Максвелове једначине

Амперов закон је физички закон који изражава чињеницу да магнетно поље настаје као последица кретања електричних набоја.

Приказ електричног поља које окружује позитивни (црвено) и негативни (плаво) електрични набој.

Приказ електричног поља између два тачкаста електрична набоја.

Поларизовани диелектрични материјал.

Радијално (попречно) електрично поље позитивне кугле.

Магнетно поље је простор око природних и вештачких магнета и унутар њих у којем делују магнетске силе.

Магнетно поље прстенастог магнета.

Максвелове једначине су основне једначине електромагнетизма. Назив су добиле по шкотском физичару Џејмсу Максвелу који је 1864. године објавио први пут рад са једначинама које објашњавају електромагнетске појаве. Овиме је објашњено јединство електричног и магнетног поља и њихова узрочно-последична повезаност. Неке од ових једначина су биле познате и пре овог рада, али их је Максвел први објединио и допунио својим открићима. Поједине једначине су познате и под називима Гаусов закон, Гаусов закон магнетизма, Фарадејев закон и Амперов закон (са Максвеловом исправком). Овај скуп једначина описује електрично и магнетно поље у простору и њихову зависност од густине наелектрисања и електричних струја. Неки пут се овом скупу придружи и Лоренцова једначина. Ове једначине описују свет електромагнетних интеракција у макроскопском свету и зову их једначинама класичног електромагнетизма.

Приказ једначина

Za razumevanje sledećih jednadžbi potrebno je poznavati osnove vektorske analize. Maксвеlove se jednaчине mogu prikazati u diferencijalnom i integralnom obliku. Ekvivalencija između ovih oblika zasniva se na Stokesovom i teoremu Gauss-Ostrogradski. Također postoji i četverodimenzionalni oblik koji se koristi u teoriji relativnosti i kvantnoj elektrodinamici. Univerzalni oblik Maxwellovih jednadžbi opisuje elektromagnetske fenomene u vakuumu, a u diferencijalnoj formi (u SI sustavu) glasi:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\cdot \epsilon _{0}\cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

gdje je:

$\rho \$ - gustoća električnoga naboja ili količina električnog naboja po jedinici volumena,

$\mathbf {J} \$ - gustoća električne struje, tok električnog naboja po jedinici površine u jedinici vremena,

$\epsilon _{0}\$ - dielektrična konstanta vakuuma (permitivnost),

$\mu _{0}$ - permeabilnost vakuuma, a jednaka je:

$\mu _{0}={1 \over {\varepsilon _{0}\cdot c^{2}}}$

gdje je $c\$ brzina svjetlosti.

U Maxwellovim jednadžbama implicitno se pretpostavlja da vrijedi jednadžba kontinuiteta:

${\partial {\rho } \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$

Ovo je zapravo zakon očuvanja naboja. Za svaku zatvorenu plohu u prostoru vrijedi da je tok struje koja prolazi kroz tu zatvorenu plohu jednak negativnoj promjeni količine naboja u tom prostoru.

Za potpuni opis elektromagnetskih fenomena pored Maxwell-ovih jednadžbi nužna je i jednadžba za Lorentzovu silu, kako bi se iz polja mogla odrediti sila:

$\mathbf {F} =q\cdot (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

Сажети приказ Максвелових једначина у СИ јединицама

диференцијални облик	повезујућа теорема	интегрални облик
Гаусов закон: извор електричног поља је електрични набој.	Гаусов	Електрични ток кроз затворену плочу једнак је укупном електричном набоју у њеној унутрашњости.
$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$	$\Leftrightarrow$	$\oint _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\mathrm {d} V$
Magnetsko polje nema izvora (ne postoje magnetski monopoli).	Gaussov	Magnetski tok kroz bilo koju zatvorenu plohu jednak je nuli.
$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\Leftrightarrow$	$\oint _{\partial V}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0$
Faradayev zakon indukcije: svaka promjena magnetskog polja stvara električno polje.	Stokesov	Integral vektora električnog polja po zatvorenoj krivulji jednak je negativnoj promjeni po vremenu magnetskog toka obuhvaćenog tom krivuljom.
$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\Leftrightarrow$	$\oint _{\partial A}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$
Prošireni Ampèreov zakon: oko vodiča kojim teče električna struja inducira se magnetsko polje, ali i svako promjenjivo električno polje inducirati će magnetsko polje.	Stokesov	Integral vektora jakosti magnetskog polja po zatvorenoj krivulji jednak je zbroju struje i vremenske promjene električnog toka obuhvaćenih tom krivuljom.
$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\Leftrightarrow$	$\oint _{\partial A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\int _{A}\mu _{0}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{A}\mu _{0}\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

У горњим једначинама кориштени су симболи СИ мерних јединица :

Симбол	Значење	SI јединице мере
$\mathbf {E}$	електрично поље	волт по метру или, њутн по кулону
$\mathbf {H}$	магнетско поље	ампер по метру
$\mathbf {D}$	електрична индукција	кулон по квадратном метру
$\mathbf {B}$	магнетска индукција	тесла, или, вебер по квадратном метру
$\ \rho \$	густина наелектрисања	кулон по кубном метру
$\mathbf {J}$	густина електричне струје	ампер по квадратном метру
$\mathrm {d} \mathbf {A}$	одсечак површине по којој се интеграли	квадратни метар
$\mathrm {d} V\$	део простора обухваћеног затвореном површином S	кубни метар
$\mathrm {d} \mathbf {l}$	део контуре која окружује површину S	метар
$\nabla \cdot$	оператор дивергенције	по метру
$\nabla \times$	ротор оператор	по метру

У табели су основне мерне јединице, али често се те физичке величине изражавају и у другим јединицама. Други закон, закон магнетског флукса, презентује чињеницу да магнетских монопола у природи нема. Постоје само диполи а једини извор магнетног поља је електрична струја и променљиво електрично поље. Фарадејев закон показује, да је променљиво (нестатичко) магнетно поље (B) узрок настанка електричног поља.

Објашњење Максвелових једначина

Prva jednadžba govori da je električni naboj izvor (ili ponor) električnog polja. Ukupni električni tok kroz zatvorenu plohu proporcionalan je količini električnog naboja koji se nalazi unutar volumena te plohe. Ako unutar te zatvorene plohe nema električnog naboja (ili je količina pozitivnog jednaka količini negativnog električnog naboja), ukupni električni tok kroz tu zatvorenu plohu je nula. No, to ne znači da u tom volumenu uopće nema električnog polja, već samo da ukupni tok iščezava. Dakle, ako nema električnog naboja u tom promatranom volumenu, koliko silnica električnog polja ulazi kroz plohu koja opisuje volumen, toliko silnica negdje i izlazi iz te iste zatvorene plohe.

Druga Maxwellova jednadžba slična je prvoj (u situaciji u kojoj ne postoji naboj), ali opisuje magnetsko polje. Ova jednadžba izriče da ne postoji "magnetski naboj" (magnetski monopol), to jest ne postoji izvor magnetskog polja, iz kojega bi proizlazio magnetski tok različit od nule. U svakoj točki prostora, količina silnica magnetskog polja koja ulazi u tu točku jednaka je količini silnica koje izlaze iz te točke, silnice magnetskog polja nemaju izvora (ili ponora). Stoga ukupni magnetski tok kroz zatvorenu plohu uvijek iščezava. To vrijedi i za izvore magnetskog polja, stoga je svaki izvor magnetskog polja barem dipol.

Максвелове једначине у макроскопском медију (средству)

Максвелове једначине описују понашање електричног и магнетног поља свугде у простору, ако су познати сви извори, то јест набоји и струје. У опису макроскопских објеката такав приступ није могућ из два разлога. Прво, број наелектрисаних честица у атомима и нуклеарним језграма врло је велик. Други је разлог да са макроскопске тачке гледања, сви детаљи у понашању поља и набоја на атомским и молекуларним димензијама нису релевантни. Оно што је битно, то је просечна вредност поља и извора у запремини која је велика у поређењу са једним атомом или молекулом. Овакве просечне вредности називају се макроскопска поља и макроскопски извори. У овом случају Максвелове једначине попримају облик:

$\nabla \cdot \mathbf {D} ={\rho _{slob.}}$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

$\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0$

$\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}={\mathbf {J} _{slob.}}$

где је:

$\mathbf {D} \$ - поље електричног помака,

$\mathbf {H} \$ - магнетизирајуће поље,

${\rho _{slob.}}\$ - густина слободног електричног набоја (укупна густина електричног набоја минус густина везаних електричних набоја),

${\mathbf {J} _{slob.}}\$ - густина слободне електричне струје (укупна густина електричне струје минус густина везаних електричних струја).

Величине $\mathbf {D} \$ i $\mathbf {H} \$ није једноставно одредити, јер је у њима садржана целокупна сложеност интеракције поља и средства (медија, то јест материјала у којем се поље налази). Могуће је да ове величине зависе од претходног стања средства (хистерезис), такође је могуће да су нелинеарне и просторно анизотропне. Ове једначине за поља у средству нису толико универзалне као почетно наведене једнаџбе. Ипак, Ј.К. Максвел их је на сличан начин првобитно формулисао. Везе између $\mathbf {E} \$ i $\mathbf {D} \$ te između $\mathbf {B} \$ i $\mathbf {H} \$ зову се конститутивне релације.

У најједноставнијем случају претпоставља се, да су електрична и магнетска својства средства хомогена и изотропна, те да се поља не мењају интензивно у времену. У стварности то вреди за диелектричне и парамагнетске материјале. Тада спољашње електрично поље ствара поларизацију $\mathbf {P} \$, која је линеарно пропорционална електричном пољу, док магнетно поље ствара магнетизацију $\mathbf {M} \$ пропорционалну магнетном пољу, те вреди:

$\mathbf {P} \ =\chi _{e}\cdot \epsilon _{0}\cdot \mathbf {E}$

$\mathbf {M} \ =\chi _{m}\cdot \mathbf {H}$

Тада је:

$\mathbf {D} \ =\epsilon _{0}\cdot \mathbf {E} +\mathbf {P} =\epsilon _{0}\cdot (1+\chi _{e})\cdot \mathbf {E} =\epsilon \cdot \mathbf {E}$

$\mathbf {B} =\mu _{0}\cdot (\mathbf {H} +\mathbf {M} )=\mu _{0}\cdot (1+\chi _{m})\cdot \mathbf {H} =\mu \cdot \mathbf {H}$

Опис закона

Гаусов закон

Гаусов закон описује однос међу статичким електричним пољем и наелектрисања које ствара то поље.

Види још

• Лоренцова сила
• Био-Саваров закон
• Кулонов закон

Литература

• On Faraday's Lines of Force – 1855/56 Maxwell's first paper (Part 1 & 2) – Compiled by Blaze Labs Research (PDF)
• On Physical Lines of Force – 1861 Maxwell's 1861 paper describing magnetic lines of Force – Predecessor to 1873 Treatise
• James Clerk Maxwell, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459–512 (1865). (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)
  • A Dynamical Theory Of The Electromagnetic Field – 1865 Maxwell's 1865 paper describing his 20 Equations, link from Google Books.
• J. Clerk Maxwell (1873) A Treatise on Electricity and Magnetism
  • Maxwell, J.C., A Treatise on Electricity And Magnetism – Volume 1 – 1873 – Posner Memorial Collection – Carnegie Mellon University
  • Maxwell, J.C., A Treatise on Electricity And Magnetism – Volume 2 – 1873 – Posner Memorial Collection – Carnegie Mellon University
• Joseph Larmor (1897) "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Phil. Trans. Roy. Soc. 190, 205–300 (third and last in a series of papers with the same name).
• Hendrik Lorentz (1899) "Simplified theory of electrical and optical phenomena in moving systems", Proc. Acad. Science Amsterdam, I, 427–43.
• Hendrik Lorentz (1904) "Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity less than that of light", Proc. Acad. Science Amsterdam, IV, 669–78.
• Henri Poincaré (1900) "La théorie de Lorentz et le Principe de Réaction", Archives Néerlandaises, V, 253–78.
• Henri Poincaré (1902) La Science et l'Hypothèse
• Henri Poincaré (1905) "Sur la dynamique de l'électron", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 140, 1504–8.
• Catt, Walton and Davidson. "The History of Displacement Current". Wireless World, March 1979.
• Imaeda, K. (1995), "Biquaternionic formulation of Maxwell’s Equations and their solutions", Clifford Algebras and Spinor Structures (editors—Rafał Ablamowicz, Pertti Lounesto) Springer; doi:10.1007/978-94-015-8422-7_16

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Maxwell equations”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• maxwells-equations.com — An intuitive tutorial of Maxwell's equations.
• Mathematical aspects of Maxwell's equation are discussed on the Dispersive PDE Wiki.
• Electromagnetism (ch. 11), B. Crowell, Fullerton College
• Lecture series: Relativity and electromagnetism, R. Fitzpatrick, University of Texas at Austin
• Electromagnetic waves from Maxwell's equations on Project PHYSNET.
• MIT Video Lecture Series (36 × 50 minute lectures) (in .mp4 format) – Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
• Feynman's derivation of Maxwell equations and extra dimensions
• Nature Milestones: Photons – Milestone 2 (1861) Maxwell's equations