Svetlost (optika)

Svetlost, kao pojava koja čini samu optičku sliku, je osnovni predmet optike kao nauke. Svojstva svetlosti određuju osobine njenog kretanja i način na koji se njena energija sakuplja u optičkoj slici. Takođe, poznavanje svojstava svetlosti neophodno je za smišljanje i izradu optičkih sklopova za posebne svrhe, kao što su oni za proučavanje uzoraka svetlosti, testiranje, i druge.

Svetlost kao pojava je pre svega predmet fizičke ili talasne optike, kako u opštem okviru elektromagnetnog polja, tako i u užem okviru vezanom za rad optičkih sklopova.

Osobine svetlosti bitne za stvaranje slike, ili za proučavanje svojstava uzorka svetlosti u optičkim instrumentima su:

• odbijanje (refleksija)
• prelamanje (refrakcija)
• razilaženje (disperzija)
• prenos (transmisija)
• talasni sastav
• fazna ujednačenost (koherentnost)
• polarizacija
• ukrštanje (interferencija)
• odvajanje (difrakcija)

U načelu, prva četiri svojstva proističu iz međudejstva svetlosti i materijala, dok su ostalih pet odlike samog svetlosnog talasa.

Pošto je svrha optičke slike često njeno posmatranje putem čula vida, predmet optike je takođe i dejstvo svetlosti na ljudsko oko. Takođe, svetlost kojom oko stvara optičku sliku je uslov moždane slike, kao konačnog proizvoda čula vida.

Istorija

Mnogo pre nego što je optika postala nauka, ljudi su pokušavali da odgonetnu šta je svetlost, i na koji način je povezana sa onim što vidimo. U trećem veku pre nove ere, grčki matematičar Euklid Aleksandrijski je došao do ideje zraka: smatrao je da je svetlost sačinjena od zraka koje oko proizvodi i usmerava na predmete, od kojih se oni odbijaju i vraćaju u oko, stvarajući u njemu sliku predmeta. Početkom 11-og veka, arapski matematičar, astronom i fizičar Al-Hajtam (Abu Ali Hasan Ibn al-Hajtam, ili al-Hajsam, takođe poznat pod latiničnim imenom Alhazen), često zvan prvi naučnik modernog doba, ustanovljava da svetlost nastaje van oka. On postavlja osnove optike kao nauke ustanovljavajući u procesu prve naučne pojmove i svojstva svetlosti kao optičke pojave: pojam optičkog zraka, promenu brzine kretanja u različitim sredinama, odbijanje i prelamanje, najraniji oblik Fermaovog principa (Pierre de Fermat, 1607-1665), i druge.

U 17-om veku (1638) Galilej prvi pokušava da izmeri brzinu prostiranja svetlosti, neuspešno. Dekart, kao i većina naučnika tog doba, verovao je da se svetlost prostire trenutno, tj. da je brzina svetlosti bezgranična. U 1676-oj, danski astronom Remer (Ole Rømer, 1644–1710) posmatranjem Jupiterovih meseca sa Zemljine najveće i najmanje udaljenosti, procenjuje da je brzina svetlosti oko 220.000 kilometara u sekundi, što je ispravljeno na blizu tačne vrednosti Bradlijevim (James Bradley, 1693-1762) otkrićem astronomske aberacije.

O samoj prirodi svetlosti se, krajem 17. i početkom 18. veka javljaju dve teorije: jedna koja smatra da je ona čestične prirode, čiji je najpoznatiji pobornik Ajzak Njutn, i druga, čiji je najpoznatiji zastupnik bio Kristijan Hajgens, koja smatra da je svetlost talasne prirode. Jangovo (Thomas Young, 1773 – 1829) otkriće ukrštanja svetlosti (interferencije, eng. interference of light) u 1801-oj, praćeno otkrićem polarizacije svetlosti od strane Malusa (Étienne-Louis Malus, 1775 –1812) u 1809-toj, Frenelovom matematičkom obradom odvajanja (difrakcije) svetlosti i, najzad, Maksvelova teorija elektromagnetnog talasa 1865-te, postavili su čvrste temelje shvatanju da je svetlost talasne prirode. Međutim, talasnom prirodom svetlosti nije se mogao objasniti fotoelektrični efekat koji je otkrio Herc 1885-te. Objašnjenje je, polazeći od Plankove pretpostavke da svetlost može da se ponaša kao da je sastavljena od čestica (fotona), 1905-te dao Ajnštajn. Od tada je prihvaćeno da je priroda svetlosti dvostruka: talasna i čestična.

U optici, i posebno u fizičkoj optici, svetlost se u načelu posmatra kao elektromagnetni talas. Saglasno tome, primenjuje se opšta teorija elektromagnetnog polja, na kojoj se zasniva teorija odvajanja (difrakcije) svetlosti, sama po sebi razrada opšteg principa preklapanja (eng. superposition principle) svetlosti. Uobičajen računski način koji se primenjuje u okviru teorija difrakcije svetlosti je Furijeov postupak, po čemu se ova oblast optike naziva Furijeova optika.

Svetlost: opšti okvir

Vidljiva svetlost kao deo spektra celokupnog elektromagnetnog zračenja.

Svetlost se definiše kao deo lepeze elektromagnetnog zračenja vidljiv okom. Pošto se granica vidljivosti menja od jedne do druge osobe, a takođe bitno zavisi i od drugih činilaca, kao što su jačina svetlosti, ili stanje osetljivosti oka, granice raspona vidljivosti elektromagnetnog zračenja su samo približne. Često se navodi da je ovaj raspon od oko 0.00037mm do oko 0.00073mm talasne dužine, gde ljudsko oko najkraće talasne dužine vidi kao ljubičastu, a najduže kao crvenu svetlost. Slika desno prikazuje mesto svetlosti u punom rasponu elektromagnetnog zračenja, i njenu osnovnu podelu na boje.

Kao elegtromagnetno zračenje, svetlost je talasne prirode, što znači da su njena osnovna fizička svojstva - kretanje, difrakcija, rasipanje i međudejstvo u opštem smislu - definisana Maksvelovim jednačinama elektromagnetnog polja.

Dvodimenzionalni talas

Talasno kretanje je predstavljeno opštim oblikom diferencijalne jednačine poprečnog talasa (eng. transverse wave) za jednu prostornu promenljivu:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$ ........ (1)

koja je osnova za opšti izraz kojim se obično opisuje dvodimenzionalni talas u proizvoljnom delu prostora/vremena:

Talasna funkcija

$\psi (x,t)=f(x-ct)$ ........ (2)

gde je ψ(x,t) talasna funkcija, sa prostornom promenljivom x i vremenskom promenljivom t.

Negativan znak označava pozitivno kretanje (u osnovnom, Dekartovom koordinatnom sistemu, sleva nadesno), i obrnuto, jer se talas prati u dva koordinatna sistema, jedan nepokretan i drugi koji se kreće s talasom; ovaj drugi predstavlja okvir koji određuje kako će se talas pojaviti u datom delu prostora/vremena, i prema njemu se određuje znak promene prostorne promenljive x (slika).

Pošto elektromagnetni talas, u načelu, ima sinusoidan oblik (slika), predstavljen je opštim izrazom:

$\psi (x,t)=Asin\,k(x\pm ct)$ ........ (3)

Sinusoida

gde A predstavlja raspon talasne oscilacije (eng. wave amplitude), tj. najveće odstupanje od središnje, nulte tačke, a k=2π/λ je pozitivna nepromenljiva zvana periodni broj (eng. propagation number). Prostorna dužina pune oscilacije, tj. prostorni period je λ, gde je puna oscilacija jednaka prostornom razmaku dve najbliže tačke u istoj fazi.

Ugaona dužina pune oscilacija je 2π radijana, što se predstavlja punim krugom od 360° (mada se ništa stvarno ne okreće u krug). Pošto se oscilacija ponavlja posle svake talasne dužine λ, periodni broj mora biti k=2π/λ, tj. jedna oscilacija po talasnoj dužini.

Na sličan način određeni su i vremenski (eng. temporal) period υ=λ/c koji, sa brzinom svetlosti c u sekundi, izražava broj sekundi po talasnom periodu, tj. vreme talasnog perioda. Obrnuta vrednost 1/υ=c/λ=ν je učestalost talasa, koji predstavlja broj oscilacija u jedinici vremena.

Iz tog proizolazi da je brzina svetlosti c=νλ, tj. data proizvodom učestalosti i talasne dužine.

Ugaona talasna učestalost je data sa ω=2π/ν, dakle, za brzinu svetlosti u sekundi, data je u radijanima po sekundi.

Faza talasa - jedan od ključnih pojmova talasne fizike - je, uopšteno govoreći, predstavljena vrednošću nezavisno promenljive (eng. argument), tj. ugla sinusne funkcije. Grafički, talasna faza je predstavljena tačkom na sinusoidu koji ga predstavlja, ili uglom u kružnici koja predstavlja punu oscilaciju od 2π radijana.

U obliku faze, nezavisno promenljiva u jednalčini (3) se obično izražava u ugaonim jedinicama, kao φ=kx±ωt, gde je ω ugaona učestalost u jedinici vremena, s čim je opšti izraz dvodimenzionalnog sinusoida:

$\psi (x,t)=Asin\,(kx\pm \omega t)$ ........ (4)

Ukoliko njegova početna faza nije 0, nego proizvoljan ugao ε, izraz je:

$\psi (x,t)=Asin\,(kx\pm \omega t+\varepsilon )$ ........ (4.1)

Talas predstavljen gornjim izrazima je matematička apstrakcija monohromatskog (jednobojnog, ili, tačnije, sa jednom talasnom dužinom) sinusoidnog talasa sa stalnim periodom od $-\infty$ do $+\infty$ u vremenu i prostoru, kakav ne postoji u prirodi.

Trodimenzionalni talas

Stvaran elektromagnetni talas postoji u tri dimenzije, koji je u Dekartovom koordinatnom sistemu opisan diferencijalnom jednačinom:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$ ........ (5)

Dva najvažnija rešenja ove jednačine su:

(1) za ravan pokretni talas,

$\psi ({\vec {r}},t)=Asin\,({\vec {k}}{\vec {r}}\pm wt)$ = $\psi ({\vec {r}},t)=Aexp[i({\vec {k}}{\vec {r}}\pm wt)]$ ........ (6)

u običnom i kompleksnom (desno) obliku, gde je ${\vec {r}}$ prostorni vektor koji određuje udaljenost ravni (tj. ravnog talasnog fronta) od izvora, a ${\vec {k}}$ je vektor kretanja, u odnosu na koji je ravan normalna, i

(2) za sferni pokretni talas,

$\psi (r,t)={\frac {A}{r}}sin\,k(r\pm ct)$ = $\psi (r,t)={\frac {A}{r}}exp[ik(r\pm ct)]$ ........ (6.1)

gde su r i k skalarne veličine, a A je nepromenljiva zvana snaga izvora (eng. source strength). Veličina A/r predstavlja raspon talasa, čiji kvadrat daje energiju, tj. jačinu talasa, iz čega sledi da je ona obrnuto srazmerna kvadratu udaljenosti talasa od izvora.

U prvom slučaju, za bilo koji trenutak u vremenu t izraz opisuje ravan u prostoru sa kojom se talasna funkcija sinusoidno menja. U drugom slučaju umesto ravni izraz opisuje koncentrične sfere. I u jednom i u drugom slučaju opisana površina sadrži tačke talasa u istoj fazi, dakle, predstavlja talasni front.

U oba slučaja druga jednačina je izraz koji opisuje talas kao kompleksan broj.

Kompleksna talasna funkcija

Često su proračuni vezani za talasne pojave jednostavniji ako se talasna funkcija izrazi u kompleksnom obliku. Ovaj oblik se zasniva na upotrebi imaginarnog broja i=(-1)^1/2, koji ima posebna svojstva. Slika desno je grafički prikaz talasne funkcije za jedan sinusoidan talas na tzv. Argonovom dijagramu (fran. Argand, Jean-Robert).

Kompleksan talas

Levo su date osnove prikazivanja talasnog kretanja, u ovom slučaju jednostavnog sinusoida, kao kompleksnog broja, u tzv. Argonovom dijagramu (eng. Argan diagram). U sredini su, slikovno i izrazima, date neke od osnovnih računskih operacija s kompleksnim brojevima. Desno je prikazana trodimenzipnalna funkcija sinusoida kao kompleksna funkcija, sa realnim delom, tj. kosinusnom funkcijom projetovanom na vodoravnu, i imaginarnom, sinusnom funkcijom projektovanom na uspravnu ravan. Isprekidanim linijama označen je sinusoid čija je početna faza pomerena za 3π/2.

Fizički talas

Elektromagnetni talas

Trodimenzionalni izraz talasa još uvek opisuje samo prostorna svojstva talasnog kretanja u tri dimenzije. Stvarni elektromagnetni talas se sastoji od električnog i magnetnog polja koja se u naizmeničnim oscilacijama kreću kroz prostor. Ovo polje sile je opisano Maksvelovim jednačinama u opštem obliku:

${\frac {\partial ^{2}{\vec {S}}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {S}}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {S}}}{\partial z^{2}}}={\vec {\nabla }}^{2}{\vec {S}}=\epsilon _{0}\mu _{o}\,{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {S}}}{\partial t^{2}}}$ ........ (7)

gde je ${\vec {S}}$ opšta oznaka za elektromagnetnu (EM) silu, koja obuhvata pojedinačne vektorske veličine za električnu jačinu polja E_x, E_y i E_z, i za magnetnu silu polja B_x, B_y i B_z - što znači da je talas opisan sa šest ovakvih jednačina za svaku od ovih promenljivih - ε₀ je permitivnost (eng. permittivity, električna propusnost sredine ili materijala), a μ₀ je permeabilnost (eng. permeability, magnetna propusnost) vakuuma. Iz toga, brzina svetlosti u vakuumu je data sa $c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$, na osnovu čega je Maksvel došao do vrednosti c~3x10^8 m/s.

Pošto se fizički talas sastoji od dva naizmenično oscilujuća polja, električnog i magnetnog, ona su izražena sa:

${\vec {\nabla }}^{2}{\vec {E}}=\epsilon _{0}\mu _{o}\,{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$ ........ (8),

i

${\vec {\nabla }}^{2}{\vec {B}}=\epsilon _{0}\mu _{o}\,{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}$ ........ (8.1)

Izraz za ravan EM talas izveden iz ovog opšteg oblika je:

${\vec {E}}({\vec {r}},t)={\vec {E}}_{0}cos\,({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)=Re[{\vec {E}}_{0}exp[i({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)]]$ ........ (9)

za električno, i

${\vec {B}}({\vec {r}},t)={\vec {B}}_{0}cos\,({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)=Re[{\vec {B_{0}}}exp[i({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)]]$ ........ (9.1)

za magnetno polje. Drugi izraz je u oba slučaja u kompleksnom obliku, tj. kao realni deo kompleksne talasne funkcije (realni deo se obično podrazumeva, i naznaka Re se izostavlja).

Prostorni raspored dva polja u odnosu na pravac kretanja, kao i vektorske veličine polja i talasnog kretanja date su izrazom koji proističe iz Maksvelovih jednačina:

$|{\vec {k}}|\times |{\vec {E}}|=\omega |{\vec {B}}|$ ........ (10)

gde su periodni broj k i učestalost ω u odnvosu k=ω(με)^1/2 (tj. proizvod učestalosti i recipročne vrednosti brzine kretanja svetlosti). Izraz govori da su vektor pravca kretanja i dva polja uzajamno normalni, i da su električno i magnetno polje u fazi.

Raspon električnog i magnetnog polja, dati apsolutnom vrednošću, tj. dužinom vektora polja, se odnose kao:

$|{\vec {B}}|={\frac {|{\vec {k}}|}{\omega }}|{\vec {E}}|={\sqrt {\varepsilon \mu _{0}}}|{\vec {E}}|={\frac {n}{c}}|{\vec {E}}|$ ........ (11)

U vakuumu, rasponi električnog i magnetnog polja su iste veličine. Uloga činioca c (svetlosna brzina) je da uskladi različite merne jedinice koje se koriste za vektor električnog i magnetnog polja (na sličan način, magnetno polje N i polje magnetne indukcije B su iste veličine u vakuumu, N=B/μ₀, jer je razlika u mernim jedinicama - tesla za indukciju, i ampera po metru za magnetno polje - 1T=10³x10⁴/4π A/m=Am^-1/μ₀).

Kao što izraz (11) govori, u sredinama sa indeksom refrakcije n>1 raspon električnog polja je veći od magnetnog, u srazmeri sa indeksom prelamanja.

Energija svetlosnog talasa

Pojnting vektor

Energija elektromagnetnog talasa je srazmerna vektor-proizvodu (eng. cross product) vektora njenog električnog i magnetnog polja. Konačna vrednost zavisi od elektromagnetskih svojstava sredine. U vakuumu, energija je data kao Pojnting vektor (eng. Poynting, John Henry Poynting, engleski fizičar koji je ovu veličinu ustanovio u okviru teorije elektromagnetnog polja u 1884, mada ju je prvi, desetak godina ranije, izrazio ruski fizičar Nikoláй Alekséevič Úmov u okviru rešenja problema kretanja energije u tečnim i elastičnim sredinama). U izvornom, najjednostavnijem obliku Pojnting vektor je izražen proizvodom vektora električnog (E) i magnetnog polja (H) u vakuumu:

${\vec {P}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}$ ........ (12)

i predstavlja energiju elektromagnetnog polja u džulima (J) u sekundi po m² - dakle, u vatima (W) po m², jer je J/s=W - u pravcu kretanja talasa, tj. pod pravim uglom na ravan vektora magnetskog i električnog polja. Njegova veličina je funkcija vremena, tj. talasnog kretanja, menjajući se sa promenom raspona dva polja.

Pošto su dva polja u funkciji vremena data sa:

${\vec {E}}={\vec {E}}_{0}\,cos({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)$ ........ (13)

i

${\vec {H}}={\vec {H}}_{0}\,cos({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)$ ........ (13.1)

izraz koji daje veličinu Pojnting vektora u datom trenutku vremena je:

${\vec {P}}={\vec {E}}_{0}\times {\vec {H}}_{0}\,cos^{2}({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)$ ........ (14)

gde E₀ i H₀ označavaju početni raspon električnog i magnetnog polja.

Danas se Pojnting vektor obično izražava u nešto drugačijem obliku, sa vektorom jačine magnetnog protoka (tj. indukcije) umesto vektora magnetnog polja H (H=B₀/μ₀=B/μ₀-M, i B=μ₀H+M, gde je B₀ magnetno polje talasa u vakuumu, a M magnetizacija, tj. povećanje magnetnog polja M u materijalu). Pošto je u optičkim materijalima u rasponu talasnih dužina svetlosti magnetna indukcija sredine zanemarljiva, tj. μ_s~μ_o, podobniji izraz za Pojnting vektor je onaj koji koristi električnu propustljivost ε. Za svetlosni talas u vakuumu,

${\vec {P}}=c^{2}\varepsilon _{0}{\vec {E}}\times {\vec {B}}$ ........ (15)

gde je ε_o električna propustljivost vakuuma. U optičkoj sredini kao što je staklo, propustljivost, dakle i vrednost Pojnting vektora, je obrnuto srazmerna indeksu prelamanja.

Zbog veoma visokih učestalosti nemoguće je meriti energiju na nivou pojedinih talasa, te je praktična mera svetlosne energije data srednjom vrednošću u određenom vremenskom periodu. Pošto je prosečna vrednost cos² jednaka 1/2, prosečna vrednost Pojnting vektora je data sa:

$\langle {\vec {P}}\rangle ={\frac {1}{2}}{\vec {E}}_{0}\times {\vec {H}}_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\varepsilon }{\mu }}}{\vec {E}}_{0}^{2}\equiv I$ ........ (16)

gde je I energija (jačina) talasa. Ovaj prosečan protok EM energije predstavlja jačinu (eng. intensity) svetlosti. U slučaju svetlosti koju šalje svetlosni izvor ova jačina se naziva izračenje (eng. exitance), a u slučaju upadne svetlosti, ozračenje (eng. irradiance).

Foton

Foton, ili kvant svetlosti, je najmanja, nedeljiva jedinica energije svetlosnog talasa. Može se posmatrati kao čestica od koje je sastavljena svetlost, ali samo uslovno, jer sama za sebe nema talasna svojstva:

• foton se kreće brzinom svetlosti, ali pravolinijski, bez oscilacija
• energije fotona je srazmerna učestalosti svetlosnog talasa, što znači da se ne menja pri prelasku iz jedne u drugu sredinu
• foton nema ni električnog ni magnetnog naboja, što znači da je elektro- i magnetno-neutralan
• mada se kreće pravolinijski, fotonu je data talasna dužina, koja je kao i u slučaju talasa jednaka količniku brzine kretanja i učestalosti, λ=c/ν (ovo svojstvo je potrebno da se brzina kretanja fotona uskladi sa brzinom kretanja svetlosti, koja je u sredinama sa n>1, zbog vremena potrebnog da atom primi i oslobodi energiju svetlosti, smanjena u srazmeri sa c/n)

Slično kao talas, međutim, foton se kreće brzinom srazmernom indeksu prelamanja sredine.

Zračenje crnog tela

Ideju ovakve, dualne, čestično-talasne prirode energije svetlosti prvi je izneo Maks Plank početkom 20-og veka, da bi objasnio spektar crnog tela (slika desno). Ajnštajn je Plankovu ideju koristio da 1905-te objasni fotoelektrični efekt. Druge pojave, kao Komptonovo raspršenje svetlosti, takođe se ne mogu objasniti sa stanovišta svetlosti kao isključivo talasne pojave.

Energija fotona je data sa:

E=hν=hc/λ ........ (17)

gde je h=6.6256x10^-34 Plankova konstanta, ν talasna učestalost, a λ talasna dužina. Pošto su i brzina svetlosti c i talasna dužina srazmerni indeksu prelamanja n, energija fotona se ne menja s promenom n, i ostaje jednaka 1240/λ Ev (elektronvolti). Ako je gustina energije svetlosnog toka (eng. flux density) F fotona kroz površinu A u jedinici vremena, svetlosna energija je data sa E=FA, u istoj vremenskoj jedinici.

Foton nema masu - tj. ne postoji - ako se ne kreće, a njegova masa kretanja (eng. momentum) je data sa:

p=E/c=h/λ ........ (18)

gde je, kao ranije, c brzina a λ talasna dužina svetlosti.

Svetlost i optička sredina

Optičke sredine su, u načelu, tvari koje menjaju svojstva svetlosti, pre svega brzinu kretanja, ali takođe i druga, kao raspon, višebojnost, polarizaciju, i druge.

Svojstva svetlosti u optičkoj sredini, i pri promeni optičke sredine su međusobno povezana. Često su ova svojstva izražena kao optička svojstva materijala, ali se u osnovi radi o promeni svojstava svetlosti u materijalu (npr. indeks prelamanja materijala je određen promenom brzine prostiranja svetlosti u njemu), ili međudejstvu svetlosti sa materijalom (npr. prenos odbijanje svetlosti je posledica međudejstva svetlosnih talasa i površinskih atoma materijala).

Na prelazu iz jedne u drugu optičku sredinu jedan deo svetlosne energije se odbije na graničnoj površini, dok ostatak prelazi u drugu sredinu. Po prelasku, ovaj deo svetlosti menja pravac kretanja, što je poznato kao prelamanje svetlosti. Stepen prelamanja zavisi od talasne dužine svetlosti i atomsko-molekularnih svojstava sredine, koja određuju veličinu indeksa prelamanja. Promena ineksa prelamanja sa promenom talasne dužine, tzv. razilaženje (disperzija) svetlosti, razlikuje se više ili manje od jedne do druge optičke sredine.

Najzad, deo svetlosti pri prolasku kroz optičku sredinu biva zadržan u njenim atomima; ova pojava se naziva upijanje svetlosti.

Odbijanje (refleksija) svetlosti

Odbijanje svetlosti je pojava kad površina koja joj je izložena šalje deo njene energije nazad u sredinu iz koje dolazi. Kako površinski atomi apsorbuju energiju talasa, oni postaju nestabilni, i stabilizuju se otpuštanjem dela primljene energije iz svojih elektronskih orbita. Razmere odbijene prema propuštenoj svetlosti (za koju atomi predaju energiju drugim atomima unutar sredine obasjane svetlošću), zavise, za dati upadni ugao svetlosti, od atomsko-molekularih svojstava sredine. Zbog toga što se ova pojava odvija na vrlo postojan, predvidiv način, površine koje odbijaju svetlost mogu da se koriste za usmeravanje ili oblikovanje talasnog fronta u optičkim sklopovima.

Prelamanje svetlosti

Slika desno prikazuje geometriju odbijanja svetlosti, gde tačke 1, 2 i 3 predstavljaju površinske atome na granici dve različite optičke sredine. Deo primljene energije površinski atomi - zbog njihovih datih svojstava - ne prenose na atome dublje unutar materijala, nego je šalju nazad u sredinu iz koje je došla. Oni odašilju svetlost u mnogim pravcima, ali se novi talasni front stvara samo kad je pravac kretanja tačaka u istoj fazi pod pravim uglom u odnosu na liniju koja ih spaja.

U trenutku kad svetlost pobudi atom 3, talasi u fazi poslati iz atoma 1 i 2, sa talasom u fazi iz atoma 3, stvaraju liniju odbijenog talasnog fronta čiji je ugao pravca kretanja u odnosu na normalu na graničnu liniju iste veličine ali suprotnog znaka u odnosu na upadni ugao svetlosti. Drugim rečima, svetlost se odbija pod istim uglom sa suprotne strane normale na površinu, u ravni određenoj upadnim zrakom i normalom na graničnu površinu. Ovo je zakon odbijanja svetlosti, izražen sa:

α_u=-α_o ........ (19)

gde je α_u upadni, a α_o odbojni ugao svetlosti.

U načelu, može se reći da je pojava odbijanja svetlosti određena promenom prostornog rasporeda tački talasa u istoj fazi.

Ovakvi vrlo mali delovi optičkih površina su praktično ravni i, u slučaju udubljenog ogledala, ili sočiva, čine deo zakrivljene površine koja se, sama ili u sadejstvu sa drugim optičkim površinama, koristi za oblikovanje sfernog, ili približno sfernog talasnog fronta, neophodnog za stvaranje optičke slike. Za vrlo male delove talasnog fronta, talasi iz susednih atoma su praktično paralelni, ali se sreću i međudejstvuju u predelu žiže.

Ovo je najjednostavniji način da se opiše odbijanje svetlosti. Zakon odbijanja svetlosti se takođe može potvrditi računskim putem, bilo uobičajenim geometrijskim vektorskim proračunom, primenom Fermaovog principa (eng. Fermat's principle), ili primenom elektromagnetske teorije.

Odbija

Odbijena i propuštena svetlost su uzajamno komplementarni, tj. zbir raspona odbijene i propuštene svetlosti je stalan, i jednak rasponu polja upadne svetlosti. Slika desno pokazuje ovaj odnos u zavisnosti od relativnog indeksa prelamanja, za jediničnu vrednost upadne svetlosti. Ako je upadna sredina vazduh (n=1), onda se relativni indeks svodi na indeks prenosne sredine, i graf pokazuje odnos odbijene i propuštene svetlosti na njenoj površini.

Frenelove formule odbijanja svetlosti

Pojave odbijanja i propuštanja svetlosti na prelazu u sredinu sa različitim indeksom prelamanja opisane su matematički Frenelovim jednačinama (Augustin Jean Fresnel, 1788-1827). Izvedene na osnovu talasne teorije svetlosti, jednačine izražavaju odnos između odbijenog i propuštenog dela svetlosti. Ovaj odnos se menja sa osobinama svetlosnog talasa. Za s-polarizovanu svetlost (tj. sa ravni oscilacije električnog polja normalnom na ravan upadnog zraka i normale), raspon odbijenog prema propuštenom delu polja je dat sa:

$\bot {o}={\frac {E_{o}}{E_{u}}}={\frac {n_{u}cos(\alpha _{u})-n_{p}cos(\alpha _{p})}{n_{u}cos(\alpha _{u})+n_{p}cos(\alpha _{p})}}$ ........ (20)

gde je E raspon električnog polja, α je ugao i n je indeks prelamanja, oznaka u je za upadnu, a p za sredinu prenosa. Jednačina je tačna pod pretpostavkom da je magnetna propustljivost obe sredine ista kao i za vakuum, što praktično važi za uobičajene optičke sredine.

U slučaju da je ravan oscilacije električnog polja paralelna sa ravni upadnog zraka i normale na površinu (p-polarizovana svetlost), odnos odbijenog i prenesenog svetlosnog polja dat je sa:

$\|{o}={\frac {E_{o}}{E_{u}}}={\frac {n_{p}cos(\alpha _{u})-n_{u}cos(\alpha _{p})}{n_{u}cos(\alpha _{p})+n_{p}cos(\alpha _{u})}}$ ........ (20.1)

Odbijanje svetlosti.

Slika desno prikazuje promenu količnika raspona električnog polja o sa promenom upadnog ugla za p-polarizovanu svetlost pri prelazu iz vazduha (n=1) u staklo sa indeksom prelamanja n=1.5 (levo), za s-polarizovanu svetlost u istom slučaju (sredina), i za p-polarizovanu svetlost pri prelazu iz stakla u vazduh ili vakuum (desno), kao i odgovarajuće energije. Upadni ugao pri kom je svetlost bez odbijanja, u potpunosti prenesena u drugu sredinu naziva se Brusterov ugao (eng. Brewster's angle).

Grafikoni pokazuju da odbijanje i prenos svetlosti mogu bitno da zavise od vrste polarizovanosti svetlosti, ali samo pri velikim vrednostima upadnog ugla. Za uobičajene vrednosti upadnog ugla, koje su manje ili mnogo manje od p/6 (15°), stanje polarizovanosti svetlosti ne utiče na podelu svetlosnog polja na odbijeno i preneseno (Frenelova jednačina je data u sinusnom obliku, na osnovu $cos\alpha ={\sqrt {1-sin^{2}\alpha }}$, na kom se neposredno može koristiti Snelov zakon prelamanja svetlosti).

U slučaju da svetlost pada na površinu pod pravim uglom, ugao u odnosu na normalu površine α=0, cosα=1, i jednačine 20-20.1 se pojednostavljuju u:

$o={\frac {E_{o}}{E_{u}}}={\frac {n_{u}-n_{p}}{n_{u}+n_{p}}}$ ........ (21)

za obe, p-polarizovanu svetlost i za s-polarizovanu svetlost

Prelamanje svetlosti

Slično odbijanju svetlosti, prelamanje svetlosti je posledica promene prostornog rasporeda tački talasa u istoj fazi, koja uzrokuje promenu pravca prostiranja talasnog fronta (slika 8). Za razliku od materijala koje ne propuštaju svetlost, nego je odbijaju, atomsko-molekularna svojstva provodnih materijala - u načelu, pristupačni energetski nivoi elektronskog omotača - imaju za posledicu da atomi predaju energiju svetlosti susednim atomima unutar provodnog materijala, čime se svetlost prenosi kroz njega.

Međutim, brzina kojom se ovo odvija je različita za različite materijale. Upravo je ova razlika u faznoj brzini svetlosti - tj. u brzini kretanja tačke talasa u datoj fazi - uzrok promene prostornog rasporeda tački talasa u fazi, tj. uzrok prelamanja svetlosti.

Brzina svetlosti u materijalu je obrnuto srazmerna vrednosti indeksa prelamanja n, tj. 1/n. Vrednost n se proteže od 1 za vakuum do oko 1,9 za najgušća uobičajena optička stakala. Prosečan indeks prelamanja optičkog krauna je n~1,5, te je smanjenje brzine svetlosti u ovoj vrsti stakla srazmerno ~ 1 / 1,5. Indeks prelamanja datog stakla neznatno varira u zavisnosti od talasne dužine svetlosti, što dovodi do razlčitog stepena prelamanje različitih talasnih dužina svetlosti, uzrokujući uzdužnu i poprečnu hromatsku aberaciju.

Prelamanje svetlosti

Povećanje faznog pomaka δ, uzrokovanog upadnim uglom svetlosti i smanjenjem brzine svetlosti u staklu, menja pravac kretanja talasnog fronta - tj. pravac optičkog zraka, po definiciji normalnog na talasni front - u skladu sa zakonom prelamanja svetlosti (takođe: Snelov zakon, slika desno)

Proizvod indeksa prelamanja i sinusa ugla zraka u odnosu na normalu na graničnu liniju u dve sredine je nepromenljiv, tj.

sinα'/sinα=n/n', ili n'sinα'=nsinα ........ (22)

Nova orijentacija talasnog fronta je u pravcu nagiba granične površine, ali uvek manje od njega, jer je za dva susedna površinska atoma osnova trougla koja određuje novu orijentaciju talasnog fronta, tj. zraka, srazmerna [(1/n)-(1/n')]/(1/n)=1-(n/n'), gde su n i n' indeks prelamanja za prvu i drugu sredinu (dati izraz važi za prelaz svetlosti iz vazduha u staklo, gde je indeks za vazduh n=1, a n' je indeks prelamanja stakla).

Snelov zakon važi i za odbijanje svetlosti, što je lako pokazati uzimajući n=1 za upadnu svetlost, i n'=-1 za svetlost koja se odbija:

n'sinα '= nsinα (zakon prelamanja svetlosti), postaje zakon odbijanja svetlosti, sinα'=-sinα, tj α'=-α.

Kao i zakon odbijanja, i zakon prelamanja svetlosti se može izvesti iz vektorskog proračuna, iz Ferminog principa, ili iz teorije elektromagnetnih talasa.

Indeks prelamanja svetlosti

Indeks prelamanja (refrakcije) svetlosti je broj obrnuto srazmeran brzini prostiranja svetlosti kroz optičku sredinu. Pošto je stepen prelamanja svetlosti u sredini, u prelasku iz vakuuma (i, praktično, vazduha), srazmeran promeni u brzini svetlosti, broj (obrnuto) srazmeran brzini svetlosti u sredini, u odnosu na jediničnu vrednost brzine u vakuumu, naziva se indeks prelamanja, po pravilu označen sa n.

Prema tome, brzina svetlosti u datoj sredini je data sa c/n, gde je c brzina svetlosti u vakuumu.

Izraz za vrednost indeksa prelamanja se zasniva na Maksvelovim jednačinama elektromagnetnog polja, po kojima je brzina svetlosti u vakuumu data sa:

$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$ ........ (23)

gde su ε₀ i μ₀ električna i magnetna propusnost vakuuma (eng. permittivity/permeability). Brzina prostiranja u drugim sredinama data je sa:

$c'={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}=$ ........ (24)

gde su ε i μ električna i magnetna propusnost sredine. Indeks prelamanja sredine dat je sa:

$n={\frac {c}{c'}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$ (25)

gde je c' brzina prostiranja svetlosti u njoj. Pošto se magnetna propusnost praktično ne menja u uobičajenim optičkim sredinama u odnosu na vakuum, indeks refrakcije sredine je dat sa:

$n={\sqrt {\varepsilon }}$ ........ (26)

Indeks prelamanja

Indeks prelamanja sredine se menja sa talasnom dužinom svetlosti. U rasponu talasnih dužina svetlosti, smanjuje se od najkraćih talasnih dužina (ljubičaste) prema dužim. Drugim rečima, različite talasne dužine svetlosti se u datoj sredini prelamaju različito. U načelu, kraće talasne dužine se prelamaju jače od dužih. Ovo ima kao posledicu razilaženje svetlosnih talasa višetalasne svetlosti po prelasku iz jedne u drugu sredinu.

Slika desno prikazuje promenu indeksa prrelamanja u zavisnosti od talasne dužine za nekoliko različitih vrsta stakla.

Izrazi za određivanje indeksa prelamanja

Pošto se indeks prelamanja menja sa promenom talasne dužine svetlosti, postoji praktična potreba da se indeks za različite dužine može sa dovoljnom tačnošću dobiti računskim putem, koristeći odgpvarajući izraz. To je mnogo jednostavnije nego meriti indeks za svaku talasnu dužinu za koju je potreban.

Košijeva formula

Do prvog takvog izraza došao je 1836. francuski matematičar Ogiston-Lui Koši (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857), po njemu poznat kao Košijeva jednačina:

$n_{\lambda }=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{4}}}$ ........ (27)

gde je λ talasna dužina, a A, B, C... koeficijenti, čija vrednost se određuje rešavanjem jednačine za tri poznate vrednosti n i λ. U rasponu vidljivog zrašenja (svetlosti), Košijeva jednačina je tačna do oko jednog stohiljaditog (jedan u petoj decimali). Za optička stakla su najčešće dovoljna samo prva dva člana.

Selmejerova formula

U 1871. nemački fizičar Volfgang fon Selmejer (Wolfgang von Sellmeier) daje nešto složeniji izraz, koji nije bitno tačniji u rasponu svetlosti, ali jeste u širem rasponu elektromagnetnog zračenja, naročito za infracrveno zračenje:

$n_{\lambda }^{2}=1+{\frac {B_{1}\lambda _{0}^{2}}{\lambda _{0}^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda _{0}^{2}}{\lambda _{0}^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda _{0}^{2}}{\lambda _{0}^{2}-C_{3}}}$ ........ (28)

ili, u opštem obliku:

$n_{\lambda }^{2}=1+\Sigma {\frac {B_{i}\lambda _{0}^{2}}{\lambda _{0}^{2}-C_{i}}}$ ........ (28.1)

gde su B_i i C_i koeficijenti, prvi čisto brojni, drugi izraženi u istoj jedinici kao talasna dužina λ (zato ponekad dati kao λ_i). Za Selmejerovu formulu sa šest koeficijenata (tri B_i i tri C_i) potrebno je izmeriti indeks prelamanja za 6 različitih talasnih dužina, na osnovu čega se određuju vrednosti koeficijenata.

Posebna prednost Selmejerovog izraza je da je zasnovan na fizičkim činiocima prelamanja svetlosti (atomsko-molekularna rezonancija izazvana svetlosnom energijom), tj. pokazuje apsorpcione pojase za vrednosti koeficijenata B_i jednake talasnoj dužini λ (što se u načelu događa izvan vidljivog dela zračenja).

Oba izraza zahtevaju da je apsorpcija svetlosti u staklu zanemarljiva, što u načelu važi za vidljiv deo elektromagnetskog spektra (svetlost).

Različite izraze za nalaženje približne vrednosti indeksa prelamanja takođe su dali Hartman (Hartmann), Helmholc-Keteler-Drud (Helmholtz-Ketteler-Drude), Hercberger (Herzberger), Gefken (Geffcken), Šot (Schott), Bačdal (Buchdahl), i drugi.

Razilaženje boja (talasnih dužina) svetlosti

Slika 13: DISPERZIJA SVETLOSTI

Razilaženje talasnih dužina višebojne svetlosti (eng. dispersion) je neposredna posledica promene indeksa prelamanja sa talasnom dužinom (slika 12). U načelu, kraći talasi se prelamaju jače od dužih talasa (slika desno).

Uobičajeno merilo razdvojne moći optičke sredine je Abeov broj, čiji opšti oblik je:

$V={\frac {n}{\delta n}}$ ........ (29)

gde je n indeks prelamanja središnje talasne dužine izabranog raspona talasnih dužina, a δn je razlika u indeksu prelamanja između izabrane kratke i duge talasne dužine u datom rasponu. Izbor raspona i talasnih dužina zavisi od namene pokazatelja. U industriji optičkog stakla, najčešće se koristi Abeov broj koji kao središnju talasnu dužinu ima Fraunhofervu liniju e ili d, kao kratku talasnu dužinu Fraunhofervu liniju F, i kao dugu C:

$V={\frac {n_{e}}{n_{F}-n_{C}}}$ ........ (29.1)

Razdvojna snaga je obrnuto srazmerna Abeovom broju: što je niži, razdvojna snaga je veća.

Stepen deljenja svetlosti u optičkom staklu se takođe može izraziti kao prosek u određenom rasponu talasnih dužina.

Slika desno prikazuje način deljenja svetlosti po prelasku iz optički gušće u optički ređu sredinu - na primer, iz stakla u vazduh - gde se najkraći talasi, koju vidimo kao plavu svetlost, prelamaju najviše, a najduži, koje vidimo kao crvenu svetlost, najmanje.

Razilaženje talasnih dužina višebojne svetlosti po prelasku u sredinu sa različitim indeksom prelamanja je uzrok uzdužne i poprečne hromatske aberacije.

Prenos svetlosti

Prenos svetlosti (eng. light transmission) je naziv koji se upotrebljava za dve različite pojave vezane za kretanje svetlosti kroz optičke sredine. Jedna je prenos energuje na graničnoj liniji između dve sredine sa različitim indeksom prelamanja, a druga je prenos energije kroz optičku sredinu, za datu jedinicu dužine.

Prenos svetlosti se takođe ostvaruje odbijanjem, tj. refleksijom, ali je uobičajeno da se odbijena svetlost naziva prenetom samo u slučaju površina čija ja svrha odbijanje svetlosti, dok je u slučaju prenosa svetlosti kroz optičke sredine odbijena svetlost gubitak u prenosu.

Prenos energije odbijanjem, ili refleksijom, izražen koeficijentom odbijanja, ili refleksije, odražava gubitke zbog prenosa svetlosti kroz površinu odbijanja (reflektivnu površinu), zbog neujednačenosti površine u stepenu reflektivnosti i zbog raspršenja svetlosti u drugim pravcima zbog hrapavosti površine.

Slika 14: PRENOS SVETLOSTI

Prenos energije na graničnoj liniji između dve sredine može da se odnosi bilo na odbijanje (kao što je napomenuto, u slučaju površina čija je svrha odbijanje svetlosti), ili na prelamanje, tj. refrakciju svetlosti. U prvom slučaju prenos energije je dat koeficijentom odbijanja (reflektivnosti) površine. U drugom, u slučaju površina čija je svrha prenos svetlosti, prenos je jednak razlici između jedinične energije i koeficijenta odbijanja.

Prenos energije svetlosti kroz optičku sredinu odražava gubitke zbog upijanja dela svetlosti od strane sredine, kao i gubitke usled raspršavanja svetlosti u drugim pravcima bilo zbog međudejstva svetlosnih talasa i molekula sredine (Rejlijevo raspršenje), neujednačenosti molekularnog sastava, ili prisustva strukturalnih nepravilnosti (na primer, u slučaju optičkog stakla, zbog prisustva mikroskopskih i većih mehurića). Drugim rečima, gubitak svetlosti (eng. attenuation) dat je razlikom između energije na početku i kraju puta kroz datu sredinu.

Ukupan prenos svetlosti kroz optički sklop jednak je početnoj energiji umanjenoj za gubitke u odbijanju (za odbijajuće površine) i gubitke u prenosu (za prelamajuće površine i optičke sredine). Gubici svetlosti u prenosu kroz optičku sredinu dati su koeficijentom slabljenja (eng. attenuation coefficient), koji predstavlja zbir koeficijenta upijanja (eng. absorption coefficient), i koeficijenta raspršenja svetlosti (eng. scattering coefficient) za datu sredinu.

U opštem obliku, slabljenje svetlosne energije kao posledica upijanja i raspršenja svetlosti izraženo je sa:

I'=I-(a+s)z ........ (30)

gde su I i I' početna i konačna energija, a je koeficijent upijanja, s je koeficijent raspršenja, i z je dužina puta kroz datu sredinu.

Frenelove formule prenosa (prelomljene) svetlosti

Teoretski prenos energije, u slučaju savršeno ujednačene optičke sredine datog indeksa prelamanja n, određen je Frenelovim jednačinama. Jednačine za odbijanje svetlosti date su u tom odeljku. Frenelove jednačine za prenos svetlosti u slučaju s-polarizovane i p-polarizovane svetlosti, kao raspon polja prenete svetlosti u jedinici raspona polja upadne svetlosti:

$p_{\bot }={\frac {E_{p}}{E_{u}}}={\frac {2n_{u}cos(\alpha _{u})}{n_{u}cos(\alpha _{u})+n_{p}cos(\alpha _{p})}}$ ........ (31),

i

$p{\|}={\frac {E_{p}}{E_{u}}}={\frac {2n_{u}cos(\alpha _{u})}{n_{u}cos(\alpha _{p})+n_{p}cos(\alpha _{u})}}$ ........ (31.1)

Energija prenete svetlosti je u slučaju prelamanja data sa:

$P={\frac {n_{u}\,cos\alpha _{u}}{n_{p}\,cos\alpha _{p}}}p^{2}$ ........ (32)

Slika 15: ŠIRINA PRELOMLjENOG SNOPA SVETLOSTI

gde je činilac uz p² posledica toga da, za razliku od odbijanja svetlosti, kod prelamanja svetlost prelazi u drugu srediu, u kojoj se energija, saglasno izrazu za energiju polja I=2ncε₀|E|², menja srazmerno sa n'/n, i toga što se površina talasnog fronta menja zbog razlike u upadnom i prelomnom uglu (slika desno). Na primer, pošto se energija računa po jedinici površine talasnog fronta, povećanje njegove površine uzrokuje srazmerno smanjenje energije po jedinici površine i zahteva primenu obrnuto srazmernog činioca da bi se energija prenetog polja svela na ispravnu vrednost).

Slika 16: PRENOS SVETLOSTI

Slika desno prikazuje kako se propusnost menja u zavisnosti od upadnog ugla, na primeru prelaza p-polarizovane svetlosti iz vazduha u staklo sa indeksom prelamanja n=1.5 (levo), s-polarizovane svetlosti u istom slučaju (sredina) i p-polarizovane svetlosti pri prelazu iz stakla sa indeksom prelamanja 1.5 u vazduh. Kao i u slučaju odbijanja svetlosti, upadni uglovi veći od oko π/6 su uglavnom samo od teoretskog značaja.

U slučaju da svetlost pada na prelamajuću površinu pod pravim uglom, ugao u odnosu na normalu površine α=0, cosα=1, i jednačine 28-28.1 se pojednostavljuju u:

$p_{\bot }={\frac {E_{p}}{E_{u}}}={\frac {2n_{u}}{n_{u}+n_{p}}}$ ........ (33),

za obe, s-polarizovanu svetlost i p-polarizovanu svetlost.

Slika 17: ODBIJANjE I PRENOS SVETLOSTI

Frenelove jednačine za odbijenu i propuštenu (prelomljenu) svetlost su komplementarne, tj. njihov zbir je stalan, jednak jediničnoj vrednosti raspona upadnog polja. Slika desno prikazuje ovaj odnos za iste slučajeve polarizovanosti i indeksa prelamanja.

Upijanje svetlosti

Upijanje svetlosti (eng. light absorption) je pojava da atomi sredine kroz koje se svetlost kreću upiju i zadrže deo njene energije. Uobičajeno je da se opisuje kao međudejstvo atoma i fotona svetlosti. Da li će atom upiti i zadržati jedan ili više fotona zavisi od njihovih osobina, kao i molekularnog naelektrisanja, tj. jonskih veza među atomima.

U zavisnosti od sastava sredine, i njegove ujednačenosti, upijanje svetlosti može da bude ravnomerno (linerano), neravnomerno, i izdvojeno (selektivno). Primer izdvojenog upijanja svetlosti su Fraunhoferove linije upijanja, uzrokovane upijanjem određenih talasnih dužina svetlosti u atmosferi Sunca.

Ravnomerno upijanje energije svetlosti, uobičajeno u slučaju optičkog stakla i drugih optičkih materijala za opštu upotrebu, je izraženo sa:

I_u=I-az = I-aL/cosβ ........ (34)

gde je I početna energija, I_u upijena energija, a koeficijent upijanja, obično po centimetru puta, i z dužina puta kroz datu sredinu, u istim jedinicama kao a (dužina puta z za datu osno-paralelnu dužinu L je obrnuto srazmerna kosinusu nagiba zraka, cosβ). U načelu, koeficijent upijanja svetlosti se menja sa talasnom dužinom. Za optička stakla namenjena prenosu svetlosti je najčešće ispod 1% po centimetru puta.

Upijena svetlost se pretvara u kinetičku energiju (energiju kretanja), tj. povećava kinetičku energiju elektrona. Pošto elektroni mogu da koriste višestruke stabilne orbite sa višim nivoima energije - višestruke obrtne orbite sa porastom energije od 0.01kJmol^-1 (kilodžula po molu, ili 1,04x10-4 eV) od jednog do drugog, kao i višestruke vibracione orbite sa porastom energije od 1kJmol^-1 - količina upijene svetlosti se ne menja ravnomerno sa promenom talasne dužine svetlosti, kao što je slučaj sa indeksom prelamanja.

Slika 18: UPIJANjE SVETLOSTI

Za optička stakla, upijanje najčešće raste prema ljubičastoj (kratkim talasnim dužinama) i opada prema dužim talasima, ali ne ravnomerno (slika desno). Znatna odstupanja od ovakvog načina upijanja postoje, kako u veličini, tako i u promeni koeficijenta upijanja sa talasnom dužinom. U slučaju krečnog stakla, na primer, čisto krečno staklo, ili prozorsko staklo, koje ima sličan indeks prelamanja i Abeov broj kao kraun i borosilikatno staklo, zbog prisustva oksida gvožđa ima koeficijent upijanja znatno veći za crvenu nego za svetlost kraćih talasa, dvadesetak puta veći nego u slučaju ova dva stakla. Druge vrste krečnog stakla, zbog drugačijih primesa, se takođe bitno razlikuju u ovom pogledu: zeleno krečno staklo, kom se dodaju 3-oksidi gvožđa i hroma da se smanji prenos sunčeve svetlosti, ima sličnu krivu promene koeficijenta upijanja po talasnim dužinama kao čisto krečno staklo, ali je njegova vrednost nekoliko puta veća u celom rasponu talasnih dužina.

Stopa upijanja svetlosti izražena je koeficijentom upijanja, koji je dat sa:

a=4πk/λ_v ........ (35)

kde je k, koeficijent slabljenja, imaginarni deo kompleksnog indeksa prelamanja, a λ_v talasna dužina svetlosti u vakuumu. Realni deo kompleksnog indeksa prelamanja je jednak indeksu prelamanja, koji se ne menja zbog gubitaka svetlosne energije, dok njegov imaginarni deo odražava efektivnu promenu vrednosti indeksa prelamanja i permitivnosti u odnosu na (nepromenjeni) raspon magnetnog polja (izraz 11).

U slučaju optičkog stakla, koje ima ravnomernu gustinu, tj. indeks prelamanja, sve do molekularnog nivoa, kao i vrlo nizak nivo stranih čestica, raspršenje je zanemarljivo, i koeficijent slabljenja je praktično jednak koeficijentu apsorpcije.

Raspršenje svetlosti

U slučaju da sredina kroz koju se svetlost kreće nije ravnomerna u gustini, tj. indeksu prelamanja, ili sadrži strane čestice, dolazi do delimičnog raspršenja svetlosti u međudejstvu sa ovim neravnomernostima. Osnovni teoretski pristup posmatra ove neravnomernosti kao sfere, gde svojstva raspšenja zavise prvenstveno od veličine ove sfere u odnosu na talasnu dužinu svetlosti.

Slika 19: RASPRŠENjE SVETLOSTI

U slučaju kad su neravnomernosti manje od 1/10 talasne dužine svetlosti, dolazi do tzv. Rejlijevog raspršenja (eng. Rayleigh scattering), koje je simetrično u odnosu na normalu na teoretsku sferu. Veće neravnomernosti uzrokuju tzv. Mi raspršenje (eng. Mie scattering, Gustav Ludwig Mie, 1868–1957), u kom je srazmerno više energije raspršeno na strani sfere u pravcu kretanja svetlosti (slika desno).

Osnovni oblik izraza za gubitak svetlosne energije usled raspršenja je isti kao u slučaju apsorpcije, s tim što je koeficijent upijanja (izraz 34) zamenjen koeficijentom raspršenja s:

I_r=I-sz ........ (36)

I Rejlijevo i Mi raspršenje su elastični, što znači da je raspršena svetlost iste talasne dužine kao ulazna svetlost (u slučaju neelastičnog raspršenja - eng. inelastic scattering - talasna dužina raspršene svetlosti se menja). Međutim, bitno se razlikuju u promeni jačine raspršenja sa talasnom dužinom λ: Rejlijevo raspržšenje je obrnuto srazmerno λ⁴, dok je Mi obrnuto srazmerno λ² (Rejlijevo raspršenje svetlosti oko molekula vazduha, koje je znatno veće za plavu i ljubičastu svetlost, je uzrok zašto nebo vidimo plavo).

Talasna svojstva svetlosti

Talasna svojstva svetlosti su svojstva talasa koji je čine i, neposredno vezano s tim, svojstva prostiranja i oblici međudejstva svetlosnih talasa.

U pogledu talasnog sastava, svojstvo svetlosti je predstavljeno rasponom talasnih dužina, tj. učestalosti svetlosnih talasa koje je sačinjavaju, kao i rasporedom jačine zračenja unutar tog raspona.

Jedno od svojstava samog svetlosnog talasa je postojanost ravni u kojima njegovo električno i magnetno polje osciluju. Ovo svojtvo se naziva polarizacija svetlosti.

Međudejstvo talasa svetlosti koji se susreću u prostoru naziva se ukrštanje (interferencija) svetlosti.

Svojstvo svetlosti da se širi u drugim pravcima od linije pravolinijskog kretanja, kao i pojave uzrokovane time, naziva se odvajanje (difrakcija) svetlosti.

Stepen povezanosti faze različitih talasa koji čine svetlosno polje naziva se koherentnost svetlosti.

Talasni sastav svetlosti

Osnovno svojstvo svetlosti je njen talasni sastav, ili lepeza zračenja (eng. radiation spectrum), predstavljena talasnim dužinama - tj. učestalostima - talasa koji je čine, kao i njihovim jačinama. U pogledu talasnog sastava svetlost se deli na jednobojnu, ili monohromatsku, i višebojnu, ili polihromatsku.

Strogo govoreći, jednobojna svetlost se sastoji od samo jedne talasne dužine. Takva svetlost, međutim, nije poznata u prirodi, i praktično najčešće se ne razlikuje ѕnačajno od tzv. prividno jednobojne (eng. quasi-monochromatic), koja je definisana kao svetlost sa najvećim delom energije u jednoj talasnoj dužini, ili u vrlo uskom rasponu talasnih dužina. Takva svetlost ima vrlo slične, praktično najčešće iste osobine kao jednotalasna svetlost.

Slika 20: ZRAČENjE SUNCA

Svetlost prirodnog porekla po pravilu je višebojna, tj. sastoji se talasa čije se dužine, odnosno učestalosti, znatno razlikuju. Prirodna svetlost je takođe po pravilu neujednačene jačine u rasponu talasnih dužina koje je čine. Kao primer, slika desno prikazuje talasni sastav Sunčeve svetlosti van Zemnjine atmosfere, i na površini Zemlje (tzv. direktna sunčeva svetlost, koja stiže neposredno od Sunca; stvarna, ili tzv. globalna svetlost (eng. global sunlight) na površini Zemlje uvek sadrži i svetlost odbijenu od okolnih reflektivnih površina, što dodatno (uz atmosferu) menja svojstva Sunčeve svetlosti.

U načelu, raspored jačine zračenja u odnosu na talasne dužine je određen prvenstveno temperaturom objekta koji zrači. U prirodi, ovaj raspored je uvek u izvesnoj meri izmenjen upijanjem (najčešće) i dodanim zračenjem sredina kroz koje svetlost prolazi. U slučaju sunčeve svetlosti, mnoge talasne dužine su upijene od strane elemenata Sunčeve atmosfere. Lepeza sunčevog zračenja je dodatno znatno izmenjena upijanjem od strane elemenata Zemljine atmosfere (kiseonik, vodena para, ugljen-dioksid i drugi).

U okviru desno gore prikazan je talasni sastav zračenja savršenog toplotnog izvora, tzv. crnog tela (eng. black body radiation), za nekoliko različitih temperatura. U odsustvu uticaja sredine, raspon zračenja daleko prevazilazi granice vidljivog, sa jačinom koja se ravnomerno menja saglasno Plankovom zakonu zračenja crnog tela ( eng. Planck's law), sa vrhuncem jačine zračenja koji se sa povećanjem temperature tela pomera prema kraćim talasima (Vinov zakon pomaka, eng. Wien displacement law).

Koherentnost svetlosti

Slika 21: KOHERENTNOST

Usklađenost (koherentnost) je svojstvo svetlosti koje se odnosi na postojanost promene talasne faze. Sam talas je koherentan ako je promena njegove faze potpuno ravnomerna, i dotle dok je ravnomerna. U koherentnom talasnom snopu svi talasi su u istoj fazi, i nema prekida i neravnomernosti u talasnom periodu.

Slika 22: EM TALASI

Ovako opisana svetlost je teoretske idealizacija, jer takvi savršeni talasi ne postoje u prirodi. Prirodna svetlost je između koherentne i nekoherentne, sa stalnim nasumičnim promenama u fazi i rasponu (slika desno). Sledstveno tome, njena svojstva, uključujući koherentnost, mogu se izraziti samo koristeći prosečne vrednosti, tj. postupcima statističke optike.

Uzroci nasumičnosti su višestruki: (1) sama priroda ispuštanja svetlosnih talasa iz atoma, koji bivaju nasumično pobuđeni u kratkim vremenskim periodima i imaju promenljivo uzvratno dejstvo, (2) razlike u ovim svojstvima talasa od atoma do atoma, i (3) neravnomernost indeksa prelamanja sredina kroz koje se talasi kreću.

Vremenska koherentnost

Koherentnost svetlosti se posmatra u dva osnovna okvira: prvi je koherentnost svetlosti tačkastog izvora, gde se posmatra postojanost faze talasa koji izvire iz jedne tačke (praktično, snop talasa sa vrlo male površine) u vremenu (eng. temporal coherence). Postojanost, tj. stepen koherentnosti, se ovde meri dužinom vremena u kom je promena faze približno ravnomerna. Ovaj period vremena se zove vreme koherentnosti (eng. coherence time), a odgovarajuća dužina puta koju svetlost pređe u tom periodu je dužina koherentnosti (eng. coherence length). Jednobojna svetlost iz postojanog izvora ima visok stepen vremenske koherentnosti.

Osnovni uzrok vremenske nekoherentnosti je višebojnost svetlosti. Prirodni izvori po pravilu odašilju svetlost u određenom rasponu učestalosti, tj. u većem broju talasnih dužina. Zbog toga se fazni odnos između različitih talasnih dužina neprestano menja tokom njihovog prostiranja. Kao posledica toga, vremenski period u kom je odnos faza približno nepromenjen je vrlo kratak; za belu (sunčevu) svetlost ono je oko 2.6x10^-15 sekunde, sa odgovarajućom dužinom koherentnosti od 780nm (nanometara, 0.00078mm).

Prostorna koherentnost

Drugi okvir u kom se posmatra koherentnost svetlosti je u slučaju proširenog svetlosnog izvora, gde je merilo koherentnosti postojanost faze između talasa iz njegovih različitih delova (slika desno). Ovaj vid koherentnosti (eng. spatial coherence) se meri u istom trenutku vremena, ali u dve različite tačke prostora, obično u ravni poprečnoj na pravac prostiranja svetlosti. Pošto se proširen izvor sastoji od većeg broja tačkastih izvora, koherentnost svetlosti koju stvara proširen svetlosni izvor ima oba činioca, vremenski i prostorni.

Slika 23: JANGOV OGLED

U slučaju prostorne nekoherentnosti, uzrok je nasumična razlika u početnoj fazi talasa iz račličitih tačaka proširenog izvora, što je klasična pretpostavka prirode svetlosti sa proširenog izvora. Ako je početna faza ujednačena na celoj površini izvora, svetlost koju on odašilje je koherentna. Međutim, ovakav izvor može i ne mora da bude potpuno koherentan sa stanovišta uobičajenog merila koherentnosti, izraženosti linija ukrštanja. Razlog je najjednostavnije objasniti na primeru Jangovog interferometra, gde linije ukrštanja stvaraju talasi koji prolaze kroz dva mala otvora (slika desno). Sa povećanjem površine izvora sve veći broj talasa prolazi kroz ove otvore, do kojih zbog razlika u dužini puta stižu u različitim fazama. Usled toga, polje stvoreno iza dva otvora postaje nekoherentno; pošto svaki par približno koherentnih talasa proizvodi linije ukrštanja sa pomakom u odnosu na druge takve parove, tamne i sjajne linije se mešaju, što dovodi do slabljenja njihove izraženosti.

U načelu, izraženost linija ukrštanja za datu udaljenost i razmak otvora slabi sa povećanjem linearnog prečnika izvora. Za proizvoljnu udaljenost i razmak, izraženost slabi sa povećanjem ugaonog prečnika izvora.

Stepen koherentnosti svetlosti

Za statistički ustaljen talas (eng. stationary wave), za koji je prosek odstupanja stalan za dati vremenski period - što je svojstvo svetlosnih talasa većine prirodnih izvora - stepen koherentnosti meri se postojanošću faze dve talasne funkcije istog talasa u različitom vremenskom okviru za vremensku koherentnost, i postojanošću faze dve talasne funkcije u različitim tačkama za prostornu koherentnost.

Stepen koherentnosti svetlosti određuje način na koji se svetlosni talasi ukrštaju, tj. stvarni proizvod njihovog međudejstva. U načelu, koherentni talasi se, zbog svog stalnog faznog odnosa, sabiraju na nivou raspona, sa jačinom, ili energijom srazmernom kvadratu zbirnog raspona. Sa druge strane, nekoherentni talasi se zbog nepostojanja stalnog faznog odnosa sabiraju neposredno kao energija, tj. kao kvadrati raspona pojedinih talasa.

Slika 24: KOHERENTNO I NEKOHERENTNO ZBIRANjE TALASA

Slika desno prikazuje razliku u zbiranju koherentne i nekoherentne svetlosti na primeru slike dva tačkasta izvora na rastojanju Rejlijevog limita, 1,22λF, gde je F fokalni racio. U slučaju koherentne svetlosti, zbiranje, a time i difrakciona slika, su uslovljeni faznom razlikom između dva izvora. Ako je razlika jednaka π/2, slika je ista kao za nekoherentnu svetlost. U slučaju da je jednaka nuli, slike dva izvora se potpuno spajaju, dok su u slučaju fazne razlike π dve slike potpuno razdvojene, jasnije nego u slučaju nekoherentne svetlosti.

Delom koherentni talasi se sabiraju delom kao energija i delom na nivou raspona, u odnosu koji zavisi od stepena koherentnosti.

Funkcija uzajamne jačine

Stepen koherentnosti svetlosti, dakle, određuje proizvod međusobnog dejstva svetlosnih talasa, što mu daje teoretski i praktični značaj. U opštem obliku, stepen koherentnosti svetlosti izražen je funkcijom uzajamne koherentnosti (eng. mutual coherence function), takođe zvanom funkcija uzajamne, ili zajedničke jačine:

$G({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\tau )=\langle V^{*}({\vec {r}}_{1},t_{1})\,V({\vec {r}}_{2},t_{2})\rangle$ ........ (37)

gde je ${\vec {r}}$ prostorni vektor koji određuje položaj tačke, t je vremenski period (koji ne mora da bude srazmeran apsolutnoj vrednosti prostornog vektora, jer stalnost brzine kretanja talasa nije pretpostavljena), τ=t₁-t₂ je vremenski pomak između dve talasne funkcije, V je kompleksna talasna funkcija datog talasa, i V* je komleksna veznica (eng. complex conjugate), tj. njena negativna vrednost u kompleknim koordinatama, V*=-V (upotreba kompleksne veznice V* umesto V je neophodna jer proizvod raspona predstavlja jačinu, koja je u osnovi kvadratna, dok su sa fazorima kao neposrednim kompleksnim vekičinama, tačne samo linearne operacije).

Slika 25: NASUMIČNA PROMENA TALASA

Ovaj izraz je matematički međuodnos (eng. cross correlation) dve nasumične talasne funkcije predstavljene njihovim statističkim prosekom. Slika desno daje primer nasumične promene faze i raspona talasa prikazanih u Arganovom dijagramu (gore levo, fazori, koji predstavljaju raspon i fazu talasa u datom trenutku vremena, se nadovezuju u vremenskom redosledu, desno su prikazani sa zajedničkom početnom tačkom u središtu dijagrama). Dole su prikazani kompleksna veznica početnog talasa u trenutku t, kao i razlika u fazi i rasponu u odnosu na talas u drugom trenutku.

U slučaju da je r₁=r₂, funkcija uzajamne koherentnosti postaje samo-odnos (eng. self-correlation), za isti talas u istoj tački ali sa vremenskim pomakom T, tj. postaje funkcija vremenske koherentnosti (eng. temporal coherence function):

$G(\tau )=\langle V^{*}(t_{1})\,V(t_{2})\rangle =\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}V^{*}(t_{1})\,V(t_{2})\,dt$ ........ (38)

gde je T posmatran vremenski interval.

U slučaju kad je t₁=t₂, tj. vremenska razlika τ=0, izraz (38) predstavlja funkciju prostorne koherentnosti:

$G({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\langle V^{*}({\vec {r}}_{1})\,V({\vec {r}}_{2})\rangle$ ........ (39)

Vrednost funkcije uzajamne koherentnosti u istom trenutku vremena (tj. za vremenski pomak τ jednak nuli), u slučaju vremenske koherentnosti, kao i za istu tačku u prostoru u slučaju prostorne koherentnosti (tj. za prostorni pomak r₁-r₂=0, ili r₁=r₂), naziva se uzajamna, ili zajednička jačina (eng. mutual intensity).

Kompleksni stepen koherentnosti

Pošto je za izračunavanje funkcije koherentnosti neophodno znati fizička svojstva izvora, praktičniji je oblik u kom je stepen koherentnosti izražen kao neposredno merljiva svedena (eng. normalized) vrednost, deljenjem funkcije koherentnosti sa jačinom polja. Ovim se dobija tzv. kompleksni stepen koherentnosti (eng. complex degree of coherence), koji se u opštem obliku može izraziti kao:

$\gamma ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\tau )={\frac {G({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\tau )}{[I(r_{1})I(r_{2})]^{1/2}}}$ ........ (40)

gde je $I=G({\vec {r}},{\vec {r}},0)=\langle |V({\vec {r}},{\vec {r}},0)|^{2}\rangle$ prosečna jačina talasa za r₁=r₂=r i τ=0, tj. u istoj tački za prostornu koherentnost, ili u istom trenutku vremena za vremensku koherentnost.

Za vremensku koherentnost,

$\gamma (\tau )={\frac {G(\tau )}{G_{0}}}={\frac {\langle V(t_{1})^{*}V(t_{2})\rangle }{\langle V(t)^{*}V(t)\rangle }}={\frac {I(\tau )}{I(0)}}$ ........ (41)

i za prostornu:

$\gamma ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})={\frac {G({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})}{G_{r}}}={\frac {\langle V(r_{1})^{*}V(r_{2})\rangle }{\langle V(r)^{*}V(r)\rangle }}={\frac {I(r_{1},r_{2})}{I(r)}}$ ........ (42)

Opšti izraz (37), i svi izvedeni izrazi, su merilo stepena koherentnosti prvog reda. Stepen koherentnosti višeg reda uključuje dodatne tačke u slučaju prostorne koherentnosti, i dodatne vremenske pomake u slučaju vremenske.

Vrednost kompleksnog stepena koherentnosti se kreće između nule, za potpuno nekoherentnu svetlost, i jedan za koherentnu svetlost, tj. 0<|γ|<1. Drugim rečima, ako u odnosu faza dve statističke talasne funkcije ne postoji ni najmanji stepen povezanosti, svetlost je potpuno nekoherentna. Sa stepenom povezanosti raste i stepen koherentnosti, i odnos faza postaje stalan za koherentnu svetlost.

Vrednost kompleksnog stepena koherentnosti je neophodna za proračun zbirne jačine (energije) svetlosnih talasa, koja je za statistički ustaljena svetlosna polja (tj. ona čiji je prosek promene faze i raspona u datom vremenskom periodu stalan) data sa:

$I=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}\gamma _{1,2}\delta _{1,2}$ ........ (43)

gde je I jačina talasa, a δ njihova fazna razlika, kao i za proračun izraženosti linija ukrštanja u interferometrima:

$\upsilon ={\frac {I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}}={\frac {I-I_{1}-I_{2}}{2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}}}$ ........ (44)

Kompleksni stepen koherentnosti se takođe koristi za izražavanje osnovnih merila koherentnosti svetlosti: kompleksni stepen vremenske koherentnosti za period koherentnosti i odgovarajuću dužinu koherentnosti, a komplekni stepen prostorne koherentnosti za površinu koherentnosti.

U oba slučaja, osnova je najmanja vrednost stepena koherentnosti za koju se svetlost smatra koherentnom za datu svrhu. U slučaju vremenske koherentnosti, kompleksni stepen koherentnosti se menja kao funkcija vremenskog pomaka t₁-t₂=τ, a u slučaju prostorne kao funkcija prostornog pomaka r₁-r₂=ρ. Razmak između pozitivne i negativne najmanje vrednosti kompleksnog stepena koherentnosti g određuje period, tj. površinu koherentnosti u datom okviru (slika desno).

Ven Sitart-Zernike teorija

Stepen koherentnosti svetlosti sa proširenog nekoherentnog izvora posmatranog iz Fraunhoferovog difrakcionog domena opada sa povećanjem ugaone veličine površine izračenja. Zavisnost između ove dve veličine određena je Ven Sitart-Zernike (Van Cittart-Zernike) teorijom, po kojoj je funkcija opadanja koherentnosti svetlosti sa nekoherentnog proširenog izvora, predstavljena Furijeovom transformacijom profila jačine nekoherentnog izvora, slična rasponu polja koherentnog izvora predstavljenog Furijeovom transformacijom profila raspona koherentnog izvora.

U slučaju kad izvor ima oblik uskog pravougaonog proreza, slučaj važan za ekperimentalne svrhe, Sitart-Zernikeova teorija daje stepen koherentnosti svetlosti sa ovakvog izvora u geometriji Jangovog ogleda, dakle sa dva mala otvora kroz koje prolazi svetlost sa proširenog izvora i stvara linije ukrštanja, kao sink funkciju:

$|\gamma _{1,2}|=\left|sinc{\frac {W\theta }{\lambda }}\right|=\left|sinc{\frac {WD}{\lambda z}}\right|$ ........ (45)

gde je W širina proreza, θ=D/z ugaoni razmak dve tačke na razmaku D sa daljine z u Fraunhoferovom domenu, i λ talasna dužina svetlosti.

U slučaju kružnog nekoherentnog izvora, stepen koherentnosti je predstavljen funkcijom istovetnom funkciji širenja tačke, koja se može izraziti kao svedena Beselova funkcija prvog reda (J₁):

$|\gamma _{1,2}|=\left|{\frac {2J_{1}\left({\frac {\pi S\alpha }{\lambda }}\right)}{\left({\frac {\pi S\alpha }{\lambda }}\right)}}\right|=\left|{\frac {2J_{1}\left({\frac {\pi SD}{\lambda z}}\right)}{\left({\frac {\pi SD}{\lambda z}}\right)}}\right|$ ........ (46)

gde je α ugaoni, a S linearni prečnik izvora. Pošto je prvo dno (eng. first minima) - praktično nula - ove funkcije za vrednost argumenta (nezavisno promenljive) 3,832, ili 1,22π, poluprečnik kružnice unutar koje se nalazi središnji vrh (eng. central maxima) je:

r_c=D/2=1,22λ/α ........ (47)

i naziva se razmak, ili poluprečnik koherentnosti (eng. coherence radius). Slikovno, središte ove funkcije koherentnosti je na jednom od dva otvora, dok vrednost funkcije na udaljenosti drugog otvora određuje stepen koherentnosti, tj. vidljivost linija ukrštanja.

Unutar ovog kruga se nalazi površina - u ovom slučaju kružna - koherentnosti, određena najmanjom vrednošću γ za koju se svetlost u datom okviru smatra koherentnom. Prosečna vrednost γ za kružnicu poluprečnika 1,22π/α je 0.23, dakle prosečna koherentnost za ceo krug je niska.

Slika 26: POLUPREČNIK KOHERENTNOSTI ZA JEDNOTALASNU (JEDNOBOJNU) SVETLOST

Na primeru zvezde, potreban razmak ogledala Miklsonovog zvezdanog interferometra pri kom su nestale linije ukrštanja od svetlosti sa crvenog džina Betelgeza u sazvežđu Oriona bio je 3,073m za prosečnu talasnu dužinu λ=0.000575mm. To znači da je odgovarajući ugaoni prečnik zvezde 0.047" lučnih sekundi. Tako je prvi put izmeren ugaoni prečnik zvezde i, na osnovu poznate udaljenosti, određena njena veličina.

Slika desno prikazuje vezu između ugaone veličine zvezde i ugaonog poluprečnika Eri diska, koji je obrnuto srazmeran prečniku otvora. U datom slučaju dve ugaone veličine su jednake, što znači da je prosečna koherentnost svetlosti sa zvezde - tj. prosečna vrednost γ - jednaka 0,23 (PSF označava Point spread function, tj. funkciju širenja tačke).

U slučaju Jupitera, koji se u teleskopu lako vidi kao približno kružna površina prosečnog prečnika od oko 40 lučnih sekundi, razmak koherentnosti je, za prosečnu talasnu dužinu λ=0.0006mm, svega 3.1mm. To znači da bi svetlost sa Jupitera bila pretežno koherentna (γ>0,5) u telskopu prečnika otvora manjeg od 2mm.

Polarizacija svetlosti

Polarizacija svetlosnog talasa je svojstvo koje označava određen oblik pravilnosti u orijentaciji ravni oscilovanja električnog polja (a time i magnetnog polja, koje osciluje pod pravim uglom u odnosu na električno). U načelu, prirodni izvori svetlosti proizvode nepolarizovanu svetlost, čiji talasi nasumično menjaju orijentaciju ravni oscilovanja približno svakih 10^-8 sekunde. Do polarizacije, delimične ili potpune, može da dođe prolaskom kroz sredinu koja upija talase sa određenim orijentacijama. Takođe, do određenih oblika polarizacije može da dođe u posebnim slučajevima međudejstva polarizovanih talasa, ili u posebnim slučajevima odbijanja svetlosti.

Slika 27: POLARIZACIJA SVETLOSTI

Slika desno prikazuje kretanje elektromagnetnog talasa kako je obično predstavljeno, u obliku linearno polarizovanog talasa čije električno polje tokom kretanja osciluje u jednoj istoj ravni, sa magnetnim poljem koje osciluje u ravni normalnoj na ravan oscilovanja električnog polja, istog raspona (u vakuumu) i u istoj fazi s njim. Gledajući u liniji prostiranja talasa, prema izvoru, dve ravni su u nepromenjenom položaju u prostoru (gore desno). Kod nepolarizovane svetlosti ravan oscilovanja električnog polja - s ravni oscilovanja magnetnog polja uvek normalnom na nju - se nasumično menja (dole levo), kao posledica neravnomernosti u rasporedu i položaju atoma koji je izračuju.

U međudejstvu polarizovanih talasa različitih svojstava nastaju oblici polarizacije drugačiji od početnih talasa u međudejstvu. Konačan oblik zavisi od vrste polarizacije talasa, njihoviog prostornog odnosa, raspona i fazne razlike. Najjednostavniji slučaj je međudejstvo dva linearno polarizovana talasa u fazi, na istoj liniji kretanja, čije su ravni električnog oscilovanja normalne jedna na drugu, i sa istim rasponom polja. U slučaju dva takva talasa, koji se mogu izraziti kao:

$E_{x}(x,t)={\hat {z}}E_{0}\,cosk(x-\tau )$ i $E_{x}(x,t)={\hat {y}}E_{0}\,cosk(x-\tau )$ ........ (48)

gde je E talasni raspon, isti za oba talasa, k=2π/λ je, kao ranije, periodni broj, cos(x-τ) je talasna funkcija u kojoj je $\tau$ vreme u jedinicama vremenske dužine talasnog perioda υ=λ/c, dok su ${\hat {z}}$ i ${\hat {y}}$ jedinični vektori, koji označavaju da su i sami rasponi vektorske veličine, i takođe svojim znakom određuju orijentaciju ravni oscilovanja.

Slika 28 (levo) pokazuje zbirnu oscilaciju ova dva polarizovana električna polja sa normalnim ravnima oscilovanja za date vrednosti $\tau$. Proizveden talas je je takođe polarizovan, sa vektorom raspona datim vektorskim zbirom dva oscilujuća polja u svakoj tački prostora/vremena (ovo u načelu važi i za talase sa različitim rasponima, i sa ravnima oscilovanja pod proizvoljnim uglom). Ovaj talas ima isti period i fazu kao dva talasa od kojih je nastao, uvećan raspon i izmenjenu orijentaciju ravni oscilovanja.

Eliptična i kružna polarizacija

Slika 28: POLARIZACIJA SVETLOSTI

Ako dva ovakva polarizovana talasa nisu u fazi, ravan oscilovanja se tokom kretanja obrće oko linije kretanja. U slučaju kad je fazna razlika između njih -π/2, proizveden talas ima stalan raspon, jednak rasponu ova dva talasa, sa ravni oscilovanja koja se obrće oko lnije kretanja u pravcu suprotnom kretanju kazaljke na satu, gledano i pravcu izvora. Ovakav talas se naziva kružno-levo polarizovan talas (eng. left circularly polarized), ili svetlost (slika 28, sredina). Ako je fazna razlika δ=π/2, dobija se kružno-desno polarizovan talas.

Oba prethodna primera su posebni slučajevi. U načelu, dva polarizovana talasa sa proizvoljnom razlikom u fazi i rasponu, proizvode eliptično polarizovanu svetlost, koja takođe može biti levo ili desno polarizovana (slika 28, desno).

Ukrštanje (interferencija) svetlosnih talasa

Ukrštanje (interferencija) svetlosnih talasa je, u opštem smislu, međudejstvo dva ili više talasnih polja usled kojeg dolazi do stvaranja zbirnog polja sa, u načelu, drugačijim svojstvima. Kao takvo, ukrštanje svetlosti je usko vezano sa odvajanjem, ili difrakcijom svetlosti, koja je posledica preklapanja kosih svetlosnih talasa u polju iza prepreke na njihovom putu.

Slika 29: Ukrštanje talasa

Pojava ukrštanja svetlosti se koristi u posebnim optičkim sklopovima, zvanim interferometri, kojima se ustanovljavaju svojstva svetlosti (npr. oblik talasnog fronta proizvedenog od strane optičkog sklopa za stvaranje slike), kao i svojstva izvora na osnovu ponašanja svetlosti (npr. Miklson - Albert Abraham Michelson, 1852-1931 - je pomoću interferometra utvrdio brzinu svetlosti, veličinu Betelgeza, itd.). Interferometri se takođe koriste izvan uže oblasti optike, u fizici, inženjerstvu, biologiji, merenjima, i drugim.

U užem smislu, ukrštanjem svetlosti se naziva međudejstvo talasa koje, pod određenim uslovima, dovodi do stvaranja svetlih i tamnih linija - tzv. linija ukrštanja ili interferencionih linija. U ovom, uobičajenom okviru, kaže se da ukrštanje talasa postoji ako oni proizvode postojan oblik linija ukrštanja. I, shodno tome, ako talasi ne proizvode postojane linije ukrštanja, ili ih ne proizvode uopšte, kaže se da se takvi talasi ne preklapaju. Ovo, međutim, ne znači da ne dolazi do međudejstva talasa u nekom drugom obliku (npr. polarizacija); u načelu, do međudejstva uvek dolazi.

Koherentna svetlost

U najjednostavnijem primeru međudejstva dva linearno, ili ravno polarizovana koherentna talasa, raspon zbirnog polja je srazmeran vektorskom zbiru raspona dva polja. Pošto je učestalost svetlosnih talasa suviše visoka da bi se raspon neposredno merio u praktičnim jedinicama vremena, za proračun se koristi jačina polja, jednaka vremenskom proseku kvadrata raspona polja:

$I_{(1+2)}=\langle ({\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2})^{2}\rangle =\langle {{\vec {E}}_{1}^{2}}\rangle +\langle {{\vec {E}}_{2}^{2}}\rangle +2\langle {{\vec {E}}_{1}{\vec {E}}_{2}}\rangle =I_{1}+I_{2}+2I_{12}$ ........ (49)

gde je poslednji činilac, 2I₁I₂, tzv. čnilac peklapanja (eng. interference term). Ovaj činilac pokazuje da jačina zbirnog polja, za razliku od njegovog raspona, nije jednostavno zbir jačina dva polja, nego jednaka zbiru jačina i činioca ukrštanja. Vremenski prosek ovog činioca je funkcija fazne razlike između dva talasa:

$I_{12}=2\langle {{\vec {E}}_{1}\cdot {\vec {E}}_{2}}\rangle ={\vec {E}}_{1}\cdot {\vec {E}}_{2}cos\delta$ ........ (50)

gde je fazna razlika $\delta =({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2}){\vec {r}}-\varphi _{1}-\varphi _{2}$ funkcija razlike u dužini optičkog puta r između dva talasa, i takđe zavisna od razlike u početnoj fazi, ψ.

Dodatno pojednostavljujući okolnosti, u slučaju da su polja, tj. pravci raspona ova dva talasa paralelni, vektorski proizvod je jednak skalarnom ${\vec {E}}_{1}\cdot {\vec {E}}_{2}=E_{1}\cdot E_{2}$, vremenski prosek kvadrata sinusoidne funkcije cos²(kx-ωt) koja opisuje $\langle E\rangle =E_{0}cos(kx-\omega t)$ je jednak 1/2, te je jačina prvog talasa $I_{1}=\langle {E_{1}^{2}}\rangle ={\frac {E_{1}^{2}}{2}}$, jačina drugog je $I_{2}=\langle {E_{2}^{2}}\rangle ={\frac {E_{2}^{2}}{2}}$, dakle $E_{1}^{2}=2I_{1}$, $E_{2}^{2}=2I_{2}$, i posle zamene na desnoj stani i39, jačina zbirnog polja je data sa:

$I_{(1+2)}=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}\,cos\delta$ ........ (51)

U skladu s tim, zbirna jačina ovakva dva talasa je najveća kad je cosδ=1, tj. za vrednost fazne razlike δ od 0, +/-2π, +/-4π..., a najmanja kad je cosδ=-1, tj. za vrednosti δ od +/-π, +/-3pπ... U zavisnosti od znaka činioca ukrštanja, zbirna jačina dva talasa može da bude veća ili manja od prostog zbira jačina dva talasa. U prvom slučaju radi se o pozitivnom, a u drugom o negativnom ukrštanju.

U slučaju da su ova dva talasa takođe jednakih raspona, najveća jačina zbirnog talasa je četiri puta veća od jačine samog talasa, dok je najmanja jačina jednaka nuli. U ovom slučaju, izraz (39) postaje I=2I₀(1+cosδ) što, koristeći kosinusnu jednakost cos2a=(1+cos2a)/2, vodi do:

$I_{(1+2)}=4I_{0}\,cos^{2}{\frac {\delta }{2}}$ ........ (52)

gde je I₀ jačina jednog talasa.

Ovakvi uslovi postoje, u načelu, u Jangovom ogledu (eng. Young experiment) kojim je Jang proizveo linije ukrštanja svetlosnih talasa (slika desno).

Slika 30: Ukrštanje talasa

Slika desno prikazuje polarni graf jačine prekloljenih talasa za dva vrlo mala otvora postavljena kao u Jangovom ogledu, tako da se snopovi talasa iz njih sreću u fazi u udaljenoj (u odnosu na veličinu otvora i razmak među njima) tački na središnjoj liniji normalnoj na liniju koja spaja dva otvora. Ako su talasi iz dva otvora istog raspona, njihova zbirna jačina je najveća u središnjoj tački, i opada sa povećanjem ugla θ pod kojim se dva snopa sreću. Način na koji jačina slabi sa povećanjem ugla, tj. izgled linija ukrštanja, zavisi od razmaka S između dva otvora, saglasno izrazu:

$I=4I_{0}\,cos^{2}({\frac {\pi }{\lambda }}S\,sin\theta )$ ........ (53)

Za S=λ/2 (graf levo, neprekidna linija), ukrštanje talasa proizvodi samo široku središnju svetlu liniju ugaone širine od oko 90°, dok na većim uglovima zbirna jačina pada na nulu. Sa dva puta većim razmakom S, središnja linija se sužava, a dve šire, ali znatno slabije linije ukrštanja se pojavljuju u uglu od 45 do 90 stepeni (graf levo, isprekidana linija). S daljim povećanjem razmaka, na 6λ (graf desno), linije ukrštanja se umnožavaju u širokom uglu, i za srazmerno male uglove oko središnje linije su iste širine, i približno iste jačine.

Slika 31: Miklsonov interferometar

Jangov eksperiment je klasičan primer preklapanja svetlosti razdvajanjem talasnog fronta (engl. wavefront splitting); drugi uobičajen način dobijanja ovih linija je razdvajanjem talasnog raspona (eng. amplitude splitting), gde se deo talasa odbijen od optičke površine i deo koji je kroz nju prelomnjen usmeravaju ka zajedničkoj tački. Ovaj način dobijanja linija ukrštanja prvi put je upotrebljen u Miklsonovom ogledu iz 1887-me (engl. Michaelson-Morley experiment).

Slika desno pokazuje sklop i način rada Miklsonovog interferometra. Pomeranjem jednog od dva ogledala menja se razlika u optičkom putu između dva razdvojena dela talasa, što se odražava na oblik linija njihovog ukrštanja.

Nekoherentna svetlost

U slučaju dva nekoherentna talasa, zbog stalnih nasumičnih promena u fazi dva polja na vrlo visokim učestalostima, ona unutar praktičnih (tj. mnogo dužih od 1/ω sekundi) vremenskih jedinica ne utiču jedno na drugo, tj. činilac ukrštanja je jednak nuli. Zbirna jačina je jednostavno zbir pojedinačnih jačina:

$I=\langle {\vec {E}}_{1}\rangle +\langle {\vec {E}}_{2}\rangle =I_{1}+I_{2}$ ........ (54)

To govori da se nekoherentna svetlost, u načelu, ne preklapa, tj. ne proizvodi tamne i svetle linije ukrštanja.

Delom koherentna svetlost

Ako dva talasa nisu ni potpuno koherentna, ni potpuno nekoherentna, nego u odnosu delimične koherentnosti, zbirna jačina dva talasa je uslovljena ne samo faznom razlikom među njima, nego i njihovim stepenom koherentnosti. U slučaju dva talasa, zbirna jačina u tački međudejstva data je sa:

$I_{(1+2)}=I_{1}+I_{2}+{\sqrt {2I_{1}I_{2}}}cos\delta \,Re{\gamma _{1,2}}$ ........ (55)

gde je Reγ_1,2=|gama_1,2cosφ stvarni deo kompleksnog stepena koherentnosti (φ je faza γ_1,2), koji predstavlja stepen uzajamne koherentnosti svetlosnih talasa u datom vremenskom periodu, sa apsolutnom vrednošću koja se kreće od 1 za koherentnu do 0 za nekoherentnu svetlost, dok vrednosti između njih predstavljaju delom koherentnu svetlost.

Izraženost linija ukrštanja

Izraženost linija ukrštanja zavisi od visine najveće i najmanje jačine talasa u preklapanju. Data je Mikelsonovom formulom:

$\vartheta ={\frac {I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}}$ ........ (56)

gde I predstavlja zbirnu jačinu talasa I₍₁₊₂₎. Ova vrednost je uvek između 0 i 1, gde prva označava potpuno odsustvo linija ukrštanja (tj. postoji samo ravnomerna osvetljenost), a druga da su linije ukrštanja najviše izražene. Koristeći, na primer, izraz za zbirnu jačinu dva koherentna talasa (i38), dobija se da je izraženost linija ukrštanja. U slučaju da su dva polja ista i paralelna, izraženost je najviša moguća, tj. 1.

U slučaju nekoherentne svetlosti (i42), izraženost linija je jednaka nuli, tj. one ne postoje. I u slučaju delom koherentne svetlosti, koristi se jačina data sa I44, što za dva talasa iste jačine daje da je izraženost linija srazmerna apsolutnoj vrednosti kompleksnog stepena koherentnosti|γ_1,2}.

Difrakcija (odvajanje) svetlosti

Neutronski difraktometar u Laboratoriji za neutronsku fiziku, JINR

Difrakcija, ili odvajanje svetlosti je ukrštanje (interferencija) svetlosnih talasa u okolnostima kad je polje izmenjeno prisustvom prepreke koja zaklanja deo talasnog fronta. Jedina razlika između ukrštanja i difrakcije je u tome što je u prvom slučaju pažnja prvenstveno posvećena opisivanju samog ukrštanja, dok je u drugom osnovna veza između svojstava zaklona i svojstava ukrštanja.

Difrakcija svetlosti se često slikovito predstavlja kao skretanje svetlosti koja prolazi pored ivice prepreke, čime svetlost dospeva u prostor iza nje. Ovo, u osnovi, nije tačno, jer prisustvo prepreke ne menja ništa u načinu na koji se svetlost kreće: svetlost koja dospe u prostor iza prepreke bila bi tamo i bez njenog prisustva, i jedina razlika je u odsustvu dela polja zaustavljenog preprekom. Prepreka bukvalno odvaja dva dela polja jedan od drugog, čime se menjaju svojstva polja iza nje.

Hajgens-Frenelov princip

Slika 32: HAJGENS-FRENELOV PRINCIP, DIFRAKCIJA SVETLOSTI

Uzrok difrakcije je talasna priroda svetlosti, tj. svojstvo talasnog polja da se energija širi ne samo u pravcu kretanja talasnog fronta, nego i u stranu. Ovo svojstvo talasnog polja sadržano je u Hajgensovom principu, geometrijskom objašnjenju prostiranja svetlosti, po kom svaka tačka talasnog fronta postaje izvor svetlosti šaljući energiju u obliku malih sfera - tzv. Hajgensovih talasića (eng. Huygens' wavelets). Tačke preseka zraka koji prolazi kroz svaku tačku talasnog fronta i sfera koje se iz njih šire - tačnije, tangente na tu tačku - određuju kretanje i koncentričnu prirodu talasnog fronta. Pomoću ovog modela, Hajgens je objasnio odbijanje i prelamanje svetlosti.

Ova geometrijska osnova kretanja talasnog polja Kristijana Hajgensa, dopunjena je od strane Ogistena Frenela pretpostavkama o fizičkim svojstvima ovih talasića, čime je omogućeno da se, na opštem nivou, objasni upravo difrakcija svetlosti, kao proizvod zbiranja energija ovih Hajgensovih talasića (kao što manja slika u okviru gore desno pokazuje, difrakcija je posledica nedostatka talasa zaustavnjenih preprekom, kako u prostoru iza prepreke, tako i u otkrivenom delu prostora). Ovaj prošireni geometrijski model širenja svetlosti je stoga nazvan Hajgens-Frenelov princip širenja svetlosti (slika desno). Mada bez temeljne fizičke teoretske osnove, ovaj princip je u saglasnosti sa osnovnim svojstvima širenja svetlosnog polja, pa se i danas upotrebljava.

Frenelove zone

Slika 33: FRENELOVE ZONE

Difrakcioni proračun u okviru Hajgens-Frenelove zamisli je zasnovan na pojmu tzv. Frenelovih zona, ili zona poluperioda. Ove zone na površini talasnog fronta određene su presekom koncentričnih sfera sa središtem u tački posmatranja i razdvojene za polovinu talasne dužine svetlosti (λ/2) sa talasnim frontom. Drugim rečima, širina Frenelove zone je razmak između dve tačke na površini talasnog fronta za koje je razlika u udaljenosti od tačke posmatranja jednaka λ/2, počevši od središnje tačke talasnog fronta. Frenelove zone takođe na slikovit način pokazuju na koji način se svetlosni talasi zbiraju u difrakciono polje i stvaraju difrakcionu sliku.

Površine Frenelovih zona su praktično jednake, a talasni doprinos dve susedne zone u tački na osi (P, slika desno) je, zbog poluperioda, suprotnog znaka, jer su dve polovine perioda kao slike u ogledalu, gde svaka tačka u jednoj polovini ima tačku suprotnog znaka u drugoj (mali okvir na slici 31). Parovi susednih zona takođe imaju približno isti činilac ugla izračenja, K(χ)=(1-cosθ)/2, koji je Frenel uveo da bi pojam Hajgensovog talasića doveo u sklad sa zapažanjem da jačina svetlosti slabi sa povećanjem ugla u odnosu na pravac kretanja talasnog fronta. Prema tome, talasni doprinos parovi susednih zona u osnoj tački se približno potire, tako da se zbirni raspon za neograničenu površinu talasnog fronta svodi na doprinos središnje zone (čak i kada je broj zona paran, jer doprinos najudaljenijih zona teži nuli). Kao vremenski prosek, ovaj zbirni raspon u tački P je približno jednak polovini raspona središnje zone, tj.

$E_{P}~E_{0}/2={\frac {A}{r_{0}+r}}\lambda exp{-i[\omega t-k(r_{0}+r)-\pi /2]}$ ........ (57)

gde je A raspon osnovnog talasa, a ω, t i k su, kao ranije, učestalost, vremenska promenljiva i periodni broj. Opšti oblik izraza za ѕbirni raspon u tački polja može se predstaviti integralom:

$E_{P}=A{\frac {exp[\omega t-k(r_{0}+r)]}{r_{0}}}\int \int _{S}{\frac {iks}{s}}K(\psi )\,dS$ ........ (58)

gde S predstavlja jediničnu malu površinu na koje je izdeljen talasni front, i po kojima se vrši integracija, dok sam integral predstavlja zbirni doprinos rasponu od strane Hajgensovih talasića.

Ako se između talasnog fronta i tačke posmatranja postavi zaklon sa kružnim otvorom, površinaj Frenelovih zona sa kojih svetlost prolazi kroz ovaj otvor se menja sa udaljenošću otvora od talasnog fronta. Takođe, za vanosne tačke središte Frenelovih zona se udaljava od središta otvora (slika 33, desno). Posledica toga je da se osobine polja, tj. difrakciona slika koju ono stvara, u prisustvu otvora, tj. prepreke, menjaju sa udaljenošću ravni posmatranja od talasnog fronta, i sa položajem tačke u ovoj ravni u odnosu na središnju tačku talasnog fronta. Ovo, u načelu, važi i za difrakcionu sliku stvorenu u prostoru iza neprozirnog zaklona, na primer, kružnog diska.

Fizička teorija difrakcije

Prvu matematičku teoriju difrakcije svetlosti, zasnovanu na upotpunjenom Hajgensovom principu, dao je Frenel 1818. Mada se Frenelova teorija odlično slagala sa eksperimentalnim rezultatima, nije imala podlogu u temeljnoj fizičkoj teoriji. U 1882. Gustav Kirhof, koristeći Maksvelove jednačine elektromagnetnog polja objavljene u međuvremenu, postavlja prvu fizički zasnovanu teoriju difrakcije. Integral koji opisuje svetlosno polje na osnovu oveteorije naziva se Frenel-Kirhofov integral.

Rejli-Zomerfeld integral

Krajem 19. veka, Zomerfeld (Arnold Johanes Vilhelm Zomerfeld, 1868–1951) odstranjuje određene okvirne neusklađenosti Kirhofove teorije i, koristeći teoriju Grinove funkcije (eng. Green's function), daje teoriju difrakcije svetlosti poznatu kao Rejli-Zomerfeldova teorija. Ova teorija difrakcije se smatra najpotpunijom klasičnom teorijom difrakcije svetlosti. U praktičnom i teoretskom pogledu ova dva pristupa su, međutim, vrlo slična, i daju približno ista predviđanja.

Ako se položaj tačke izrazi vektorskom veličinom, Rejli-Zomerfeld difrakcioni integral se može izraziti kao:

$V({\vec {r}}';z_{p})={\frac {1}{\lambda }}\int \,V({\vec {r}}';0)({\frac {z_{p}}{ks}}-\imath z_{p}){\frac {exp[\imath ks]}{s^{2}}}d{\vec {r}}$ ........ (59)

Geometrija difrakcionog proračuna.

gde je $V({\vec {r}}';z_{p})$ zbirni raspon polja u tački posmatranja određenoj daljinom ravni posmatranja z_p i prostornim vektorom ${\vec {r}}'$ u toj ravni, i k=2π/λ je talasni broj (slika desno). Razdaljina između tačke u otvoru i tačke u ravni posmatranja je osnovna veličina, jer određuje faznu razliku talasa koji se sreću u svakoj tački polja, a time i raspon i jačinu polja u toj tački.

Kao što se iz geometrije na slici 33 vidi, ova razdaljina je jednaka korenu zbira kvadrata udaljenosti ravni posmatranja i visine tačke u njoj (Pitagorina teorema), koji se može raščlaniti na binomijalni niz:

$s=[z_{p}^{2}+|{\vec {r}}'-{\vec {r}}|^{2}]^{1/2}=z_{p}+{\frac {({\vec {r}}-{\vec {r}}')^{2}}{2z_{p}}}-{\frac {({\vec {r}}-{\vec {r}}')^{4}}{8z_{p}^{3}}}+...$ ........ (59.1)

Kvadratni činilac u binomijalnom nizu ima matematički oblik defokus aberacije i, mada nije neposredno povezan sa defokusom kao optičkom aberacijom, naziva se činiocem defokusa. Slično, činilac četvrtog stepena je činilac sferne aberacije.

Slika 35: DIFRAKCIJA IZA KRUŽNE IVICE

U optici, u načelu je udaljenost ravni posmatranja z_p mnogo veća od poluprečnika otvora d (optički sklop za stvaranje slike praktično projektuje srazmerno umanjeno polje iz beskonačnosti - za paralelne upadne zrake - u ravan žiže), što čini 1/ks zanemarljivo malim. Takođe, s=z_p, što znači da kosinus ugla nagiba tačke P' u odnosu na P teži jedinici. Ovo pojednostavljuje R-S integral, a dodatno pojednostavljenje je što se za s može koristiti samo približna vrednost. U zavisnosti od toga koja pribliđna vrednost se koristi, postoje dve osnovne aproksimacije R-S difrakcionog integrala, zvane Frenelova i Fraunhoferova. Uslov da su primenljive, tj. dovoljno tačne, je da je razmak do ravni posmatranja dovoljno velik. Najmanji razmak primenljivosti je mnogo veći za Fraunhoferovu nego za Frenelovu aproksimaciju.

Slika 35 prikazuje kako se jačina (energija) središnje tačke menja sa udanjenošću od kružnog otvora (crvena linija) i kružnog zaklona (crna linija) iste veličine. Udaljenost je data u jedinicama D²/λ, koja se može smatrati najmanjom daljinom prihvatljivosti Fraunhoferove aproksimacije. Graf na vrhu i u sredini je Fraunhoferov oblik difrakcionof integrala; donji je potpun Rejli-Zomerfeld integral.

Frenelov domen

Slika 36: DIFRAKCIJA IZA RAVNE IVICE

Oblik integrala koji koristi prva dva činioca binomijalne serije za s (izraz 59.1), predstavlja tzv. Frenelovu difrakciju, ili Frenelov domen (takođe, difrakciju bliskog polja, eng. near field diffraction). Ovaj integral je opšte primenljiv, izuzev za vrlo male otvore, blizu talasne dužine svetlosti, i vrlo male razdaljine ravni posmatranja. Pošto približna vrednost s u izložiocu ne sadrži treći činilac, Frenelov integral je dovoljno tačan pod uslovom da je ovaj činilac dovoljno mali da je kr²/2 mnogo manje od s, tj. za $s>>{\sqrt[{3}]{k|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|_{max}^{4}}}/2$ (za tačku na osi, r'=0, i $({\vec {r}}-{\vec {r}}'_{max})$ je jednako poluprečniku otvora d). Kad to nije slučaj, neophodna je primena Rejli-Zomerfeld integrala.

U slučaju otvora poluprečnika d=5mm i talasne dužine λ=0.0005mm, na primer, Frenelov domen su udaljenosti veće od ${\sqrt[{3}]{kd^{4}}}/2$, tj. 20 cm od ravni otvora.

Slika 36 prikazuje Frenelovu difrakciju iza zaklona u obliku beskonačne poluravni (eng. straight edge diffraction), graf raspona (gore), jačine (kvadrat raspona, u sredini) i difrakcionu sliku polja (dole), u jedinicama jačine nezaklonjenog polja.

Slika 37: FRENELOVA DIFRAKCIJA

Slika 37 prikazuje difrakcione slike u Frenelovom domenu za različite oblike otvora (plava linija) i zaklona (crvena linija). Širina otvora/zaklona je 5mm, izuzev za prorez, čija širina je 1,25mm. Daljina izvora je oko 1,8m, a daljina slike, tj. difrakcionog polja, 4m iza otvora/zaklona.

Slika 38: FRENELOVA DIFRAKCIJA

Sledeća slika 38 prikazuje osne slike difrakcionog polja iza kružnog otvora na razičitim udaljenostima. Prečnik otvora je takođe 5mm, ali je izvor u beskonačnosti, tj. upadni snop svetla čine paralelni zraci. Sa povećanjem udaljenosti smanjuje se broj Frenelovih zona u otvoru. Kad otvor sadrži paran broj punih zona, zbirni raspon u središnjem delu polja je nula, i slika pokazuje taman središnji krug. Sa povećanjem udaljenosti se talasi bolje zbiraju, i slika postaje sjajnija, što pokazuje i i odgovarajući graf rasporeda jačine polja iznad slike.

Fraunhoferov domen

Slika 39: FRAUNHOFER I FRENEL DIFRAKCIONI DOMEN

Kad je kvadratni "defokus" činilac zanemarljivo mali - u načelu za mnogo veće udaljenosti od najmanjeg rastojanja Frenelovog domena - on takođe može da se izostavi iz približne vrednosti difrakcionog integrala. Domen ovog, najjednostavnijeg oblika difrakcionog integrala naziva se Fraunhoferov domen, ili difrakcija dalekog polja (eng. far field diffraction). Ovaj zahtev je ispunjen kad je s>>kd²/2. Najmanja daljina primenljivosti Fraunhoferovog integrala je (8d/λ)^2/3 puta veća od najmanje udaljenosti Frenelovog domena (slika desno). Fraunhoferov integral je primenljiv za približno paralelne zrake, zbog čega se ponekad naziva paraksijalna difrakciona aproksimacija.

Pošto je opšti izraz za površinu Frenelove zone dat sa:

$A={\frac {\pi \lambda \rho z_{p}}{\rho +z_{p}}}$ ........ (60)

gde je ρ poluprečnik talasnog fronta, broj Frenelovih zona u otvoru je dat sa:

$A={\frac {\pi d^{2}}{A}}={\frac {(\rho +z_{p})d^{2}}{\rho z_{p}\lambda }}$ ........ (61)

što se sa ρ-inf pojednostavljuje u B=d²/λz_p. Zamenjujući z_p sa d²/λ, daje da je na toj udaljenosti u otvoru samo jedna, središnja Frenelova zona. Shodne tome, Fraunhoferov domen se može definisati i kao domen prve Frenelove zone.

Strogo govoreći, uslov za primenljivost Fraunhoferovog integrala je da je udaljenost ravni posmatranja, z_p, mnogo veća od πd²/λ. U praksi, udaljenost jednaka D²/λ, gde je D prečnik otvora, D=2d, za koju je fazna greška integrala π/4 (ili λ/8 u jedinicama talasne dužine) se smatra prihvatlljivom, jer uzrokuje samo 5% niži Strel racio u odnosu na Strel racio svetlosnog snopa sa žižom u toj tački, i srazmerno malu promenu u rasporedu raspona polja (za Frenelovu difrakciju, ova daljina se približno poklapa sa $z_{p}={\sqrt[{3}]{kd^{4}}}/2$.

Slika 40: RASPON POLjA KAO FURIJEOVA TRANSFORMACIJA RASPONA OTVORA

Za Fraunhoferovu difrakciju važi da je kompleksni raspon talasa u tački polja iza otvora srazmeran Furijeovoj transformaciji raspona u otvoru. To znači da je oblik rasporeda jačine polja isti, i samo se menja u veličini, srazmerno udaljenosti. U slučajz Frenelove difrakcije, kompleksni raspon u tački polja je Furijeova transformacija oblika raspona u otvoru izmenjena prisustvom kvadratnog "defokus" činioca, i u zavisnosti od njegove veličine. Kako ovaj činilac postaje zanemarljiv na većim udaljenostima, raspon polja se približava Furijeovoj transformaciji raspona u otvoru, tj. difrakciona slika u Fresnelovom domenu postaje sličnija difrakcionoj slici u Fraunhoferovom domenu.

Slika 40 prikazuje raspon polja u Fraunhoferovom domenu, koji je Furijeovu transformacija raspona polja u otvoru, za pravougaoni i kružni otvor (raspon polja u slučaju pravougaonog otvora ima isti oblik duž projektovanih linija koje dele otvor uzdužno i poprečno, samo je njegova širina obrnuto srazmerna širini otvora, kao što difrakciona slika polja u uglu gore desno pokazuje). Kvadrat raspona polja u slučaju kružnog otvora je funkcija širenja tačke, jedan od osnovnih pojmova teorijske i praktične optike.

Slika 41: FRAUNHOFEROVA DIFRAKCIJA

Na slici 39 su primeri Fraunhoferove difrakcije za nekoliko različitih oblika. Primeri Fresnelove difrakcije dati su ranije. Difrakciona slika iza proreza je prikazana u veličini uporednoj sa ostalima (levo), i smanjena oko dva i po puta, da bi se videla u celosti. Za razliku od slike iza proreza u Frenelovom domenu, u Fraunhoferovom je slika izdužena u pravcu koji je pod pravim uglom u odnosu na orijentaciju samog proreza - posledica razlike u načinu na koji se talasi zbiraju.

Sve navedene teorije su skalarne teorije difrakcije, tj. posmatraju raspon polja kao skalarnu veličinu. Mada ovo nije u saglasnosti sa prirodom talasnog polja, čiji raspon je u osnovi vektorska veličina, skalarna teorija je bez ograničenja primenljiva kako u oblasti instrumentalne, tako i opšte optike. Neprimenljiva je samo za vrlo male otvore, ne mnogo veće od talasne dužine svetlosti, kao i za rastojanja iza prepreke/otvora ne mnogo duža od talasne dužine svetlosti; takođe, ne uzima u obzir polarizaciju svetlosti. Ova ograničenja su, međutim, vrlo mala, i skalarna teorija difrakcije je, budući jednostavnija, u širokoj praktičnoj upotrebi.

Slika 42: KOHERENTNA FUNKCIJA ŠIRENjA IVICE

Takođe, svi navedeni difrakcioni integrali važe za nekoherentnu svetlost. Koherentni talasi se zbiraju na drugačiji način, i zahtevaju drugačije izraze, koji integrišu ne neposredno energiju, kao kvadrat raspona pojedinačnih talasa, nego pojedinačne raspone u zbirni raspon, koji se potom kvadrira da bi se dobila energija polja u datoj tački (posledica tog što je nekoherentna svetlost linearna u zbirnoj jačini - tj. energiji - i kvadratna u pojedinačnom talasnom rasponu, dok je koherentna svetlost kvadrtana u jačini, i linearna u zbirnom rasponu).

Slika 42 prikazuje difrakciono polje iza zaklona u obliku beskonačne poluravni, u Fraunhoferovom domenu, za koherentnu svetlost. Polje je slično difrakcionom polju za istu prepreku u Frenelovom domenu (slika 36), izuzev što opadanje jačine polja u geometrijskoj senci nije ravnomerno. Matematička funkcija koja izražava difrakciono polje u ovom slučaju zove se koherentna funkcija širenja ivice (eng. edge spread function).

Za razliku od nje, nekoherentna funkcija širenja ivice (srednji graf, isprekidana crvena linija) nema karakteristično za koherentnu svetlost "drhtanje ivice" (bukvalno "zvonjenje", eng. edge ringing); ona blago i ravnomerno opada prema Gausovskoj ivici, ostajući sve vreme manja od jačine nezaklonjenog polja, blizu Gausovske ivice slično naglo pada prema njoj, ali presecajući je na polovini jedinične jačine, i sa energijom prenesenom sa ivice u geometrijsku senku takođe u ravnomernom, blagom opadanju sa udaljavanjem od Gausovske ivice.

Svetlost i ljudsko oko

Optička slika je često namenjena neposrednom posmatranju. Zato je način na koji svetlost deluje na ljudsko oko i mozak važan i neizbežan deo optike kao nauke. Dve osnovne oblasti u ovom pogledu su osetljivost oka na jačinu svetlosti (eng. eye intensity response) i spektralna osetljivost oka (eng. eye spectral response).

Takođe, oko je prirodni sklop za stvaranje optičke slike, u kom su optičke sredine biološka tkiva. Kao takve, one imaju određena svojstva u pogledu prenosa svetlosti do mrežnjače, što je uz njihova svojstva u pogledu optičke snage, tj. sposobnosti zbiranja svetlosti u tačku, osnova i uslov za stvaranje optičke slike na mrežnjači.

Optička slika koju ona stvaraju se pomoću dejstva očnih mišića na očno sočivo fokusira na mrežnjaču, gde posebne prijemne ćelije za svetlost - fotoreceptori - pretvaraju svetlosni signal u električni i šalju ga na obradu u mozak, u kom se stvara konačna slika koju vidimo. Oba glavna dela ovog procesa, stvaranje optičke slike, i njeno fiziološko pretvaranje u moždanu sliku, su predodređeni dejstvom svetlosti na ljudsko oko.

Slika 43: LjUDSKO OKO, FOTORECEPTORI

Za optičku sliku u ovom okviru, činilac su kako optičke sredine koje stvaraju optičku sliku na mrežnjači, tako i dejstvo ove svetlosti na prijemne ćelije, i način na koji mozak dobija i koristi njihove signale. Slika desno prikazuje osnovne sastavne delove ljudskog oka (nazivi optičkih sredina su podebljani). Prosečna žižna daljina oka (ƒ) je 23-24mm, sa vidnom osom, usmerenom ka fovei (lat. fovea centralis) - delu mrežnjače približno kružnog oblika, prečnika oko 1,3mm (4,5°), koji proizvodi najoštriju sliku u uslovima dnevnog vida - pod uglom u odnosu na optičku osu oka.

U okviru desno je uvećan šematski presek mrežnjače oka, koji prikazuje dve osnovne vrste svetlosnih prijemnika, čepićaste i štapićaste ćelije, kao i način na koji su one povezane sa očnim živcem, koji vodi u mozak. Svetlost koja pada na mrežnjaču prvo prolazi kroz tzv. pletenasto tkivo (eng. plexiform), u kom su smeštene nervne ćelije i vodovi koje povezuju prijemne ćelije sa mozgom, a tek onda stiže na same prijemne ćelije, čiji je prijemni deo na suprotnom kraju, prema sudovnjači. Sama sudovnjača ima dvostruku funkciju: dostavljanje hranljivih sastojaka ćelijama mrežnjače, i upijanje preostale svetlosti radi sprečavanja unutrašnjih refleksija. Deo sudovnjače u neposrednom dodiru sa fotoreceptorima je tzv. pigmentski epitelijum (PE, eng. pigmented epithelium).

Način na koji su čepićaste i štapićaste ćelije vezane sa optičkim živcem ima za posledicu bitnu razliku među njima kako u pogledu razdvojne moći, tako i u pogledu praga osetljivosti. Dok je svaka čepićasta ćelija neposredno vezana, štapićaste su vezane u grozdovima. Ovo čepićastim ćelijama, koje su aktivne u uslovima dnevne svetlosti, omogućava znatno veću razdvojnu moć, po cenu mnogo manje osetljivosti. Sa druge strane, štapićaste ćelije, koje preuzimaju ulogu prijemnika u mraku, imaju nekoliko puta manju razdvojnu moć, ali stotinama puta veću osetljivost.

Slika 44: RASPORED FOTORECEPTORA NA MREŽNjAČI

Slika desno prikazuje raspored prijemnih ćelija svetlosti - fotoreceptora - na mrežnjači oka. U središnjem delu fovee (oko 1/3 prečnika) su samo čepići. Broj štapića brzo raste prema ivici fovee, gde se približno izjednačava sa brojem čepića, čiji se broj, nasuprot, brzo smanjuje prema spoljnom delu mrežnjače. Štapići dostižu najveću gustinu na blizu 20° od središta fovee, gde njihov broj prelazi 200.000 po mm². Ukupan broj štapića je oko 20 puta veći od broja čepića, u proseku, 120 miliona prema 6 miliona.

Hemijski proces kojim se energija svetlosti pretvara u nervni signal je slična kod obe ove vrste prijemnika, i zasniva se na svojstvima fotosenzitivnog jedinjenja, tzv. pigmenta. Za razliku od čepića, koji mogu imati tri različita pigmenta, i po tome se dele na L, M i S čepiće, štapići imaju samo jedan pigment, rodopsin.

Ove dve vrste prijemnih ćelija se takođe bitno razlikuju u načinu na koji "vide" različite talasne dužine svetlosti, tj. boje. Boje su proizvod moždane aktivnosti, i uslovljene su osobinama svetlosti koja pada na svetlosne prijemnike mrežnjače. Osetljivost oka na svetlost različitih boja - tj. različitih talasnih dužina - zove se spektralna osetljivost oka.

Prenos svetlosti kroz ljudsko oko

Optičke sredine oka su vrlo providne, sa indeksom prelamanja između 1,3 i 1,41. U delu elektromagnetnog zračenja kojem pripada svetlost, upijanje i rasipanje svetla u oku postaje značajno samo u talasnim dužinama kraćim od oko 0,5 mikrona, tj. u plavoj, i naročito u ljubičastoj svetlosti.

Slika 45: PRENOS SVETLOSTI KROZ LjUDSKO OKO

Vrednosti prenosa svetlosti u oku se donekle razlikuju od studije do studije, uglavnom zbog malog broja uzoraka i razlika među pojedincima, koje mogu biti velike. Takođe, broj studija je srazmerno mali, zbog zahteva da se meri u samom oku (koriste se oči upravo preminulih). Dve studije koje se najčešće navode su Botner i Volter (Boettner and Walter, Transmission of the ocular media, 1962) i Girets i Beri (Geereats and Berry, Ocular spectral characteristics as related to hazards from lasers and other light sources, 1968).

Slika desno prikazuje prenos svetlosti do mrežnjače sa promenom talasne dužine iz ove dve studije (iz prve ukupan prenos, iz druge ukupan i neposredan, gde je poslednje prenos bez rasute i upijene svetlosti). Razlika u nivou ukupnog prenosa je verovatno posledica srazmerno malog broja očiju (9 u prvoj i 28 u drugoj) i znatnih podstupanja od osobe do osobe, kao i razlike u načinu merenja (u prvoj studiji je meren prenos na svakom optičkom delu - rožnjači, vodenastom i staklastom telu, i očnom sočivu - posebno, dok je u drugom merena svetlost ispred mrežnjače). Takođe, veličina korišćenog izvora može prouzrokvati značajne razlike (sa prenosom, u načelu, višim za veći izvor), kao i moguće razlike u osetljivosti mernih sklopova.

Slika 46: PRENOS SVETLOSTI KROZ LjUDSKO OKO I UPIJANjE U MREŽNjAČI

Slika 46 prikazuje ukupan prenos svetlosti do mrežnjače po studiji Giretsa i Berija, uz utvrđeni nivo upijanja svetlosti od strane mrežnjače (neposredan prenos svetlosti do mrežnjače je dat proizvodom ove krive i krive neposrednog prenosa Botnera i Voltera). Razliku između ukupnog i neposrednog prenosa čini rasuta i upijena svetlost. Dok ukupan prenos svetlosti do mrežnjače ostaje vrlo visok znatno prema infracrvenom delu zračenja, upijanje od strane mrežnjače dostiže najviši nivo za talasne dužine zeleno-žute svetlosti - za koje je fotopsko oko najosetljivije - da bi potom brzo padala prema crvenom delu svetlosnog spektra, i infracrvenom zračenju.

Slika 47: UPIJANjE ZRAČENjA U LjUDSKOM OKU

Upijanje svetlosti od strane optičkih sredina oka je srazmerno nisko, ali brzo raste do potpunog upijanja prema kraćim i dužim talasima (slika desno). Za veći deo talasnog raspona svetlosti - izuzev za ljubičastu - upijanje nije veće od nekoliko procenata za svaku od četiri glavne optičke sredine oka: rožnjaču, vodenasto telo, sočivo i staklasto telo (svetlosni deo zračenja je zbog toga izostavljen iz dijagrama, jer je svrha istraživanja bila ustanoviti talasne dužine zračenja za koje je upijanje od strane delova oka najveće, tj. koje talasne dužine predstavljaju najveću opasnost u pogledu povrede očnih tkiva toplotnom energijom proizvedenom upijanjem).

Optička slika oka

Slika 48: OPTIČKA SLIKA LjUDSKOG OKA

Svetlost koja ulazi u oko, prolazeći kroz optičke sredine oka, biva usmerena ka mrežnjači, stvarajući na njoj optičku sliku, tj. polje energije koje u većoj ili manjoj meri odražava polje svetlosne energije površina sa kojih je svetlost potekla. Slika desno prikazuje obrazovanje optičke slike u oku. Stvaranje geometrijska slike (gore) je predstavljeno na pojednostavljenom modelu oka, tzv. Emzlijevom pojednostavljenom oku (eng. Emsley reduced eye, 1946). Zraci paralelni sa osom - tj. ravan talasni front normalan na osu - optički se prelamaju u prelomnoj ravni, koja sadrži glavnu tačku P (eng. principal point), i zbiraju se u žižu u preseku ose i mrežnjače. Kosi zraci prolaze kroz čvornu tačku (eng. nodal point) ne menjajući pravac, presecajući mrežnjaču u tački žiže za sve zrake koji dolaze paralelni iz tog pravca (radi jasnoće, prikazan je samo jedan doosni i jedan kosi zrak).

U slučaju da ulazni zraci nisu paralelni, tj. dolaze sa srazmerno bliskog predmeta, očno sočivo se skuplja, povećavajući optičku snagu koliko je potrebno da se zraci usmere na mrežnjaču.

Ista slika dole prikazuje obrazovanje i izgled fizičke (difrakcione) slike tačke predmeta koju oko stvara. Preusmeravajući kretanje svetlosnih talasa, oko preslikava svaku tačku predmeta u sliku te tačke na mrežnjači. Zbog difrakcije svetlosti iza zenice oka, slika tačke nije tačka, nego tzv. Erijeva difrakciona slika, koja se sastoji od sjajnog središnjeg diska - Eri diska - okruženog naizmeničnim tamnim i sjajnim koncentričnim prstenovima, koji (sjajni prstenovi) naglo gube sjaj sa povećanjem udaljenosti od središnjeg diska. Matematički izraz rasporeda energije u slici tačke zove se funkcija širenja tačke (difrakcione slike su na slici oko 2,5 puta manje od linijskog prikaza funkcije širenja tačke).

Gornje razmatranje podrazumeva odsustvo aberacija oka. Ljudsko oko, u načelu, ima znatan nivo optičkih aberacija, koje zajedno sa difrakcijom određuju nivo kakvoće slike na mrežnjači. Osobne razlike mogu da budu vrlo velike, ali kao opšti prosek smatra se da je kakvoća optičke slike oka određena difrakcijo za otvor zenice manji od oko 2mm, dok je za veće otvore određena aberacijama oka.

Dejstvo jačine svetlosti na oko

Raspon prilagodljivosti ljudskog oka na jačinu svetlosti je izuzetno širok, preko deset na logaritamskoj skali, tj. najjača svetlost kojoj oko može da se prilagodi je preko deset milijardi puta jača od najslabije koju može da vidi. Ovako širok raspon je moguć zahvaljujući tome što se odraz jačine svetlosti u oku, tj. prividna jačina zračenja proizvedena čulom vida, ili sjaj, ne menja srazmerno fizičkoj jačini zračenja, nego, u načelu, po skali na kojoj su promene eksponencijalno manje.

Ovu vrstu nestazmere između fizičke jačine zračenja i prividnog sjaja prvi je, polovinom 18. veka zabeležio "otac fotometrije" Pjer Buge (Pierre Bouguer, 1698-1758), koji je primetio da vidljivost senke na osvetljenoj površini ne zavisi od razlike u jačini zračenja, nego od odnosa (količnika) jačine zračenja. Drugim rečima, da dejstvo jačine svetlosti na oko nije srazmerno njenoj jačini, nego relativnom nivou zračenja.

Fotometrijske i radiometrijske jedinice

Budući da su svetlost kao fizičko zračečenje, i čulni odraz tog zračenja u oku dve različite pojave, za njih se upotrebljavaju različite merne jedinice. Oblast fizičkog zračenja naziva se radiometrija, a oblast čulnog odraza tog zračenja fotometrija, po čemu se i merne jedinice dele na radiometrijske i fotometrijske.

Takođe, za povezane pojmove zračenja i čulnog odraza upotrbljavaju se i različiti nazivi. Sledeća tabela daje pregled ovih mernih jedinica i naziva. Pošto terminologija izvorno dolazi iz engleskog jezika, i neki nazivi prevedeni na srpski nisu uobičajeni, svaki naziv je dat i na engleskom.

FOTOMETRIJSKE I RADIOMETRIJSKE JEDINICE

Osnovna radiometrijska jedinica je vat (Watt, W), dok je osnovna fotometrijska jedinica kandela (cd). Kandela je definisana kao jačina sjaja jednobojnog izvora svetlosti koji proizvodi fotonski tok zračenja od 1/683 W talasne dužine 550nm u prostornom uglu (eng. solid angle) od 1 steradijana (izvorna definicija kandele, ranije zvane "sveća", eng. candle, ili candlepower, bila je jačina svetlosti vodoinstalaterske sveće proizvedene po određenom obrascu).

Blisko vezana sa kandelom je jedinica protoka sjaja, lumen (lm), dat kao fotonski protok srazmeran 1cd jačine sjaja (otuda 1 cd = 1 lm/sr, i tačkasti izvor zračenja jačine sjaja od 1cd, proizvodi protok sjaja od 4π lm). Jedinica osvetljenosti, luks, je data sa 1 lux=1 lm/m².

Veberov zakon

Uzimajući za merilo dejstva jačine svetlosti na oko najmanju primetnu promenu u sjaju, nemački fiziolog Ernst Veber (Ernst Heinrich Weber, 1795 – 1878) ustanovljava, na osnovu brojnih merenja, opšti zakon - tj. zakon koji važi za sva čula - poznat kao Veberov zakon, po kom je najmanja primetna promena u sjaju (eng. increment threshold) srazmerna jačini fizičkog zračenja, ili:

${\frac {\delta I}{I}}=const.$ ........ (62)

gde je δI najmanja primetna prpmena jačine svetlosti, I je jačina svetlosti, i vrednost δI/I je Veberov racio (eng. Weber's ratio, ili Weber's fraction). Iz Veberovog zakona sledi da je osetljivost oka na jačinu svetlosti logaritmička (na primer, na 100 puta jačem nivou svetlosti, dvostruko veći sjaj zahteva 100 puta veće povećanje fizičkog zračenja, dakle sjaj raste kao log100).

Slika 49: VEBEROV ZAKON U LINEARNIM I LOGARITAMSKIM KOORDINATAMA

Slika desno je grafički prikaz Veberovog zakona, tj. izgled Veberovog racija (δI/I) i pomaka praga osetljivosti (δI), u linearnim i logaritamskim koordinatama. I jedan i drugi se menjaju linearno sa promenom jačine svetlosti. Veberov racio uvek sledeći pravu vodoravnu liniju, dok je prag osetljivosti prava linija sa nagibom datim količnikom visine (sa pragom osetljivosti na uspravnoj skali) i dužine u linearnim koordinatama, dok je u logaritamskim pod uglom od 45°, tj. sa nagibom od 1.

Veberov student, Gustav Fehner (Gustav Theodor Fechner, 1801–1887), daje nešto drugačiji, proširen oblik Veberovog zakona kao:

   S=2,3кlogI+C    (63)

gde je S sjaj kao funkcija fizičke jačine zračenja I, k je brojna nepromenljiva u obliku celog broja, čija vrednost menja oblik krive funkcije, dok je C brojna nepromenljiva koja samo utiče na visinu krive u koordinatnom sistemu. Ovaj izraz je poznat kao Fehnerov, ili Veber-Fehnerov zakon.

Razlike u izmerenim vrednostima Veberovog racija u to vreme su bile znatne: 1/64 Buge, 1/100 Veber, 1/38 Štajnajl (Carl August von Steinheil, 1801–1870), 1/100 Fehner, ali su pripisivane razlici u tehnikama i ličnim razlikama ispitanika. Među novije izmerenim vrednostima su 0,14 za čepiće i 0,015-0,03 za štapiće (Cornsweet and Pinsker, 1965), ali se te vrednosti, kao i sve ostale, mogu smatrati ispravnim samo za nadražaj određenih svojstava - u ovom slučaju, dva kruga prečnika 50 lučnih minuta, na rastojanju od 2 stepena, na kratko (2—3ms) osvetljena u tami, sa okom prilagođenim noćnom vidu. Sa promenom uslova i svojstava nadražaja - uključujući i deo mrežnjače na koji pada njihova slika - vrednosti se, u načelu, menjaju, a i sam zakon može da postane nedovoljno tačan.

Slika 50: VEBER-FEhNEROV ZAKON: SLAGANjE SA EKSPERIMENTALNIM PODACIMA

Znajući da se eksperimentalni podaci ne slažu sa ovakvim zakonom kao opšte primenljivim, Fehner ga je izmenio blizu praga, i plafona prilagodljivosti oka, prvo kao posledicu neuralne "buke" (eng. neural noise), ili "tamnog svetla" koja bitno utiče na prividni sjaj pri vrlo niskim fizičkim jačinama zračenja, i drugo kao posledicu zasićenja fiziološlog mehanizma prijemnih ćelija blizu plafona prilagodljivosti. Međutim, 1924. američki fiziolog Silig Hekt (Selig Hecht,1892–1947) ukazuje na to da se Veber-Fehnerov zakon ne slaže sa eksperimentalnim podacima u znatno širem delu raspona prilagodljivosti oka (slika desno).

U slučaju da je osetljivost oka logaritmička, kriva funkcije δI u logaritamskom dijagramu je pod uglom od 45°, čiji nagib je, izražen kao odnos visine prema dužini krive, jednak 1. Po eksperimentalnim podacima, ovo je dovoljno približno slučaj samo u donjem delu raspona fotopskog (dnevnog) vida, dok se u ostalim delovima raspona prilagodljivosti oka nagib (tačkasta linija), tj. oblik osetljivosti oka bitno razlikuje.

Slika 51: OSETLjIVOST ŠTAPIĆA

Slika desno prikazuje nalaze jedne od novijih studija osetljivosti samih štapića (Saturation of the Rod Mechanism of the Retina at High Levels of Stimulation, Stiles and Aguilar 1954), po kojima se ona slaže sa Veberovim zakonom u većem delu raspona skotopsko-mezopske osetljivosti. Osetljivost na prelazu prema delu u kom prevagu dobija "tamna svetlost" se približno menja sa kvadratnim korenom fizičke jačine zračenja, takođe poznatim kao De Vris-Rouzov zakon (eng. De Vries-Rose law). Osvetljenje mrežnjače je dato u jedinici skotopskog trolanda (sTd), koji predstavlja jačinu zračenja koje pada na zenicu u cd/m2 pomnoženu sa površinom otvora zenice u mm² (na primer, 5 sTd pri 4mm prečniku otvora zenice daje jačinu zračenja od 0,4cd/m² - granicom aktivnosti štapića smatra se zračenje na nivou 1 do 10 cd/m², tj. oko 10-100 sTd, u zavisnosti od otvora zenice).

Mada se osetljivost štapića iz ove studije najčešće navodi kao primer, ona je takođe ograničena na uslove i svojstva svetlosnog signala koji su korišćeni u studiji. Promena uslova i svojstava menja i krivu osetljivosti, i ona može i ne mora da se slaže sa Veber-Fehnerovim zakonom. Razlike u osetljivosti od jedne do druge osobe su dodatni činilac. Na primer, sa mnogo manjim (13'), kratkotrajnim (1.5 mikrosekunde) signalom, kriva osetljivosti štapića ima znatno manji nagib od 1 (tj. od 45°), bliže vrednosti od 0.5 (Hallett, 1968, slika 52 levo). U uslovima sličnim prvoj studiji, krive osetljivosti se veoma razlikuju kad je pozadinsko osvetljenje stalno, i kad je prisutno samo dok je prisutan svetlosni signal (Adelson, 1982, slika 52 desno). Sve tri studije su koristile sličan način izdvajanja štapića, sa tamnocrvenim pozadinskim osvetljenjem i zelenim svetlosnim izvorom u središtu, projektovanim na deo mrežnjače van fovee (pošto su štapići neosetljivi na crvenu svetlost, pozadinsko osvetljenje ne deluje na njih, dok čini signal nevidljivim za čepiće).

Slika 52: PROMENA OSETLjIVOSTI ŠTAPIĆA SA OSOBOM I SVETLOSNIM SIGNALOM

Graf po podacima iz Haletove studije pokazuje osetljivost štapića (prag osetljivosti) za šest osoba, gde je samo jedna blizu Veberovog zakona, tj. sa nagibom blizu 45°. U Adelsonovoj studiji (sa 4.5° kvadratnim signalom na 11° pozadini, projektovanim 12° od fovee), kriva Veberovog količnika za stalno osvetljenu pozadinu (isprekidana plava) je slična onoj u studiji Agilara i Stajlsa (slika 51), izuzev za preokret ka nezasićenosti na visokoj jačini signala (što bi, makar delom, moglo biti posledica uključivanja čepića). Međutim, kriva količnika za trepčuću pozadinu, koja se uključuje i isključuje sa signalom (0,03 sekunde signal, sa 0,4 sekunde pozadinom koja se uključuje ili istovremeno, ili 1,4 sekunde pozadinom koja se uključuje sekundu pre signala), vrlo brzo postaju približno uspravne, tj. ulaze u fazu zasićenja štapića. Takođe, krive praga osetljivosti, slično Haletovoj studiji, imaju ѕnatno manji nagib od 45 u većem delu raspona.

Stivensov zakon

Pošto su potonji eksperimenti potvrdili neslaganje sa Veber-Fehnerovim zakonom u znatnom delu raspona prilagodljivosti oka, američki fiziolog Stenli Stivens (Stanley Smith Stevens, 1906–1973), početkom druge polovine 20. veka, predlaže novi opšti zakon odnosa između jačine fizičkog podsticaja i njegove čulne predstave, poznat kao Stivensov eksponencijalni zakon (eng. Steven's power law). Opšti oblik zakona dat je sa:

    S=kIa      (64)

gde je S čulna predstava nadražaja jačine I. Po samom obliku, Stivensov zakon je sveobuhvatniji od Veber-Fehnerovog, jer brojni činilac k nije ograničen na cele brojeve, nego može da ima bilo koju vrednost. Takođe, promena vrednosti izložioca a omogućava bolju prilagodljivost zakona različitim oblicima nadražaja i uslova pod kojima se događaju. Vrednost izložioca a predstavlja nagib linije grafa u log-log koordinatama (za a=1, tj. nagib linije grafa jednakoj 45°, na primer, Stivensov zakon se podudara sa Veber-Fehnerovim).

Slika 53: OSETLjIVOST OKA ZA MALU SVETLU POVRŠINU

Slika desno pokazuje rezultate merenja osetljivosti oka za ravnomerno osvetljen signal male površine (po Brightness function: Effects of adaptation, Stevens and Stevens, 1963). Pozadinski sjaj, tj. osvetljenost koja određuje nivo prilagođenosti prijemnih ćelija mrežnjače, dat je u decibelima (dB), sa 0 dB na 10^-7 mL, ili 0.31 μcd/m² (pošto je vrednost u decibrlma data sa 10 log(I/I_t), gde je I promenljiva jačina, ista ili veća od jačine praga osetljivosti I_t, razlika od 10 dB predstavlja desetostruku promenu u jačini, tj. za razliku od x decibela, odgovarajuća razlika u jačini je 10^0,1x). Prividan sjaj svetlosnog signala dat je u brilima (eng. bril, jedinica fiziološke skale sjaja uvedena od strane Stivensa, definisana kao prividan sjaj bele površine od 5 na 40 dB - tj. 0.001mL, or 0.000314 cd/m² - viđene na kratko vreme od oka prilagođenog tami). Krive za svaki nivo prilagođenosti imaju opšti oblik eksponencijalne funkcije B=k(I-I_t)^a, sa činiocem k koji se menja sa nivoom osvetljenosti (u načelu, smanjuje se sa povećanjem osvetljenosti).

Očekivano, dati sjaj površine izgleda sjajniji ka nižim nivoima prilagođenosti. Sa svakim početnim nivoom prilagođenosti, prividan sjaj raste sa povećanjem sjaja svetle površine, ali brže ka višim nivoima osvetljenosti. Nagib krivi za istu dužinu dve skale (radi jasnoće, logaritamska skala je dva puta duža od decibelne) raste sa porastom osvetljenosti, od 0,33 za najniži (2,3dB) i 0,44 za najviši nivo prilagođenosti (84dB). Sama promena prividnog sjaja sa promenom nivoa prilagođenosti nema ni približno oblik eksponencijalne funkcije, ali proizilazi iz funkcije takvog oblika za svaki pojedini nivo.

Stivens je na osnovu merenja i prilagođavanja opšteg izraza prosečnim vrednostima odredio vrednost izložioca a za veći broj nadražaja i različita čula. Za čulo vida, našao je da je vrednost 0,33 za ravnomerno osvetljenu površinu prečnika 5°, 0,5 za tačkast izvor svetlosti, kao i za kratak bljesak površinskog izvora, i 1 za kratak bljesak tačkastog izvora.

Novija istraživanja su, korišćenjem naprednijih tehnika i proširenjem ispitanih oblika nadražaja i uslova pod kojim deluju, pokazala da ni Stivensov zakon, mada u većini slučajeva primenljiv, takođe nije opšti zakon u strogom smislu reči. Takođe, stariji eksperimentalni podaci su bili za oko u celini, tj. zajedničko dejstvo čepića i štapića koji, naročito u rasponu mezopskog vida, imaju bitan uticaj na konačnu osetljivost i kad funkcija jednog od njih ima prevagu.

Složena slika

Razlike eksperimentalno utvrđenih vrednosti u odnosu na Veberov i Stivensov zakon se dodatno povećavaju u slučaju složenijih slika, na primer klasičnog niza paralelnih tamnih i svetlih linija (Garcia-Perez, 2005), ili fotografske slike (Bartleson and Breneman, 1967). U poslednjem slučaju, funkcija osetljivosti odstupa i od Stivensovog zakona, ali se samo odstupanje može izraziti kao eksponencijalna funkcija pozadinskog osvetljenja (Choi KF, Relationship Between Bartleson and Breneman's Brightness vs. Luminance Equation and Stevens' Power Law 1994).

Slika 54: PRIVIDAN SJAJ SLOŽENE SLIKE (FOTOGRAFIJE)

Slika 54 pokazuje rezultate ove studije, rađene sa velikim brojem različitih fotografija. Prividan sjaj slike se povećava sa sniženjem nivoa prilagođenosti, tj. sa sniženjem okolne osvetljenosti, ali u složenijem obliku, približno određenom sa logB=2.037+0.1401logI-a exp(b logI), gde su a i b brojni činioci koji se menjaju sa nivoom osvetljenosti. Krive su približno prave u log-log koordinatama samo blizu praga ostljivosti, dok u većem delu imaju ispupčeno zakrivljen oblik.

Slika 55: OSETLjIVOST ŠTAPIĆA NA KONTRAST

Slika 55 prikazuje nalaze studije Perez-Garcia, u pogledu toga koliko je teorija o prelazu iz zakona kvadratnog korena (De Vris-Rouz) u Veberov zakon na niskim nivoima osvetljenosti (blizu praga osetljivosti štapića) potvrđena merenjima osetljivosti oka na kontrast svetlih i tamnih sinusoidnih linija. Gornji grafikoni predstavljaju linije promene praga osetljivosti za date učestalosti posmatranih sinusoidnih linija, u slučaju da je pretpostavka o prelazu tačna. Neslaganja su postojanje prekida između linija osetljivosti za dva zakona, koji ne postoje u empirijskim podacima, i što u višim frekvencijama nije dosegnut empirijski potvrđen plafon osetljivosti na nivou osvetljenosti od 2000 sTd.

Na donjem grafu su krive koje ispunjavaju oba empirijska zahteva. Ove krive se samo približno slažu sa pretpostavkom Veberovog zakona, i vrlo malo sa pretpostavkom De Vris-Rouzovog zakona, koji je dovoljno primenljiv u vrlo ograničenom rasponu učestalosti.

Raspon prilagodljivosti oka

U načelu, čulni odraz jačine svetlosti je suviše složen da bi se u potpunosti opisao logaritmičkom funkcijom, mada je ona često dovoljno tačna za tu namenu. Bolje je opisan eksponencijalnom funkcijom koja, kao što je ranije pomenuto, takođe obuhvata i logaritmički oblik. Složenije slike, međutim, zahtevaju složenije izraze.

Slika 56: PRILAGOĐAVANjE OKA JAČINI SVETLA

Dok je način na koji ljudsko oko svodi jačinu svetlosti na njen čulni odraz suviše složen da bi se prikazao u mnoštvu njegovih različitih oblika, moguće ga je prikazati u opštem obliku, koji daje predstavu o njegovim osnovnm svojstvima. Graf desno predstavlja način prilagođavanja oka jačini svetlosti u slučaju složene slike (uopšteno, prizora) u punom rasponu njegove prilagodljivosti (na osnovu Gonzalez and Woods, 1992).

Glavni graf ima logaritamsku vodoravnu skalu, što je čini stotinama puta kraćom u odnosu na uspravnu dimenziju, ali bolje odražava razlike u krivi osetljivosti između štapića i čepića (stvarna razlika je, stoga, mnogo manja). U osnovi kriva osetljivosti štapića je ravnomernija, postepeno opadajući prema nivou zasićenosti, dok je kod ćepića čulni odraz jačine svetlosti sporiji prema krajevima raspona aktivnosti.

Takođe, u tom obliku se jasnije može pokazati da je oko u svakom datom trenutku sposobno da se prilagodi jačini svetlosti u samo malom delu svog ukupnog raspona prilagodljivosti. Druggim rečima, svaki nivo prilagođenosti ima sopstveni raspon od praga osetljivosti (mraka) do plafona (zaslepljenosti). Graf pokazuje da je raspon prilagodivosti svetlosom zračenju unutar takvog nivoa blizu četiri na logaritamskoj skali (1:10.000), sa odgovarajućim rasponom sjaja od samo oko 0,2, takođe na logaritamskij skali. Unutar takvog nivoa prilagođenosti, kriva osetljivosti je približno logaritmička za veći deo raspona (tj. približno prava linija u log-log dijagramu), ali može da odstupa znatno od logaritmičke prema granicama osetljivosti.

Manji graf u okviru gore prikazuje obe krive osetljivosti u log-log koordinatama.

Osetljivost oka na kontrast

Nivo osvetljenosti je, posredno, bitan činilac u sposobnosti oka da uoči kontrast. Na niskom nivou osvetljenosti - noćni, ili skotopski nivo - prijemne ćelije za svetlost su štapići, čiji su razdvojna moć i sposobnost opažanja kontrasta znatno niži nego u uslovima dnevne svetlosti - takođe zvan fotopski nivo - kad ulogu prijemnih ćelija preuzimaju čepići. U prelaznom nivou osvetljenosti između ova dva, - večernjem ili mezopskom nivou - aktivni su i štapići i čepići, i osetljivost na kontrast je između dnevne i noćne osetljivosti.

Uobičajen način izražavanja nivoa kontrasta u optičkim sklopovima je prenos visine kontrasta paralelnih tamnih i svetlih linija sa sinusoidnim rasporedom zračenja. Matematički izraz prenosa, koji se po pravilu predstavlja u grafičkom obliku, poznat je kao funkcija prenosa visine. U slučaju oka, složenost fizioloških procesa u prijemnim ćelijama, i moždane aktivnosti u obradi signala koje one dostavljaju, čine nemogućim da se do sposobnosti uočavanja kokontrasta ljudskog oka dođe neposrednim proračunima. Umesto toga, koriste se empirijska merenja ove sposobnosti na nizu tamnih i svetlih sinusoidnih linija, po čemu se u rezultate merenja uklapa kriva, koja prestavlja približnu promenu najnižeg vidljivog kontrasta za svaku učestalost, tj. za različite veličine linija na mrežnjači sa promenom nivoa osvetljenosti. Ova empirijska finkcija naziva se funkcija osetljivosti oka na kontrast (eng. eye contrast sensitivity function).

Slika 57: FUNKCIJA OSETLjIVOSTI OKA

Slika desno prikazuje uobičajeni oblik funkcije osetljivosti na kontrast za najniži vidljiv kontrast za dnevni, večernji i noćni vid, projektovanu na Kembel-Rabsonovu kartu (eng. Campbell-Robson Contrast Sensitivity Chart). Obe skale su logaritamske, da bi se jasnije pokazale srazmerno male razlike u osetljivosti. Širina linije na mrežnjači - definisane kao razmak između dve susedne tačke istog sjaja, što odgovara širini tamne i svetle linije zajedno - je data u ciklusima po lučnom stepenu, Usvojena granična razdvojna moć prosečnog ljudskog oka pod najpovoljnijim uslovima je oko 1' (lučni minut), tj. 60 ciklusa po stepenu.

Na primer, na 10 ciklusa/stepenu (6' širina linije) najniži vidljiv kontrast je ispod 0,5% (0,005) za fotopski, oko 2% za mezopski, i preko 50% za skotopski vid. Najviša osetljivost je za ~9' širinu u fotopskim uslovima, dok se u mezopskim i skotopskim uslovima ona pomera ka širim linijama. Istovremeno, najviša osetljivost se smanjuje sa 0,3-0,4% za fotopski vid do ispod 1% za mezopski, i oko 6% za skotopski. Granična razdvojna moć, u projektovanom preseku krive sa vodoravnom skalom, se takođe bitno smanjuje sa smanjenjem osvetljenja.

Sjaj i svetloća

Dok je pojam sjaja dovoljan da se opiše jednostavan svetlosni nadražaj, kao tačkast izvor svetlosti ili ravnomerno obasjana površina, u slučaju složene slike sjaj nije ni jedino, ni neophodno najvažnije svojstvo. Ono što je obično važnije je način na koji oko vidi različito obasjane delove slike u međusobnom odnosu. Stvaranje ove vrste slike od strane oka se može zvati prenošenje preliva (eng. tone reproduction), ili preslikavanje složene slike. Ono ne zavisi neposredno od fizičke jačine zračenja delova slike, nego od uzajamnog odnosa jačina zračenja među njima, kao i od odnosa slike kao celine prema zračenju pozadine, ili okoline.

Dok je sjaj neposredan čulni odraz jačine zračenja, svetloća ja definisana kao čulni odraz jedne osvetljene površine u poređenju sa drugom, koja izgleda bela, ili svetla.

Do izvesne mere, svetloća se može opisati kao relativan sjaj, ali je složenija od toga. Ne samo da površine istog relativnog odnosa u sjaju mogu izgledati vrlo različito sa različitim pozadinskim i/ili okolnim osvetljenjem, nego će, zbog promena u radu prijemnih ćelija mrežnjače, slika sa istim relativnim odnosima sjaja izgledati drugačije na bitno različitim nivoima sjaja. Prisustvo boja samo čini ceo proces preslikavanja oka složenijim.

Slika 58: PRIMERI SVETLOĆE

Na primer, svetloća površina složene slike se povećava sa smanjenjem okolne osvetljenosti, što ima za posledicu smanjenje kontrasta između tih površina. Bartlson i Brenman su utvrdili da slika sa slajda projektovana u tamnoj sredini mora da ima kontrast viši za 1,5 na logaritamskoj skali (oko 32 puta) nego slika posmatrana u svetloj sredini, za isti nivo kakvoće preslikavanja u oku (razlika odgovara povećanju izložioca eksponencijalne funkcije - tj. nagiba linije grafa - za 1,5).

Slika desno pokazuje primere svetloće. Levo je tzv. izazivanje svetloće (eng. lightness induction) koje pokazuje kako se izgled kvadrata i linija istog sjaja menja sa sjajem podloge. Slika u sredini su tzv. sastavne pruge (eng. match bends), gde oko stvara privid trake drugačijeg sjaja duž linije gde se spajaju dve površine različitog sjaja. Desno je složeniji oblik neslaganja u preslikavanju (eng. Herman grid), gde oko nasumično stvara crne tačke u presecima svetlih linija.

Spektralna osetljivost oka

Osetljivost svetlosnih prijemnika - fotoreceptora - na mrežnjači oka menja se sa jačinom svetlosti. Jačina svetlosti određuje kako nivo aktivnosti dve osnovne vrste prijemnika, čepića i štapića, tako i stepen njihove osetljivosti. I jedna i druga vrsta ćelija su ime dobile po obliku svog fotoosetljivog dela.

U uslovima dnevne svetlosti, ili višeg stepena osvetljenosti, deluju prvenstveno čepići (eng. cones). Ovaj oblik osetljivosti se naziva dnevna, ili fotopska (od eng. photopic) osetljivost (takođe: dnevni ili fotopski vid).

U tami deluju prvenstveno štapići (eng. rods); ovaj oblik osetljivosti se naziva noćna ili skotopska (od eng. scotopic) osetljivost (takođe: noćni ili skotopski vid).

U uslovima osvetljenosti između dnevne i noćne, deluju obe vrste prijemnika, a ovaj oblik osetljivosti se naziva večernja ili mezopska (od eng. mesopic) osetljivost (takođe, večernji ili mezopski vid).

Slika 59: PROMENA SVOJSTAVA VIDA SA NIVOOM OSVETLjENjA

Na tabeli desno predstavljen je raspon promene spektralne osetljivosti oka sa nivoom osvetljenosti, kao i osnovne veličine i pojmove u vezi s njim. Dnevni vid se odlikuje dobrim raspoznavanjem boja, i visokim stepenom oštrine vida. Noćni vid ne raspoznaje boje, i stepen oštrine vida je nizak, dok je večernji vid po oba svojstva između dnevnog i noćnog vida. Jedinica osvetljenja mrežnjače, troland (Td), definisana je kao osvetljenje sa 1mm² površine zenice pod osvetljenošću od 1 cd/m² (jedne kandele po m²). Dakle, osvetljenje u trolandima je jednako proizvodu osvetljenja zenice u cd/m² i površine zenice u mm². Zbog različitog načina povezanosti, rasporeda i veličina, osvetljenje na mrežnjači za isti nivo osvetljenosti je različito za čepiće i štapiće: u prvom slučaju je srazmerna proseku fotona upijenih od strane L- i M-čepića, dok je u drugom srazmerna broju fotona upijenih od strane štapića.

Prilagođavanje vida u tami

Slika 60: PRILAGOĐAVANjE VIDA U MRAKU

Smanjenje osvetljenosti ispod određenog nivoa dovodi do isključivanja čepića. Sa druge strane, povećanje nivoa osvetljenosti dovodi do smanjenja nivoa pigmenta u štapićima - zvanog rodopsin - što smanjuje jačinu njihovog neuralnog signala, i na kraju dovodi do njihovog isključivanja. Slika desno prikazuje promenu osetljivosti na svetlost čepića i štapića, polazeći od dnevnog vida, sa prelaskom u tamu. Prvih 10-15 minuta povećava se samo osetljivost čepića, desetinama puta. Tek potom se uključuju štapići, pomoću kojih se osetljivost povećava od stotinak do preko hiljadu puta, u zavisnosti od talasne dužine. Štapići su, međutim, neosetljivi na crvenu svetlost, za koju osetljivost ostaje na najvišem nivou osetljivosti čepića. Prelaz sa vida zasnovanog prvenstveno na radu čepića, na vid zasnovan pretežno na radu štapića zove se "prelom štapića" (eng. rode break).

Za punu prilagođenost očnog vida tami potrebno je oko pola sata. Prilagođavanje dnevnoj svetlosti iz tame je znatno brže - oko 7 minuta.

Dati nivoi osetljivosti su prosečne vrednosti. Razlike od osobe do osobe su velike, do oko 3 puta za osetljivost čepića, i oko 10 puta za osetljivost štapića.

Ne postoji opšta saglasnost u pogledu toga na kom nivou osvetljenosti čepići tj. štapići postaju glavni prijemnik svetla. Usled toga, ne postoji saglasnost u pogledu tačnog raspona fotopičkog, skotopičkog i mezopičkog vida. Procene nivoa se kreću od 0,001 do 0,01 cd/m² za donju granicu mezopskog vida, i od 0,6 do 10 cd/m², čak i više, za gornju. Dva novija modela se slažu u pogledu donje granice, oko 0,01 cd/m², ili nešto niže (u zavisnosti od vrste svetla), ali ne i u pogledu gornje granice: po jednom je ona na 0,6 cd/m² (He et al. 1997/8), a po drugom na 10 (Mesopic Optimisation of Visual Efficiency, or MOVE model of the European research consortium, Eloholma and Halonen 2006).

U načelu, osetljivost oka na svetlost raste eksponencijalno sa opadanjem nivoa osvetljenosti, pri čemu se talasna dužina najviše osetljivosti postepeno pomera od ~550nm u fotopskom, do ~507nm u skotopskom vidu. Povećanje osetljivosti se postiže povećanjem delotvornosti upijanja svetlosne energije povećanjem gustine pigmenta, suzbijanjem poprečnog smanjenja (eng. lateral inhibition) i prelaskom sa pojedinačne na grupnu povezanost prijemnika. Prva dva mehanizma postoje i kod čepića i kod štapića, dok je treći prisutan samo u slučaju štapića.

Fotopski i skotopski vid

Fotopski vid se može smatrati osnovnim, jer je ljudsko biće najaktivnije tokom dana. Nosioci fotopskog vida su čepićaste prijemne ćelije, ili čepići. Sposobnost razlikovanja boja zasniva se na postojanju tri vrste ovih prijemnika, tzv. L, M i S čepići, koji su u različitoj meri osetljivi na različite delove spektra. L čepići nose to ima jer su osetljivi i na najduže svetlosne talase (eng. Long-wavelengths sensitive), mada su takođe osetljivi i na druge talasne dužine svetlosti. M čepići su osetljivi u nešto užem rasponu od L čepića, koji približno pokriva srednje talasne dužine (eng. Mid-wavelengths sensitive), dok su S-čepići osetljivi samo na svetlost kratkih talasnih dužina (eng. Short-wavelengths sensitive).

Slika 61: SPEKTRALNA DELOTVORNOST SJAJA LjUDSKOG OKA

U najosnovnijem obliku, mozak stvara iluziju boje na osnovu različite osetljivosti ove tri vrste čepića na svaku talasnu dužinu svetlosti.

Na slici desno prikazan je udeo svake od ove tri vrste čepića u delotvornosti oka u pretvaranju energije svetlosnog zračenja u osećaj sjaja (eng. luminous spectral efficacy), kao njegov fiziološki odraz. Delotvornost je data za raspon talasnih dužina svetlosti u uslovima dnevne svetlosti, tj. za dnevni ili skotopski vid. Takođe je prikazana delotvornost pretvaranja zračenja u sjaj za štapiće, u rasponu talasnih dužina skotopskog, ili noćnog vida. Skale delotvornosti su izražene u jedinici najviše delotvornosti čepića, leva za štapiće i desna za čepiće. U fizičkim (SI) jedinicama, najviša delotvornost čepića, za talasnu dužinu 555nm, je 683 lm/W (tj. zračenje svetlosti od jednog vata pretvara u sjaj od 683 lumena).

Slika 62: SPEKTRALNA DELOTVORNOST SJAJA LjUDSKOG OKA

Tabela desno daje brojne vrednosti za fotopsku V(λ) i skotopsku V'(λ) delotvornost sjaja prikazane na slici 55. Funkcija je u potpunosti opisana vrednostima delotvornosti za svaki ceo nanometar (nm); tabela daje vrednosti u razmacima od 10 nm.

U smislu jačine zračenja, zračenje od 1W po steradijanu proizvodi jačinu sjaja od 683 lumena po steradijanu (pošto je 1 lm po steradijanu kandela, sjaj od jedne kandele je, na ovoj talasnoj dužini, proizveden od strane zračenja od 1/683 W po steradijanu).

Mezopski (večernji) vid

Mezopski vid je složeniji od fotopskog i skotopskog, zbog toga što su obe osnovne vrste prijemnika, čepići i štapići, uključeni, i utiču na stvaranje moždane slike. Usled toga, ne postoji usaglašen i zvanično prihvaćen model. Uobičajeno je da se predstavlja jednostavno kao ponderisan zbir fotopske i skotopske funkcije (tačkasta siva kriva na slici 60, za nivo osvetljenosti na polovini između pune fotopske i pune skotopske).

Međutim, ispitivanja ukazuju da je kriva mezopske delotvornosti sjaja - i neposredno povezane spektralne osetljivosti - složenija. Primer eksperimentalne krive (neprekidna siva kriva, Varady et al. 2000) se bitno razlikuje od prostog ponderisanog zbira. Kriva osetljivosti ima dvostruki vrh, na oko 515nm i 580nm, sa srazmernim padom osetljivosti između njih, dok je osetljivost prema dužim talasima (crvena svetlost) povećana u odnosu na fotopsku. Ovo poslednje je u skladu sa činjenicom da osetljivost čepića na crvenu svetlost raste sa sniženjem nivoa osvetljenja (slika 60).

Funkcija delotvornosti sjaja ljudskog oka

Delotvornost sjaja čepića i štapića je izražena funkcijom delotvornosti sjaja (eng. luminous efficacy function), koja ima opšti oblik:

$\Phi _{v}=K_{m}\int _{0}^{\infty }\Phi _{r}(\lambda )V(\lambda )d(\lambda )$ .........(65)

gde je Φ_v protok sjaja, Φ_r je protok zračenja, V(λ) je funkcija (talasne dužine λ) delotvornosti sjaja fotoreceptora, i K_m je najviša vrednost količnika protoka sjaja, datog sa K=Φ_v/Φ_r. Za fotopski vid K_m=683 lm/W za λ=555nm. Za fotopski vid, K'_m=1700 lm/W. Funkcija V(λ) daje promenu vrednosti količnika K, svedenog na jedinicu za najvišu vrednost, sa talasnom dužinom. Fotopska funkcija se označava sa V(λ), a skotopska sa V'(λ).

Prvi oblik V(λ) funkcije, poznat kao CIE (fran. Commission Internationale de l´Eclairage) 1931 V(λ) funkcija, je za fotopski vid tzv. "standardnog posmatrača" (eng. standard observer). Izmenjen oblik ove funkcije, poznat kao CIE 1978 V(λ), zasnovan na empirijski utvrđenoj većoj delotvornosti čepića u kraćim talasnim dužinama, daje viši nivo delotvornosti za talasne dužine ispod 460nm. CIE je 1990. prihvatila ovu izmenjenu funkciju (eng. CIE 1988 Modified 2° Spectral Luminous Efficiency Function for Photopic Vision) kao VM(λ), i preporučila je za upotrebu u naučne svrhe. Obe ove funkcije su za tačkast izvor svetlosti u polju vida od 2°. Poslednji oblik fotopske funkcije, usvojen 2005, je CIE V10(λ), za vidno polje preko 4° (CIE 10° photopic photometric observer).

Funkcija delotvornosti za skotopski vid je poznata kao CIE 1951 V'(λ).

Funkcija koja se obično primenjuje za mezopski vid, mada nije zvanično usvojena, je ponderisan zbir funkcije čepića i funkcije štapića:

   V"(λ)=xV(λ)+(1-x)V'(λ)........(66)

gde je x promenljiva čije vrednost se menja od 0 na donjoj granici mezopskog vida, do 1 na gornjoj. Sa promenom x, mezopska kriva se pomera od skotopske do fotopske na skali talasne dužine. Za x=0 kriva se poklapa sa skotopskom, a za x=1 sa fotopskom krivom.

Osetljivost ljudskog oka na svetlost

Delotvornost sjaja je u neposrednoj vezi sa osetljivošću čepića i štapića, jer određuje raspon talasnih dužina u kom oko proizvodi čuvstvo sjaja, kao i promenu u delotvornosti sa talasnom dužinom, ali ne predstavlja njihovu stvarnu osetljivost, merenu najnižim nivoom zračenja koje oko može da zapazi. Kao što slika 60 pokazuje, osetljivost štapića je mnogo veća nego osetljivost čepića. Eksperimentalno je utvrđeno da štapić može da zabeleži jedinicu svetlosne energije, foton (Response of retinal rods to single photons, Baylor, Lamb, Yau 1979), dok je donja granica za čepiće stotinak puta veća energija. Štaviše, pošto su štapići vezani u grozdovima, u slučaju produženog dotoka svetlosti dovoljan je jedan foton na svakih tridesetak štapića (Energy, Quanta and Vision, Hecht, Schlaer and Pirenne 1942).

Slika 63: DNEVNA I NOĆNA SPEKTRALNA OSETLjIVOST LjUDSKIG OKA

Slika 63 je graf osetljivosti na svetlost za dnevni (fotopski) i noćni (skotopski) vid. Skale su date u jedinici najveće osetljivosti dnevne, ili fotopske funkcije (λ=555nm). Dve fotopske krive su za 2° i 10° (tj. preko 4°) polje vida. Krive fotopske i skotopske osetljivosti su srazmerne odnosnom količniku delotvornosti sjaja za svaku talasnu dužinu, pomnoženog sa osetljivošću.

Promena osetljivost štapića i čepića sa promenom nivoa osvetljenosti, tj. prilagođenosti oka, prikazana je na slici 64 (najvećim delom po podacima iz Fundamentals of Spatial Vision, Ferwerda JA 1998). Krive osetljivosti - koje predstavljaju promenu osetljivosti sa talasnom dužinom u fotopskom i skotopskom vidu, dakle po dve krive osetljivosti za čepiće i za štapiće - su date za četiri nivoa prilagođenosti: skotopski (noćni), fotopski (dnevni), i za približan gornji i donji nivo mezopske (večernje) prilagođenosti. Puna linija predstavlja osetljivost prijemnika u uslovima kad se na njemu zasniva čulo vida (tama za štapiće, dnevna svetlost za čepiće), dok je isprekidana linija približna osetljivost u uslovima kad je praktično isključen (obrnuto). Sa promenom nivoa osvetljenja od jedne do druge situacije, osetljivost prijemnika se postepeno pomiče od jednog do drugog nivoa; u večernjim (mezopskim) uslovima, osetljivost je približno u sredini između pune i isprekidane linije.

Slika 64: PROMENA SPEKTRALNE OSETLjIVOSTI LjUDSKOG OKA U RASPONU PRILAGOĐAVANjA

Razlike u obliku kriva osetljivosti na različitim nivoima prilagođenosti su zanemarljive; razlike u nivou osetljivosti, međutim, mogu biti vrlo velike (pošto vrh krive osetljivosti za štapiće leži na različitoj talasnoj dužini od vrha krive osetljivosti čepića, kad su prikazane u odnosu na talasnu dužinu one mogu biti prikazane na istoj uspravnoj liniji koja označava nivo osvetljenja; oba vrha, međutim, treba da su na toj uspravnoj liniji, što je označeno crvenim kvadratima za krive čepića, i plavim kvadratima za krive štapića).

Osetljivost raste sa sniženjem osvetljenosti i za čepiće i za štapiće, ali čepići dostižu najvišu osetljivost znatno ranije od štapića, što ih čini slepim u skotopskim uslovima, kad vid u potpunosti zavisi od štapića. Osetljivost se za obe vrste prijemnih ćelija menja sa nivoom osvetljenosti: za čepiće je viša u dnevnim (fotopskim) uslovima, nego u tami (skotopski uslovi), dok je u slučaju štapića obrnuto, osetljivost je veća u tami. Za obe vrste prijemnika povećanje osetljivosti je znatno veće za plavo-ljubičastu, nego za crvenu svetlost.

Talasna dužina najveće osetljivosti - oko 550nm za čepiće, i 510nm za štapiće - ostaje približno nepromenjena kroz raspon nivoa osvetljenosti. Osetljivost pri krajevima raspona talasnih dužina svetlosti je mnogo manja u oba slučaja. Na gornjoj granici večernjeg vida čepići su aktivniji od štapića, zbog čega su raspoznavanje boja i oštrina vida još uvek srazmerno dobri. Na donjoj granici večernjeg vida prvenstvo preuzimaju štapići, oštrina vida je znatno niža, i gubi se sposobnost raspoznavanja boja.

Čeppići su, međutim, osetljiviji na crvenu svetlost kroz ceo raspon večernjeg vida, a za talasne dužine od preko 650nm i u tami. Sa druge strane, štapići su osetljiviji na plavo-ljubičastu u večernjem vidu, i približno jednaki sa čepićima u donjem rasponu dnevnog vida, približno do nivoa osvetljenosti sobnog svetla.

Vidi još

• Optika
• Furijeova optika
• Optička slika
• Sklop za stvaranje optičke slike
• Talasni front
• Funkcija širenja tačke
• Optička aberacija
• Aberacioni polinomi Zernikea
• Strel racio
• Funkcija optičkog prenosa
• Razdvojna moć

Izvori

• Optical imaging and aberrations I-II, V.N. Mahajan 1998
• Optics, E. Hecht 1975
• Useful optics, W.T. Welford 1991
• Handbook of optics I, M. Bass (Optical society of America) 1995 (online PDF)
• Handbook of optical design, Malacara, Daniel and Zacarias, 2004 (online PDF)
• Aberration theory made simple, V.N. Mahajan 1991
• Astronomical optics, D. Schroeder 1987
• Digital image processing, Gonzales and Woods 2008
• Information, sensation and perception, K.H. Norwich 2003
• Light-Emitting Diodes, E. Fred Schuber 2006
• The visual discrimination of intensity and the Weber-Fechner law, S. Hecht 1924
• Saturation and adaptation in the rod system, E.H. Adelson 1982
• Is the DeVries-Rose to Weber transition empirically possible with sine-wave gratings?, M.A. Garcia-Perez 2005
• Brightness perception in complex fields, Bartleson and Breneman 1967
• Luminance discrimination of brief flashes under various conditions of adaptation, Cornsweet and Pinsker 1964
• Rod increment threshold on steady and flashed backgrounds, P.E. Hallett 1968
• Stevens’s power law in vision: Exponents, intercepts, and thresholds, Stevens JC and Marks LE 1999
• Perception Lecture Notes: Brightness, D. Heeger 2006
• Transmission of the ocular media, A. Boettner and J.R. Wolter 1962
• Ocular spectral characteristics as related to hazards from lasers and other light sources, Geeraets WJ and Berry ER 1968
• A Model of Visual Adaptation for Realistic Image Synthesis, Ferwerda, Pattanaik, Shirley, Greenberg 1996
• Mesopic vision, optimizrd illumination, Várady, Fekete, Sik-Lányi, Schanda 2007
• Fundamentals of spatial vision, J.A. Ferwerda 1997
• Considering the Surround in Device-Independent Color Imaging, M.D. Fairchild 1995
• Colour, H. Rossotti 1985

Spoljašnje veze

• opt.zju.edu.cn/zjuopt2/upload/resources/chapter10 Statistical Optics.pdf
• www.erbion.com/index_files/PHYS52/Chapter%2036.pdf
• https://refractiveindex.info/
• http://www.falstad.com/diffraction/
• https://hal-enac.archives-ouvertes.fr/hal-00934546/document
• citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.205.4791&rep=rep1&type=pdf
• https://arxiv.org/abs/0710.0515
• http://www.cie.co.at/