Matematička analiza

Čudni atraktor koji proizilazi iz diferencijalne jednačine. Diferencijalne jednačine su važna oblast matematičke analize sa mnoštvom primena u nauci i inženjerstvu.

Matematička analiza (starogrčki ανάλυσις, análysis, rešenje) je oblast matematike koja između ostalog proučava granične vrednosti, integrale, izvode i redove. Oblast se pominje i pod imenima viša matematika, infinitezimalni račun, a u engleskoj literaturi kao „Kalkulus“ (engl. Calculus). To je veoma široka oblast matematike i predmet je višegodišnjih studija na fakultetima.

U principu, deli se na dva dela: diferencijalni i integralni račun. Proučavanje beskonačnih redova i analitičkih funkcija takođe spada u domen analitičke matematike.

Istorijski razvoj

Arhimed koristi metod iscrpljivanja da izračuna površinu unutar kruga putem nalaženja oblasti regularnih poligona sa sve više i više stranica. To je bio jenan rani mada neformalni primer limita, jednog od najosnovnijih koncepata u matematičkoj analizi.

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun i diferenciranje proučavaju promene funkcija realnih promenljivih pri promenama nezavisne varijable, tj. nezavisne promenljive. Polazi se od problema nalaženja tangente na krivu, koji je prvi objavio Isak Barou (Isaac Barrow: Lectiones geometricae, 1670). Isak Njutn (Isaac Newton) je otkrio metod (1665—1666) i sugerisao Isaku Barou, svom profesoru matematike, da metodu uključi u udžbenik. U svojoj prvobitnoj teoriji, Njutn je posmatrao funkciju kao promenljivu, fluentnu količinu, i razliku, ili iznos promene, nazvao fluks (fluxion). Definisao je nagib krive u tački kao priraštaj tangente na tu krivu u maloj okolini date tačke. Danas veoma poznatu binomnu teoremu Njutn je primenio da nađe granični slučaj, što znači da je diferencijalni račun Njutnu bio potreban za beskonačne nizove. Upotrebio je oznake iks, odnosno ipsilon sa tačkom iznad (${\dot {x}},{\dot {y}}$) za fluks, i isto sa dve tačke iznad (${\ddot {x}},{\ddot {y}}$) za fluks fluksa. Tako, ako je $x=f(t)$, gde je t vreme potrebno telu da bi se prešlo put х, tada je fluks iksa trenutna brzina, a fluks fluksa je trenutno ubrzanje. Lajbnic (Leibniz) je takođe otkrio istu metodu 1676. godine, objavio je 1684. Njutn je nije objavio sve do 1687. (u Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Matematički principi prirodne filozofije). Zato se razvila gorka rasprava oko prioriteta otkrića. Zapravo, danas je poznato, obojica su došli do istog otkrića nezavisno jedan od drugog. Savremena notacija duguje Lajbicu dy/dx i izduženo S (od „suma“) za integral.

Integralni račun

Integralni račun i integracija koriste se za izračunavanje površina, zapremina tela, dužina krive, težišta, momenta inercije. Vuče korene još od Eudoksa Knidskog (Eudoxus of Cnidus, 408-347. p. n. e.), grčkog astronoma i matematičara, i njegove metode „iscrpljivanja“ iz perioda oko 360. p. n. e. Arhimed je u svom delu „Metoda“ razvio način nalaženja površina ograničenih krivama, razmatrajući ih podeljene mnogobrojnim paralelnim linijama i proširio ideju na nalaženje zapremina nekih tela. Zbog toga ga neki nazivaju ocem integralnog računa.

Početkom 17. veka, ponovo se pojavio interes za merenje zapremina integralnom metodom. Kepler je koristio procedure nalaženja zapremina tela uzimajući ih kao kompoziciju beskonačnog skupa infinitezimalno (beskonačno) malih elemenata (Stereometrija doliorum, Merenje zapremina buradi, 1615). Ove ideje je poopštio Kavalijeri (Cavalieri) u svom delu Geometria indivisibilibus continuorum nova (1635), u kojem je upotrebio ideju da se površina sastoji iz nedeljivih linija, a zapremina od nedeljivih površina. To je danas poznati Kavalijerijev princip, a takođe to je bio i koncept Arhimedove metode. Džon Valis u svom delu Beskonačna aritmetika (John Wallis, Arithmetica ifinitorum, 1655) je aritmetizovao Kavalijerove ideje. U tom razdoblju su infinitezimalne metode intenzivno korištene za traženje dužina krivih i površina.

Savremena matematika

Negde u današnje vreme, integracija se počela tumačiti jednostavno kao operacija inverzna diferenciranju. Koši (Cauchy) je 1820-ih diferencijalni i integralni račun postavio na sigurnije osnove zasnivajući ih na limesu. Diferenciranje je definisao kao graničnu vrednost količnika, a integriranje kao graničnu vrednost zbira. Definiciju integrala pomoću granične vrednosti uopštio je Riman (Riemann).

U dvadesetom veku, shvatanje integrala je prošireno. U početku, integriranje se odnosilo na elementarnu ideju merenja (merenje dužina, površina, zapremina) sa neprekidnim funkcijama. Sa pojavom teorije skupova, funkcije su se počele tretirati kao preslikavanja, ne obavezno neprekidna, i pojavilo se opštije i apstraktnije shvatanje mere. Lebeg (Lebesgue) je objavio definiciju integriranja zasnovanu na Lebegovoj meri skupa. Pojavio se Lebegov integral.

Teorije matematičke analize se obično proučavaju u kontekstu realnih brojeva, kompleksnih brojeva, i realnih i kompleksnih funkcija. Međutim, one se mogu definisati i proučavatii u bilo kom drugom prostoru matematičkih objekata, koji ima definisanu blizinu (topološki prostor) ili specifičnije razdaljinu (metrički prostor).

Važni koncepti

Metrički prostori

Glavni članak: Metrički prostor

U matematici, metrički prostor je skup gde je pojam rastojanja (zvani metrika) između elemenata skupa definisan.

Najveći deo analize se odvija u nekom metričkom prostoru; najšire korišćeni su realna linija, kompleksna ravan, Euklidov prostor, drugi vektorski prostori, i celi brojevi. Primeri analize bez metrika obuhvataju teoriju mera (koja opisuje veličinu, a ne rastojanje) i funkcionalnu analizu (koja izučava topološke vektorske prostore koji ne moraju da imaju nikakav osećaj za daljinu).

Formalno, metrički prostor je uređeni par $(M,d)$, gde je $M$ skup, a $d$ je metrika na $M$, i.e., funkcija

$d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$

takva da za svako $x,y,z\in M$ važi sledeće:

1. $d(x,y)=0$ ako i samo ako $x=y$,
2. $d(x,y)=d(y,x)$ (simetrija) i
3. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (nejednakost trougla) .

Polazeći od trećeg svojstva i uzimajući da je $z=x$, može se pokazati da je $d(x,y)\geq 0$ (ne-negativno).

Nizovi i limiti

Glavni članak: Niz

Niz je uređena lista. Poput skupa, on sadrži članove (koji se nazivaju i elementi). Za razliku od skupa, druge stvari, i isti elementi mogu da se pojave više puta na različitim pozicijama u nizu. Niz se najpreciznije može definisati kao funkcija čiji domen je prebrojiv totalno uređen skup, kao što su prirodni brojevi.

Jedan od najvažnijih svojstava niza je konvergencija. Neformalno, niz konvergira ako ima limit. Nastavljajući informalno, (pojedinačno-beskonačno) niz ima limit ako se približava nekoj tačci x, zvanoj limit, kad n postane veoma veliko. Drugim rečima, za jedan apstraktni niz (a_n) (sa n u podrazumevanom opsegu od 1 do beskonačnosti) rastojanje između a_n i x se približava 0 kad n → ∞, što se označava sa

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=x.$

Glavne oblasti

Matematičku analizu čine sledeće oblasti:

• Elementarne funkcije
• Granične vrednosti
• Izvodi
• Integrali
• Ispitivanje funkcija
• Realna analiza
  • Singularni integrali
• Harmonijska analiza
• Kompleksna analiza
• Funkcionalna analiza
• Spektralna analiza
• Diferencijalne jednačine
  • Parcijalne diferencijalne jednačine
  • Sistemi diferencijalnih jednačina

Realna analiza

Glavni članak: Realna analiza

Realna analiza (tradicionalno, teorija funkcija realnih vrednosti) je grana matematičke analize koja se bavi realnim brojevima i realno-vrednosnim funkcijama realnih promennjivih. Specifično, ona se bavi analitičkim svojstvima realnih funkcija i nizova, uključujući konvergenciju i limite nizova realnih brojeva, kalkulus realnih brojeva, i neprekidnost, glatkost i srodna svojstva funkcija realnih vrednosti.

Kompleksna analiza

Glavni članak: Kompleksna analiza

Kompleksna analiza, tradicionalno poznata kao teorija funkcija kompleksnih promenljivih, je grana matematičke analize koja istražuje funkcije kompleksnih brojeva. To je korisno u mnogim granama matematike, uključujući algebarsku geometriju, teoriju brojeva, primenjenu matematiku; kao i u fizici, uključujući hidrodinamiku, termodinamiku, mašinstvo, elektrotehniku, i posebno, kvantnu teoriju polja.

Kompleksnom analizom se specifično obuhvataju analitičke funkcije kompleksnih promenljivih (ili generalno meromorfne funkcije). Zbog toga što zasebni realni i imaginarni delovi analitičke funkcije moraju da zadovolje Laplasovu jednačinu, kompleksna analiza je široko primenljiva na dvodimenzione probleme u fizici.

Funkcionalna analiza

Glavni članak: Funkcionalna analiza

Funkcionalna analiza je grana matematičke analize, u čijoj osnovi je izučavanje vektoriskih prostora obogaćeno nekom vrstom strukture vezane za limite (npr. unutrašlji proizvod, norma, topologija, etc.) i linearnim operatorima koji deluju na tim prostorima poštujući ove strukture u odgovarajućem smislu. Istorijski koreni funkcionalne analize leže u studijama funkcionih prostora i formulisanju svojstava transformacija funkcija poput Furijeve transformacije, kao transformacija kojima se definišu kontinuirani, unitarni i drugi operatori između funkcijskih prostora. Ispostavilo se da je ova tačka gledišta posebno korisna pri studiranju diferencijalnih i integralnih jednačina.

Diferencijalne jednačine

Glavni članak: Diferencijalne jednačine

Diferencijalna jednačina je matematička jednačina za jednu nepoznatu funkciju sa jednom ili nekoliko promenljivih koja povezuje vrednosti same funkcije i njenih izvoda raznih redova. Diferencijalne jednačine igraju prominentnu ulogu u inženjerstvu, fizici, ekonomiji, biologiji, i drugim disciplinama.

Diferencijalne jednačine se javljaju u mnogim oblastima nauke i tehnologije, specifično kad god deterministička relacija obuhvata neke od neprekidno varirajućih kvantiteta (modelovanih funkcijama) i kad su njihove brzine promene u prostoru i vremenu (izražene u vidu derivata) poznate ili postulirane. Ovo je ilustrovano u klasičnoj mehanici, gde je kretanje tela opisano njegovom pozicijom i brzinom kao funkcija vremena. Njutnovi zakoni omogućavaju izražavanje (date pozicije, brzine, ubrzanja i raznih sila koje deluju na telo) tih promenljivih dinamički u vidu diferencijalne jednačine za nepoznatu poziciju tela kao funkcije vremena. U nekim slučajevima, ova diferencijalna jednačina (zvana jednačina kretanja) može da bude eksplicitno rešena.

Teorija mera

Glavni članak: Mera (matematika)

Mera na skupu je sistematski način dodeljivanja broja svakom podesnom podskupu datog skupa, intuitivno interpretirana kao njegova veličina. U tom smislu, mera je generalizacija koncepata dužine, površine i zapremine. Posebno važan primer je Lebegova mera na Euklidovom prostoru, kojom se dodeljuju konvencijalne dužine, površine, i zapremine Euklidove geometrije podesnim podskupovima $n$-dimenzionog Euklidovog prostora $\mathbb {R} ^{n}$. Na primer, Lebegova mera intervala $\left[0,1\right]$ u realnim brojevima je njena dužina u svakodnevnom smislu reči – specifično, 1.

Tehnički, mera je funkcija koja dodeljuje nenegativni realni broj ili +∞ (izvesnim) podskupovima skupa $X$. Ona mora da dodeli 0 praznom skupu i da bude (prebrojivo) aditivna: mera 'velikog' podskupa koja se može razložiti u konačni (ili prebrojivi) broj 'manjih' razdvojenih podskupova, je suma mera „manjih” podskupova. Generalno, ako se želi da se asocira konzistentna veličina sa svakim podskupom datog skupa uz zadovoljavanje drugih aksioma mere, mogu se naći samo trivijalni primeri kao što je prebrojavajuća mera. Ova problem je bio rešen putem definisanja mere samo na potkolekciji svih podskupova; takozvanim merljivim potskupovima, od kojih se očekuje da formiraju $\sigma$-algebru. To znači da su prebrojive jedinice, prebrojivi preseci i komplementi merljivih potskupova merljivi. Nemerljivi skupovi u Euklidovom prostoru, na kojima se Lebegova mera ne može kozistentno definisati, su neophodno komplikovani u smislu da su pomešani sa svojim komplementom. Njihovo postojanje je netrivijalna posledica aksioma izbora.

Numerička analiza

Glavni članak: Numerička analiza

Numerička analiza je studija algoritama koji koriste numeričku aproksimaciju (za razliku od opštih simboličkih manipulacija) za probleme matematičke analize (što je različito od diskretne matematike). Moderna numerička analiza ne traži precizne odgovore, pošto je precizne odgovore često nemoguće dobiti u praksi. Umesto toga, najveći deo numeričke analize se bavi nalaženjem približnih rešenja uz zadržavanje grešaka u razumnim granicama. Numerička analiza prirodno nalazi primene u svim poljima inženjerstva i fizičkih nauka. U 21. veku su brojni elementi naučnih proračuna našli primenu u većini prirodnih nauka, pa čak i grana umetnosti. Obične diferencijalne jednačine se javljaju u nebeskoj mehanici (izučavanju planeta, zvezda i galaksija); numerička linearna algebra je važna za analizu podataka; stohastičke diferencijalne jednačine i lanci Markova su esencijalni u simuliranju živih ćelija u medicinskim i biološkim istraživanjima.

Literatura

• Ince, E. L. (1958). Ordinary Differential Equations. Dover Publications. ISBN 978-0-486-60349-0. 
• Gagniuc, Paul A. (2017). Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation. USA, NJ: John Wiley & Sons. str. 1—235. ISBN 978-1-119-38755-8. 
• Hildebrand, F. B. (1974). Introduction to Numerical Analysis (2nd izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-028761-7. 
• Hurewicz, Witold (2002). Lectures on Ordinary Differential Equations. Dover Publications. ISBN 978-0-486-49510-1. 
• Evans, L. C. (1998). Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0772-9. 
• Ahlfors, L. (1979). Complex Analysis (3rd izd.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95060-0. 
• Conway, J. B. (1994). A Course in Functional Analysis (2nd izd.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. 
• Jahnke, Hans Niels (2003). A History of Analysis. American Mathematical Society. str. 7. ISBN 978-0-8218-2623-2. 
• Matematička analiza, (Prof. Dr Svetozar Kurepa), prvi dio - diferenciranje i integriranje, Tehnička knjiga, Zagreb, 1975.
• Viša matematika I (akademik Radivoje Kašanin), četvrto izdanje, Zavod za izdavanje udžbenika SRBiH, Sarajevo, 1969.
• Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N., Lavrent'ev, M. A. (eds.). 1984. Mathematics, its Content, Methods, and Meaning. 2nd ed. Translated by S. H. Gould, K. A. Hirsch and T. Bartha; translation edited by S. H. Gould. MIT Press; published in cooperation with the American Mathematical Society.
• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2nd izd.). Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1. 
• Binmore, K.G. 1980–1981. The foundations of analysis: a straightforward introduction. 2 volumes. Cambridge University Press.
• Johnsonbaugh, Richard, & W. E. Pfaffenberger. 1981. Foundations of mathematical analysis. New York: M. Dekker.
• Nikol'skii, S. M. (2002). „"Mathematical analysis"”. Ur.: Michiel Hazewinkel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-0609-8. Arhivirano iz originala 09. 04. 2006. g. Pristupljeno 20. 06. 2017.  CS1 održavanje: Nepodoban URL (veza)
• Rombaldi, Jean-Étienne (2004). Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de mathématiques. EDP Sciences. ISBN 978-2-86883-681-6. }-
• Rudin, W. (1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science. ISBN 978-0-07-054236-5. 
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (PDF) (3rd izd.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd izd.). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. 
• Smith, David E. (1958). History of Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7. 
• Whittaker, E. T. (1927). A Course of Modern Analysis (4th izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2. 

Spoljašnje veze

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl (Creative Commons BY-NC-SA)
• Mathematical Analysis-Encyclopædia Britannica
• Calculus and Analysis
• Real Analysis - Course Notes