Optička aberacija

Optička aberacija (od latinskog aberrare - lutati, odstupati, grešiti) je greška u formiranju optičke slike. Kao pojava, vezana je za optička svojstva površina i elemenata sklopa za stvaranje optičke slike, ali u širem okviru uključuje i uticaj mehaničkih i temperaturnih činilaca na optičke površine, ili na optički put svetlosnih talasa unutar i izvan optičkog sklopa. Poznavanje aberacija, njihovih uzroka i osobina, je neophodan uslov za postizanje visokog nivoa kakvoće optičke slike.

Vid ispoljavanja aberacije[uredi | uredi izvor]

U zavisnosti od optičkog okvira koji se koristi, prisustvo aberacije se može izraziti na tri načina:

kao poremećaj optičkih zraka
kao greška talasnog fronta, i
kao pogoršanje kakvoće optičke slike

Svaki od ova tri vida ispoljavanja aberacije je neposredno povezan sa jednim od druga dva: poremećaj zraka sa greškom talasnog fronta, a greška talasnog fronta sa pogoršanjem kakvoće optičke slike. Slika desno prikazuje poreklo optičke aberacije i vidove njenog ispoljavanja (na primeru sferne aberacije).

Dva geometrijska svojstva prostiranja svetlosti, zraci i talasni front, su neposredno povezana. Zraci su normale na talasni front, tako da jedno drugo uslovljavaju i određuju. Sabirni snop svetlosti je bez aberacija ako se svi njegovi zraci sabiraju u jednu tačku, tzv. fokus ili žižu. U tom slučaju, odgovarajući oblik talasnog fronta je sferni, sa centrom zakrivljenosti u sabirnoj tački. Ukoliko se zraci ne sabiraju u jednoj tački, to neminovno znači i da talasni front nije sfernog oblika. Odstupanje optičkih zraka od zajednčke tačke je poremećaj pravca (aberacija) zraka, dok je odstupanje talasnog fronta od sfernog greška (aberacija) talasnog fronta.

Odstupanje talasnog fronta od sfernog, sa svoje strane, ima za posledicu da talasi iz različitih tačaka talasnog fronta više ne prevaljuju istu dužinu puta do tačke žiže, što dovodi do toga da se oni više ne sreću u istoj fazi. Time je faza talasa u tački žiže - a time i raspored energije u slici tačke, tj. kakvoća optičke slike - neposredno povezana sa greškom talasnog fronta.

Poremećaj optičkih zraka[uredi | uredi izvor]

Aberacija optičkih zraka je odstupanje zraka od tačke žiže. Ovo odstupanje ima dva vida: uzdužnu, ili longitudinalnu aberaciju, i poprečnu, ili transverznu aberaciju. Slika dole prikazuje presek sabirnog snopa zraka bez aberacija (1), u prisustvu sferne aberacije (2), i u prisustvu kome (pretežno) i astigmatizma (3; radi jasnoće, aberacije su mnogo veće nego u stvarnosti).

Uzdužna aberacija zraka[uredi | uredi izvor]

Uzdužna aberacija je razmak između tačke žiže i tačke preseka proizvoljnog zraka sa glavnim (središnjom) zrakom. Najveći razmak predstavlja veličinu uzdužne aberacije za dati sklop i daljinu predmeta posmatranja.

Poprečna aberacija zraka[uredi | uredi izvor]

Poprečna, ili transverzna aberacija je razmak između tačke preseka proizvoljnog i glavnog zraka u ravni optičke slike. Najveći razmak predstavlja veličinu poprečne aberacije za dati sklop i daljinu predmeta posmatranja. Poprečna aberacija može da se izrazi kao linearni, ili kao ugaoni razmak.

Odnosna tačka: Gausova i najbolja žiža[uredi | uredi izvor]

Tačka u odnosu na koju se određuje aberacija optičkog zraka zove se odnosna tačka, ili odnosna žiža. Ta tačka je istovremeno središte zakrivljenosti sfere - tzv. odnosne ili poredbene sfere - u odnosu na koju se meri greška talasnog fronta.

Za klasične primarne aberacije odnosna tačka je Gausova žiža, tj. žiža doosnih zraka. U odsustvu aberacija, i svi ostali zraci seku se u ovoj tački. U prisustvu aberacija, ravan u kojoj je rasipanje zraka najmanje može da odstupa od ravni Gausove žiže. Odgovarajuća tačka u ovom slučaju je tačka - ili žiža - najmanje geometrijske aberacije.

Greška talasnog fronta[uredi | uredi izvor]

Aberacija ili greška talasnog fronta je, u svom osnovnom vrh-dno (V-D) obliku, razlika u dužini optičkog puta između dva zraka za koje je ta razlika najveća. Greška talasnog fronta određena je odstupanjem njegovog oblika od odnosne sfere. U odsustvu aberacija, odnosna sfera ima središte zakrivljenost u tački Gausove žiže, i poklapa se sa talasnim frontom. U prisustvu aberacija, slično kao u slučaju zraka, središte zakrivljenosti odnosne sfere za koju je greška talasnog fronta najmanja je po pravilu u tački pazličitoj od Gausove žiže. Ova tačka može i ne mora se da poklapa sa žižom za koju je rasipanje zraka najmanje.

Slika desno prikazuje talasni front u odnosu na Gausovsku (tj. sa središtem zakrivljenosti u Gausovoj žiži) i najbolju poredbenu sferu (sa središtem zakrivljenosti u najboljoj žiži), za primarnu sfernu aberaciju i komu. u oba slučaja, najbolja žiža je u centru zakrivljenosti najbolje poredbene sfere, koja u slučaju sferne aberacije ima različit poluprečnik zakrivljenosti, a u slučaju kome je nagnuta u odnosu na Gausovu sferu (oba talasna fronta su prikazana u preseku sa tangencijalnom ravni; sferna aberacija, budući obrtno simetrična, ima isti presek u svakoj drugoj obrtnoj ravni, dok se u slučaju kome odstupanje postepeno smanjuje do nule u preseku sa sagitalnom ravni, koja je normalna na tangencijalnu).

Odstupanje talasnog fronta od poredbene sfere se po pravilu prikazuje sa poredbenom sferom datom kao prava linija. U slučaju sferne aberacije V-D greška talasnog fronta je četiri puta manja u odnosu na najbolju poredbenz sferu nego na sferu Gausove žiže, i tri puta manja u slučaju kome.

Greška talasnog fronta se po pravilu proračunava u izlaznom otvoru optičkog sklopa. On je za to predodređen svojstvom da zraci koji se sabiraju u sliku tačke izgledaju kao da dolaze iz izlaznog otvora: ivični zraci u geometrijskoj projekciji dolaze sa ivica izlaznog otvora, i glavni zrak dolazi iz njegovog središta. Pošto se greška talasnog fronta zasnive na razlici optičkog puta između glavnog i ostalih zraka, ovo odstupanje se izračunava u odnosu na put glavnog zraka od središta izlaznog otvora do tačke žiže. Drugim rečima, sfera u optičkom otvoru čije je središte zakrivljenosti u tački žiže je odnosna, ili poredbena sfera prema kojoj se određuje greška talasnog fronta.

Veza aberacije zraka i talasnog fronta[uredi | uredi izvor]

Po samoj definiciji talasnog fronta kao zamišljene površine sačinjene od tačaka čiji je optički put od izvora - meren putanjom prostiranja zraka - jednak, optički zraci i talasni front su ne samo neposredno povezani, nego i neposredno jedno drugim uslovljeni. Pošto su zraci normale na talasni front, postoji neposredna veza između greške talasnog fronta i veličine poprečne (transverzne) aberacije.

Takođe, za bilo koji dati oblik talasnog fronta, raspored šeme rasipanja zraka ostaje nepromenjen, samo se njena veličina menja srazmerno veličini V-D greške talasnog fronta.

Greška talasnog fronta i transverzna aberacija zraka[uredi | uredi izvor]

Veza između greške talasnog fronta W u ravni izlaznog otvora, i veličine transverzne aberacije t u ravni slike, zasniva se na osobini zraka da ostaje normalan na površinu talasnog fronta. Saglasno tome, koordinate zraka projektovanog sa talasnog fronta izobličenog aberacijom, u ravni Gausove žiže, i u odnosu na nju, date su sa:

                      $x_{i}={\frac {L}{n}}{\frac {\partial W}{\partial x}},\qquad y_{i}={\frac {L}{n}}{\frac {\partial W}{\partial y}}$       (1)

gde su x_i i y_i koordinate tačke u ravni slike, x i y koordinate tačke na talasnom frontu u optičkom otvoru, L je dužina između tačke talasnog fronta i tačke u ravni slike kroz koju prolazi zrak projektovan iz tačke talasnog fronta (u slučaju teleskopa jednaka žižnoj daljini), n je indeks prelamanja sredine u kojoj se stvara slika, i (∂W/∂r) je promena odstupanje talasnog fronta od savršenog (∂W) za datu promenu u razdaljini od početne do date tačke (∂r). U slučaju obrtno simetričnog izobličenja talasnog fronta, promena veličine poprečne aberacija je ista duž bilo kojeg njegovog poluprečnika (tj. za bilo koji ugao otvora). U slučaju asimetričnog izobličenja talasnog fronta, veličina aberacije se takođe menja u zavisnosti od orijentacije poluprečnika.

Slika desno prikazuje princip zavisnosti poprečne aberacije (y') od odnosa promene u greški talasnog (∂W) fronta prema promeni visine tačke (y) talasnog fronta. Usled odstupanja talasnog fronta od poredbene sfere, zrak iz tačke 1 preseca ravan slike na udaljenosti srazmernoj - u bliskoj aproksimaciji - L/y. Promena greške talasnog fronta oko tačke 2 je zanemarljivo mala, te ne proizvodi poprečnu aberaciju zraka, dok je promena od tačke 3 do ivice talasnog fronta slična po veličini promeni u tački 2, ali pošto je u odnosu na znatno manju promenu u visini tačke, promena nagiba talasnog fronta i njime neposredno prouzrokovana poprečna aberacijea zraka su takođe srazmerno veći (razlike između talasnog fronta i poredbene sfere su mnogo manje u stvarnosti, što čini aproksimaciju vrlo bliskom tačnim vrednostima).

Za bilo koju tačku talasnog fronta u ravni izlaznog otvora, čiji je položaj određen polarnim koordinatama (razdaljina r od početne tačke, i ugao θ u odnosu na vertikalu), razmak između tačaka dva zraka projektovana iz ove dve tačke talasnog fronta u ravni slike je:

                               $t={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$       (2)

gde su x i y koordinate druge u odnosu na prvu tačku u ravnii slike, date sa:

  $x={\frac {L}{n}}\left(cos\theta {\frac {\partial W}{\partial r}}-{\frac {sin\theta }{r}}{\frac {\partial W}{\partial \theta }}\right),\qquad y={\frac {L}{n}}\left(sin\theta {\frac {\partial W}{\partial r}}-{\frac {cos\theta }{r}}{\frac {\partial W}{\partial \theta }}\right)$     (3)

Za radijalno simetričnu aberaciju, kao sferna ili defokus, transverzna aberacija za dve tačke talasnog fronta je:

                            $t={\frac {L}{n}}{\frac {\partial W}{\partial r}}$       (4)

za bilo koju orijentaciju poluprečnika optičkog otvora.

Talasni front i šema rasejanja zraka[uredi | uredi izvor]

Pošto je transverzna aberacija srazmerna odstupanju talasnog fronta, prečnik šeme rasejanja zraka za dato izobličenje talasnog fronta je srazmeran V-D greški (pošto je odnos između V-D i RMS greške za dato izobličenje stalan, on je takođe srazmeran RMS greški). Prečnik šeme rasejanja zraka za datu V-D grešku zavisi od osobina izobličenja talasnog fronta: njegovog oblika, rasprostranjenosti i položaja na talasnom frontu, što znači da se menja od jedne aberacije do druge. Za klasične aberacije, na primer, prečnik šeme rasejanja zraka za sfernu aberaciju, komu i astigmatizam u najboljoj žiži je u odnosu 32:9:4 ili, za jedinični prečnik rasejanja zraka za sfernu aberaciju, 1:0.28:0.125, u istom redosledu.

Pogoršanje kakvoće optičke slike[uredi | uredi izvor]

U odsustvu aberacija, fizička tj. stvarna slika tačke ima oblik savršene difrakcione slike tačke, u kojoj je rasipanje energije najmanje, prouzrokovano samo difrakcijom graničnog otvora optičkog sklopa. U tom slučaju, njen položaj se poklapa sa Gausovom žižom. U slučaju uobičajenog kružnog otvora (bez zaklona), slika tačke je savršena Eri(jeva) difrakciona slika (eng. Airy diffraction pattern), najsjajnja u kružnom središtu, okruženom naizmeničnim tamnim i sjajnim prstenovima opadajuće jačine.

U prisustvu aberacija ova slika se menja: u načelu, nivo energije se smanjuje u središnjem delu, a povećava u prstenovima. U slučaju obrtno simetričnih aberacija, izgled slike tačke se menja, ali ostaje obrtno simetričan, dok u slučaju asimetričnih aberacija i sama slika tačke postaje asimetrična. Slično kao kod aberacija zraka i talasnog fronta, žiža u kojoj je rasipanje energije najmanje se ne poklapa sa Gausovom žižom. Za srazmerno male greške talasnog fronta, poklapa se sa žižom za koju je greška talasnog fronta najmanja. Najbolja žiža u ovom slučaju je tzv. difrakciona žiža, u kojoj je središnja jačina difrakcione slike najviša.

Dejstvo aberacija[uredi | uredi izvor]

Dejstvo aberacija izražava se različito za tri različita vida aberacije: zraka, talasnog fronta i slike tačke. Ovo se odnosi na aberacije slike tačke. U slučaju aberacija položaja slike tačke se, kao što samo ime kaže, radi samo o grešci u položaju slike tačke u odnosu na položaj u savršenoj slici; sama slika tačke nije pogođena ovim aberacijama.

Dejstvo aberacija na optičke zrake ogleda se u poremećaju putanja zraka, tj. skretanju putanja sa pravca koji vodi prema žiži. U slučaju talasnog fronta, dejstvo aberacija se ogleda u odstupanju oblika talasnog fronta od savršenog sfernog, i u slučaju fizičke slike tačke, u promeni rasporeda energije, tj. promeni izgleda slike u odnosu na difrakcionu sliku tačke bez aberacija.

Geometrijska slika tačke[uredi | uredi izvor]

Pošto je geometrijska slika tačke - tzv. Gausova žiža - tačka koja je centar zakrivljenosti sfere kojoj pripada Gausovski talasn front, i u kojoj se sastaju zraci projektovani kao normale na površinu sfernog talasnog fronta, bilo kakvo odstupanje oblika talasnog fronta od sfernog ima za posledicu odstupanje zraka koji dolaze projektovani sa izobličenih delova talasnog fronta od središnje tačke, tj. Gausove žiže. Geometrjska slika tačke više nije tačka, nego je predstavljena skupom rasutih tačaka u ravni slike, zvanom šema rasipanja zraka. Posledica aberacja na geometrijsku sliku tačke je, dakle, rasipanje zraka iz tačke Gausove žiže u roj tačaka zraka.

Slika desno daje primere rasejanja zraka za primarnu sfernu aberaciju, komu i astigmatizam. U sva tri slučaja RMS greška talasnog fronta je 0.0745λ, sa odgovarajućom vrednošću Strel racia od 0,80, što predstavlja opštu granicu za tzv. "ograničen difrakcijom" nivo optičke kakvoće. Mada uporedive po dejstvu na kakvoću slike, ove tri aberacije imaju vrlo različite šeme rasejanja zraka, kako u veličini tako i u rasporedu.

Izgled šeme rasejanja zraka u izvesnoj meri zavisi i od rasporeda mernih tačaka na talasnom frontu u izlaznom otvoru sklopa. Kvadratna rešetka (gore levo) je uobičajena jer je pogodna za difrakcione proračune (npr. za proračun funkcije širenja tačke, zaokružene energije, ili funkcije optičkog prenosa), ali u slučaju šeme rasejanja zraka ne predstavlja verno prirodu aberacije, naročito onih koje imaju neki oblik obrtne simetrije. U sva tri slučaja rasejanje zraka je bolje opisano ako je raspored mernih tačaka u obliku kružne koncentrične rešetke (dole), tzv. recipolarne, ili heksapolarne rešetke, u kojoj svaki sledeći krug ima šest tačaka više od prethodnog. Šeme rasipanja zraka u oba slučaja imaju oko 600 zraka (prikazane rešetke imaju manji broj tačaka od onih korišćenih od strane optičkog programa).

Fizička slika tačke[uredi | uredi izvor]

Fizička slika tačke u odsustvu aberacija je predstavljena Erijevom difrakcionom slikom tačke (za kružni optički otvor). Ova slika se sastoji od sjajnog središnjeg diska okruženog koncentričnim naizmeničnim tamnim i sjajnim prstenovima, gde jačina sjajnih prstenova naglo opada sa udaljavanjem od središta slike. U prisustvu aberacija, deo ukupne energije u centralnom disku se smanjuje, a razlika - po principu očuvanja energije - se prenosi u tamne i sjajne prstenove. U načelu, energija koja čini sliku tačke se širi, što snižava kakvoću optičke slike. U zavisnosti od aberacije i njene velične, sam oblik slike tačke može biti u manjoj ili većoj meri promenjen.

Slika desno prikazuje simulaciju fizičke tj. difrakcione slike tačke bez prisustva aberacija, kao i za iste tri aberacije iz slike 5, na istom nivou greške talasnog fronta od 0.0745λ RMS. Oblik širenja energije iz centralnog diska može - u slučaju sferne aberacije i kome - ali ne mora (astigmatizam) da bude sličan obliku rasejanja zraka. Kao i u slučaju šeme rasejanja zraka, sferna aberacija i astigmatizam su prikazani u najboljem fokusu (najbolji fokus za komu zahteva pomak po uspravnoj središnjoj osi, tj. nagnutu poredbenu sferu čiji je centar na 1/6 visine šeme rasejalja zraka od zašiljenog vrha geometrijske slike, posledica pomaka celokupne energije fizičke slike tačke u tom pravcu).

Proširena slika[uredi | uredi izvor]

U slučaju proširene slike, tj. slike površine koja se sastoji od velikog broja tačkastih izvora svetlosti, gde se njihove slike preklapaju u proširenoj slici, posledice prisustva aberacija može biti izobličenje slike u odnosu na predmet, u kom slučaju se radi o zakrivnjenosti polja ili o izobličenju (distorziji) slike. Ovo izobličenje na isti način pogađa i geometrijsku i fizičku sliku.

U slučaju fizičke slike, koja se sastoji od slika tačaka predmeta, širenje energije u slici tačke izazvano aberacijama uzrokuje gubljenje oštrine linija koje oivičavaju kako celokupnu površnu tako i delova različitog nivoa sjaja i/ili boja unutar nje. Ako je ovakav deo slike dovoljno mali, i aberacija dovoljno velika, on može da postane znatno manje vidljiv, ili da se potpuno izgubi.

Slika desno prikazuje dejstvo difrakcije i aberacija na kakvoću optičke slike. Prva slika (levo) prestavlja predmet posmatranja u idealizovanom slučaju da se svaki tačkast izvor svetlosti na njemu vidi kao tačka (u stvarnosti je to nemoguće zbog difrakcije svetlosti, koja širi sliku tačke u svetlu mrlju u bilo kom optičkom sklopu sa otvorom, uključujući oko). Slika u sredini je manje oštra zbog dejstva difrakcije, mada su aberacije odsutne. Treća slika pokazuje dodatni gubitak oštrine, kao i najmanjih detalja, zbog prisustva aberacija.

Uz gubitak oštrine slike, visok nivo aberacija može da proizvede promene u izgledu njenih delova, ili čak i izobličenje celokupne slike. Slika desno pokazuje kako visok nivo aberacija menja izgled Simensove zvezde (eng. Siemens star, jedno od uobičajenih sredstava za optičke testove). Rasuta energija u slici zvezde zatamnjuje pozadinu, dok uvećan središnji deo slike tačke uzrokuje izobličenje uglova. U slučaju kome, asimetrična slika tačke dovodi do zakrivljavanja pravih linija koje su pod određenim uglom u odnosu na sliku tačke.

U svakoj slici zvezde sa aberacijama vidljivo je tzv. obrtanje kontrasta (eng. contrast reversal), gde tamne površine objekta postaju svetle u slici, i obrnuto, dok se za linije u prelaznom rasponu širina kontrast potpuno gubi. Ispod su simulacije fizičke slike tačke za date primere (u istoj razmeri međusobno, ali mnogostruko uvećane u odnosu na sliku zvezde).

Merila dejstva aberacija[uredi | uredi izvor]

U načelu, cilj merila dejstva aberacija je da odredi nivo aberacija koji je prihvatljiv sa stanovišta posledica na kakvoću optičke slike. Pošto su razlike u ovom nivou značajne, kako u zavisnosti od namene, tako i u zavisnosti od samog predmeta posmatranja, bilo koje opšte merilo je neminovno samo približno razgraničenje između zadovoljavajućeg i nedovoljnog nivoa.

Osnovna merila za dejstva jednobojnih (monohromatskih) aberacija na kakvoću slike su Rejlijevo merilo, Eri disk merilo, Danža-Kude merilo, Marešalovo merilo, i nivo aberacija poznat kao "ograničen difrakcijom".

U pogledu hromatskih aberacija, postoje starija merila za najmanji F/D racio (fokalni racio prema prečniku otvora) za uobičajen dublet ahromat (tj. dublet napravljen od običnog kraun i flint stakla), kao Konradijevo i Sidvikovo merilo. Savremeno, opšte merilo dejstva hromatskih aberacija data je višebojnim (polihromatskim) Strel raciom.

Rejlijevo merilo (Rayleigh criterion)[uredi | uredi izvor]

Prvo merilo dejstva aberacija na kakvoću optičke slike postavio je čuveni britanski fizičar Rejli (John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh) u 1878 godini. Proučavajući posledice prisustva aberacija na raspored energije u slici tačke, zaključio je da je uticaj aberacija u načelu zanemarljiv ako je razlika u optičkom putu - tj. vrh-dno (V-D) greška talasnog fronta - manja od 1/4 talasa (0,25λ). Kasnija istraživanja i proračuni pokazali su da je ovo pravilo samo približno, jer razlike u dejstvu različitih aberacija na ovom nivou odstupanja mogu biti značajne, ali je ono i danas prisutno kao prvo, jednostavno merilo prihvatljivog nivoa aberacija.

Slika 9: REJLIJEVO "ČETVRT TALASA" MERILO

Na slici desno su primeri izobličenja talasnog fronta koji bi po Rejlijevom merilu bili na granici prihvatljivog. Dok je u slučaju prva dva oblika izobličenja, defokusa i primarne sferne aberacije, ovakva ocena u skladu sa današnjim opštim merilom najvećeg prihvatljivog nivoa aberacija, tj. za Strel racio ne manji od 0,80, u slučaju druga dva oblika znatno veća greška bi bila dopuštena.

Ovu vrednost Strel racia koma (3) bi proizvela na nivou od 0.42λ, dok bi greška koja pogađa samo mali deo talasnog fronta (na primer, izobličenje izazvano strujanjem vazduha u teleskopskoj cevi, 4), mogla biti i znatno veća.

U načelu, Rejlijevo merilo je makar približno tačno u slučaju izobličenja koja pogađaju veći deo talasnog fronta, dok je za ona koja pogađaju srazmerno mali deo njegove površine neupotrebljiv. Dodatno ograničenje je da ovo merilo ne uzima u obzir veličinu i učestalost malih odstupanja talasnog fronta - tzv. hrapavost talasnog fronta - koja može značajno da snizi kakvoću optičke slike.

Eri disk merilo (Airy disc criterion)[uredi | uredi izvor]

Među prvim merama za dejstvo aberacija bilo je poređenje prečnika rasejanja zraka u odnosu na Eri disk. Merilo je došlo u upotrebu pošto je Eri u 1834. matematički opisao difrakcionu sliku tačke, u kom je središnji krug određen prvom minimom po njemu nazvan Eri disk. Izvorno je ova mera korišćena u toku proračuna optičkih sklopova, kako za ocenu nivoa kakvoće slike u toku stvaranja sklopa, tako i za nivo kakvoće završenog sklopa. Prema ovom merilu, sklop je "ograničen difrakcijom" ako je rasipanje zraka manje od Eri diska, gde "ograničen difrakcijom" podrazumeva da optička kakvoća slike sklopa nije značajno umanjena u odnosu na sklop bez aberacija, tj. najbolju moguću sliku.

Mada je zbog svoje jednostavnosti vrlo rasprostranjeno, ovo merilo je samo grubo približno, jer razlike u prečniku rasipanja zraka za nivo aberacije koji ima uporedivo dejstvo na kakvoću slike mogu da budu značajne. Na primer, za nivo aberacije koji snižava središnju jačinu slike tačke za 20%, prečnik rasipanja zraka u slučaju primarne sferne aberacije je preko dva puta veći nego u slučaju kome, i preko pet puta veći nego u slučaju astigmatizma. U slučaju sferne aberacije, prečnik rasipanja zraka na ovom nivou aberacije je 3,6 puta veći od prečnika Eri diska, u slučaju kome 1,6 puta, dok je u slučaju astigmatizma prelnik rasipanja zraka svega 0,6 prečnika Eri diska (za sfernu aberaciju i astigmatizam, za prečnik rasipanja u ravni najbolje žiže).

Slika desno prikazuje ovu neujednačenost na graničnom nivou merila za defokus i tri klasične aberacije slike tačke, sfernu aberaciju, komu i astigmatizam (crni krug predstavlja Eri disk). Znatne razlike postoje i u veličini V-D greške talasnog fronta (na slici P-V, od engleskog peak-to-valley), i u veličini merodavnije RMS greške. Čak i za dve aberacije čija je šema rasejanja zraka praktično ista - defokus i astigmatizam - razlika u RMS greški je znatna, 0,082λ prema 0,119λ.

Danža-Kude merilo (Danjon-Couder criterion)[uredi | uredi izvor]

S ciljem da se dođe do tačnijeg merila dejstva aberacija, francuski astronomi Danža (André-Louis Danjon, 1890-1967) i Kude (André Couder, 1897-1979) postavljaju merilo za prihvatljiv nivo aberacija, poznat kao Danža-Kude merilo, koje se sastoji od dva zahteva, u osnovi prethodna dva merila zajedno: (1) rasejanje zraka ne veće od Eri diska, i (2) V-D greška talasnog fronta ne veća od 1/4 talasa. Mada nešto pouzdanje od prethodna dva, uglavnom zbog dodatnih zahteva da površina talasnog fronta bude ravnomerna, i da je greška za najveći deo nje bitno manja od 1/4 talasa, i ovo merilo je samo približno, jer je još uvek moguće da dva različita talasna fronta koji zadovoljavaju ove uslove proizvode optičku sliku sa značajnom razlikom u kakvoći slike.

Marešalovo merilo (Maréchal criterion)[uredi | uredi izvor]

Prvo merilo izvedeno neposredno iz difrakcionog proračuna promene rasporeda energije slike tačke zbog dejstva aberacija ustanovio je francuski naučnik Marešal (André Maréchal, 1916-2007) u 1947. Po njemu, kakvoća optičke slike je dobra ako RMS greška talasnog fronta ne prelazi 1/14 talasa, tj. ako Strel racio nije niži od 0,81.

"Ograničen difrakcijom"[uredi | uredi izvor]

Naziv "ograničen difrakcijom" je danas uobičajen za nivo aberacija za koji je Strel racio 0,80 ili veći, što podrazumeva RMS grešku talasnog fronta od 0,0745λ (λ je talasna dužina svetlosti) ili manju. Kad i kako je ovo merilo optičke kakvoće počelo da se upotrebljava nije dokumentovano, ali danas je u vrlo širokoj upotrebi.

Strel racio od 0,80 odgovara λ/4 V-D greški talasnog fronta primarne sferne aberacije, koju je Konradi još 1929-te predložio kao približno razgraničenje između dobrog i nedovoljnog nivoa optičke kakvoće. Ovaj nivo se takođe skoro poklapa sa Marešalovim merilom. Naziv "ograničen difrakcijom" (eng. diffraction limited) potiče od Abea (Ernst Karl Abbe, 1840-1905), nemačkog fizičara koji ga je prvi koristio za nivo optičke kakvoće pri kom mikroskop još uvek može da razdvoji dva tačkasta izvora svetlosti na najmanjem rastojanju za koje je to moguće zbog postojanja difrakcije svetlosti (nivo aberacija koji Abeovo merilo dozvoljava je, međutim, znatno viši od nivoa određenog Strel raciom od 0,80).

U slučaju hromatskih aberacija kao mera aberacije primenjuje se višebojni ili polihromatski Strel racio, koji predstavlja prosek zbira Strel racia za pojedine boje u okviru datog raspona talasnih dužina svetlosti. Kao i za jednobojne aberacije, donja granica kakvoće u rasponu koji se smatra "ograničen difrakcijom" je 0,80.

Konradijevo merilo (hromatska aberacija)[uredi | uredi izvor]

Konradijevo (Alexander Eugen Conrady, 1866-1944) merilo je zasnovano na procenjenom prihvatljvom nivou uzdužne (longitudinalne) hromatske aberacije klasičnog dubleta ahromata. Datira iz 1929-te, i postavlja granicu prihvatljivog nivoa aberacije u vidu najmanje žižne daljine (ƒ) za dati prečnik otvora sočiva (D) kao ƒ=D²/10.000λ, gde je λ talasna dužina svetlosti. Koristeći λ=0.000508mm (0.00002 inča), Konradi je došao do ƒ=D²/5. Ako se obe strane podele sa D, dobija se merilo u odnosu na fokalni racio sočiva, F=D/10.000λ, tj.

 F=D/5

(za D u milimetrima, pošto je i λ u toj mernoj jedinci). Mada je Konradijeva namera bila da ovo merilo označava dejstvo aberacije uporedivo dejstvu 1/4 talasa sferne aberacije (0,80 Strel), ono, kako su kasniji, tačniji proračuni pokazali, postavlja donju granicu na znatno viši nivo, oko 0,90 (polihromatski) Strel.

Sidvikovo merilo (hromatska aberacija)[uredi | uredi izvor]

Četvrt veka posle Konradija, Sidvik (John Benson Sidgwick, 1916-1958) predlaže nižu donju granicu za nivo uzdužne hromatske aberacije ahromata, pretpostavljajući da je granica prihvatljivog defokusa za Fraunhoferove linije C (crvena) i F (plava) zbog niže osetljivosti oka četiri puta veća nego za liniju najveće osetljivosti (nasuprot Konradiju, koji je pretpostavio samo dva ipo puta veći prihvatljiv defokus). Izraženo u istom obliku, Sidvikovo merilo daje kao odgodgovarajući žižni, ili fokalni racio F=D/16.000λ što, koristeći λ=0.00055mm daje F=D/8,8 za D u mm. Izvorno, Sidvik je, koristeći λ=0.0000217 inča, došao do F=D/0,3472 za D u inčima, što je potom zaokružio na:

 F=3D

Za D u mm, ova najniža vrednost žižnog racia ahromata je D/8.5 (ili D/8.8 za tačnu vrednost F=D/0,3472).

Sidvikova pretpostavka se pokazala tačnija, jer ovom merilu odgovara polihromatski Strel od oko 0,80 - na nivou donje granice raspona optičke kakvoće za koji se smatra da je "ograničen difrakcijom".

0,80 višebojni ili polihromatski Strel racio[uredi | uredi izvor]

Sa upotrebom kompjutera, složeni difrakcioni proračuni su postali praktično upotrebljivi kao deo kompjuterskih optičkih programa. Ovo je omogućilo proširenje teorije aberacija u pravcu osobina stvarne, fizičke slike tačke. Kao deo toga, merilo prihvatljvog nivoa hromatskih aberacija - ne samo uzdužne, nego i lateralne, kao i sferohromatizma - postao je polihromatski (višebojni) Strel od 0,80, analogno jednobojnom (monohromatskom) Strel raciu.

Mere dejstva aberacija[uredi | uredi izvor]

Mera dejstva aberacije je izvesna odlika optičke slike koja može da se koristi u tu svrhu. Uobičajena mera dejstva aberacija u pogledu geometrijske slike tačke je prečnik rasejanja zraka, dok su u pogledu fizičke slike tačke to Strel racio, zaokružena energija i funkcija optičkog prenosa.

Prečnik rasejanja zraka[uredi | uredi izvor]

Prisustvo aberacija izaziva rasejanja zraka u ravni geometrijske optičke slike. Mada stepen rasejanja za dati nivo pogoršanja kakvoće fizičke optčke slike može biti brlo različit od jedne do druge aberacija, u načelu se ono povećava sa povećanjem aberacije. Sama vrednost prečnka rasejanja ne govori mnogo, tako da se po pravilu posmatra u odnosu na prečnik Eri diska (u slučaju vidne slike), ili neke druge uporedne veličine (na primer, prečnika razdvojne granice detektora, ili atmosferskog uvećanja slike zvezde).

Strel racio[uredi | uredi izvor]

Strel racio, nazvan po nemačkom matematičaru i astronomu Karlu Strelu (Karl Strehl, 1864-1940), koji ga je definisao krajem 19. veka, izražava odnos visine energije u središtu difrakcione slike tačke u prisustvu aberacija, prema visini energije bez njih (tj. u odnosu na visinu u slučaju savršenog sfernog talasnog fronta). Prema tome, vrednost racia se kreće u rasponu od 1 do 0. Za nizak nivo aberacija (ispod ~0.15λ RMS), gubitak u visini energije je srazmeran procentualnom gubtku energije iz Eri diska, što znači da odražava i energiju koja je prešla u tamne i sjajne prstenove difrakcione slike tačke. Na taj način je vrednost racia neposredno vezana sa dejstvom aberacija na kakvoću optičke slike. Zbog svoje jednostavnosi i fizičke podloge, Strel racio je u vrlo širokoj upotrebi kako u teoretskim radovima tako i u proizvodnji i prodaji optičkih sklopova.

Zaokružena energija[uredi | uredi izvor]

Zaokružena energija predstavlja deo ukupne energije slike tačke koja je sadržana u krugu određenog poluprečnika, sa središtem u središtu slike. Često se koristi prečnik Eri diska, ali može biti i bilo koji drugi. Količina energije unutar određenog poluprečnika izračunava se na osnovu funkcije širenja tačke. Zaokružena energija za više razlčitih poluprečnika daje potpuniju sliku o rasporedu energije - pa prema tome i o dejstvu aberacija na optičku sliku - nego Strel racio, ali time u isto vreme gubi jednostavnost Strel racia.

Na slici desno je prikazan graf zaokružene energije (plavo), zajedno sa odgovarajućom funkcijom optičkog prenosa (crveno), za optički sklop bez aberacija, i za sklop sa 1/4 talasa sferne aberacije. Na desnoj strani su simulacije fizičke slike tačke za ova dva slučaja. Poluprečnik Eri diska bez prisustva aberacija je 1.22λF.

Ukvadrirana energija je slična veličina, izuzev što se umesto kruga koristi kvadrat. Ova mera je podobnija u slučaju CCD detektora.

Funkcija optičkog prenosa[uredi | uredi izvor]

Funkcija optičkog prenosa (FOP) izražava pad oštrine (kontrasta) slike rešetke sa sinusoidnim rasporedom jačine zračenja za dat nivo aberacija, u zavisnosti od širine rešetki. Kao takva, razlikuje se od prethodnih mera po tome što ne meri dejstvo aberacija na sliku tačke, nego na proširenu optičku sliku. Pošto je funkcija optičkog prenosa zasnovana na funkciji širenja tačke (ove dve funkcije takođe čine Furijeov par), ona je povezana sa vrednošću Strel racia, koja je jednaka prosečnom padu kontrasta za ceo raspon učestalosti funkcije optičkog prenosa, od kontrasta za beskonačno široke rešetke (uvek jednak jedinici), do širine rešetki pri kojoj kontrast pada na nulu, tj. slika rešetke se potpuno gubi. Za razliku od Strel racia, koji je pouzdano merilo samo pri srazmerno niskom nivou aberacija, FOP nema takvog ograničenja.

Slika desno prikazuje graf funkcije optičkog prenosa u uobičajenom obliku, sa prenosom kontrasta bez prisustva aberacija, i sa datim nivoom aberacija, u ovom slučaju 1/4 talasa V-D greške talasnog fronta sferne aberacije. Vrednost jedinične učestalosti je u rasponu od 0, za beskonačno široke linije, do 1, za širinu linija pri kojoj se kontrast među njima potpuno gubi.

Uzroci aberacija[uredi | uredi izvor]

Aberacije optičkog sklopa su posledica nekoliko osnovnih uzroka:

svojstava koničnih površina
proizvodnih grešaka optičkih površina
neusklađenosti optičkih elemenata
neujednačenosti optičke sredine

Svojstva koničnih površina[uredi | uredi izvor]

Savršene konične površine - stvorene obrtanjem konusnog preseka oko središnje ose - proizvode aberacije kako za tačku slike na središnjoj osi (osne aberacije, koje pogađaju celo polje slike) tako i za tačke u polju slike (vanosne aberacije, ili aberacije polja slike). Za jednu površinu, bilo prelomnu ili odbojnu, sferna aberacija postoji uvek kad predmet slike nije u žiži koničnog preseka, dok aberacije polja, kao astigmatizam i koma, postoje za tačke van optičke ose, izuzev u slučaju kad je granični otvor sklopa razdvojen od površine, i na određenom rastojanju od nje (izuzetak je koma, koja nije prisutna kad je predmet u ravni središta zakrivljenosti sfernog ogledala).

Slika desno prikazuje oblik koničnih površina, u rasponu od uspravnog elipsoida, preko sfere, vodoravnog elipsoida i paraboloida, do hiperboloida. Sferne površine su u najširoj upotrebi, naročito u slučaju sočiva, ali moderni optički sklopovi često koriste jednu ili više tzv. asferizovanih površina - tj. konične površine različite od sferne - u svrhu bolje kontrole aberacija. U načelu, sferne površine je lakše proizvesti sa visokom tačnošću nego asferizovane površine.

Proizvodne greške optičkih površina[uredi | uredi izvor]

Proizvodne greške optičkih površina mogu biti značajan izvor aberacija.

Odstupanje opšteg obklika optičke površine od predviđenog, bilo zbog pogrešnog poluprečnika zakrivljenosti, ili pogrešne konične konstante, dovodi do pojave aberacija koje bez toga ne bi bile prisutne. U prvom redu to se odnosi na sfernu aberaciju ali, u zavisnosti od svojstava sklopa, moguća je i pojava, ili pogoršanje i vanosnih aberacija.

Mestimična odstupanja optičke površine od savršenog oblika takođe prouzrokuju poremećaj pravca zraka koji koriste te delove površine, odnosno prouzrokuju greške talasnog fronta na njima. Ove greške su nasumičnog rasporeda i mogu da budu različitih veličina i rasprostranjenosti. Poseban vid ove greške optičke površine je optička hrapavost, koja prekriva od srazmerno bitnog dela do cele površine, a u pogledu prosečne veličine odstupanja kreće se od dela talasne dužine do dela nanometra.

Takođe, odstupanje indeksa prelamanja stakla od koje je napravljen optički element, bilo u celini ili mestimično, prouzrokovaće aberacije.

Neujednačenost optičke sredine[uredi | uredi izvor]

Neujednačenost optičke sredine se odnosi na razlike u brzini prostiranja svetlosti unutar sredine, koji time uzrokuju izobličenja, tj. aberacije talasnog fronta. Optička sredina je ili optički materijal od kog je napravljen provodni optički element, ili vazduh.

Neujednačenost optičkog materijala[uredi | uredi izvor]

Neujednačenost optičkog materijala u ovom pogledu čine razlike u njegovoj gustini unutar optičkog elementa. Ove razlike su jedna od mogućih proizvodnih grešaka optičkog materijala. One su neposredno izražene neujednačenošću vrednosti indeksa prelamanja svetlosti. Raspored ovih neujednačenosti je najčešće nepravilan i nasumičan, a saglasno sa promenom indeksa prelamanja - tj. brzine svetlosti u različitim delovima materijala - menja se i oblik talasnog fronta. U zavisnosti od veličine neujednačenosti, optičko staklo se deli u nekoliko vrsta, od onog sa najnižim do onog sa najvišim nivoom neujednačenosti. U slučaju optičkog stakla visoke kakvoće, aberacije izazvane ovim uzrokom su zanemarljivo male.

Temperaturna neujednačenost vazduha[uredi | uredi izvor]

U slučaju vazduha kao optičke sredine, neujednačenost u pogledu brzine prostiranja svetlosti - tj. indeksa prelamanja vazduha - su izazvane temperaturnim razlikama između manjih delova unutar veće zapremine. Same temperaturne razlike potiču od prisustva jednog ili više čvrstih tela koja su na različitoj temperaturi od temperature vazduha, što dovodi do razmene toplotne energije kroz manje ili više neravnomerna strujanja i vrtloženja vazduha. Ovakvo čvrsto telo može biti optički element, ili mehanički deo optičkog sklopa. U slučaju optičkih teleskopa, ovakvo telo je, u pogledu atmosferskih previranja koja izobličavaju talasni front koji stiže sa nebeskih tela (tzv. atmosferska greška talasnog fronta) sama Zemlja.

Slika desno pokazuje dejstvo atmosferske greške talasnog fronta na sliku tačke u teleskopu malog i velikog otvora. U prvom slučaju greška je srazmerno mala, dok je u drugom slika tačke raširena u mnogo veću površinu neujednačenog rasporeda sjaja, koji se neprestano nasumično menja. Sjajni delovi ove površine (eng. speckle) su po veličini i obliku grubo slični središnjem vrhu difrakcione slike tačke. Prečnik ove površine - tzv. atmosferske slike zvezde - je za date atmosferske uslove približno stalan; u prosečnim uslovima oko dve lučne sekunde.

Izobličenje optičke površine/elementa[uredi | uredi izvor]

Izobličenje optičke površine usled dejstva spoljne sile je najčešće uzrokovano mehaničkim pritiskom ili temperaturnom razlikom. Izobličenje optičke površine neposredno uzrokuje izobličenje talasnog fronta koji ona stvara, tj. optičku aberaciju.

Temperaturno izobličenje[uredi | uredi izvor]

Temperaturna izobličenja optičke površine su najčešće prouzrokovana temperaturnom razlikom između optičkog elementa i vazduha koji ga okružuje, ili mehaničkog elementa sa kojim je u dodiru. U prvom slučaju, koji je uobičajen u slučaju optičkih sklopova koji se prenose iz jedne sredine u drugu, različita temperatura vazduha čini da se optički element ili širi, ili skuplja, kroz neravnomeran proces u kom je promena najbrža u njegovim spoljnim delovima, a najsporija u središtu. ova neravnomernost dovodi do privremenog izobličenja optičke površine, koje traje dok se temperatura optičkog elementa ne izjednači sa temperaturom vazduha.

Mehaničko izobličenje[uredi | uredi izvor]

Mehanička izobličenja optičke površine su najčeščće prouzrokovana pritiskom kućišta elementa, ili njegovih delova. U slučaju elemenata koji su dovoljno teški, izobličenje može da nastane i usled same težine elementa, tj. zbog dejstva gravitacije.

Prostorna neusklađenost optičkih elemenata[uredi | uredi izvor]

Do prostorne neusklađenosti optičkih elemenata dolazi kad jedan ili više njih odstupa od svog položaja u savršeno postavljenom sklopu. Odstupanje središta elementa od optičke ose uzrokuje grešku centra, odstupanje elementa od ugla u odnosu na optičku osu uzrokuje grešku nagiba, dok odstupanje od potrebnog razmaka između dva elementa uzrokuje grešku razmaka.

Slika 15: GREŠKE USKLAĐENOSTI ELEMENATA OPTIČKOG SKLOPA

Slika desno pokazuje greške neusklađenosti optičkih elemenata na primeru astronomskog triplet objektiva. Greške su radi jasnoće vrlo preuveličane, posebno u slučaju greški nagiba i centra. U stvarnom sklopu, dopustive greške za ova dva oblika neusklađenosti su često bitno ispod 1mm (greška centra), ili jednog lučnog minuta (greška nagiba).

Nesklad optičkog centra[uredi | uredi izvor]

Ova vrsta neusklađenosti elemenata sklopa prouzrokuje pre svega komu, i mnogo manji nivo astigmatizma. Za razliku od kome kao konične aberacije, koja koja je odsutna oko optičke ose i povećava se sa uglom polja, ova koma ima isti nivo na celom pollju slike, uključujući samo središte. Nivo aberacije je određen veličinom odstupanja središta elementa od ose.

Iskošenost[uredi | uredi izvor]

Slično grešci centra, greška nagiba prouzrokuje pre svega komu, i mnogo manji nivo astigmatizma. Ova koma (i astigmatizam) takođe ima isti nivo na celom pollju slike, određen veličinom greške nagiba.

Greška u razmaku[uredi | uredi izvor]

Za razliku od prethodne dve, greška razmaka ima za posledicu pre svega sfernu aberaciju, dok su koma i astigmatizam srazmerno zanemarljivi. Nivo aberacije je srazmeran veličini greške.

Greška praćenja[uredi | uredi izvor]

Greška praćenja (eng. pointing error) se javlja kod sklopova koji se koriste za posmatranje pokretnih predmeta - kao, na primer, teleskopi - i u tu svrhu su postavljeni na odgovarajući mehanizam za praćenje. Strogo govoreći, ova greška ne uzrokuje aberaciju, jer ne dovodi do promene oblika talasnog fronta sklopa, ali ima slično dejstvo jer, pri snimanju optičke slike na detektor, uzrokuje pogoršanje kakvoće slike.

Predstavljanje aberacija[uredi | uredi izvor]

Način na koji se aberacija predstavlja takođe zavisi od vida aberacije, i različit je za zrake, talasni front i sliku tačke.

Predstavljanje aberacija zraka[uredi | uredi izvor]

U slučaju aberacija zraka, aberacija može da se predstavi neposredno, bilo kao bočni presek sabirnog snopa zraka, ili kao raspored zraka u ravni slike, tzv. raspored tačaka zraka (slika 2). Prvi oblik prikazuje i uzdužnu i poprečnu aberaciju zraka, u ravni koja sadrži optičku osu, dok drugi prikazuje samo poprečnu aberaciju u ravni slike, ali dajući pun prostorni raspored zraka, što u načelu pruža bolju predstavu o prirodi i veličini aberacije. Oba vida aberacije mogu da se predstave i kao funkcije u zavisnosti od visine zraka u optičkom otvoru: uzdužna aberacija krivom uzdužne aberacije, i poprečna aberacija krivom poprečne aberacije. Prva se zove kriva uzdužne aberacije zraka, a druga kriva poprečne aberacije, ili kriva rasejanja zraka.

Slika desno prikazuje krivu uzdužne aberacuje na primeru primarnog astigmatizma i sferne aberacije. U prvom slučaju, talasni front je izobličen na način da je poluprečnik zakrivljenosti manji duž jednog središnjeg preseka (za dati primer u uspravnoj ravni), a veći u središnjem preseku normalnom na prvi, dok se poluprečnik u ostalim presecima postepeno menja od jednog do drugog. Kao posledica, sve uspravne linije na talasnom frontu imaju žižu na crti koja leži u vodoravnoj (sagitalnoj) ravni, prepolovljena osom sabirnog snopa, dok sve vodoravne linije na talasnom frontu imaju žižu na crti iste dužine koja leži u uspravnoj ravni. Razmak između ove dve crte predstavlja uzdužnu aberaciju astigmatizma, koja se menja sa kvadratom visine (tj. ugla) tačke u ravni slike. Kriva uzdužne aberacije se sastoji od dve linije, jedna koju čine tačke bliže žiže, i druga koju čine tačke dalje žiže (u datom primeru negativnog astigmatizma sagitalna žiža je bliža, obrnuto u slučaju pozitivnog astigmatizma). U sredini između ove dve krive je površina najbolje slike.

Slika desno daje primer krive rasejanja zraka za primarnu sfernu aberaciju, komu i astigmatizam. Kriva pokazuje promenu visine zraka u ravni slike sa promenom visine zraka u optičkom otvoru, u preseku ravni slike i tangencionalne ravni (tj. duž središnje linije simetrije rasejanja zraka). Za sfernu aberaciju dat je uveličan žižni predeo sa zracima koji dolaze sa visine u optičkom otvoru jednakoj 0,25, 0,5, 0,707 i 1 (za jedinični poluprečnik), koji pokazuju kako kriva rasejanja zraka odražava visinu zraka u ravni slike, koja je u ovom slučaju ravan najbolje žiže.

Nešto složeniji oblik rasporeda tačaka zraka, koji predstavlja statistički uprosečeno rasejanja zraka, je tzv. RMS greška rasejanja zraka, koje se takodođe daje u obliku poluprečnika ili prečnika..

Grafički prikaz aberacije zraka na bilo koji od ovih načina upotpunjen je brojnim izrazom veličine aberacije: najveće dužine u slučaju uzdužne, i najveće visine u slučaju poprečne aberacije.

Predstavljanje aberacija talasnog fronta[uredi | uredi izvor]

Aberacije talasnog fronta su suviše male - po pravilu manje od milionitog dela poluprečnika talasnog fronta u optičkom otvoru - da bi se mogle neposredno prikazati u bilo kojoj praktičnoj razmeri. Zato se prikazuju posredno, u vrlo malim jedinicama, kao što je talasna dužina svetlosti, mikron ili nanometar, bilo u obliku funkcije koja predstavlja odstupanje talasnog fronta od odnosne sfere, kao dvodimenzionalna mapa talasnog fronta koja prikazuje ovo odstupanje, kao prostorna tj. reljefna mapa, ili kao inteferogram ovog odstupanja.

Slika desno prikazuje primere ovih načina predstavljanja aberacija talasnog fronta za primarnu sfernu aberaciju, komu i astigmatizam. U sva tri primera funkcija prikazuje presek odstupanja duž ose aberacije (tj. duž središnje ose koja leži u tangencionalnoj ravni slike), kako za tačku najbolje žiže (deblja linija) tako i za druge značajne žižne tačke. U slučaju sferne aberacije to su tačka Gausove žiže (gornja kriva, 1), žiže ivičnih zraka (donja kriva, 4), i žiža najmanjeg rasejanja zraka (3). Za komu to je tačka Gausove žiže (1), u kojoj je V-D greška talasnog fronta tri puta veća nego za tačku najbolje žiže (2), a za astigmatizam to su tačke sagitalne (gornja kriva, 1) i tangencijalne žiže (2) u kojima odstupanje talasnog fronta ima cilindričan oblik. Isprekidane linije označavaju spoljnu liniju odstupanja talasnog fronta, dajući predstavu prostornog oblika odstupanja.

Mapa, prostorni prikaz i interferogram talasnog fronta su za tačku najbolje žiže. Interferogram je smanjen dva puta, i dat je za slučaj kad se ravan interferencije poklapa sa ravni talasnog fronta (levo), kao i za slučaj kad je ravan talasnog fronta iskošena u odnosu na prvu. Za interferometar u kom je razmak između dve susedne nule interferencije - tj. između središta dve susedne tamne linije - posledica λ/4 razlike u optičkom putu, interferogrami odgovaraju V-D grešci od 1λ (talasa) u slučaju sferne aberacije, 1,7 talasa u slučaju kome, i 1,5 talasa u slučaju astigmatizma.

Kao i u slučaju aberacija zraka, grafički prikaz je upotpunjen brojnim izrazom veličine aberacije, koja može biti data za vrh-dno grešku, i za RMS grešku talasnog fronta.

Predstavljanje aberacija fizičkom slikom tačke[uredi | uredi izvor]

Aberacija se u fizičkoj slici tačke ispoljava kao poremećaj u rasporedu njene energije. Pošto je ovaj raspored energije dat funkcijom širenja tačke, aberacija fizičke slike tačke je predstavljena promenom oblika funkcije širenja tačke (FŠT), koja može biti predstavljena kao presek trodimenzionalne matematičke funkcije koja opisuje ovaj raspored energije, kao slika ove trodimenzionalne funkcije, ili kao prikaz promenjenog rasporeda energije u ravni slike, tj. kao simulacija same slike tačke na osnovu FŠT.

Na slici desno su predstavljena ova tri vida prikazivanja aberacije slikom tačke, za primarnu sfernu aberaciju, komu i astigmatizam (u sva tri slučaja za tačku najbolje žiže), kao i za savršen talasni front. U slučaju obrtno nesimetričnih aberacija kao koma i astigmatizam, presek FŠT se menja sa uglom preseka, u kom slučaju se obično daju dva preseka pod pravim uglom. (u slučaju astigmatizma ova dva preseka se podudaraju, malo razilaženje na prikazanom grafu je posledica neznatnog odstupanja od središnje tačke između sagitalnog i tangencijalnog fokusa u ulaznim podacima datim optičkom programu).

Merne jedinice aberacija[uredi | uredi izvor]

Mera veličine aberacije zavisi od toga da li je u pitanju jedan od njena dva geometrijska oblika, tj. aberacija zraka i aberacija talasnog fronta, ili njeno dejstvo na fizičku sliku tačke.

Aberacija zraka[uredi | uredi izvor]

Način merenja aberacije zraka se donekle razlikuje za uzdužne i za poprečne aberacije.

Uzdužne aberacije[uredi | uredi izvor]

Uzdužna aberacija optičkih zraka je po pravilu znatno veća od poprečne, i obično se izražava u milimetrima (u zemljama koje koriste SI sistem).

Poprečne aberacije[uredi | uredi izvor]

Osnova za merenje poprečne aberacije zraka je raspored tačaka preseka zraka i ravni slike, tj. šema rasejanja zraka. Kod obrtno simetričnih aberacija, raspored tačaka zraka takođe ima kružnu simetriju, gde je mera veličine aberacije bilo njegov prečnik, ili poluprečnik. On takođe može da bude izražen u dužinskoj meri kao milimetar, ali se često izražava u jedinici prečnika ili poluprečnika Eri diska. Ovako izražena, poprečna aberacija daje mnogo jasniju sliku posledica pris ustva aberacije na kakvoću optičke slike.

Ugaona poprečna aberacija je po pravilu vrlo mala, zbog čega se najčešće izražava u lučnim sekundama. Ovako izražena je neposredno uporediva sa ugaonom veličinom Eri diska koja, sa svoje strane, neposredno određuje razdvojnu moć optičkog sklopa. U slučaju velikih teleskopa na Zemlji, gde je granica razdvojne moći postavljena atmosferskim proširenjem slike tačke, ugaona veličina poprečne aberacije se posmatra u odnosu na ugaonu veličinu proširenja.

Aberacije talasnog fronta[uredi | uredi izvor]

Greške talasnog fronta su srazmerno najmanje, zbog čega se u ovom slučaju kao mere koriste vrlo male dužinske jedince: talasna dužina svetlosti, mikrometar, ili nanometar.

Neposredno povezana sa greškom talasnog fronta je fazna greška. Za talasnu grešku h izraženu u jedinicama talasne dužine λ, fazna greška je takođe h, izražena u jedinici 2π radijana, tj. jedne pune talasne faze. Međutim, dok veličina greške talasnog fronta raste srazmerno njenoj brojčanoj vrednosti, veličina fazne greške osciluje između 0 i 2π radijana.

Upravo je fazna greška ta koja prouzrokuje promenu - u načelu pogoršanje - rasporeda energije u slici tačke.

Fizička slika tačke[uredi | uredi izvor]

Čak i male greške talasnog fronta najčešće dovode do primetne promene izgleda fizičke slike tačke, ukoliko je ona dovoljno uvećana. Neretko vrsta izobličenja slike ukazuje na to koje aberacije su prisutne, posebno ako je u pitanju pretežno jedna aberacija. Međutim, i u tom slučaju je stepen promene slike u najboljem slučaju samo približna mera aberacije.

Za tačnu meru aberacije slike neophodno je izraziti promenu u njenom rasporedu energije. Uobičajen način za to je racio jačine središnjeg vrha difrakcione slike tačke optičkog sklopa, u odnosu na jačinu bez prisustva aberacija - tzv. Strel količnik, ili racio (eng. Strehl ratio). Vrednost racia se kreće od 1, kad su aberacije odsutne, do nule, što u načelu znači da je aberacija vrlo velika.

Drugi način za merenje aberacije slike tačke je da se izrazi energija unutar određenog poluprečnika, polazeći od središta slike tačke, u poređenju sa ukupnom energijom slike tačke. I ova veličina, dakle, ima oblik količnika, i zove se zaokružena energija (eng. encircled energy). Obično se za poluprečnik uzima poluprečnik Eri diska bez aberacija, ali to može biti bilo koja druga vrednost poluprečnka. Takođe, zaokružena energija može da se da za više različitih poluprečnika, što daje bolju sliku o promeni u rasporedu energije slike tačke.

Podela prema dejstvu na sliku tačke[uredi | uredi izvor]

Osnovna podela aberacija je, po prirodi posledica po sliku tačke, na aberacije koje izazivaju poremećaj u formiranju same difrakcione slike tačke, i na one koje izazivaju poremećaj u njenoj poziciji. Drugim rečima, na aberacije slike tačke, i aberacije položaja slike tačke.

Aberacije položaja slike tačke[uredi | uredi izvor]

Kao što sam naziv govori, ove aberacije čine da se slike tački udaljenih od centralne ose instrumenta ne preslikavaju u srazmeri koja postoji u samom predmetu - u kom slučaju je posledica distorzija slike - ili da se ne preslikava u jednu zajedničku ravan slike, kada je posledica zakrivljenost polja slike. U oba slučaja sama slika tačke nije pogođena aberacijom, i određena je ili difrakcijom u odsustvu aberacija slike tačke, ili difrakcijom i aberacajama slike tačke kada su one prisutne.

Slika desno prikazuje zakrivljenost polja slike stvorene optičkim objektivom (levo) i distorziju optičke slike (desno).

Zakrivljenost polja slike[uredi | uredi izvor]

Zakrivljenost polja slike je uzrokovana geometrijom stvaranja slike, bez ikakve greške u osobinama talasnog fronta. To je lako zamisliti u slučaju udubljenog ogledala, gde će slika tačke uz nepromenjenu vrednost poluprečnika sfere talasnog fronta (tj. žižne daljine) sa povećanjem ugla upadnih zraka opisati zakrivljenu liniju polja slike. Slika gore (levo) prikazuje negativnu (sa negativnim poluprečnikom zakrivljenosti, mereno od centra slike do centra zakrivljenosti) zakrivljenost polja slike sočiva.

Astigmatizam, u zavisnosti od znaka u odnosu na znak ove zakrivljenosti koja proističe iz geometrije zraka (tzv. Pecvalova zakrivljenost), ili pojačava ili smanjuje zakrivljenost polja. U oba slučaja, zakrivljenost se menja sa kvadratom udaljenosti tačke od optičke ose.

Distorzija slike[uredi | uredi izvor]

Promena poluprečnika sfere talasnog fronta - tj. žižne daljine - sa povećanjem upadnog ugla snopa zraka, dovodi do distorzije slike. Izobličenje se ogleda u tome da prave linije na objektu, ako ne prolaze kroz njegov centar, postajuo zakrivljene u slici (tako da, na primer, slika kvadrata ima zakrivljene strane). Promena žižne dužine je posledica promene profila optičkih površina u odnosu na talasne frontove koji padaju na ove površine pod različitim uglovima. Slika gore (desno) prikazuje pozitivnu i negativnu distorziju slike kvadrata.

Distorzija slike raste sa trećim stepenom udaljenosti tačke od optičke ose. Zato je, u načelu, zanemarljiva u slučaju malog do umereno velikog polja (1, slika gore, desno), ali može postati vrlo primetna na većim udaljenostima od optičke ose (2). Distorzija može biti pozitivna i negativna. U prvom slučaju prave linije se krive prema središtu slike, i slika se uvećava, dok se u drugom slučaju prave linije krive prema ivici polja, i slika se smanjuje.

Aberacije slike tačke[uredi | uredi izvor]

Aberacije slike tačke su prozrokovane odstupanjem oblika talasnog fronta usmerenog ka žiži od savršene sfere. U geometrijskoj optici, posledica ovog odstupanja je poremećaj u fokusiranju zraka u tačku Gausove žiže. Ovo rasipanje zraka dovodi do toga da je u ravni slike, umesto jedne, mnoštvo rasutih tačaka, grafički predstavljeno šemom tačaka zraka.

U fizičkoj optici, odstupanje talasnog fronta od savršenog sfernog dovodi do razlika u optičkom putu, tj. u fazi svetlosnih talasa koji se sreću u ravni slike; posledica je širenje energije u fizičkoj (difrakcionoj) slici tačke, tj. pogoršanje kvalteta slike u optičkom sklopu.

Aberacije slike tačke su mnogo brojnije i raznovrsnije od aberacija oblika slike. Većina ovih aberacija se javlja u spoljnim delovima slike, zbog greški koje se javljaju u fokusiranju svetlosti koja na objektiv pada pod uglom, stoga se zovu vanosne aberacije (slike). Aberacije koje podjednako popogađaju sve delove slike - od središnjeg dela oko optičke ose do same ivice - su aberacije punog polja (slike). Uobičajeno je da se aberacije punog polja zovu osne aberacije, ali taj izraz nije u skladu sa činjenicom da one pogađaju celo polje slike, i stoga može biti pogrešno shvaćen.

Osnovna podela aberacija slike tačke je na monohromatske (aberacije jednobojne svetlosti) i hromatske (aberacije višebojne svetlosti).

Monohromatske aberacije slike tačke[uredi | uredi izvor]

Mada se definišu kao aberacije jednobojne svetlosti (što, strogo govoreći, znači aberacija svetlosti u jednoj talasnoj dužini, ali u načelu znači svetlost u vrlo malom rasponu talasnih dužina), monohromatske aberacije su praktično nepromenjene u uslovima višebojne (polihromatske) svetlosti ako su optičke površine reflektivne (ogledala). Najznačajniji deo ovih aberacija su aberacije koničnih površina (površina dobijenih rotacijom konusnog preseka oko središnje ose) i defokus.

Slika desno pokazuje tri osnovne monohromatske aberacije, primarnu sfernu aberaciju, komu i astigmatizam, kao i defokus. Uz osnovnu geometriju aberacije, prikazane su i šeme rasejanja zraka u ravni slike (u ravmi Gausove žiže za sfernu aberaciju, u ravni najbolje žiže za astigmatizam), položaj najbolje žiže, kao i promena izgleda fizičke slike tačke izazvana ovim aberacijama (u geometrijskom prikazu aberacije su vrlo preuveličane radi jasnoće).

Hromatske aberacije slike tačke[uredi | uredi izvor]

Hromatske aberacije su posledica prelamanja (refrakcije) svetlosti pri prolazu kroz providne optičke elemente. Ove aberacije su prouzrokovane različitom brzinom kojom se svetlost različitih talasnih dužina kreće kroz providan optički materijal, najčešće staklo. Tri oblika ovih aberacija su:

Longitudinalni (uzdužni) hromatizam, aberacija punog polja uzrokovana time što su kraće talasne dužine svetlosti u staklu usporene više nego duže; stoga se one jače prelamaju, te im je žižna dužina kraća.
Lateralni (poprečni) hromatizam, spoljna aberacija prouzrokovana nejednakim prelamanjem različitih talasnih dužina svetlosti koja kroz objektiv prolazi pod uglom, tj. usmerene prema tački u polju slike; posledica je da različite talasne dužine formiraju sliku tačke na različitim visinama
Sferohromatizam, ili sferna aberacija koja se menja sa talasnom dužinom svetlosti, je aberacija punog polja, posledica toga da u načelu sferna aberacija sočiva može da se svede na nulu samo za jednu talasnu dužinu (praktično, za mali raspon talasnih dužina); za druge talasne dužine sferna aberacija ostaje prisutna, što su duže ili kraće od talasne dužine za koju je sferna aberacija odstranjena, to veća.

Na slici desno prikazana je geometrija hromatskih aberacija. Uzdužni hromatizam ima oblik tzv. primarnog hromatizma, koji se javlja kod prostog sočiva: svetlost kraćih talasnih dužina ima manju žižnu daljinu, što dovodi do hromatskog defokusa i pogoršanja kakvoće slike. Korišćenjem dve vrste stakla sa odgovarajućim osobinama u ahromatskom objektivu, primarni hromatizam se odstranjuje. Preostali, vrlo umanjen hromatozam u ahromatskom objektivu ima drugačiji oblik i naziva se sekundarni hromatizam ili sekundarni spektrum. Upotrebom stakla sa posebnim osobinama u tzv. apohromatsom objektivu odstranjuje se sekundarni spektrum, i jedini moguć značajan oblik hromatizma punog polja je tzv. sferohromatizam, ili hromatska sferna aberacija (ponekad se takođe naziva tercijarni spektrum).

Teorija optičkih aberacija[uredi | uredi izvor]

Svrha teorije optičkih aberacija je da objasni ovu pojavu, nalazeći uzročno-posledičnu vezu između svojstava aberacija sa jedne, i svojstava svih činilaca u stvaranju slike, sa druge strane.

Počeci teoretskog pristupa aberacijama sledili su pojavu prvog teleskopa i mikroskopa u 16-om veku. Do 20-og veka teorija je bila ograničena na vezu između aberacija i idealizovanih optičkih površina (koničnih površina, nastalim obrtanjem konusnog preseka oko središnje ose), u osno simetričnim optičkim sklopovima.

Tokom 20-og veka teorija se proširuje na druge činioce, kao što su optička neujednačenost sredine kroz koju se svetlost kreće, bila ona optički materijal ili vazduh, greške stvarnih optičkih površina, uključujući proizvodne greške i deformacije usled mehaničkog pritiska i toplotne neujednačenosti, greške usled nepravilnog položaja optičkih elemenata i greške usled neravnomernog kretanja pokretnih optičkih sklopova. Takođe, definišu se i aberacije asimetričnh površina, sklopova sa nagnutim elementima i/ili dve ili više optičkih osa, kao i sklopova sa višestrukim otvorima.

Razvoj teorije aberacija obeležen je, uopšteno govoreći, odsustvom zajedničke osnove i pristupa predmetu aberacija, uključujući terminologiju i osnovne definicije. To se pre svega odnosi na geometrijsku optiku, koja je do polovine 20-og veka pretežno bila polje teorije aberacija. Posledica prilično nasumičnog razvoja ove posebne grane optike je da je u znatnoj meri neorganizovana i nepovezana.

Moderna upotreba teorije zasniva se na kompjuterskoj tehnologiji, koja ispostavlja konačan rezultat u željenom obliku, dok je sam način na koji se do njega došlo sa stanovišta korisnika nevažan. Ovo u najvećoj meri čini pomenute nedostatke geometrijske teorije aberacija nebitnim.

Istorija[uredi | uredi izvor]

Mada najstarija poznata sočiva datiraju iz vremena pre nove ere (npr. nimrud sočiva iz starog Asira), vrlo malo se znalo ne samo o tome kako ona usmeravaju svetlost, nego i o prirodi same svetlosti. Starogrčki filozof Euklid, na primer, verovao je da svetlost nastaje u oku, obasjava predmet posmatranja, i odbija se nazad u oko, gde stvara njegovu sliku.

Istorijski redosled najvažnijih saznanja koja su prethodila teoriji aberacija i potom je uobličavala:

početkom Nove ere, Heron iz Aleksandrije ustanovljava osnovni princip geometrijske optike, u najprostijem obliku: "Svetlost se kreće najkraćim putem između dve tačke."; ovaj princip će biti ponovo otkriven tek u 17-om veku, od strane francuskog naučnika Ferma (Pierre de Fermat, 1601-1665), po kojem nosi ime princip Ferma (eng. Fermat's principle)
130 N.E. Ptolomej iz Aleksandrije u svom delu "Optika" daje prelomne uglove svetlosti za nekoliko različitih sredina
u drugoj polovini 10-og veka, u svom delu "O žarećim ogledalima i sočivima", arapski matematičar, fizičar i optičar Ibn Sahil prvi dolazi do zakona prelamanja svetlosti, koji koristi da, između ostalog, definiše tzv. anaklestično sočivo (eng. anaclastic lens). sa hiperboličnom površinom. Ovakvo sočivo ne proizvodi sfernu aberaciju u slici udaljenih predmeta, prema tome, najdelotvornije sakuplja u žižu sunčevu svetlost, što je svrha žarećeg sočiva.
u prvoj polovina 11-og veka, arapski matematičar, astronom i fizičar Al-Hejtam (latinizovano: Alhazen) dalje razvija neke od osnovnih principa u optici, kao što su prelamanje i odbijanje svetlosti, pojam optičkog zraka, promena brzine svetlosti u različtim optičkim sredinama, stvaranje optičke slike i, posredno, nagoveštava princip Ferma; njegov rad imao je veliki uticaj na razvoj optike u Evropi, od Bejkona (Roger Bacon, 1214–1294) i Erazmusa Vitela (Witelo Erazmus, 1230-1275) do Galileja
1604 - Johanes Kepler daje prvi tačan matematički opis kamere opskure, objašnjava stvaranje (izvrnute) slike na mrežnjači kroz očno sočivo, i uzroke kratkovidosti i dalekovidosti
1621 - Vilebrord Snel (Willebrord Snellius, (1580–1626) eksperimentalnm putem dolazi do zakona prelamanja svetlosti koji je, međutim, prvi put opisan u Dekartovom Dioptrique 1637-me
1630-te - Rene Dekart uz pomoć svoje analtičke geometrije određuje oblik optičke površine potreban da se odstrani sferna aberacija
1657 - Pjer de Ferma (Pierre de Fermat, 1601-1665) zaključuje da je optički put koji zrak svetlosti pređe od jedne do druge tačke najkraći optički put, što je izvorni oblik ovog ključnog principa geometrijske optike, poznatog kao Ferma princip
početkom druge polovine 17-og veka, Frančesko Grimaldi otkriva i opisuje difrakciju svetlosti
1678 - Kristijan Hajgens prvi put iznosi talasnu teoriju svetlosti
1726 - Robert Smit (Robert Smith, 1689-1768) objavljuje knjigu o geometrijskoj optici i aberacjama teleskopa i mikroskopa
1729 - Čester Mur Hol (Chester Moore Hall, 1704-1771) pronalazi ahromatski objektiv
1795 - Klugel (Georg Simon Klügel, 1739–1812) pronalazi trigonometrijsko praćenje zraka pomoću vezanih aproksimacija (tj. metoda iteracija)
1808 - Etijen Malus objavljuje teoriju koja utvrđuje da su optički zraci normalni na talasni front, koju 1812-te dopunjuje Šarl Djupa (Pierre Charles François Dupin, 1784-1873)
između 1828-me i1837-me Viliam Hamilton objavljuje tekstove u kojima, između ostalog, dokazuje Malus-Djupa teoriju, i daje opšti oblik funkcije koja opisuje optički put zraka između dve date tačke, tzv. Hamiltonovu karakterističnu funkciju
1835 - Džordž Bidel Eri matematički opisuje difrakcionu sliku tačke za kružni otvor bez aberacija
1841 - Karl Fridrih Gaus ustanovljava prostornu vezu između predmeta, optičke površine/elementa i optičke slike putem aproksimacije zasnovane na malm uglovima (Gausovska optika, ili optika prvog reda)
1856 - Ludvih Filip Zajdel (Ludwig Phillip Siedel, 1821-1896) objavljuje prvu potpunu teoriju aberacija za osno-simetrične sferne površine; teorija koristi trigonometrijski proračun, zasnovan na aproksimaciji ugla trećeg reda
1873 - Abe (Ernst Abbe, 1840-1905) ustanovljava sinusni uslov (eng. sine condition), opšti uslov za odsustvo kome u osno-simetričnim sistemima
1795 - Bruns (Heinrich Bruns, 1848-1919) koristi diferencijalni račun da ustanovi jednačine kojima se određuje dužina optičkog puta zraka
1905 - Karl Švarcšild proširuje teoriju aberacija za osno-simetrične sklopove uključivanjem aberacija višeg reda (sekundarne aberacije) i proračunom ukupne aberacije, tj. oblika talasnog fronta za datu tačku slike; ovo je čini prvim oblikom moderne teorije optičkih aberacija
1929 - Konradi (Alexander Eugen Conrady, 1866-1944) prvi jasno ustanovljava postojanje najbolje žiže (za sfernu aberaciju), za koju je razlika optičkog puta najmanja, i koja se u prisustvu aberacije ne poklapa sa Gausovom žižom
1934 - Fric Zernike nalazi nov način izražavanja aberacija talasnog fronta kao zbira potrebnog broja različitih vrsta izobličenja talasnog fronta, gde je svaka vrsta predstavljena posebnim, prilagođenim oblikom aberacione funkcije za aberacije do neograničenog reda, tzv. Zernikeovim (aberacioni) polinomima
1941 - Andrej Kolmogorov postavlja teoriju statističkog rasporeda toplotne energije u uslovima atmosferskog previranja vazduha, koja omogućava proračun prosečnog izobličenja talasnog fronta koji prolazi kroz atmosferu
1946 - Dafio (Pierre-Michel Duffieux, 1891–1976) uvodi upotrebu Furijeovih transformacija u optiku, u okviru koje daje teoriju Funkcije optičkog prenosa, pomoću koje se dejstvo aberacija može izraziti za proširenu fizičku sliku, ne samo sliku tačke, kao do tada
sredinom 20-og veka: radovima Hopkinsa (Harold Horace Hopkins, 1918–1994), Hercbergera (Maximilian Jacob Herzberger, 1899-1982) i drugih, moderna teorija aberacija osno-simetričnih sklopova dobija konačan oblik, koji vezuje oblik talasnog fronta sa međudejstvom talasa u tački slike, t.j. sa osobinama fizčke slike tačke; ova, talasna teorija aberacija je u vektorskom obliku proširena na asimetrične optičke sklopove (R.V. Shack, R. Buchroeder, K. Thompson, i drugi)

Aberacije i svojstva optičkog otvora[uredi | uredi izvor]

Dejstvo aberacija zavisi od svojstava optičkog otvora. Osnovni oblik otvora je kružni sa ravnomernim prenosom energije preko cele površine. Stoga je i uobičajen okvir u kom se prikazuje dejstvo aberacija za ovu vrstu otvora. Međutim, svojstva optičkog otvora su neretko drugačija, i to utiče na dejstvo aberacija. Primeri takvih otvora su prstenasti i Gausovski otvor (slika desno). U slučaju prstenastog otvora, prenos talasa je u potpunosti sprečen u kružnom središnjem delu, dok u slučaju Gausovskog otvora prenos visine talasa sledi Gausovsku krivu, tj. opada od središta prema ivicama.

U sva tri slučaja za proračun aberacija upotrebljava se bilo polarni ili pravougaoni (takođe, Kartezijanski ili Dekartov) koordinatni sistem.

Prstenast otvor[uredi | uredi izvor]

U sklopovima koji koriste ogledala često je neophodno koristiti manje pomoćno ogledalo ispred glavnog ogledala da bi se slika usmerila na mesto pogodno za posmatranje ili snimanje. Ovo pomoćno ogledalo, koje je po pravilu kružnog oblika i centrirano na optičkoj osi, deluje kao središnji zaklon koji odstranjuje središnji deo talasnog fronta, i time menja oblik njegove površine iz neprekidne kružne u prstenastu. Posledice ovakvog svojstva otvora na dejstvo aberacije zavise od oblika talasnog fronta. U načelu, promena u dejstvu aberacije, koja može biti nabolje ili nagore, je bitno manja od difrakcionog dejstva samog središnjeg zaklona.

Gausovski kružni otvor[uredi | uredi izvor]

Mada postoje sklopovi koji koriste otvor sa Gausovskom promenom prenosa visine talasa - u načelu, sa najvišim prenosom u središtu otvora i postepenim opadanjem prema ivicama - otvor sa ovakvim svojstvom je pre svega značajan za laserske sklopove, jer laserski snop zbog samog načina na koji se stvara ima Gausovski raspored visine talasa.

Aberacije i položaj optičkog otvora[uredi | uredi izvor]

Vrste i veličina aberacija su neposredno zavisni od položaja graničnog otvora optičkog sklopa u odnosu na optički element koji ga sledi. Ukoliko su oni vrlo blizu, u dodiru, ili je granicni otvor na samoj optičkoj površini elementa (npr. unutrašnji otvor kućišta sočiva, kućišta u kojoj je smešteno ogledalo, sama ivica sočiva ili ogledala u odsustvu kućišta, itd.), ulazni talasni front koristi celu prvu površinu elementa, i glavni zrak prolazi kroz središnju tačku elementa. Ovakav položaj graničnog otvora naziva se graničnik na (prvoj optičkoj) površini.

Sa povećanjem razmaka između graničnog otvora i prve optičke površine, središte svetlosnog snopa koji kroz granični otvor prolazi pod uglom sve više odstupa od središta prve optičke površine, tj. pomera se prema spoljnim delovima ove površine i, u načelu, optičkih površina iza nje (slika desno). Ovo neminovno dovodi do promene u veličini vanosnih aberacija, ili do toga da se pojavljuju gde ne bi bile prisutne sa graničnikom na površini. Ovakav položaj graničnog otvora naziva se razdvojen graničnik.

Pošto je osnovni oblik aberacionih izraza različit za graničnik na površini u odnosu na razdvojen graničnik, izrazi koji se odnose na drugi slučaj nazivaju se aberacioni izrazi za razdvojen graničnik (eng. stop shift relations). Značaj ovih izraza je u tome što se oni primenjuju za optičke elemente sklopa koji su razdvojeni od prvog elementa, čak i kad je granični otvor na prvom elementu. Na primer, u sklopu koji se sastoji od dva razdvojena sočiva ili ogledala, graničnik na prvom elementu postaje razdvojeni graničnik za drugi, dok optička slika ovog graničnika od strane drugog elementa postaje izlazni otvor sklopa.

Aberaciona funkcija (kružni otvor, graničnik na površini)[uredi | uredi izvor]

Aberaciona funkcija je matematička funkcija koja opisuje optičku aberaciju. Uobičajeni oblik aberacione funkcije je funkcija koja izražava razliku optičkog puta proizvoljnog u odnosu na glavni zrak, tj. grešku talasnog fronta za tačku koja odgovara tom zraku. Aberaciona funkcija takođe može da izražava transverznu aberaciju, bilo kao linearnu ili ugaonu .

Abraciona funkcija može opisivati samo jednu aberaciju, u kom slučaju se radi o delu ukupne aberacione funkcije koji se odnosi na datu aberaciju.

U modernoj optičkoj teoriji pod imenom aberaciona funkcija se podrazumeva puna aberaciona funkcija, koja izražava zbirno dejstvo svih aberacija određenog reda. U svom osnovnom obliku, aberaciona funkcija izražava zbirno dejstvo pet primarnih, ili klasičnh aberacija, tzv. aberacija četvrtog reda: sferne aberacije, kome, astigmatizma, zakrivljenosti slike i izobličenja (distorzije) slike.

Aberacione funkcije za aberacije viših redova - sekundarne, tercijarne, i više - su složenje i mogu se izraziti na više različitih načina.

Aberaciona funkcija prvog reda[uredi | uredi izvor]

Aberaciona funkcija talasnog fronta izražava razliku u dužini optičkog puta između glavnog i proizvoljnog zraka u datoj tački u prostoru optičke slike. Za primarne aberacije u klasičnom okviru ova tačka je Gausova žiža, ali je za nivo kakvoće optičke slike merodavnija tačka najbolje žiže. Najveća razlika izražena aberacionom funkcijom - u zavisnosti od vrste izobličenja talasnog fronta - predstavlja ili V-D (vrh-dno) grešku, ili polovinu V-D greške talasnog fronta.

Podela aberacija na redove je posledica načina proračuna. U najjednostavnjem slučaju jedne optičke površine, optički put zraka se sastoji iz dva dela: prvi je prava linija od slike predmeta do tačke na optičkoj površini (PO), i drugi je prava linija od tačke na površini do tačke slike (OS). Glavni zrak prolazi kroz središte graničnog otvora, koji se u prikazanom slučaju poklapa sa središtem optičke površine. Za bilo koju drugu putanju zraka položaj tačke preseka zraka i površine zavisi od osobina površine, tj. njenog poluprečnika zakrivljenosti (R) i konične konstante (K). Za datu visinu zraka, oni određuju vodoravan pomak tačke površine u odnosu na uspravnu ravan, normalnu na optičku osu, koja sadrži središnju tačku površine (pretpostavlja se obrtno simetrična površina) .

Konična površina opisana je obrtanjem konusnog preseka oko središnje ose, gde je konusni presek određen njegovom dubinom (z) za dati poluprečnik površine (d):

                  $z={\frac {d^{2}}{R+{\sqrt {R^{2}-(1+K)d^{2}}}}}$     (5)

gde je K konična konstanta, K=-e², a e je ekscentričnost konusnog preseka. Da bi se olakšao proračun, ova jednačina se daje u obliku beskrajne serije:

          $z={\frac {d^{2}}{2R}}+{\frac {(1+K)d^{4}}{8R^{3}}}+{\frac {(1+K)d^{6}}{16R^{5}}}+{\frac {5(1+K)^{3}d^{8}}{128R^{7}}}+...$      (6)

Prvi član na desnoj strani u potpunosti određuje oblik parabole (K=-1), dok je za druge konične površine neophodno koristiti i dodatne članove. Pošto je svaki sledeći član mnogo manji od prethodnog, često je dovoljno koristiti samo prva dva člana. Aberacije dobijene na taj način - tj. proistekle iz drugog člana - zovu se primarne, ili aberacije četvrtog reda, vrednosti dobijene korišćenjem samo trećeg člana zovu se sekundarne, ili aberacije šestog reda, vrednosti dobijene korišćenjem samo četvrtog člana zovu se tercijarne, ili aberacije osmog reda, itd.

Koristeći, radi jednostavnosti, samo prvi i drugi član - dakle, dajući osnovu za funkciju primarnih aberacija - razlika u dužini optičkog puta između glavnog i proizvoljnog zraka može se izraziti kao:

            $\delta =(PO_{g}n+O_{g}Sn')-(PO_{i}n+O_{i}Sn')$      (7)

gde je PO_g rastojanje od tačke predmeta P do središta optičke površine (O_g), i O_gS je rastojanje od središta optičke površine do tačke slike S (ova dva rastojanja, pomnožena sa indeksima prelamanja sredina kroz koje se zrak kreće, n i n', čine optički put glavnog zraka), dok je PO_i rastojanje između tačke predmeta P i proizvoljne tačke O_i na optičkoj pvršini, različite od O_g, i O_iS je rastojanje od te tačke to tačke slike S (poslednja dva rastojanja, pomnožena sa indeksima prelamanja, čine optički put proizvoljnog zraka).

Kad se u proračunu razlike optičkog puta koristi aproksimacija optičke površine koja koristi samo prva dva člana jednačine (6), dobija se vrednost primarne aberacije, tj. aberacije četvrtog reda. Aberaciona funkcija četvrtog reda izražava ukupnu aberaciju - kao V-D grešku talasnog fronta - za primarne aberacije, dakle u odnosu na poredbenu sferu sa središtem zakrivljenosti u tački Gausove žiže. Ove aberacije se takođe nazivaju Zajdelove aberacije. Koristeći aberacione koeficijente, ova aberaciona funkcija je izražena kao:

 $W_{(\rho ,\theta )}=s(\rho d)^{4}+c\alpha (\rho d)^{3}cos\theta +a\alpha ^{2}(\rho d)^{2}cos^{2}\theta +u\alpha ^{2}(\rho d)^{2}+g\alpha ^{3}(\rho d)cos\theta$      (8)

gde su pet članova na desnoj strani primarne (ili klasične) aberacije: sferna, koma, astigmatizam, zakrivljenost polja i izobličenje (distorzija). Aberacion koeficijenti za svaku aberaciju su označeni sa s, c, a, u i g, u tom redosledu, dok su ostali činioci poluprečnk optičkog otvora (d), relativna visina tačke u otvoru u jedinici njegovog poluprečnka (ρ), ugao u ravni otvora (θ) i ugao polja tačke slike (α).

Funkcija pokazuje da se za svaku tačku talasnog fronta u izlaznom otvoru, sa položajem određenim polarnim koordinatama ρd i θ, aberacioni doprinos ukupnoj aberaciji menja različito za svaku od pet aberacija, gde je stvarna vrednost svakog doprinosa za datu tačku određena vrednošću aberacionog koeficijenta za optički sklop (koji se u najjednostavnijem slučaju sastoji od jedne optičke površine).

Korišćenjem punih aberacionih koeficijenata, S=sd⁴, C=cαd³, A=a(αd)², U=u(αd)² i G=gα³d, koji uz aberacioni koeficijent uključuju i vrednost činilaca vezanih za poluprečnik otvora d i ugao polja α, funkcija se pojednostavljuje:

           $W_{(\rho ,\theta )}=S\rho ^{4}+C\rho ^{3}cos\theta +A\rho ^{2}cos^{2}\theta +U\rho ^{2}+G\rho cos\theta$      (9)

Prve tri aberacije su aberacije slike tačke - što znači da pogađaju samu sliku tačke - dok su poslednje dve aberacije položaja slike tačke, koje izazivaju izobličenje proširene slike. Pošto funkcija izražava aberaciju talasnog fronta u odnosu na sferu sa središtem zakrivljenosti u Gausovoj žiži, izrazi za aberacije slike tačke ne daju najmanju aberaciju, tj. aberaciju najbolje žiže, koja je u sva tri slučaja data odnosom prema poredbenoj sferi sa središtem zakrivljenosti u tački zvanoj najbolja žiža, različitoj od Gausove žiže.

Nezavisno od toga da li su date za Gausovu ili najbolju žižu, ove aberacije se nazivaju aberacije talasnog fronta četvrtog reda, jer je zbir izložilaca nad ρd i α za svaku od njih 4.

Aberaciona funkcija drugog reda[uredi | uredi izvor]

Po istom obrazcu kao za primarne, aberaciona funkcija za sekundarne, ili Švarcšildove aberacije je:

  $W_{(\rho ,\theta )}=S_{2}\rho ^{6}+C_{2}\rho ^{5}cos\theta +A_{2}\rho ^{4}cos^{2}\theta +Q_{6}\rho ^{3}cos^{3}\theta +Q_{7}\rho ^{4}+Q_{8}\rho ^{3}cos\theta$  
         $+Q_{9}\rho ^{2}cos^{2}\theta +U_{2}\rho ^{2}+G_{2}\rho cos\theta$         (10)

gde su S₂=s²d⁶, C₂=c²αd⁵, A₂=a²d²α⁴, U₂=u²d²α⁴, i G₂=g²α⁵d puni aberacioni koeficijenti za sekundarnu sfernu aberaciju, komu, astigmatizam, zakrivljenost polja i distorziju, dok su Q₆, Q₇, Q₈ i Q₉ puni aberacioni koeficijenti za preostale četiri sekundarne aberacije (nazivi za njih nisu opšte utvrđeni; Švarcšild je aberaciju sa Q₆ zvao - u približnom prevodu sa nemačkog - "strele", sa Q₇ "sferna aberacija polja", itd.).

Pošto je zbir izložilaca za ρd i α kod ovih aberacija 6, one se nazivaju i aberacije talasnog fronta šestog reda.

Aberaciona funkcija transverzne aberacije[uredi | uredi izvor]

Za razliku od aberacione funkcije talasnog fronta, koja izražava razliku u optičkom putu između glavnog i proizvoljnog zraka u tački žiže, aberaciona funkcija transverzne aberacije određuje aberaciju zraka u odnosu na tačku žiže. Drugim rečima, ona predstavlja razmak između tački preseka glavnog i proizvoljnog zraka sa ravni slike.

I ova aberaciona funkcija bi bila suviše složena da se izrazi u punom obliku čak i za jednostavan optički sklop. Kao primer može da posluži opšti oblik ove funkcije za transverznu aberaciju za jednu optičku površinu, koja takođe prikazuje poreklo i mesto aberacija različitog reda.

Ako je slika tačke u ravni slike određena koordinatama x' i y', u odnosu na središnju tačku (Gausova osna žiža, slika desno), one su date aberacionom funkcijom:

  $y{'}=A_{1}rcos\theta +A_{2}h+B_{1}r^{3}cos\theta +B_{2}r^{2}h(2+cos^{2}\theta )$ 
      $+(3B_{3}+B_{4})rh^{2}cos\theta +B_{5}h^{3}+C_{1}r^{5}cos\theta +(C_{2}+C_{3}cos^{2}\theta )r^{4}h$ 
      $+(C_{4}+C_{6}cos^{2}\theta )r^{3}h^{2}cos\theta +(C_{7}+C_{8}cos^{2}\theta )r^{2}h^{3}$ 
      $+C_{10}rh^{4}cos\theta +C_{12}h^{5}+D_{1}r^{7}cos\theta +...$     (11.1)

  $x{'}=A_{1}rsin\theta +B_{1}r^{3}sin\theta +B_{2}r^{2}hsin^{2}\theta +(B_{3}+B_{4})rh^{2}sin\theta$ 
     $+C_{1}r^{5}sin\theta +C_{3}r^{4}hsin^{2}\theta +(C_{5}+C_{6}cos^{2}\theta )r^{3}h^{2}sin\theta$ 
     $+C_{9}r^{2}h^{3}sin^{2}\theta +C_{11}rh^{4}sin\theta +D_{1}r^{7}sin\theta +...$         (11.2)

pri čemu je sama transverzna aberacija zraka data rastojanjem tačke sa koordinatama (x',y') od tačke Gausove žiže G.

Za datu optičku površinu i popožaj predmeta, činioci predstavljeni velikim slovima su nepromenljive brojne vrednosti, dok su promenljive r, θ i h visina zraka na optičkoj površini (jednaka ρd u prethodnim jednačinama), ugao tačke na površini i visina tačke u ravni predmeta, u istom redosledu (visina tačke h u ravni predmeta može da se zameni prostornim uglom upadnog zraka).

Ako se jednačine izraze koristeći koordinate u ravni slike (tj. sa visinom tačke u ravni slike umesto sa visinom u ravni predmeta), aberacioni izrazi zadržavaju isti osnovni oblik.

Nepromenljive brojne vrednosti pod A su veličine Gausove optike, tj. optike prvog reda, koje u potpunosti određuju položaj slike tačke u odsustvu aberacija. A₁ određuje položaj tačke u ravni slike, dok je A₂ uvećanje slike u odnosu na predmet (tj. visina slike tačke prema visini tačke predmeta). Vrednosti pod B, C, D itd. su aberacioni koeficijenti trećeg, petog, sedmog itd. reda, gde naziv reda dolazi od zbira izložilaca nad r i h (na primer, uz koeficijent za primarnu sfernu aberaciju B₁ izložilac je samo tri nad r, jer visina tačke ne utiče na ovu aberaciju, za sekundarnz sfernu aberaciju - koeficijent C₁ - izložilac je 5; uz koeficijent za primarnu komu, B₂, zbir izložilaca je 3, dok je za sekundarnu komu - koeficijent C₂ - zbir 5, kao što je i za primarni i sekundarni astigmatizam, uz koeficijente B₃ i C₃, itd.).

Pošto je transverzna aberacija (prvi) prostorni izvod aberacije talasnog fronta (jednačine 1-4), izložilac nad visinom tačke u optičkom otvoru (r) je manji za jedan od izložioca u aberacionoj funkciji talasnog fronta. Iz tog razloga, zbir izložilaca nad r i h je takođe manji za jedan i, sledstveno tome, primarne abercije izražene kao poprečne (transverzne) se nazivaju aberacije trećeg reda.

Vrednost aberacionog koeficijenta je određena optičkim svojstvima površine, sredine prostora predmeta, i prostora slike, kao i daljinom i položajem predmeta u odnosu na optičku osu površine. U načelu, vrednost celog aberacionog izraza za bilo koju aberaciju, koji uključuje koeficijent i promenljive vrednosti, je mnogo manja za svaki sledeći red u odnosu na prethodni.

Aberacioni koeficijenti za primarne aberacije slike tačke[uredi | uredi izvor]

Činioci od kojih zavisi veličina koničnih aberacije mogu se promeniti na promenljive i nepromenljive. Prvi se menjaju u zavisnosti od daljine predmeta i osobina optičkog sklopa, dok je zavisnost aberacije u slučaju drugih stalna. Na primer, sferna aberacija kao greška talasnog fronta je uvek srazmerna četvrtom stepenu poluprečnika otvora, koma je uvek srazmerna trećem stepenu poluprečnka otvora, srazmerna udaljenosti slike tačke od ose, kao i kosinusu ugla tačke zraka u optičkom otvoru. Razdvajanje ovih činilaca u proračunu aberacije je, dakle, moguće i praktično: deo veličine aberacije koji sadrži promenljive činioce je tzv. aberacioni koeficijent (ovo nije stroga podela; aberacioni koeficijent u nekim tekstovima uključuje i udaljenost slike tačke od ose, tj. ugao polja).

Kao primer aberacionih koeficijenata u okviru ukupne aberacione funkcije mogu poslužiti izrazi koji opisuju tri primarne aberacije slike tačke konične optičke površine, sfernu aberaciju, komu i astigmatizam, za jednu optičku površnu. Veličina aberacije zavisi od osnovnih činilaca optičke slike,gde su činioci za koje se zavisnost aberacje menja:

udaljenost predmeta (L),
udaljenost slike (L'),
indeks prelamanja/odbjanja sredine pre optičke površine (n),
indeks prelamanja/odbjanja sredine posle optičke površine (n'),
poluprečnik zakrivljenosti optičke površine (R),
njena konična konstanta (K),

a oni za koje se zavisnost aberacije ne menja:

poluprečnik otvora optičke površine (d)
ugao otvora (θ), i
upadnog ugla glavnog zraka (α, koji se prema visini slike tačke h u ravni slike odnosi kao α=h/L' u radijanima).

Za optičku površinu koja ima oblik obrtnog konusnog preseka (konusoida), aberacioni koeficijent je dat kao:

              $s=-{\frac {GJ^{2}+Q}{8}}\qquad c={\frac {GJ}{2}}\qquad a={\frac {G}{2}}$      (12)

za sfernu aberaciju, komu, i astigmatizam, u tom redosledu, gde su G, J i Q združeni činioci dati kao:

          $G={\frac {1}{n'L'}}-{\frac {1}{nL}}\qquad J={\frac {1}{L}}-{\frac {1}{R}}\qquad Q={\frac {(n'-n)K}{R^{3}}}$     (13)

Za vrlo udaljen predmet posmatranja, kao u slučaju teleskopa, činilac G se pojednostavljuje i daljina slike se zamenjuje žižnom daljinom (ƒ, koja je u slučaju udubljenog ogledala jednaka polovini njegovog poluprečnika zakrivljenosti). Aberacioni koeficijenti u ovom slučaju su dati u sledećoj tabeli, kao i uzdužna i poprečna aberacija zraka, i vrh-dno (V-D) aberacija talasnog fronta, izražene pomoću ovih koeficijenata (poprečna aberacija je data kao poluprečnik roja tačaka zraka, n_p je indeks prelamanja površine sočiva).

ABERACIJA	SFERNA ABERACIJA	KOMA	ASTIGMATIZAM
Opšta površina	$s={\frac {1}{8}}\left[{\frac {2n}{n'fR^{2}}}+{\frac {(n'-n)K}{R^{3}}}\right]$	$c=-{\frac {n}{2n'fR}}$	$a={\frac {n}{2f}}$
Površina sočiva (vazduh-staklo)	$s={\frac {1}{8}}\left[{\frac {2}{n_{p}fR^{2}}}+{\frac {(n'-1)K}{R^{3}}}\right]$	$c=-{\frac {1}{2n_{p}fR}}$	$a={\frac {1}{2f}}$
Ogledalo	$s={\frac {1+K}{4R^{3}}}$	$c={\frac {1}{R^{2}}}$	$a={\frac {1}{R}}$
Uzdužna aberacija	$4sd^{2}f^{2}$	-	$2a\alpha ^{2}f^{2}$
Poprečna aberacija	$4sd^{3}f$	$3c\alpha d^{2}f$ <	$2a\alpha ^{2}df$
Talasni front	$W_{s}=sd^{4}$	$W_{c}=2c\alpha d^{3}$	$W_{a}=a\alpha ^{2}d^{2}$

Kao što aberacioni izrazi pokazuju, sam koeficijent ne predstavlja veličinu aberacije. On je deo aberacione funkcije bez tri elementa koji određuju njenu veličinu: visine (najveća vrednost jednaka poluprečniku otvora d) i ugla (θ) u optičkom otvoru, kao i visine slike tačke u ravni Gausove žiže (h). U slučaju sferne aberacije, koja je obrtno simetrična, i nezavisna od visine tačke u ravni slike, veličina aberacije data je proizvodom koeficijenta i činioca visine zraka na optičkoj površini. U slučaju asimetričnih aberacija, kao koma i astigmatizam, potrebno je uključiti i činilac ugla zraka na optičkoj površini (θ, koji zajedno sa visinom zraka određuje njegovu prostornu orijentaciju), kao i činlac visine slike tačke u ravni slike (h).

Pošto činilac G u imeniocu ima indeks n', koji u slučaju odbijanja zraka menja znak u odnosu na n, znak aberacije se u slučaju ogledala takođe menja saglasno tome. U slučaju sferne aberacije i astigmatizma, poprečna aberacija je manja od uzdužne za faktor d/ƒ (koma nema longitudinalnu aberaciju).

Aberaciona funkcija i tačka najbolje žiže[uredi | uredi izvor]

Aberaciona funkcija talasnog fronta opisuje oblik talasnog fronta kao odstupanje od savršene sfere sa središtem zakrivljenosti u tački Gausove žiže. Ovaj talasni front je polazna osnova za nalaženje najbolje žiže - koja se za sve tri primarne aberacije slike tačke, sfernu, komu i astigmatizam - ne poklapa sa Gausovom žižom. U načelu, najbolja žiža je tačka koja je središte zakrivljenosti sfere u odnosu na koju je odstupanje talasnog fronta najmanje. Često su za tačku najbolje žiže i V-D i RMS greška talasnog fronta takođe najmanje, ali ne uvek. Za nizak do umeren nivo aberacija (do ~0,15λ RMS) najniža RMS greška ono što određuje tačku najbolje žiže.

Aberaciona funkcija, prstenast otvor[uredi | uredi izvor]

U načelu, aberaciona funkcija za kružni otvor i Gausovu žižu važi i za aberacije prstenastog otvora, u smislu da opisuje oblik talasnog fronta za ovu tačku. Slično kao u slučaju nalaženja najbolje poredbene sfere u slučaju kružnog otvora, ovaj talasni front služi kao osnova da se odredi oblik talasnog fronta u nezaklonjenom delu otvora. Najbolja žiža za ovaj deo talasnog fronta nije ista kao u slučaju kružnog otvora, a takođe se menjaju V-D i RMS greška, kao i preraspodela energije u fizičkoj slici tačke.

Označavanje aberacija[uredi | uredi izvor]

Svrha označavanja aberacija je da se aberacije prikažu i svrstaju prema svojim osobinama. Označavanje se svodi na aberacione koeficienate koničnih aberacija, i zasnovano je na aberacionoj funkciji. Ono uključuje kako same činioce funkcije, tako i njihove izložioce. U ovom okviru, opšti oblik aberacionog izraza dat je sa:

                       $_{2l+m}w_{nm}d^{n}h^{2l+m}cos^{m}\theta$          (14)

gde su w, d, h i θ opšta oznaka aberacionog koeficijenta, poluprečnik otvora, visina tačke u ravni slike i ugao otvora (u tom redosledu), dok su l, m, i n izložioci vezani za činioce funkcije. Donja tabela prikazuje označavanje za pet primarnih aberacija, i za četiri odabrane sekundarne aberacije.

NIVO	ABERACIJA	l	n	m	2l+m	Aberacioni izraz	Red 2l+m+n
I	SFERNA	0	4	0	0	₀w₄₀d⁴	4
I	KOMA	0	3	1	1	₁w₃₁d³hcosθ	4
I	ASTIGMATIZAM	0	2	2	2	₂w₂₂d²h²cos²θ	4
I	ZAKRIVLjENOST (DEFOKUS)	1	2	0	2	_2lw₂₀d²h²	4
I	IZOBLIČENjE (NAGIB)	1	1	1	3	₃w₁₁dh³cosθ	4
II	SFERNA	0	6	0	0	₀w₆₀d⁶	6
II	KOMA	0	5	1	1	₁w₅₁d⁵hcosθ	6
II	ASTIGMATIZAM	0	4	2	2	₂w₄₂d⁴h²cos²θ	6
II	STRELE (TROLIST)	0	3	3	3	₃w₃₃d³h³cos³θ	6

Ceo izraz u predposlednjoj koloni je pun aberacioni koeficijent, koji je jednak V-D greški talasnog fronta u Gausovoj žiži za sfernu aberaciju, astigmatizam i zakrivljenost polja, ili polovini V-D greške u slučaju kome i nagiba talasnog fronta.

Zbir 2l+m+n dat u poslednjoj koloni predstavlja red aberacije. Aberacije talasnog fronta za koje je 2l+m+n=4 zovu se primarne, ili četvrtog reda, one za koje je 2l+m+n=6 sekundarne, ili šestog reda, one sa 2l+m+n=8 tercijarne, ili osmog reda, itd. Jednostavnije rečeno, aberacije za koje je zbir izložilaca za poluprečnik otvora d i visine tačke u ravni slike h jednak 4 su primarne, one za koje je ovaj zbir 6 su sekundarne, itd.

Ortogonalne aberacije Frica Zernikea[uredi | uredi izvor]

Poslednji značajan doprinos teoriji optičkih aberacija je primena teorije ortogonalnih polinoma kruga holandskog fizičara (takođe hemičara, matematičara i astronoma) Frica Zernikea na izražavanje aberacija i njihovog efekta. Svaki polinom je aberaciona funkcija pojedinačne aberacije i, slično kao u slučaju klasičnih aberacija, deo ukupne aberacione funkcije, koja se sastoji od neograničenog broja polinoma, tj. aberacionih oblika. Postoje različiti načini na koje se utvrđuje redosled polinoma; u načelu, aberaciona funkcija počinje sa najjednostavnijim, i širi se prema složenijim aberacionim oblicima.

U odnosu na klasičnu teoriju, prednost primene Zernikeovih polinoma je u tome što omogućava izražavanje zajedničkog efekta aberacija različitog reda, koje su u klasičnoj teoriji razdvojene. Takođe, što kombinovanjem neograničenog broja različitih oblika deformacija omogućava da se izraze osobine najrazličitijih vrsta aberacija, uključujući nepravilne aberacije stvarnih optičkih površina, ne samo aberacije idealnih matematičkih površina, kakve su, na primer, konične površine.

Osnovni okvir[uredi | uredi izvor]

Svaki polinom matematički opisuje određen oblik trodimenzionalne deformacije talasnog fronta - u načelu aberacije koničnih površina do proizvoljno visokog reda, uz dodatak defokusa i nagiba talasnog fronta - koje se mogu kombinovati po potrebi da se postojeći složeni talasni front rekonstruiše koristeći ove oblike deformacija. Polinomi, tj. različiti oblici deformacija se zbiraju koristeći tzv. Zernike izraze, u podobnim veličinama i orijentacijama, dok se ne dobije dovoljno tačan oblik talasnog fronta i njegovih osobina (kao što su oblik, V-D i RMS greška, kao i fizička svojstva zasnovana na njima - Strel racio, funkcija širenja tačke, funkcija optičkog prenosa, i druge).

Ovaj postupak se zove uklapanje Zernike izraza u talasni front (ponekad se upotrebljava obrnuta terminologija, tj. rastavljanje talasnog fronta na Zernike izraze).

Slika desno prikazuje osnovni okvir Zernike aberacionih polinoma. Oblik odstupanja talasnog fronta za svaki polinom dat je u odnosu na ravan jediničnog kruga, koja deli oblik odstupanja na dva dela sa istim prosečnim odstupanjem suprotnog znaka (u odnosu na ravan kruga), i zato se zove ravan nule ili nulta ravan (eng. zero mean). Oblik odstupanja je dat u ravni kruga radijalnim koordinatama ρ i θ, gde treću dimenziju oblika odstupanja predstavlja samo odstupanje u datoj tački kruga (primer odstupanja gore desno je primarna sferna aberacija u najboljoj žiži).

Opšti oblik polinoma, tzv. Zernike aberacioni izraz (eng. Zernike aberration term), sastoji se iz tri dela:
(1) Zernike ortogonalnog polinoma kruga, koji određuje osnovni oblik odstupanja,
(2) činioca poravnanja (eng. normalization factor), kojim se različiti oblici odstupanja svode na "zajednički imenilac", zasnovan na RMS grešci talasnog fronta, čime se omogućava da se oni direktno sabiraju i oduzimaju, i
(3) tzv. koeficienta proširenja (eng. expansion coefficient), čija je apsolutna vrednost jednaka RMS greški talasnog fronta.

Ortogonalni Zernike polinom kruga pomnožen sa činiocem poravnanja predstavlja tzv. ortonormalni Zernike polinom kruga.

Svojstva[uredi | uredi izvor]

Osnovna svojstva aberacionih polinoma Zernikea su:

svaki polinom predstavlja aberaciju u žiži za koju je RMS greška talasnog fronta najmanja
aberacioni polinomi Zernikea imaju svojstvo ortogonalnosti, što je svojstvo funkcije iz kog proističe da je zbir ukupnih odstupanja polinoma sa dve strane nulte ravni jednak nuli (zbog ovog svojstva Zernike polinomi se takođe nazivaju ortogonalne aberacije)
red aberacije određen je brojnim činiocem n: polinomi sa n=1 su aberacije prvog reda, ili primarne aberacije, sa n=2 sekundarne, sa n=3 tercijarne, itd.
vrednost pojedinačnog polinoma je srazmerna V-D grešci talasnog fronta, i određena vrednošću koeficijenta proširenja, tj. vrednošću RMS greške talasnog fronta pripisane polinomu
RMS greška talasnog fronta za bilo koji zbir polinoma jednaka je kvadratnom korenu zbira kvadrata RMS greški pojedinačnih polinoma

Označavanje[uredi | uredi izvor]

Svi polinomi su definisani sa samo dva brojna činioca, pozitivna cela broja n i m, gde je n najviši izložilac nad ρ (brojno jednak izložiocu nad visinom tačke u optičkom otvoru u okviru klasične aberacione funkcije), dok m predstavlja obrtnu ugaonu učestalost polinoma (brojno jednak izložiocu nad visinom tačke u ravni slike u klasičnoj aberacionoj funkciji). Kao što opšti Zernike izraz govori, oblik odstupanja talasnog fronta W dat je zbirom neograničenog (proizvoljnog u broju i vrsti) polinoma određenih u obliku njihovim n i m vrednostima, i određenih vrednošću koeficijenta u veličini odstupanja.

Ova dva brojčana činioca se takođe koriste za obeležavanje Zernike aberacija, bilo u slučaju aberacionog izraza, ili koeficijenta. Prvi se obično obeležava velikim slovom, u opštem obliku kao Z_n^m, dok se drugi obeležava malim slovom, u obliku z_nm.

Na primer, Zernike aberacioni izraz za primarnu sfernu aberaciju je Z₀⁴, za komu Z₁³, za astigmatizam Z₂², dok je Zernike činilac proširenja za iste z₄₀, z₃₁ i z₂₂ (za Zernike izraz se najčešće koristi slovo Z, dok je izbor slova za činilac proširenja više proizvoljan).

U donjoj tabeli dati su Zernike izrazi i njihovi osnovni delovi za nekoliko izabranih aberacija.

ABERACIJA	n	m	ORTOGONALNI POLINOM	ORTONORMALNI POLINOM	ABERACIONI IZRAZ (Z_n^m)
Nagib	1	0	ρcosθ	2ρcosθ	[2ρcosθ]z₁₁
Defokus	2	0	2ρ²-1	(√3)(2ρ²-1)	[(√3)(2ρ²-1)]z₂₀
Sferna, prim.	4	0	6ρ⁴-6ρ²+1	(√5)(6ρ⁴-6ρ²+1)	[(√5)(6ρ⁴-6ρ²+1)]z₄₀
Sferna, sek.	6	0	20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1	(√7)(20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1)	[(√7)(20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1)]z₆₀
Koma, prim.	3	1	(3ρ³-2ρ)cosθ	(√8)(3ρ³-2ρ)cosθ	[(√8)(3ρ³-2ρ)cosθ]z₃₁
Koma, sek.	5	1	(10ρ⁵-12ρ³+3ρ)cosθ	(√12)(10ρ⁵-12ρ³+3ρ)cosθ	[(√12)(10ρ⁵-12ρ³+3ρ)cosθ]z₅₁
Astigmatizan, primarni	2	2	ρ²cos2θ	(√6)ρ²cos2θ	[(√6)ρ²cos2θ]z₂₂
Astigmatizam, sekundarni	4	2	(4ρ⁴-3ρ²)cos2θ	(√10)(4ρ⁴-3ρ²)cos2θ	[(√10)(4ρ⁴-3ρ²)cos2θ]z₄₂

Grafički primeri[uredi | uredi izvor]

Na slici desno je nekoliko prvih ortogonalnih polinoma, u vidu funkcije, i u vidu celokupne mape odstupanja od poredbene sfere. Polinomi sa kosinusnim činiocem su dati za cosθ=0, tj. duž ose aberacije, gde je odstupanje najveće (u sva tri slučaja, nagiba, kome i astigmatizma, osa aberacije se poklapa sa vodoravnim središnjim presekom mape; u slučaju astigmatizma, funkcija u negativnom delu ima isti oblik kao u pozitivnom, ali je obrnuta za 90° i projektuje se kao linija). U slučaju radijalno simetričnih polinoma, kod kojih je kosinusni činilac odsutan, mapa odstupanja se ne menja sa obrtnim uglom.

Polinomi postaju sve složeniji kako se n i m uvećavaju, dobijajući dodane krive i radijalno, i sa obrtnim uglom, s čim se i odgovarajuće mape odstupanja usložnjavaju.

Zernike aberacioni izraz i V-D/RMS greška talasnog fronta[uredi | uredi izvor]

Mada aberacioni polinomi Zernikea ne izražavaju neposredno vrh-dno (V-D) i root-mean-square (RMS) grešku talasnog fronta, oni koriste isti osnovni oblik aberacionih izraza kao klasične aberacije, i uvek imaju odgovarajuću V-D i RMS vrednost.

Osnovni oblik polinoma u praktičnoj upotrebi je Zernikeov aberacioni izraz, čija tri dela su ortogonalni polinom, koeficijent proširenja i činilac poravnanja. Ortogonalni polinom odražava V-D grešku talasnog fronta, koeficijent proširenja je jednak apsolutnoj vrednosti RMS greške, dok je činilac poravnanja vrednost koja omogućava neposredno sabiranje i oduzimanje različitih izraza.

Pošto se Zernike aberacije izražavaju kao vrednost pojedinih izraza, V-D i RMS greška nisu vidljive. Najjednostavniji način da se do njih dođe je da se vrednost Zernike izraza za datu aberaciju podeli sa činiocem poravnanja, čime se dobija vrednost koeficijenta proširenja, tj. RMS greška kao apsolutna vrednost koeficijenta (koji može biti pozitivan i negativan).

Pošto je količnik V-D prema RMS grešci dat proizvodom činioca poravnanja i zbira apsolutnih vrednosti najvećeg negativnog i pozitivnog odstupanja talasnog fronta od ravni nule ortogonalnog Zernike polinoma, za dobijanje vrednosti V-D greške neophodno je znati vrednost ovog odstupanja (koje je srazmerno, ali ne jednako V-D grešci). Za većinu aberacionih oblika V-D greška je najveća na ivici talasnog fronta (tj. za vrednost promenljive polinoma ρ=1, u kom slučaju i sam polinom ima vrednost 1, dok je promena znaka posledica promene θ u cosθ), u kom slučaju je zbir dva najveća (pozitivna i negativna) odstupanja 2, dajući kao količnik V-D prema RMS grešci dvostruku vrednost činioca poravnanja. Ovo važi za skoro sve primarne Zernike aberacione izraze, kao i za nagib i defokus, i za sve izraze višeg reda.

Slika 30: PRIMARNA SFERNA ABERACIJA - NAJVEĆE NEGATIVNO ODSTUPANjE TALASNOG FRONTA

Jedini izuzetak je primarna sferna aberacija, kod koje je najveće odstupanje talasnog fronta sa jedne strane nulte ravni za vrednost ρ manju od jedan i, takođe, sa vrednošću odstupanja manjom od 1 (slika desno).

Vrednost ρ za najveće odstupanje u ovom slučaju je određena tačkom za koju je tangenta na krivu polinoma paralelna sa x-osom (koja seu ovom slučaju poklapa sa nultom linijom, tj. bočnom projekcijom nulte ravni). Ova vrednost ρ je ona za koju je prvi izvod ortogonalnog polinoma jednak nuli. Prema opštoj definiciji za funkciju oblika f(x)=xⁱ prvi izvod je f'(x)=ix^(i-1), što u ovom slučaju daje vrednost ρ koja zadovoljava 24ρ³-12ρ=0, tj. ρ=0.5^0.5. Odgovarajuća vrednost polinoma, tj. odstupanja je -0.5, što znači da je u slučaju primarne sferne aberacije količnik V-D prema RMS grešci dat proizvodom 1.5 i činioca poravnanja.

Veza između Zernike izraza i RMS i V-D greške talasnog fronta sažeta je u donjoj tabeli za prvih 15 aberacionih izraza na osnovu Vajantove šeme širenja (eng. Wyant's Zernike term expansion scheme, pojednostavljeno izostavljanjem pistona i sinusnih izraza, koji su isti kao kosinusni izuzev što sinusna funkcija zamenjuje kosinusnu; obeležavanje je pojednostavljeno korišćenjem rednog broja umesto n i m).

#	ABERACIJA	_ABERACIONI IZRAZ_ (Z)	činilac poravnanja (N)	koeficijent proširenja (z)	RMS GREŠKA (Z/N)	V-D GREŠKA
1	NAGIB	2(ρcosθ)z₁	2	z₁	Z₁/2	2Z₁
2	DEFOKUS	(√3)(2ρ²-1)z₂	√3	z₂	Z₂/√3	2Z₂
3	ASTIGMATIZAM primarni	(√6)(ρ²cos2θ)z₃	√6	z₃	Z₃/√6	2Z₃
4	KOMA prim.	(√8)[(3ρ³-2ρ)cosθ]z₄	√8	z₄	Z₄/√8	2Z₄
5	SFERNA prim.	(√5)(6ρ⁴-6ρ²+1)z₅	√5	z₅	Z₅/√5	1,5Z₅
6	TROLIST	(√8)(ρ³cos3θ)z₆	√8	z₆	Z₆/√8	2Z₆
7	ASTIGMATIZAM sekundarni	(√10)[(4ρ⁴-3ρ²)cos2θ]z₇	√10	z₇	Z₇/√10	2Z₇
8	KOMA sek.	(√12)[(10ρ⁵-12ρ³+3ρ)cosθ]z₈	√12	z₈	Z₈/√12	2Z₈
9	SFERNA sek.	(√7)(20ρ⁶-30ρ⁴+12ρ²-1)z₉	√7	z₉	Z₉/√7	2Z₉

Na primer, ako je vrednost Zernike izraza 0,2, ona u slučaju primarne sferne aberacije znači da je RMS greška talasnog fronta ω=0,2/√5=0,0894, a V-D greška W=1,5√5(0,2/√5)=0,3. U slučaju primarne kome, ω=0,2/√8=0,0707, W=2√8(0,2/√8)=0,4, itd. (u upotrebi se vrednost aberacionog izraza često naziva "koeficijent", što je pogrešno sa stanovišta teoretskog okvira, u kom je koeficijent samo deo aberacionog izraza).

Ukupna greška svih aberacionih izraza čiji zbir opisuje talasni front data je u vidu RMS greške, koja je jednaka korenu zbira kvadrata RMS greški svih pojedinih izraza, tj. zbira kvadrata koeficijenata proširenja, kao:

                           $\omega ={\sqrt {\sum (z_{nm})^{2}}}$       (15)

Brojčana vrednost aberacionog izraza za dati nivo aberacije se menja u zavisnosti od toga da li je činilac proširenja, kao RMS greška talasnog fronta u apsolutnoj vrednosti, izražen neposredno kroz dužinske jedinice (obično mikrometre), ili u jedinici talasne dužine svetlosti. U drugom slučaju, vrednosti aberacionih izraza i izvedenih veličina, kao i za mere greške talasnog fronta uopšte, važe samo za tu talasnu dužinu.

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Izvori[uredi | uredi izvor]

Astronomical optics, D. Schroeder 1987
Optical imaging and aberrations I-II, V.N. Mahajan 1998
Modern optical engineering, W.J. Smith 2000
Reflecting telescope optics I, R.N. Wilson 2004
Karl Schwarzschild and telescope optics, R.N. Wilson 1994
Introduction to the aberration theory of optical instruments based on the concept of the “Eikonal”, K. Schwarzschild 1905
Theory of mirror telescopes, K. Schwarzschild 1905
Applied optics and optical design, A.E. Conrady 1929
Amateur astronomer's handbook, J.B. Sidgwick 1971
Telescope optics, H. Rutten and M. van Venrooij 1989
Star testing astronomical telescopes, H.R. Suiter 1999
Aberration theory made simple, V.N. Mahajan 1991
Higher order aberration theory (Progress in optics IV), J. Focke 1964

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

http://www.solohermelin.com/optics.html Arhivirano na sajtu Wayback Machine (28. april 2016)

Normativna kontrola
Državne	Španija Češka
Ostale	Enciklopedija Britanika 2