težinu. Dodavanje korespondira dodavanju tegova, dok oduzimanje odgovara uklanjanju tegova koji su već tamo. Kad je jednačina uravnotežena, totalna težina obe strane je ista.

Parametri i nepoznate

Vidi još: Izraz (matematika))

Dekartov koordinatni sistem sa krugom poluprečnika 2. Jednačina kruga je x² + y² = 4.

Jednačine često sadrže članove koji nisu nepoznati. Ti drugi članovi, za koje se podrazumeva da su poznati se nazivaju konstantama, koeficijentima ili parametrima.

Jednačina koja obuhvata x i y kao nepoznate i parametar R može da bude:

$x^{2}+y^{2}=R^{2}$

Kad je R izabrano da ima vrednost dva (R = 2), ova jednačina bi bila prepoznata, kad je prikazana u Dekartovom koordinatnom sistemu, kao jednačina kruga sa poluprečnikom dva. Jednačina sa nenavedenim R je opšta jednačina kruga.

Obično se nepoznate obeležavaju slovima sa kraja alfabeta, x, y, z, w, …, dok se koeficijenti (parametri) obeležavaju slovima sa početka, a, b, c, d, … . Na primer, opšta kvadratna jednačina se obično piše sa ax² + bx + c = 0. Proces nalaženja rešenja, ili u slučaju parametara, izražavanja nepoznatih u smislu poznatih parametara se zove rešavanje jednačine. Takvi izrazi rešenja u smislu parametara se isto tako nazivaju rešenjima.

Sistem jednačina je set simultanih jednačina, obično sa nekoliko nepoznatih, za koji se traže zajednička rešenja. Stoga je rešenje sistema set vrednosti za svaku nepoznatu, koje zajedno formiraju rešenje svake jednačine sistema. Na primer, sistem

${\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}$

ima jedinstveno rešenje x = −1, y = 1.

Identiteti

Glavni članci: Identitet (matematika) i Trigonometrijski identiteti

Identitet je jednačina koja je tačna za sve moguće vrednosti promenljivih koje sadrži. Mnogi identiteti su poznati u algebri i računu. U procesu rešavanja jednačine, identitet se često koristi da se pojednostavi jednačina, čineći je lakše rešivom.

U algebri, jedan primer identiteta je razlika kvadrata:

$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$

koji je tačan za svako x i y.

Trigonometrija je oblast gde postoji mnoštvo identiteta, i oni su korisni u manipulisanju ili rešavanju trigonometrijskih jednačina. Dva od njih koji obuhvataju sinusne i kosinusne funkcije su:

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

i

$\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$

koje su tačne za sve vrednosti θ.

Na primer, da bi se rešila vrednost θ koja zadovoljava jednačinu:

$3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,$

gde je za θ poznato da je u intervalu 0 i 45 stepeni, može se koristiti gornji identitet za proizvod iz čega sledi:

${\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,$

što daje rešenje za θ

$\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.$

Pošto je sinusna funkcija periodična funkcija, postoji beskonačno mnogo rešenja ako nema ograničenja na vrednosti θ. U ovom primeru, ograničenje da je θ između 0 i 45 stepeni rezultira u samo jednom rešenju.

Svojstva

Jednačina je matematički iskaz, zadat simbolički, da su dve stvari iste (ili ekvivalentne). Jednačine se zapisuju sa znakom jednakosti, na primer

$2+3=5$.

Jednačine se često koriste da iskažu jednakost dva izraza koja sadrže jednu ili više promenljivih. Na primer, za svaku datu vrednost $x$, uvek je tačno da

$x-x=0$.

Dve gornje jednačine su primeri identiteta: jednačina koje su tačne nevezano za vrednosti bilo koje promenljive u njima. Sledeća jednačina nije identitet:

$x+1=2$.

Gornja jednačina je netačna za beskonačno mnogo vrednosti promenljive $x$, a tačna je za samo jedno; jedinstveno rešenje ove jednačine je $x=1$. Stoga, ako je poznato da je jednačina tačna, ona daje podatak o vrednosti $x$. Uopšteno, vrednosti promenljivih za koje je jednačina tačna se nazivaju rešenjima jednačine. Rešiti jednačinu znači naći njena rešenja.

Neki matematičari koriste izraz jednačina za jednakost koja nije identitet. Razlika između ova dva koncepta može biti vrlo mala; na primer,

$(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$

je identitet, dok je

$(x+1)^{2}=2x^{2}+x+1$

jednačina, čija su rešenja $x=0$ i $x=1$.

Slova sa početka alfabeta, kao što su a, b, c, ... se obično uzimaju da označe konstante, a slova sa kraja alfabeta, kao što su x, y, z, se obično uzimaju da označe promenljive.

Ako je jednačina u algebri tačna, sledeće operacije se mogu sprovesti da bi se dobila nova tačna jednačina:

1. Bilo koja vrednost se može dodati sa obe strane jednakosti.
2. Bilo koja vrednost se može oduzeti sa obe strane.
3. Obe strane se mogu pomnožiti bilo kojom vrednošću.
4. Obe strane se mogu podeliti bilo kojom vrednošću različitom od nule.
5. Načelno, svaka funkcija se može primeniti na obe strane.

Algebarska svojstva (1-4) impliciraju da je jednakost relacija kongruencije za polje.

Najpoznatiji sistem brojeva koji dopušta sve ove operacije su realni brojevi, koji su primer polja. Međutim, ako se jednačina odnosi na primer na prirodne brojeve, neke operacije (poput deljenja i oduzimanja) ne moraju da budu validne, jer mogu da daju negativne brojeve, ili brojeve koji nisu celi.

Ako se na obe strane tačne jednakosti primeni funkcija koja nije injektivna, rezultat je opet tačna jednakost, ali nova jednačina može biti manje informativna. Formalno, dobija se implikacija a ne ekvivalencija, pa skup rešenja može biti veći. Funkcije iz tačaka (1), (2), i (4) su uvek injektivne, kao i (3) ako ne množimo nulom.

Tipovi jednačina

Linearna jednačina

Linearna jednačina je najjednostavnija jednačina oblika:

$ax+b=0\,$

gde rešenje linearne jednačine po nepoznatoj veličini predstavlja nultu tačku linearne funkcije:

$y=ax+b\,$

čiji je grafički prikaz pravac te sledi i naziv linearna jednačina. Uz pojam linearne jednačine vezan je i pojam sistema linearnih jednačina sa dve, tri ili po volji više nepoznatih i isto toliko jednačina koje nisu u kolinearnom odnosu. Sistem jednačina od dve, tri, eventualno i četiri nepoznate rešava se klasičnom metodom supstitucije ili nekom drugom sličnom metodom, dok se sistem s većim brojem nepoznatih rešava metodom determinanti ili uz pomoć matrica.

Diofantska jednačina

Diofantska je linearna jednačina je jednačina oblika:

$ax+by=c\,$,

gde su a, b i c neki konkretni brojevi. Za primer nelinearne diofantske jednačine može se navesti jednačina oblika:

$x^{2}+y^{2}=z^{2}\,$.

Diofantska jednačina ima u domenu realnih brojeva generalno beskonačan broj rešenja, ali u domenu celih brojeva može postojati jedan ili više brojeva (x,y), odn. (x,y,z) koji ispunjavaju uslov dat u jednačini.

Kvadratna jednačina

Kvadratna jednačina ima opšti oblik:

$ax^{2}+bx+c=0\,$.

Rešava se uobičajenim postupkom rešavanja kvadratne jednačine, a zavisno od predznaka diskriminante ima dva realna ili dva konjugovano kompleksna rešenja.

Razmatrajući kvadratne jednačine valja spomenuti i bikvadratnu i simetričnu jednačinu, gde se jednačine viših potencija u posebnim slučajevima svode na kvadratne, što se može učiniti na primer za sledeće jednačine:

$2x^{4}+8x^{2}-4=0\,$

i

$x^{4}+2x^{3}-6x^{2}+2x+1=0\,$

Kubna jednačina

Kubna jednačina ima opšti oblik:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$.

Postupak rešavanja kubne jednačine je znatno složeniji, a zavisno od vrednosti članova a, b, c i d jednačine, jednačina može imati jedno realno i dva konjugovana kompleksna rešenja, tri različita realna rešenja ili dva jednaka realna rešenja i treće njima različito isto tako realno rešenje.

Polinomna jednačina

Polinomna jednačina:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,$

definisana je za sve vrednosti nepoznate veličine x, gde je n pozitivni celi broj i a₀, a₁, a₂, ..., a_n su koeficijenti jednačine. Jednačina ima n rešenja, gde se rešenja jednačine nalaze generalno u celoj kompleksnoj ravni. Kvadratna jednačina predstavlja poseban slučaj polinomne jednačine gde je n=2.

Jednačine s apsolutnom vrednosti

Kada se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom apsolutne vrednosti govori se o jednačinama s apsolutnom vrednosti, gde na primer jednačina može biti zadana kao:

$||2x+6|-2|=4\,$

Iracionalna jednačina

Iracionalna jednačina je jednačina gde se nepoznata veličina pojavljuje pod korenom, kao na primer:

${\sqrt {3x+1}}={\sqrt {x+4}}+1\,$

Eksponencijalna jednačina

Eksponencijalna jednačina je jednačina gde se nepoznata veličina pojavljuje u eksponentu potencije, kao na primer:

$3^{2x}-27=0\,$

ili

$10^{3x+3}=100^{x+3}.\,$

Logaritamska jednačina

Logaritamska jednačina je jednačina gde je nepoznata veličina sadržana unutar logaritma ili čini bazu logaritma:

$log2x-{\frac {1}{2}}logx=0\,$

ili

$log_{x}{64}={\frac {x}{4}}\,$

Trigonometrijska jednačina

Trigonometrijske jednačine čine celu jednu porodicu jednačina gde je nepoznata veličina argument trigonometrijske funkcije, kao na primer:

$sin^{2}x+sinx=0\,$

ili

$tg2x=3tgx\,$

Diferencijalna jednačina

Diferencijalna jednačina izražava nepoznatu funkciju jedne ili više promenljivih i njihovih derivata kao što je to, na primer, diferencijalna jednačina koja opisuje harmonički oscilator:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega ^{2}y(t)=0$.

Integralna jednačina

Integralna jednačina je generalno jednačina u kojoj se nepoznata funkcija pojavljuje pod znakom integrala kao što je to, na primer, jednačina karakteristična za serijsko RC električno kolo:

$Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int i(t)dt=u(t)\,$

Neodređene jednačine

Neodređene jednačine imaju generalno beskonačno rešenja. Međutim, to su vrlo često jednačine geometrijskih krivih ili zakrivljenih površina gde jednačina daje uslov karakterističan za svaku tačku krive, odn. površine kao što je to, na primer jednačina elipse , odnosno sfere:

${b^{2}}{x^{2}}+{a^{2}}{y^{2}}={a^{2}}{b^{2}}\,$

odnosno

${x^{2}}+{y^{2}}+{z^{2}}=R^{2}\,$

Funkcionalna jednačina

Funkcijske jednačine su posebna vrsta jednačina gde se traži nepoznata funkcija koja udovoljava nekom traženom uslovu, kao što je to, na primer, uslov da je:

$f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}\ \,$

Parametarske jednačine

Jednostavan primer parametarske jednačine je prikaz jednačine kružnice poluprečnika r:

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\,$

parametrom t, gde je:

$x=r\cos(t)\,$

$y=r\sin(t).\,$

Jednačine nazvane po znamenitim matematičarima i fizičarima

Posebnu kategoriju jednačina na izvjestan način čine važne jednačine koje su dobile naziv prema istaknutim ličnostima iz područja matematike i fizike, gde su neke takvih jednačina:

• Ojlerova jednačina,
• Laplasova jednačina,
• Bernulijeva jednačina,
• Helmholcova jednačina,
• Poisonova jednačina,
• Šredingerova jednačina.

Jednačine nazvane u skladu temeljnim fizikalnim procesima i pojavama

Posebnu kategoriju takođe čine jednačine karakteristične za pojedine fizičke ili hemijske procese i pojave. Premda se u osnovi takve jednačine mogu svrstati u neku od već iznetih jednačina, veliko fizičko značenje takvih jednačina dodelilo im je posebne nazive. Neke od njih su:

• jednačina kretanja
• toplotna jednačina
• relativistička talasna jednačina
• jednačina ekvivalentnosti mase i energije
• termohemijska jednačina

Vidi još

• Nejednačina
• Nejednakost
• Linearna jednačina
• Kvadratna jednačina
• Kubna jednačina
• Diferencijalna jednačina
• Integralna jednačina
• Funkcionalna jednačina
• Diofantska jednačina
• Spisak jednačina
• Teorija jednačina
• Parametarska jednačina

Spoljašnje veze

• Ploter matematičkih jednačina: Crta dvodimenzione matematičke jednačine i računa integrale.
• Ploter jednačina: Veb-sajt na kome mogu da se iscrtavaju opšte jednačine, ne samo funkcije.
• WZGrapher: Besplatan program za Vindouz koji crta jednačine u pravouglom i polarnom sistemu, uz mogućnosti integracije i diferencijacije.
• Equation Wizard: Automatski algebarski rešavač jednačina
• EqWorld – sadrži podatke o rešenjima mnogo klasa matematičkih jednačina.
• EquationSolver Arhivirano na sajtu Wayback Machine (28. oktobar 2007): Veb-sajt na kome mogu da se reše pojedinačne jednačine, kao i linearni sistemi jednačina.
• Winplot: Alat opšte namene koji može da prikazuje i animira 2D i 3D matematičke jednačine.
• fxSolver: Onlajn baza podataka formula i grafički kalkulator za matematiku, prirodne nauke i inženjering.
• vCalc: Veb stranica sa kolekcijom jednačina koje koje korisnici mogu da modifikuju.