Bernard Bolcano

Bernard Bolcano
Bernard Bolcano
Lični podaci
Datum rođenja	(1781-10-05)5. oktobar 1781.
Mesto rođenja	Prag, Bohemija
Datum smrti	18. decembar 1848.(1848-12-18) (67 god.)
Mesto smrti	Prag, Bohemija
Obrazovanje	Karlov univerzitet
Naučni rad
Polje	matematika, filozofija, logika
Institucija	Karlov univerzitet
Mentori	František Jozef Gerstner
Poznat po	Bolcanova teorema, Bolcano-Vajerštrasova teorema

Bernard Bolcano (češ. Bernard Bolzano), rođen kao Bernardus Placidus Johan Nepomuk Goncal Blocano (češ. Bernardus Placidus Johann Nepomuk Gonzal Bolzano; Prag, 5. oktobar 1781 — Prag, 18. decembar 1848) je bio češki matematičar italijanskog porekla, sveštenik proganjan od strane jezuita.

Pisao je na nemačkom, svom maternjem jeziku. Radovi su mu većinom postali istaknuti tek nakon njegove smrti, a štampani su tek posle Prvog svetskog rata. Pre mnogih istaknutih matematičara došao je do značajnih rezultata u matematičkoj analizi. Njegova najpoznatija dela su O funkcijama i Paradoksi beskonačnog.

Porodica

Nadgrobni spomenik Bernardu Bolcanu u Pragu.

Bolcano je bio sin dva pobožna Katolika. Njegov otac, Bernard Pompeijus Bolcano, bio je Italijan koji se preselio u Prag, gde se oženio Marijom Sesilijom Mojrer. Marija Sesilija Mojrer dolazila je iz praške porodice koja je pričala nemački jezik. Samo dvoje od njihove dvanaestero dece doživelo je odraslo doba.

Karijera

Bolcano je Univerzitet u Pragu upisao 1796. godine gde je studirao matematiku, filozofiju i fiziku. Od 1800. godine počinje da studira teologiju, a katolički sveštenik postao je 1804. godine. Imenovan je za novog predsednika katedre za filozofiju religije Praškog univerziteta 1805. godine. Pokazao se kao popularan predavač ne samo religije nego i filozofije, a izabran je za dekana Filozofskog fakulteta 1818. godine.

Bolcano je udaljio od sebe mnoge crkvene i vođe na fakultetu svojim učenjem o društvenom rasipanju militarizma i nepotrebnosti rata. On je pozvao na potpunu reformu obrazovnih, socijalnih i ekonomskih sistema koji bi usmerili interese nacije ka miru, a ne na oružani sukob između nacija. Nakon što je odbio da se odrekne svojih uverenja, Bolzano je 1819. otpušten sa univerziteta.

Njegova politička uverenja, koja je on bio sklon da deli sa drugima sa određenom učestalošću, na kraju su se pokazala kao previše liberalna za austrijske vlasti. Izgnan je na selo i potom je posvetio svoju energiju svojim spisima o društvenim, religijskim, filozofskim i matematičkim pitanjima.

Iako je njegovo izgnanstvo podrazumevalo zabranjivanje objavljivanja u mejnstrim časopisima, Bolcano je nastavio da razvija svoje ideje i objavljuje ih ili samostalno ili u nepoznatim istočnoevropskim časopisima. Vratio se u Prag 1842. godine, gde je i umro 1848. godine.

Matematički rad

Kuća Bernarda Bolcana u Pragu.

Bolcano je napravio nekoliko originalnih doprinosa matematii. Njegov opšti filozofski stav bio je da je, suprotno većini preovladajuće matematike tog doba, bolje ne uvoditi intuitivne ideje kao što su vreme i kretanje u matematiku. U tom smislu, on je bio jedan od prvih matematičara koji su počeli da uvode rigoroznost u matematičku analizu sa svoja tri glavna matematička rada Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik („Prilozi za potkrepljeni prikaz matematike”, 1810), Der binomische Lehrsatz („Binomna teorema”, 1816) i Rein analytischer Beweis („Potpun analitički dokaz”, 1817). Ovi radovi su predstavili „...primer novog načina razvoja analize”, čiji krajnji cilj ne bi bio ostvaren do nekih pedeset godina kasnije kada su privukli pažnju Karla Vajerštrasa.

Na temeljima matematičke analize on je doprinio uvođenju potpuno rigorozne ε–δ definicije matematičkog limita. Bolzano je prvi prepoznao najveće svojstvo donjih granica realnih brojeva. Poput nekoliko drugih njegovih savremenika, bio je skeptičan o mogućnosti infinitezimala Gotfrida Lajbnica, koji su bili najranija pretpostavljena osnova za diferencijalni račun. Bolcanov pojam limita bio je sličan modernom: da limit, umesto da bude relacija između infinitezimala, mora biti promenjen u termine kako zavisna promenljiva prilazi konačnoj količini kao što nezavisna promenljiva pristupa nekoj drugoj konačnoj količini.

Bolzano je takođe dao prvi čisto analitički dokaz osnovne teoreme algebre, koju je Gaus prvobitno dokazao iz geometrijskih razmatranja. On je takođe dao prvi čisto analitički dokaz teoreme o srednjoj vrednosti (takođe poznat kao Bolcanova teorema). Danas se uglavnom pamti po Bolcano-Vajerštrasovoj teoremi, koju je Karl Vajerštras razvio samostalno i objavio godinama nakon prvog Bolcanovog dokaza, a koji se u početku nazivao Vajerštrasova teorema sve dok Bolcanov raniji rad nije ponovo otkriven.

Filozofski rad

Bolcanovom posthumno objavljenom radu Paradoxien des Unendlichen („Paradoksi beskonačnog”, 1851) divili su se mnogi eminentni logičari koji su došli posle njega, uključujući Čarlsa Sandersa Persa, Georga Kantora i Ričarda Dedekinda. Bolcanovo najslavnije delo ipak je bilo Wissenschaftslehre (Teorija nauke) objavljeno 1837. godine, rad u četiri toma koji pokriva ne samo filozofiju nauke u modernom smislu, već i logiku, epistemologiju i naučnu pedagogiju. Logička teorija koju je Bolcano razvio u ovom radu je postala priznata kao revolucionarna. Ostala dela su četvorotomno Lehrbuch der Religionswissenschaft („Udžbenik nauke religije”) i metafizički rad Athanasia, odbrana besmrtnosti duše. Bolcano je takođe imao vredne radove vezane za matematiku, koji su praktično ostali nepoznati dok Oto Stolc nije ponovo otkrio mnoge njegove izgubljene članke i ponovo ih objavio 1881. godine.

Wissenschaftslehre (Teorija nauke)

U svom delu iz 1837. godine Wissenschaftslehre, Bolcano je pokušao da obezbedi logičke temelje za sve nauke, gradeći na apstrakcijama parcijalne odnose, apstraktne objekte, atribute, rečenične oblike, ideje i propozicije u njima, sume i skupove, kolekcije, supstance, adherence, subjektivne ideje, procene i pojave kazne. Ovi pokušaji su u suštini bili produžetak njegovih ranijih misli u filozofiji matematike, na primer njegovo delo Beiträge iz 1810. godine, gde je naglasio razliku između objektivnog odnosa između logičkih implikacija i našeg subjektivnog prepoznavanja ovih veza. Za Bolcana, nije bilo dovoljno samo da imamo potvrdu prirodnih ili matematičkih istina, već je to bila ispravna uloga nauke (i čiste i primenjene) da traže opravdanje u smislu osnovnih istina koje mogu ili ne moraju da se pojave očignedno našim intuicijama.

Uvod u Wissenschaftslehre

Bolcano počinje svoj rad objašnjavajući šta misli pod teorijom nauke i odnos između našeg znanja, istina i nauke. Ljudsko znanje, kaže on, sastoji se od svih istina (ili istinitih tvrdnji) koje ljudi znaju ili su znali. Ovo je. međutim, samo mali deo svih istina koje postoje, iako je još uvek previše za razumevanje ljudskog bića. Stoga je naše znanje podeljeno na pristupačnije delove. Takva zbirka istina je ono što Bolcano naziva naukom (nem. Wissenschaft). Važno je napomenuti da nisu sve istinite tvrdnje nauke poznate ljudima; stoga, to je način na koji možemo napraviti otkrića u nauci.

Da bismo bolje razumeli i spoznali istine nauke, stvorili smo udžbenike (nem. Lehrbuch), koji, naravno, sadrže samo istinite tvrdnje nauke poznate ljudima. Ali kako znati gde podeliti naše znanje, to jest, koje istine pripadaju zajedno? Bolcano objašnjava da ćemo na kraju znati ovo kroz neki odraz, ali da će rezultirajuća pravila o tome kako podeliti naše znanje u nauke biti nauka sama po sebi. Ova nauka, koja nam govori koje istine pripadaju zajedno i koju treba objasniti u udžbeniku, je teorija nauke (nem. Wissenschaftslehre).

Metafizika

U svom delu Wissenschaftslehre, Bolcano se uglavnom bavi trima oblastima:

(1) Područje jezika, koji se sastoji od reči i rečenica;
(2) Područje misli, koje se sastoji od subjektivnih ideja i procena i
(3) Područe logike, koje se sastoji od objektivnih ideja (ili ideja u njima) i tvrdnji u njima.

Bolcano posvećuje veliki deo dela Wissenschaftslehre objašnjenju ovih sfera i njihovih odnosa.

Dve razlike igraju istaknutu ulogu u njegovom sistemu. Prvo, razlika između delova i celina. Na primer, reči su delovi rečenica, subjektivne ideje su delovi procena, objektivne ideje su delovi samih tvrdnji u njima. Drugo, svi objekti se dele na one koji postoje, što znači da su oni kauzalno povezani i locirani u vremenu i/ili prostoru, i oni koji ne postoje. Bolcanova prvobitna tvrdnja je da je područje logike naseljeno objektima ove druge vrste.

Satz an Sich (tvrdnja sama u sebi)

Imanuel Kant

Satz an Sich je osnovni pojam u Bolcanovom Wissenschaftslehre. Uvodi se na samom početku, u odeljku 19. Bolcano prvi put uvodi pojmove tvrdnje (izgovorene ili pisane ili pomišljene ili same u sebi) i ideju (izgovorenu ili pisanu ili pomišljenu ili samu u sebi). „Trava je zelena” je tvrdnja (Satz): u ovoj vezi reči, nešto se kaže ili tvrdi. „Trava” je, međutim, samo ideja (Vorstellung). Nešto je predstavljeno njome, ali se ništa ne tvrdi. Bolcanovo shvatanje tvrdnje je prilično široko: „Pravougaonik je okrugao” je tvrdnja — iako je lažna zbog samokontradikcije — zato što je sastavljena na razumljiv način od razumljivih delova.

Bolcano ne daje potpunu definiciju Satz an Sich (tj. tvrdnje same u sebi), ali nam daje dovoljno informacija da bismo razumeli šta on pod tim misli. Sama tvrdnja (i) nema egzistenciju (to jest: nema poziciju u vremenu ili prostoru), (ii) ili je istinita ili je lažna, nezavisno od bilo koga ko zna ili misli da je istinita ili lažna i (iii) je ono što se „uhvati” kad počnemo da razmišljamo. Tako pisana rečenica („Sokrat je mudar”) uhvati u sebi tvrdnju, stoga je tvrdnja. Pisana rečenica ima egzistenciju (ima određenu lokaciju u određenom trenutku, recimo na ekranu vašeg računara u ovom trenutku) i izražava tvrdnju u sebi koja je u području same sebe (tj. an sich). (Bolcanova upotreba termina sich uveliko se razlikuje od Kantove)

Svaka tvrdnja sama po sebi je sastavljena od ideja u sebi (zbog jednostavnosti, koristićemo tvrdnju koja znači „tvrdnja sama u sebi” i ideju koja se odnosi na objektivnu ideju ili ideju samu u sebi). Ideje su negativno definisane kao oni delovi tvrdnje koji sami po sebi nisu tvrdnja. Tvrdnja se sastoji od najmanje tri ideje, a to su: ideja subjekta, ideja predikata i vezink. (Iako postoje tvrdnje koje sadrže tvrdnje, ali ih trenutno nećemo uzimati u obzir)

Bolcano identifikuje određene vrste ideja. Postoje jednostavne ideje koje nemaju delove (kao primer koji Bolcano koristi [šta]), ali postoje i složene ideje koje se sastoje od drugih ideja (Bolcano koristi primer [ništa], koja se sastoji od ideja [ni], odnosno varijacije negacije [ne] i [šta]). Složene ideje mogu imati isti sadržaj (to jest, iste delove) a da ne budu iste — jer su njihove komponente različito povezane. Ideja [Crna olovka sa plavim mastilom] se razlikuje od ideje [Plava olovka sa crnim mastilom] iako su delovi obe ideje isti.

Ideje i objekti

Važno je razumeti da ideja ne mora da ima objekat. Bolcano koristi objekt da označi nešto što je predstavljeno idejom. Ideja koja ima objekat, predstavlja taj objekat. Ali ideja koja nema objekat ne predstavlja ništa. (Ovde se ne treba zbuniti terminologijom: ideja koja nema objekta je ideja koja nema reprezentaciju.)

Razmotrimo, za dalje objašnjenje, primer koji koristi Bolcano. Ideja [okrugli kvadrat] nema objekat, jer je objekat koji treba da bude predstavljen samokontradiktoran. Drugi primer je ideja [ništa] koja svakako nema predmet. Međutim, tvrdnja [ideja okruglog kvadrata ima kompleksnost] ima kao subjekt-ideju [ideju o okruglom kvadratu]. Ova subjekt-ideja ima objekat, odnosno ideju [okrugli kvadrat]. Ali, ta ideja nema predmet.

Osim ideja bez objekta, postoje ideje koje imaju samo jedan predmet, npr. ideja [prvi čovek na Mesecu] predstavlja samo jedan objekat. Bolcano te ideje naziva „singularnim idejama”. Očigledno postoje i ideje koje imaju mnogo objekata (npr. [građani Amsterdama]), pa čak i beskonačno mnogo objekata (npr. [prost broj]).

Osećaj i jednostavne ideje

Bolcano ima kompleksnu teoriju o tome kako možemo da osetimo stvari. Objašnjava osećaj pomoću termina intuicija, što se na nemačkom jeziku naziva Anschauung. Intuicija je jednostavna ideja, ona ima samo jedan objekat (Einzelvorstellung), ali je, pored toga, i jedinstvena (ovo je Bolcanu potrebno kako bi objasnio osećaj). Intuicije (Anschauungen) su objektivne ideje, pripadaju području sich, što znači da nemaju egzistenciju. Kao što je rečeno, argumentacija Bolcana za intuicije je objašnjenje osećaja.

Ono što se dešava kada osećate stvarni postojeći objekat, na primer ružu, je ovo: različiti aspekti ruže, kao njen miris i njena boja, izazivaju u vama promenu. Ta promena znači da je pre i posle osećanja ruže vaš um u drugom stanju. Osjećaj je zapravo promjena u vašem mentalnom stanju. Kako se to odnosi na objekte i ideje? Bolcano objašnjava da je ova promena, u vašem umu, u suštini jednostavna ideja (Vorstellung), kao „ovaj miris” (ove pojedine ruže). Ova ideja nešto predstavlja; ona kao objekat ima promenu. Osim što je jednostavna, ova promena mora biti jedinstvena. To je zato što bukvalno ne možete imati isto iskustvo dva puta, niti mogu dvoje ljudi, koji mirišu istu ružu u isto vreme, imati potpuno isto iskustvo tog mirisa (iako će biti sasvim slični). Tako svaki pojedinačni osećaj uzrokuje jednu (novu) jedinstvenu i jednostavnu ideju sa određenom promenom kao svojim objektom. Ova ideja u vašem umu je subjektivna ideja, što znači da je u vama u određenom trenutku. Ima postojanje. Ali ova subjektivna ideja mora da odgovara ili ima kao sadržaj objektivnu ideju. Tu Bolcano donosi intuicije (Anschauungen); one su jednostavne, jedinstvene i objektivne ideje koje odgovaraju našim subjektivnim idejama o promenama izazvanim osećajem. Dakle, za svaki mogući osećaj postoji odgovarajuća objektivna ideja. Šematski, ceo proces je ovakav: kad god pomirišete ružu, njen miris izaziva promenu u vama. Ova promena je predmet vaše subjektivne ideje o tom posebnom mirisu. Ta subjektivna ideja odgovara intuiciji.

Logika

Prema Bolcanu, sve tvrdnje (kompleksne ili jednostavne) sastavljene su od tri elementa: subjekta, predikata i veznika. Umesto tradicionalnog sastavnog izraza „je”, Bolcano preferira „ima”. Razlog tome je da „ima”, za razliku od „je”, može povezati konkretan pojam, kao što je „Sokrat”, sa apstraktnim pojmom, kao što je „ćelavost”. „Sokrat ima ćelavost” je, prema Bolcanu, bolje od „Sokrat je ćelav” jer je drugi oblik manje bazičan: reč „ćelav” sama po sebi je sastavljena ode elemenata „nešto”, „što”, „ima” i „ćelavost”. Bolcano takođe smanjuje egzistencijalne tvrdnje na ovaj oblik: „Sokrat postoji” bi jednostavno postalo „Sokrat ima postojanje (Dasein)”.

Glavnu ulogu u logičkoj teoriji Bolcana ima pojam varijacija: različiti logički odnosi se definišu u smislu promena u vrednosti istine koje nastaju kada se njihovi nelogički delovi zamene drugim. Logičke analitičke tvrdnje, na primer, su one u kojima se svi nelogički delovi mogu zameniti bez promene vrednosti istine. Dve tvrdnje su „kompatibilne” (verträglich) u odnosu na jedan od njihovih sastavnih delova x ako postoji barem jedan termin koji se može umetnuti i koji bi učinili oba istinitim. Tvrdnja Q je „izvodljiva” (ableitbar) iz tvrdnje P, u odnosu na neki od njihovih nelogičkih delova, ako bilo koja zamena tih delova čini da je P istinito, a takođe čini i da je Q istinito. Ako je tvrdnja izvodljiva iz druge u odnosu na njene sve nelogičke delove, onda se kaže da je „logički izvodljiva”. Pored odnosa izvodljivosti, Bolcano ima i strožu vezu „posledičnosti” (Abfolge). Ovo je asimetričan odnos koji se dobija između istinitih tvrdnji, kada je jedna od tvrdnji ne samo izvodljiva, već i objašnjena drugom.

Istina

Bolcano razlikuje pet značenja koja reči istina i istinitost mogu imati u običnoj upotrebi, a on ih sve smatra neproblematičnim. Značenja su navedena u redosledu ispravnosti:

I Apstraktno objektivno značenje: Istina označava svojstvo koje se može primeniti na tvrdnju, pre svega na samu tvrdnju, odnosno na svojstvo na osnovu kojeg tvrdnja izražava nešto što je u stvarnosti onako kako je izraženo. Antonimi: neistina, netačnost, laž.

II Konkretno objektivno značenje: Istina označava tvrdnju koja ima svojstvo istine u apstraktnom objektivnom značenju. Antonim: neistina.

III Subjektivno značenje: Istina označava ispravan sud. Antonim: greška.

IV Kolektivno značenje: Istina označava telo ili višestrukost istinitih stavova ili sudova (npr. Biblijska istina).

V Neispravno značenje: Istina označava da je neki predmet u stvarnosti ono što neka denominacija kaže da jeste (npr. pravi Bog). Antonimi: lažni, nestvarni, iluzorni.

Bolcanov primarni interes bio je sa konkretnim objektivnim značenjem: sa konkretnim objektivnim istinama ili istinama u njima. Sve istine su same po sebi neka vrsta tvrdnji. One ne postoje, tj. nisu prostorno-vremenski locirane kao što su misli i govorne tvrdnje. Međutim, određene tvrdnje imaju svojstvo istine u sebi. Biti misaona tvrdnja nije samo deo pojma istine u sebi, bez obzira na činjenicu da, s obzirom na Božije sveznanje, sve istine u sebi su takođe misli istine. Pojmovi „istina u sebi” i „misli istine” su međusobno zamenljivi, jer se odnose na iste objekte, ali nisu identični.

Bolcano kao ispravnu definiciju (apstraktni cilj) nudi istinu: tvrdnja je istinita ako izražava nešto što se odnosi na njen predmet. Ispravna definicija (konkretnog cilja) istine prema tome mora biti: istina je tvrdnja koja izražava nešto što se odnosi na njen predmet. Ova definicija se odnosi na same istine, a ne na misli ili poznate istine, jer nijedan od pojmova koji se nalaze u ovoj definiciji nisu podređeni konceptu nečega mentalnog ili poznatog.

Bolcano u odeljcima 31–32 dela Wissenschaftslehre dokazuje tri stvari:

A Postoji barem jedna istina sama u sebi (konkretno objektivno značenje):

1. Nema istinitih tvrdnji (pretpostavka)

2. 1. je tvrdnja (očigledna)

3. 1. je istina (pretpostavka) i laž(zbog 1.)

4. 1. je samo sebi kontradiktorno (zbog 3.)

5. 1. je laž (zbog 4.)

6. Postoji barem jedna prava tvrdnja (zbog 1. i 5.)

B Postoji više od jedne istine same u sebi:

7. Postoji samo jedna istina u sebi, stoga B je A (pretpostavka)

8. A je B je samo po esbi istina (zbog 7.)

9. Nema drugih istina u njima osim da A je B (zbog 7.)

10. 9. je istinita tvrdnja/istina sama po sebi (zbog 7.)

11. Postoje dve istine u njima (zbog 8. i 10.)

12. Postoji više od jedne istine same u sebi (zbog 11.)

V Postoji beskonačno mnogo istina u njima samima:

13. Postoji samo n istina u njima samima, stoga A je B... Dž je Š (pretpostavka)

14. A je B... Dž je Š su n istina u njima samima (zbog 13.)

15. Nema drugih istina osim da A je B... Dž je Š (zbog 13.)

16. 15. je istinita tvrdnja/istina sama po sebi (zbog 13.)

17. Postoji n+1 istina u njima (zbog 14. i 16.)

18. Koraci 1. do 5. mogu se ponoviti za n+1 puta, što rezultira n+2 istine i tako bez kraja (jer je n promenljiva)

19. Postoji beskonačno mnogo istina u njima samima (zbog 18.)

Procene i spoznaje

Ernst Pop, Bista Bernarda Bolcana (1849)

Poznata istina kao svoje delove (Bestandteile) sadrži istinu u samoj sebi i procenu. Procena je misao koja navodi na pravu tvrdnju. U procenjivanju (barem kada je stvar procene istinita tvrdnja), ideja objekta se na određeni način povezuje sa idejom karakteristike. U istinitim procenama, odnos između ideje objekta i ideje karakteristike je stvaran/postojeći odnos.

Svaka procena po svojoj prirodi ima tvrdnju, koja je ili istinita ili lažna. Svaka procena postoji, ali ne für sich (sama za sebe). Procene, naime, za razliku od samih tvrdnji, zavise od subjektivne mentalne aktivnosti. Međutim, svaka mentalna aktivnost ne mora imati procenu; setite se da sve procene po svojoj prirodi imaju tvrdnju i stoga sve presude moraju biti istinite ili lažne. Samo prezentacije ili misli su primeri mentalnih aktivnosti koje ne moraju nužno biti navedene (behaupten), pa tako i nisu procene.

Procene koje imaju po svojoj prirodi tvrdnju mogu se nazvati spoznajama. Spoznaje takođe zavise od subjekta, i tako, suprotno istinama u sebi, spoznaje dozvoljavaju stepene; tvrdnja može biti manje ili više poznata, ali ne može biti manje ili više istinita. Svaka spoznaja nužno implicira procenu, ali svaka procena nije nužno spoznaja, jer postoje i procene koje nisu istinite. Bolcano tvrdi da ne postoje stvari ako što su lažne spoznaje, samo lažne procene.

Filozofsko nasleđe

Bolcano je postao okružen krugom prijatelja i učenika koji su širili njegova razmišljanja (takozvani Bolcanov krug), ali je efekat njegove misli na filozofiju isprva izgledao predodređen da bude nipodaštavajuć.

Njegov rad su, međutim, ponovo otkrili Edmund Huserl i Kazimir Tvardovski, obojica učenici Franca Brentana. Kroz njih je Bolcano postao formativni uticaj i na fenomenologiju i na analitičku filozofiju.

Dela

• Gesamtausgabe
• Wissenschaftslehre
• Bernard Bolzano's Grundlegung der Logik. Ausgewählte Paragraphen aus der Wissenschaftslehre
• Bolcano, Bernard (1810), Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik. Erste Lieferung  i The Mathematical Works of Bernard Bolzano, 2004
• Bolcano, Bernard (1817), Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege 
• Franc Prihonski (1850), Der Neue Anti-Kant
• Bolcano, Bernard (1851), Paradoxien des Unendlichen 

Prevodi i kompilacije

• Bolzano, Bernard (1972). Theory of Science. Wiley-Blackwell. ISBN 9780631139607. 
• Theory of Science (1973)
• Theory of Science (2014)
• The Mathematical Works of Bernard Bolzano (2004)
• On the Mathematical Method and Correspondence with Exner (2004)
• Selected Writings on Ethics and Politics (2007)
• Franc Prihonski, The New Anti-Kant (2014)

Literatura

• O'Hear, Professor of Philosophy Anthony; O'Hear, Anthony (1999). German Philosophy Since Kant (na jeziku: engleski). Cambridge University Press. ISBN 9780521667821. 
• Boyer, Carl B. (1959), The History of the Calculus and Its Conceptual Development, New York: Dover Publications, MR 0124178 .
• Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8. .
• Ewald, William B., ed. (1996), From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 volumes, Oxford University Press CS1 održavanje: Tekst viška: spisak autora (veza).
• Künne, Wolfgang (1998), „Bolzano, Bernard”, Routledge Encyclopedia of Philosophy, 1, London: Routledge, str. 823—827 . Pristupljeno 2007-03-05
• Veverková, Kamila, "Kleinere Schriften des deutschen Lehrers und Priester cs (1790–1869)." In: Homiletisch – Liturgisches Korrespondenzblatt – Neue Folge. Nr 107, Jg 28/2011, str. 758-782. ISSN 0724-7680.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005), „Bolzano”, MacTutor History of Mathematics archive .
• Lubomír Slavíček (ed.), Slovník historiků umění, výtvarných kritiků, teoretiků a publicistů v českých zemích a jejich spolupracovníků z příbuzných oborů (asi 1800-2008), Sv. 1, s. 129-130, Academia Praha. 2016. ISBN 978-80-200-2094-9.
• Josef, Grulich (1998). Obraz manželství a rodiny v díle J.A. Komenského a B. Bolzana. стр. 169—172. ISSN 1210-6097. 
• J, Loužil (1978). Bernard Bolzano. Praha. 
• Vojtěch, Jarník (1981). Bolzano a základy matematické analýzy. Praha. 
• H, Fels (1929). Bernhard Bolzano, sein Leben und sein Werk Leipzig (на језику: немачки). 
• Jan, Sebestik (1992). Logique et mathématique chez Bernard Bolzano (на језику: француски). Paris. 
• Vilém, Mathesius (1940). Co daly naše země Evropě a lidstvu. Praha: Svinx, Bohumil Janda. , druhé vydání, str.272
• F, Veselý (1957). Život Bernarda Bolzana a jeho matematicko-přírodovědecké práce. Pokdatey matematiky, fyziky a astronomie. стр. 119—127, 234—243. 
• A, Kolman (1958). Bernard Bolzano. Praha. 
• K, Petr (1926). B. Bolzano a jeho význam v matematice. Praha. 
• F, Veselý (1956). Život a dílo B. Bolzana. Matematika ve škole. стр. 449—464. 
• Matematika ve škole. 1959. стр. 111—113. 
• I, Seidlerová. Sociální a politické názory B. Bolzana. Praha. 
• Pokdatey matematiky, fyziky a astronomie. 6 (1961), str. 283–84; 15 (1970), str. 133–137.
• Časopis pro pěstování matematiky. 81 (1956), str. 237; 388–390; 391–395; 83 (1958), str. 230–235; 87 (1962), str. 225–226; 91 (1966), str. 237–238.
• Kdo byl kdo v našich dějinách do dateu 1918 / (Pavel Augusta … et al.). Praha. 1999. стр. 43—44. ISBN 978-80-85983-94-4. 
• Osobnosti - Česko : Ottův slovník. Praha. 2008. стр. 61—62. ISBN 978-80-7360-796-8. 
• Ottův slovník naučný, IV.
• Rychlík, K.: Bolzanův pobyt v Liběchově. Matematika ve škole. 9 (1959), str. 111–113.
• Bolzano, B.: Vlastní životopis. Praha 1981.
• Folta, J.: Život a vědecké snahy Bernarda Bolzana. Matematika a fyzika ve škole. 12 (1981–82), str. 85–95.
• Russ, S.: Bolzanův analytický program. Pokdatey matematiky, fyziky a astronomie. 38 (1993), str. 249–259.
• Veverková, Kamila: K problematice studia osvícenství u nás a pramenů týkajících se některých Bolzanových žáků in: R. Svoboda, M. Weis, P. Zubko (ed.), Duchovní a myšlenkové proměny druhé poloviny 19. století, Studie TF JČU sv. 40, České Budějovice. 2006. ISBN 978-80-7040-900-8. str. 25–47.
• Petr, Vopěnka (2004). Vyprávění o kráse novobadatení matematiky. Praha: Práh. ISBN 978-80-7252-103-6. 
• VLČEK, Emanuel. Bernard Bolzano. Podoba, tělesné vlastnosti a zdravotní stav. Památník národního písemnictví Praha 1981, s. 16-18.
• Pavla, Vošahlíková (2007). Biografický slovník českých zemí : 6. sešit : Boh–Bož. Praha: Libri. str. 40—43. ISBN 978-80-7277-239-1. 

Spoljašnje veze

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Bernard Bolcano”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
• Članak o Bolcanu na Katoličkoj enciklopediji (jezik: engleski)
• Biografija Bernarda Bolcana (jezik: engleski)
• Bolcanov doprinos logici i ontologiji (jezik: engleski)
• Bolzano’s Philosophy of Mathematical Knowledge Internet Encyclopedia of Philosophy
• The Philosophy of Bernard Bolzano: Logic and Ontology
• Bernard Bolzano: English Translations and Selected Texts
• Annotated Bibliography on the Philosophical Work of Bolzano (First Part: A - C)
• Annotated Bibliography on the Philosophical Work of Bolzano (Second Part: D - L)
• Annotated Bibliography on the Philosophical Work of Bolzano (Third Part: M - Z)
• Bernard Bolcano na sajtu Internet Archive (jezik: engleski)
• Digitalizovana Bolcanova dela (jezik: engleski)
• Prvi tom knjige Wissenschaftslehre na Gugl knjigama (jezik: nemački)
• Drugi tom knjige Wissenschaftslehre na Gugl knjigama (jezik: nemački)
• Treći i četvrti tom knjige Wissenschaftslehre na Gugl knjigama (jezik: nemački)
• Prvi tom knjige Wissenschaftslehre na sajtu Archive.org (jezik: nemački)
• Drugi tom knjige Wissenschaftslehre na sajtu Archive.org (jezik: nemački)
• Četvrti tom knjige Wissenschaftslehre na sajtu Archive.org (jezik: nemački)
• Treći tom knjige Wissenschaftslehre na sajtu Gallica (jezik: nemački)
• Četvrti tom knjige Wissenschaftslehre na sajtu Gallica (jezik: nemački)