Лепота у математици

Пример "лепоте у методи"—једноставан и елегантан доказ теореме Теорема.

Лепота у математици описује појам да се неки математичари естетиком  свог рада задовољавају, и из математике у целини. Они изражавају ово задовољство, описујући математику (или, најмање, неке аспекте математике) као лепота. Математичари описују математику као уметничку форму или, у најмању руку, као креативну активност. Пореди се често су са музиком и поезијом.

Бертранд Расел је изразио осећање лепоте y математици у овим речима:

Математика, с правом сматрати, има не само истину већ и највишу лепоту — лепоту хладну и сурову, као скулптурa, без права на жалбу на било који део наше слабије природе, без изузетних особина сликарства или музике, али узвишено чисти у стању строгим савршенством коју само уметност може да покаже. Прави дух задовољства, осећај да си више него човек, што је мерило највише изврсности, је присутан у математици баш као и поезији.  

Пал Ердеш је изразио своју тачку гледишта на математику, када је рекао, "зашто су бројеви лепи? То је као да питате зашто Бетовенова девета симфонија лепо звучи. Ако не Можете да видите, нико вам не може да показати. Ја знам да су бројеви лепи. Ако нису лепи, није ништа".

Лепота у методи

Математичари описују посебно угодан начин доказивања као елегантан. У зависности од контекста, то може да значи:

-Доказ да користи минимум додатних претпоставки или претходних резултата.

-Доказ да је необично језгровит.

-Доказ који доноси резултат на изненађујући начин (нпр неповезане теореме или прикупљање теорема.)

-Метод доказа који се могу лако генерализовати да реше породицу сличних проблема.

У потрази за елегантан доказ, математичари често траже различите независне начине да докажу резултат— да се утврди да први доказ не може да буде најбољи. Теорема за коју је откривено више различитих доказа је вероватно Питагорина теорема, уз стотине доказа који су објављени. Друга теорема која је доказана различитим начинима је теоремаквадратних реципроцитета-Карл Фридрих Гаус је сам објавио осам различитих доказа ове теореме.

Насупрот томе, резултати који су логички исправни, укључују тешке калкулације, преко-разрађене методе, врло конвенционалне приступе, или да се ослоне на велики број посебно моћних аксиома или претходни резултати се обично не сматрају елегантаним, а могу се назвати ружни или неспретни .

Лепота у резултатима

Почевши са е⁰ = 1, путешествующий на брзину сам релативно једне позиције у току времена π, и додате 1, долази на 0. (Графикон је Арган шема)

Неки математичари виде лепоту у математичким резултатима који успостављају везе између две области математике које на први поглед изгледају неповезано. Ови резултати су често описују као дубоки.

Иако је тешко наћи универзални споразум о томе да ли је резултат дубок, неки примери се често наводе. Један од њих је Ојлеров идентитет:

${\displaystyle }$

Ово је посебан случај Ојлерове формуле, коју је физичар Ричард Фејнман назвао "наш драгуљ" и "најзначајнија формула у математици". Модерни примери су теорема модуларности, којим се успостављају важне везе између елиптичких кривих и модуларних форма (рад на што је довело до додељивања Волф награде заЕндру Вајлс  и Роберт Лангландса), и "монструозна месечина", који повезује Монстер групу за модуларне функције путем теорије струна за коју је Ричард Борцхердс добио Филдсова медаљу.

Други примери дубоких резултата укључују неочекиване закључке у математичкој структури. На пример, Гаусова Теорема Егрегиум је дубока теорема, која повезује локалне појаве (закривљеност) у глобални феномен (Површина). Конкретно, површина троугла на криве површине је пропорционални вишак троугла и пропорционалност је кривина. Други пример је основна теорема калкулације (и његове вектор верзије, укључујући и Гринову теорему и Стоуксова теорема).

Насупрот дубоких реѕултата су тривијални. Тривијална теорема може бити резултат, који се може добити у на једноставан начин из познатих резултата, или да се односи само на одређен скуп, као што су празан скуп. Понекад, међутим, изјава теореме може да буде довољно оригинална да се сматра дубоком, иако је њен доказ довољно очигледан.

У свом математичарском извињењу, Харди говори о томе да леп доказ или резултат има "неминовности", "изненађења" и "економију".

Рота се не слаже са изненађењима услова за лепотом и нуди контрапример:

A great many theorems of mathematics, when first published, appear to be surprising; thus for example some twenty years ago [from 1977] the proof of the existence of non-equivalent differentiable structures on spheres of high dimension was thought to be surprising, but it did not occur to anyone to call such a fact beautiful, then or now.

Можда иронично, Mанастирски пише:

It is very difficult to find an analogous invention in the past to Milnor's beautiful construction of the different differential structures on the seven-dimensional sphere... The original proof of Milnor was not very constructive, but later E. Briscorn showed that these differential structures can be described in an extremely explicit and beautiful form.

То неслагање илуструје оба и субјективни карактер математичке лепоте и његове везе са математичким резултатима: у овом случају, не само присуство егзотичних сфера, али и посебне реалиѕације њиховог спровођења.

Постоји нека врста "хладне и строге" лепоте која је веза од пет коцки

Интересовање у чистој математици одвојено од емпиријског истраживања је део искуства различитих цивилизација, укључујући древних грка, који су "развили математику због њене лепоте". Математичка лепота може такође бити тестирана изван чисте математике. На пример, естетско задовољство коју математичка физика има у Ајнштајновој теорији опште теорије релативности је била условљена ( Пол Дирак, конкретно) у својој "Велика математичка лепота".

У извесној мери радост у манипулацији бројева и симбола вероватно мора бити везана математиком. С обзиром на корисност математике у науци и инжењерингу, врло је вероватно да било које технолошко друштво ће активно развијати ове естетике, наравно, у својој филозофији науке , ако нигде другде.

Лепота у математици је доживљена када се физичка реалност објеката развија на основу потпуно апстрактних математичких модела. Математичари развијају једну целу област математике. Физичари су открили да ове апстрактне математичке гране схватамо својим запажањем. На пример, у теорији група, развијене у раним 1800-им са сврхом решавања полиномиалних једначина, испоставило се да је добар метод за класификацију елементарних честица. На сличан начин, учењее о чворовима, садржи важне информације о теорији струна и пресавијене квантне гравитације.

Најинтензивније искуство лепоте у математици за већину математичара долази од активног учешћа у математици. Веома је тешко уживати математику у чисто пасиван начин—у математици не постоји права аналогија улоге гледаоца. Бертранд Расел наводи на строге лепоте математике.

Лепота и филозофија

Неки математичари мисле да радећи математику су ближи откривању, него изумевању, на пример:

Не постоји научни истраживач, песник, сликар, му, who will not tell you that he found ready made his discovery or poem or picture – that it came to him from outside, and that he did not consciously create it from within.

— William Kingdon Clifford, from a lecture to the Royal Institution titled "Some of the conditions of mental development"

Ови математике верују да детаљне и прецизне резултате математике могу да буду разумно предузете да би било истинито, не зависи ни од Универзума у коме живимо. На пример, они тврде да је теорија природних бројева је у основи исправан, тако да не захтева неку посебну контекста. Неке математике да преведе ову тачку гледишта, да је математичка лепота је истина поред тога, у неким случајевима, постаје мистицизам.

Питагорине математике веровали у буквално стварности бројеве. Отварање постојање ирационалних бројева је био шок за њих, јер су веровали постојању бројева, не выражаемый као однос два природних бројева бити мана у природи (Пифагорейское поглед на свет не предвиђа граница бесконачних секвенци коефицијената природних бројева—савремени концепт бележе реални бројеви). Са данашње тачке гледишта, да их мистична приступ бројеви могу се сматрати као нумерологија.

У Платонфилозофија су два света, физички, у коме живимо и још један апстрактан свет, који садржи суштинску истину, укључујући и математике. Он је веровао да је физички свет је само одраз више савршен апстрактан свет.

Мађарски математичар пао эрдеш говори о замишљеног књизи, у коју је Бог записао све најлепше математичке доказе. Када Эрдеша хтео да изразим посебну захвалност доказе, он би узвикнуо "то је из књиге!"

ДВАДЕСЕТОГ века француски филозоф Ален Бадью тврди да онтология - то је математика. Бадью такође верује у дубоке везе између математике, поезије и филозофије.

У неким случајевима, природни филозофи и други научници, који су широка употреба математике починила скакање излаз између лепоте и физичку истину на начин који је био у заблуди. На пример, на једној од фаза у његовом животу, Јохан Кеплер је веровао да пропорције орбите тада познатих планета у Сунчевом систему је уређен од Бога , да одговара концентрическое локација пет Платоновых тела, свака Орбита лежи на circumsphere један полиедар и у области другог. Јер постоји тачно пет Платоновых тела, Кеплер хипотеза може да прими само шест планетарни орбите и био је побијен по накнадном открићем Урана.

Лепота и математичке теорије информација

У 1970-их година, Аврам кртице и Фридер Наке се анализира веза између лепоте, обраде информацијаи теорија информација. у 1990-их година, Јурген Шмидхубера формулисан математичка теорија посматрача-зависи од субјективно лепоте на основу алгоритамских теорије информација: најлепше објекте између субјективна упоредивих објеката имају кратке алгоритмического опис (тј. Колмогоров тежине) у односу на оно што посматрач већ зна. Шмидхубера јасно прави разлику између прелепом и занимљив. Последња одговара обавијених од субјективна воспринимаемой лепоте: посматрач стално покушава да побољша предвидљивост и сжимаемости коментаре, откривање образаца, као што су понављања и симетрије и фрактального само-сличности. Сваки пут када посматрач процесу учења (можда прогнозе вештачке неуронске мреже) доводи до побољшања компресије података, као што низу надзор се може описати мањим бројем битова него раније, привремене интерестингнесс података одговара компресије напредак, и пропорционално посматрача унутрашње радозналости награда.

Математика и уметност

Музика

Примери коришћења математике у музици обухвата стохастическая Музика из Ксенакиса, Фибоначијеви у алатса Lateralus, контрапункт Баха, полиритмические структуре (као у Игор Стравинский'с Пролеће Свети), у метрички модулације од Елиот Картер, пермутација теорије у серийность од Арнолда Шенбергаи примена Шепард тон у Карлхайнца Штокхаузенаса химне.

Ликовна уметност

Шема из Леон Баттиста Албертиса 1435 Делла категорије, са стубовима у бекству на мрежи

Примери коришћења математике у визуелним уметностима: примена теорије хаоса и фракталне геометрије за компјутерске уметности, симетрија истраживања Леонардо да Винчи, проективной геометрије у развоју гледишта теорије Препород уметности, мреже у ОП-арт, оптички геометрије у камеру обсцура од Джамбаттиста Делла порта, и неколико аспеката аналитичких кубизма и футуризма.

Холандски дизајнер-распоред М. К. Есцхер је створио математички инспирисан ксилографии, литографија, и mezzotints. Ове функције немогуће објеката, истраживање бесконачности, архитектура, визуелни парадокси и тесселяции. Британски конструкционистской сликар Џон Ернест створио олакшице и слике инспирисане теорији група. и низ других британских уметника конструкционистской и система школа и математичке моделе и структуре као извор инспирације, укључујући и Ентони Хил и Петар Лове. Компјутерска технологија се заснива на математичке алгоритме.