Funkcija (matematika)

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Skoči na: navigacija, pretraga
Funkcija koja preslikava obojene oblike u njihovu boju.

Funkcija ili preslikavanje je pravilo pridruživanja jednog elementa iz skupa \,X koji se tada naziva domen funkcije, drugom elementu iz skupa \,Y - kodomen funkcije, koji se još naziva i kontradomen funkcije, skup kopija, skup slika. Domen funkcije fse često označava sa \mathcal{D}(f), a kodomen sa \mathcal{K}(f).

Elementi skupa \,X nazivaju se argumenti, nezavisno promenljive, originali preslikavanja, likovi, ili elementi domena. Skup Y naziva se kodomen (kontradomen) funkcije, skup kopija, slika, itd. Često se domen funkcije f označava sa \mathcal{D}(f), a kodomen ponekad \mathcal{K}(f).

Za zapisivanje funkcija obično se koriste neke od sledećih oznaka: f:X\rightarrow Y,, f:x\rightarrow y,\; x\in X,\; y\in Y. ili y=f(x),. Opseg, raspon, područje definicije funkcije, odnosno domen funkcije f predstavlja skup vrednosti x za koje funkcija dostiže vrednosti f(x).

Osnovna karakteristika funkcije je da za jednu ulaznu vrednost dobija najviše jedna izlazna vrednost.

Definicija[uredi]

Funkcija je jedan od osnovnih pojmova matematike. Pojavljuje se u većini oblasti matematike, u zavisnosti od toga šta predstavljaju domen i kodomen.

Analitička definicija[uredi]

Ako dve promenljive a i b stoje u takvoj vezi da se menjanjem vrednosti jedne od njih, npr. a menja i vrednost druge promenljive - b, onda se promenljiva b naziva funkcijom promenljive a.

Funkcija može imati više promenljivih.

Definicije iz teorije skupova[uredi]

Funkcija, odnosno relacija f=\{(a,\alpha),(b,\beta),(c,\beta)\}.\, Skup A je skup prvih elemenata uređenih parova, na grafu to je polazni skup strelice i naziva se domen. Skup B naziva se kodomen funkcije.

Skup se u matematici uzima za osnovni pojam. Dekartov proizvod skupova je skup uređenih parova. Uređeni par elemenata čine bilo kakva dva elementa za koje je važan poredak. Relacija je neprazan podskup Dekartovog proizvoda skupova, a funkcija je jedna vrsta relacije.

Definicija 1
Neka su A i B neprazni skupovi. Tada se binarna relacija f\subseteq A\times B zove funkcija ili preslikavanje iz A u B, ako važi:
(\forall x\in A)(\exists!y\in B)y=f(x),

odnosno ako za svaki element iz skupa A, postoji tačno jedan element iz skupa B tako da je element iz B slika elementa iz A.

Definicija 2 (ekvivalentna prethodnoj)
binarna relacija f iz A u B je funkcija ako je
((x,y)\in f \wedge (x,z)\in f)\Rightarrow (y=z)),

tj. ako su originali jednaki, i slike moraju biti jednake.

Vrste preslikavanja[uredi]

Surjektivno preslikavanje[uredi]

Definicija
Funkcija f:A\rightarrow B zove se surjekcija, ili "na"-preslikavanje, ako je \mathcal{K}(f)=B,

što se može zapisati i kao:

(\forall y\in B)(\exists x\in A)\;y=f(x).

Odnosno, funkcija je surjekcija ako i samo ako su svi elementi kodomena nečije slike. Surjekcija po definiciji dozvoljava „duple kopije“, tj. da se više elemenata iz domena preslikavaju u isti element kodomena.

Injektivno preslikavanje[uredi]

Definicija
Funkcija f:A\rightarrow B zove se injekcija, ili "1-1"-preslikavanje, ako važi:
(\forall x_1,x_2\in A)(f(x_1)=f(x_2))\Rightarrow (x_1=x_2).

Dakle, ista kopija ne može biti rezultat kopiranja različitih originala. Injekcija po definiciji dozvoljava da u skupu kopija postoje elementi koji uopšte nisu rezultat preslikavanja.

Bijektivno preslikavanje[uredi]

Definicija
Funkcija koja je surjekcija i injekcija zove se bijekcija.

Bijekciju nazivamo i obostrano jednoznačno preslikavanje.

Funkcija realne promenljive[uredi]

Kako u matematičkoj analizi, tako i u još pojedinim oblastima matematike, a možda i u celoj matematici, funkcija koja se možda i najčešće koristi je tzv. funkcija realne promenljive.

Pod funkcijom realne promenljive, misli se na funkciju f:X\rightarrow Y, gde je X \subseteq \mathbb{R} i Y = \mathbb{R}. Drugim rečima, funkcija realne promenljive je svaka funkcija čiji je domen podskup skupa realnih brojeva \mathbb{R} ili ceo skup \mathbb{R}, a kodomen joj je \mathbb{R}.

Parnost funkcije[uredi]

Vista-xmag.png Za više informacija pogledajte članak Parnost funkcije
Funkcija f(x) = x^2 je parna funkcija.
Funkcija f(x) = x^3 je neparna funkcija.
Definicija
Za skup X \subset \mathbb{R} kažemo da je simetričan, ako za svako x \in X i -x \in X.

Funkciju definisanu na simetričnom skupu nazivamo parnom, ako za je svako x \in X, f(x) = f(-x). Svaka parna funkcija je simetrična u odnosu na y osu.

Funkciju definisanu na simetričnom skupu nazivamo neparnom, ako za je svako x \in X, f(x) = -f(-x). Svaka neparna funkcija je simetrična u odnosu na koordinatni početak.

Većina funkcija nije ni parna, ni neparna, ali se svaka funkcija definisana na simetričnom podskupu može predstaviti kao zbir parne i neparne funkcije.

Periodičnost funkcije[uredi]

Vista-xmag.png Za više informacija pogledajte članak Periodičnost funkcije
Ilustracija periodične funkcije sa periodom P.
Definicija
Za funkciju realne promenljive f:X\rightarrow \mathbb{R} kažemo da je periodična sa periodom T, ako postoji T> 0 takvo da važi:
f(x+T) = f(x).

Najmanji takav broj T (ako postoji), naziva se osnovnim periodom funkcije f.

Interesantna periodična funkcija je, recimo: Dirihleova funkcija D\colon\R\mapsto\{0,1\} definisana kao:

D(x) = \begin{cases}1, &      x\in \mathbb Q, \\
 0, & x \in \mathbb R \backslash \mathbb Q, \end{cases}

koja je periodična, ali nema najmanji period.

Monotonost funkcije[uredi]

Vista-xmag.png Za više informacija pogledajte članak Monotonost funkcije
Definicija
Monotonost funkcije označava svojstvo onih funkcija koje zadovoljavaju bilo koji od sledećih uslova:
  • rastuća funkcija
(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} \le x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \le f(x_{2}))
  • strogo rastuća funkcija
(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} < x_{2} \rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}))
  • opadajuća funkcija
(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} \le x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \ge f(x_{2}))
  • strogo opadajuća funkcija
(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} < x_{2} \rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2}))

Za funkciju koja zadovoljava ovo svojstvo (tj. bilo koje od četiri navedena svojstva) kažemo da je monotona na kodomenu. Specijalno, za funkciju koja zadovoljava drugo ili četvrto svojstvo od četiri navedena, kažemo da je strogo monotona na kodomenu.

Vidi još[uredi]

Literatura[uredi]

  • Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.

Spoljašnje veze[uredi]

Vikiostava
Vikimedijina ostava ima još multimedijalnih datoteka vezanih za: Funkcija (matematika)