Euklid

Euklid
Lični podaci
Datum rođenja	oko 400. p. n. e.
Datum smrti	oko 3. vek p. n. e.
Naučni rad
Polje	matematika, geometrija
Poznat po	Elementima - udžbeniku geometrije

Euklid iz Aleksandrije

Euklid (grč. Εὐκλείδης), poznat i kao Euklid iz Aleksandrije da bi se razlikovao od Euklida od Megara, bio je antički matematičar poznat po svojim delima Elementi, Data, Optika i algoritmu za izračunavanje najvećeg zajedničkog delioca (NZD) koji je po njemu nazvan Euklidov algoritam.

Euklid se često naziva ocem geometrije. On je bio aktivan u Aleksandriji tokom vladavine Ptolemeja I (323–283. p. n. e.). Njegovi Elementi su jedan od najuticajnijih radova u istoriji matematike. Služili su kao glavni udžbenik za nastavu matematike (posebno geometrije) od vremena svog objavljivanja sve do kraja 19. ili početka 20. veka. U Elementima, Euklid je izveo načela koja se danas nazivaju Euklidovom geometrijom iz malog seta aksioma. Euklid je isto tako napisao radove o perspektivama, konusnim presecima, sfernoj geometriji, teoriji brojeva, i rigoru.

Euklid je srpska verzija grčkog imena Εὐκλείδης, sa značenjem „renomiran, slavan”.

Biografija

Veoma malo originalnih referenci o Euklidu je sačuvano, tako da se o njegovom životu sasvim malo zna. Datum, mesto i okolnosti njegovog rođenja i smrti su nepoznati i mogu samo biti grubo procenjeni u odnosu na druge osobe koje se pominju sa njim. On se retko pominje po imenu u radovima drugih grčkih matematičara od Arhimeda (c. 287. p. n. e. – c. 212. p. n. e.) na ovamo, i obično se pominje kao "ὁ στοιχειώτης" („autor Elemenata”). Nekoliko istorijskih referenci o Euklidu je napisano nekoliko vekova nakon njegovog doba u radovima Prokla c. 450. i Paposa od Aleksandrije c. 320. Studirao je verovatno u Atini na Platonovoj Akademiji gde je geometriju naučio od Eudoksa i Teajteta. Kralj Ptolemej I (323—283. p. n. e.) pozvao ga je u novoosnovanu biblioteku u Aleksandriji, gde je radio i verovatno i podučavao. Među njegove učenike verovatno je spadao i Arhimed. Pored osnova geometrije posvećivao se i teoriji brojeva i perspektivi, konusnim presecima i sfernoj geometriji. Njegovo glavno delo su „Elementi“ (grč. Στοιχεῖα) u trinaest knjiga gde počinje od postulata i aksioma u geometriji i dolazi do komplikovanijih konstrukcija sve do tzv. Platonskih tela. Elementi sadrže i objedinjuju radove mnogih pređašnjih matematičara i filozofa svih doba koji su se upotrebljavali 2000 godina.

Prokle pominje Euklida samo kratko u njegovom Komentaru Elemenata. Prema Proklu, Euklid je pripadao Platonovoj školi i napisao je Elemente, koji su bazirani na ranijem radu nekoliko Platonovih učenika (posebno Eudoksa Knidskog, Teaetetusa i Filipa iz Opunta.) Prokle smatra da Euklid nije bio mnogo mlađi od njih, i da je on morao da živi tokom vremena Ptolemeja I pošto ga je pomenuo Arhimed (287–212. p. n. e.). Mada je očigledno citiranje Euklida od strane Arhimeda ocenjeno kao interpolacija kasnijih urednika njegovih dela, i dalje se veruje da je Euklid napisao svoja dela pre nego što su napisani Arhimedovi radovi.

Euclidis quae supersunt omnia (1704)

Prokle kasnije prepričava priču da, kad je Ptolemej I pitao da li postoji kraći put ka učenju geometrije od Euklidovih Elemenata, „Euklid je odgovorio da nema kraljevskog puta do geometrije”. Ova anegdota je upitna, jer je slična priči o kojoj se govori o Menehmu i Aleksandaru Velikom.

U jedinoj drugoj ključnoj referenci o Euklidu, Papos na kratko pominje u četvrtom veku da je Apolonije „proveo veoma dugo vreme sa učenicima Euklida u Aleksandriji, i da je tokom tog perioda on stekao takvu naučnu naviku razmišljanja” c. 247–222. p. n. e.

Euklidovu detaljnu biografiju su dali arapski autori, pominjući na primer da je njegovo rodno mesto Tir u Libanu. Arapski izvori navode da je on po nacionalnosti bio Grk rođen u Tiru i da je živeo u Damasku tokom svog života. Međutim, ove tvrdnje nisu potkrepljene dokazima.

Budući da je nedostatak biografskih informacija neobičan za ovaj period (opsežne biografije su dostupne najznačajnijim grčkim matematičarima nekoliko vekova pre i posle Euklida), neki istraživači su predložili da Euklid nije zapravo istorijski karakter i da je njegova dela napisao tim matematičara koji su preuzeli ime Euklid iz istorijskog karaktera Euklida od Megara (uporedite sa Burbakijem). Međutim, ova hipoteza nije dobro prihvaćena od strane naučnika i ima malo dokaza u njenu korist.

Rad

Napisao je brojna dela, od kojih neka nisu sačuvana i poznata su samo po naslovu. Sačuvana dela su:

• Elementi (geometrija kao nauka o prostoru) u 13 knjiga,
• Data (o uslovima zadavanja nekog matematičkog objekta),
• Optika (sa teorijom perspektive), i dr.

U odnosu na druge naučne oblasti, geometrija je dostigla zavidan nivo oko 300. p. n. e. pojavom dela Elementi. Tada u matematici geometrija dominira, pa su i brojevi interpretirani geometrijski. Euklid je pokušao da izlaganje bude strogo deduktivno i upravo zbog te doslednosti Elementi su vekovima smatrani najsavršenijim matematičkim delom. Mnoge generacije matematičara i drugih naučnika su učili iz ove knjige kako se logički zaključuje i novo povezuje sa ranije utvrđenim činjenicama. Kasnije su Elementi analizirani i dopunjavani. Posebnu pažnju su privlačili aksiomi i postulati. U ovoj knjizi su sadržana sva saznanja i otkrića do kojih su došli Euklid i njegovi prethodnici i savremenici u geometriji, teoriji brojeva i algebri. Takođe, dokazane su i 464 teoreme na način koji je i danas besprekoran.

Elementi

Jedan od najstarijih sačuvanih fragmenata Euklidovih Elemenata, nađen u Oksirinhusu i datiran na period oko 100. godine (P. Oxy. 29). Dijagram je deo Knjige II, Propozicije 5.

Glavni članak: Euklidovi Elementi

Iako su mnogi rezultati u „Elementima” potekli od ranijih matematičara, jedno od Euklidovih dostignuća je bilo da ih predstavi u jednom, logički koherentnom okviru, što olakšava upotrebu i pojednostavljuje referenciranje, uključujući sistem rigoroznih matematičkih dokaza koji ostaje osnova matematike 23 veka kasnije.

Euklid se ne pominje u najranijim preostalim primercima „Elementa”, a većina kopija navodi da su „iz izdanja Teona” ili „Teonovih predavanja”, dok tekst koji se smatra primarnim, i koji se čuva u Vatikanu, ne pominje autora. Jedina referenca na koju se istoričari oslanjaju da je Euklid napisao Elemente potiče od Prokla, koji na kratko u svom Komentaru Elemenata pripisuje Euklidu status autora.

Mada su najbolje poznati zbog njihovih geometrijskih rezultata, Elementi takođe obuhvataju teoriju brojeva. U njima se razmatra veza između savršenih brojeva i Mersenovih prostih brojeva (poznata kao Euklid–Ojlerova teorema), beskrajnost prostih brojeva, Euklidova lema o faktorizaciji (koja dovodi do fundamentalne teoreme aritmetike o jedinstvenosti faktorizacije prostih brojeva), i Euklidov algoritam za nalaženje najvećeg zajedničkog delioca dva broja.

Geometrijski sistem opisan u Elementima je dugo bio poznat jednostavno kao geometrija, i bio je smatran jedinom mogućom geometrijom. Danas se međutim ovaj sistem često naziva Euklidovom geometrijom da bi se napravila razlika od takozvanih neeuklidskih geometrija koje su matematičari otkrili u 19. veku.

Drugi radovi

Euklidova konstrukcija regularnog dodekaedra.

Konstrukcija dodekaedra stavljanjem lica na ivice kocke.

Statua u čast Euklida u muzeju prirodne istorije Oksfordskog univerziteta

Osim Elemenata, bar pet Euklidovih radova je sačuvano do današnjeg dana. Oni slede istu logičku strukturu kao i Elementi, sa definicijama i dokazanim propozicijama.

• Podaci se bave prirodom i implikacijama date informacije u geometrijskim problemima; tema je usko povezana sa prve četiri knjige Elemenata.
• O deljenju figura, koja je samo delimično sačuvana u arapskom prevodu, bavi se podelom geometrijskih figura u dva ili više jednakih delova u datim odnosima. Ovaj rad je sličan radu Herona od Alelsandrije iz prvog veka.
• Katoptrika, bavi se matematičkom teorijom ogledala, posebno slika formiranih u ravnim i sferično konkavnim ogledalima. Atribucija se smatra anakroničnom, pri čemu Dž Dž O’Konor i E F Robertson smatraju da je Teon Aleksandrijski verovatno autor.
• Faenomena, rasprava o sfernoj astronomiji, sačuvana u grčkom jeziku; je sasvim slična sa radom O pokretnoj sferi Autolika iz Pitane, koji je radio oko 310. p. n. e.
• Optika je najstarija sačuvana grčka rasprava o perspektivi. U njenim definicijama Euklid sledi Platonsku tradiciju da je vid uzrokovan diskretnim zracima koji proizilaze iz oka. Jedna od važnijih definicija je četvrta: „Stvari koje se vide pod većim uglom izgledaju veće, a one pod manjim ugla manje, dok su one pod jednakim uglovima jednake.” U 36 propozicija koje slede, Euklid povezuje pojavnu veličinu objekta sa njegovim rastojanjem odoka i istražuje pojavne oblike cilindara i kupa kad se gledaju iz različitih uglova. Propozicija 45 je interesantna, po tome što dokazuje da za bilo koje dve nejednake magnitude, postoji tačka iz koje one izgledaju jednake. Papos je smatrao da su ti rezultati važni u astronomiji i stoga je uvrstio Euklidovu Optiku, zajedno sa svojim radom Fenomeni, u Malu astronomiju, kompendijum manjih radova koji treba proučavati pre Sintaksisa (Almagesta) autora Klaudija Ptolemeja.

Izgubljeni radovi

Drugi radovi koji se verodostojno pripisuju Evklidu su izgubljeni.

• Konika je bio rad o konusnim presecima koji je kasnije proširio Apolonije od Perge u svom poznatom radu na tu temu. Moguće je da prve četiri knjige Apolonijevog dela dolaze direktno od Euklida. Prema Paposu, „Apolonije je, završivši Euklidove četiri knjige dodao još četiri, i izdao osam tomova o konusnim presecima.” Apolonovi konusni preseci su brzo zamenili ranije delo, i do vremena Paposa, Euklidov rad je već bio izgubljen.
• Moguće je da su Porizmi bili rad koji je proizašao iz Euklidovog dela o konusnim presecima, mada je tačno značenje naslova kontroverzno.
• Pseudarija, ili Knjiga o zablidama, je bio elementarni tekst o greškama u rasuđivanju.
• Površinske tačke je rad koji se bavio bilo lokusima (setovima tačaka) na površini ili žižama koje su same površine; pod kasnijom interpretacijom, razvijene su hipoteze po kojima se rad možda bavio kvadriranim površinama.
• Nekoliko radova o mehanici se pripisuju Euklidu u arapskim izvorima. Rad O teškom i lakom sadrži, devet definicija i pet propozicija, Aristotelske pojmove pokretnih tela i koncept specifične gravitacije. Rad O balansu tretira teoriju poluge u sličnom Euklidskom maniru, i sadrži jednu definiciju, dva aksioma, i četiri propozicije. Treći fragment, o krugovima opisanim krajevima pokretne poluge, sadrži četiri propozicije. Ovi tri dela dopunjuju jedno druga na takav način da je predloženo da su ostaci jedne rasprave o mehanici koju je napisao Euklid.

Vidi još

• Aksiomatski mehod
• Euklidov voćnjak
• Euklidov algoritam
• Euklidova geometrija
• Euklidova relacija
• Prošireni Euklidov algoritam
• Spisak tema imenovanih po Euklidu
• Papyrus Oxyrhynchus 29

Literatura

• Macardle, Meredith (2008). Scientists: Extraordinary People Who Altered the Course of History. New York: Metro Books. str. 12. ISBN 9781435110182. 
• Itard, Jean (1962). Les livres arithmétiques d'Euclide. 
• Wolfe, Harold E. (2007). Introduction to Non-Euclidean Geometry. Mill Press. str. 9. ISBN 978-1-4067-1852-2. 
• Smith, James T. (2000). „Chapter 2: Foundations”. Methods of geometry. Wiley. str. 19ff. ISBN 978-0-471-25183-5. 
• Robinson, Victor (2005). The Story of Medicine. Kessinger Publishing. str. 80. ISBN 978-1-4191-5431-7. 
• Jones, Roger; Penny, Nicholas (1983). Raphael. Yale. ISBN 978-0-300-03061-7. 
• P. Vopěnka, Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci. Rozpravy s geometrií 1—4. Praha 2000
• P. Vopěnka, Horizonty nekonečna. Praha 2004
• Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th izd.). Dover Publications. str. 50-62. ISBN 978-0-486-20630-1. 
• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2nd izd.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Douglass, Charlene (2007). Page, John D., ur. „Euclid”. Math Open Reference.  With extensive bibliography.
• Heath, Thomas (1956) [1908]. The Thirteen Books of Euclid's Elements. 1. Dover Publications. ISBN 978-0-486-60088-8. 
• Heath, Thomas L. (1908). „Euclid and the Traditions About Him”. Ur.: Heath, Thomas L. Euclid, Elements. 1. str. 1—6. Arhivirano iz originala 27. 01. 2010. g. Pristupljeno 05. 10. 2017. CS1 održavanje: Nepodoban URL (veza)As reproduced in the.
• Heath, Thomas L. (1981). A History of Greek Mathematics. 2 Vols. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-24074-9. 
• Kline, Morris (1980). Mathematics: The Loss of Certainty. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-502754-9. 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Euclid of Alexandria”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
• Proclus (1992). A commentary on the First Book of Euclid's Elements. translated by Glenn Raymond Morrow, Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02090-7. 
• Struik, Dirk J. (1967). A Concise History of Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-60255-4. 
• Van der Waerden, Bartel Leendert; Taisbak, Christian Marinus (30. 10. 2014). „Euclid”. Encyclopædia Britannica. Pristupljeno 21. 11. 2014. 
• DeLacy, Estelle Allen (1963). Euclid and Geometry. New York: Franklin Watts. 
• Knorr, Wilbur Richard (1975). The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and Its Significance for Early Greek Geometry. Dordrecht, Holland: D. Reidel. ISBN 978-90-277-0509-9. 
• Mueller, Ian (1981). Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 978-0-262-13163-6. 
• Reid, Constance (1963). A Long Way from Euclid. New York: Crowell. 
• Szabó, Árpád (1978). The Beginnings of Greek Mathematics. A.M. Ungar, trans. Dordrecht, Holland: D. Reidel. ISBN 978-90-277-0819-9. 
• Alexanderson, Gerald L.; Greenwalt, William S. (2012), „About the cover: Billingsley's Euclid in English”, Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 49 (1): 163—167, doi:10.1090/S0273-0979-2011-01365-9 
• Artmann, Benno (1999). Euclid – The Creation of Mathematics. New York, Berlin, Heidelberg: Springer. ISBN 978-0-387-98423-0. 
• Hartshorne, Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond (2nd izd.). New York, NY: Springer. ISBN 9780387986500. 
• Heath, Thomas L. (1963). A Manual of Greek Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43231-1. 

Spoljašnje veze

• Euclid na sajtu Projekat Gutenberg (jezik: engleski)
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Euklid”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
• Euklid na sajtu Internet Archive (jezik: engleski)
• Euklid na sajtu LibriVox (jezik: engleski)
• Euclid's Elements, All thirteen books, with interactive diagrams using Java. Clark University
• Euclid's Elements, with the original Greek and an English translation on facing pages (includes PDF version for printing). University of Texas.
• Euclid's Elements, books I–VI, in English pdf, in a Project Gutenberg Victorian textbook edition with diagrams.
• Euclid's Elements, All thirteen books, in several languages as Spanish, Catalan, English, German, Portuguese, Arabic, Italian, Russian and Chinese.
• Elementa Geometriae 1482, Venice.
• Elementa 888 AD, Byzantine.
• Texts on Ancient Mathematics and Mathematical Astronomy PDF scans (Note: many are very large files). Includes editions and translations of Euclid's Elements, Data, and Optica, Proclus's Commentary on Euclid, and other historical sources.
• The Elements of Geometrie of the Most Auncient Philosopher Euclide of Megara(1570) From the English Printing Collection in the Rare Book and Special Collection Division at the Library of Congress