Број (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије
Disambig.svg
За другу употребу, погледајте чланак Број (вишезначна одредница).
Disambig.svg
Уколико сте тражили број у граматици, погледајте чланак граматички број.
Disambig.svg
Уколико сте тражили истоимену врсту речи, погледајте чланак бројеви.

Број је један од основних појмова математике. У свакодневној комуникацији је број појам интуитивно познат, док математичари радије примењују неки од формализама за представљање и описивање овог појма. У том смислу се примењује теорија скупова, а број служи да опише особину мноштва скупа.

Број је појам помоћу којег прецизно исказујемо количине.

У математици[уреди]

Број је један од појмова на којима се заснива математика, настао из потребе за бројањем предмета, а затим се усавршавао сразмерно развоју математичких знања. Већ у радовима античких научника било је установљено да је низ природних бројева бесконачан (3. век п. н. е.). Проблеми бесконачности природног низа, низа простих бројева и формирање назива за произвољно велике бројеве разматрани су у знаменитом делу Еуклида "Елементи" и у књизи Архимеда "О израчунавању песка" ("Psammit").

Са увођењем појма сабирања, одузимања, множења и дељења, почиње да се развија наука о бројевима и операцијама над њима - аритметика. Изучавање дубоких законитости у природном низу бројева траје и данас и чини теорију бројева. Природан број се чинио толико једноставан „природан“ да га наука дуго није покушавала дефинисати. Таква објашњења су се појавила тек средином XIX века приликом развоја аксиоматске методе у математици и развојем математичке анализе. То је учињено 70-ох година 19. века у радовима немачког математичара Кантора на основу појма скупова и њихове једнаке моћи, назване и кардинални број скупа, тј. упоређивањем елемената једног скупа са елементима другог скупа. Број предмета и број елемената у скупу дефинишу се као оно заједничко што има дата укупност, као и свака друга, њој једнако моћна. Други појам природног броја дао је италијански математичар Пеано на основу аксиома.

Прво поопштење природних бројева били су рационални бројеви, разломци, настали са потребом да се измери нека величина, упоређена са неком другом величином - еталоном. Сва каснија проширења појма броја нису настала на потребама рачунања и мерења, већ су била последица развоја науке.

Прво од њих било је увођење негативних бројева, условљено развојем алгебре. У Европу је негативне бројеве увео у употребу у 17. веку француски научник Декарт. Затим су уведени ирационални бројеви. Изучавање појма непрекидности у радовима немачких математичара Дедекинда и Кантора, затим Вајерштраса довело је до даљег разјашњавања појма броја и његових особина. Развојем теорије алгебарских једначина (19. век) појавио се појам комплексног броја.

Комплексни бројеви образују поље. И, према Вајерштрасу, укупност свих комплексних бројева не може бити даље проширена на рачун припајања нових бројева, на начин да у проширеној укупности буду сачувани сви закони операција који важе у укупности комплексних бројева.

Историјат[уреди]

Постоји веровање (Кит Девлин, Математички ген, Плато, Београд, 2001.) да је човек почео размишљати апстрактно када је почео комуницирати, и када је постао социјално биће. Језик је првоботним људима дао предност над околином у борби за опстанак, са којим је дошао већи мозак хомосапиенса и способност да размишља апстрактно. Са таквим тумачењем еволуције долази се до једног објашњења наше загонетне способности да се носимо са убрзаним развојем математике током последњих пар миленијума.

Почеци[уреди]

Наше првобитне представе о броју и облику припадају веома далекој епохи старог каменог доба - палеолиту. Током стотина хиљада година људи су живели у пећинама, у условима који су се мало разликовали од оних у којима живе животиње. Човек је своју енергију трошио првенствено на прибављање хране. Људи су изграђивали језик ради међусобног општења, израђивали су оруђа за лов и риболов, а у епохи каснијег палеолита украшавали су своја пребивалишта и стварали уметничка дела, статуете и цртеже. Могуће је да су цртежи у пећинама у Француској и Шпанији, пре отприлике 15 хиљада година, имали ритуално обележје, али несумњиво је да се у њима открива и изванредан осећај за облик.

Преокрет, када је пасивни човек са простог сакупљања хране прешао на активну производњу хране и од лова и риболова прешао на земљорадњу, представља почетак новог каменог доба - неолита. Тај крупан догађај у историји човечанства одиграо се пре отприлике десет хиљада година, у време када се ледени покривач у Европи и Азији почео топити и уступати место шумама и пустињама. Откопано је доста неолитских насеља. Ти земљорадници остајали би на једном месту све док би земља била родна и градили домове. Постепено су се развијали једноставнији занати, грнчарски, ткалачки, дрводељски, пекли су хлеб и кували пиво, а у епохи каснијег неолита топили су и обрађивали бакар и бронзу. Појавила су се открића, грнчарског круга, колског точка, чамаца, али локално и неравномерно. На пример, амерички Индијанци су сазнали за колски точак тек када су дошли белци. Трговина између појединих насеља се веома развила. Све то је утицало на даље формирање језика. Речи тадашњих језика изражавале су потпуно конкретне ствари, и веома мало апстрактне појмове. Ипак, било је речи за једноставније нумеричке појмове и једноставније облике.

Нумерички термини, који изражавају неке од „најапстрактнијих појмова које је у стању да створи људски ум“, како је рекао Адам Смит, споро су улазили у употребу.

Примери из неких племена[уреди]

У почетку апстрактни појмови се јављају више као квалитативни него као квантитативни термини, нпр. неки човек, уместо један човек. Тај стари квалитативни начин долази до изражаја и сада у оним посебним двојним терминима неких језика, рецимо грчког и келтског. Већи бројеви (од један) образовани су сабирањем: 3 - сабирањем 2 и 1, 4 - сабирањем 2 и 2, 5 - сабирањем 2 и 3. Ево примера из неких аустралијских племена:

Племе на реци Муреј
1=енеа, 2=петчевал, 3=петчевал-енеа, 4=петчевал-петчевал.
Камиларои
1=мал, 2=булан, 3=гулиба, 4=булан-булан, 5=булан-гулиба, 6=гулиба-гулиба
(W. C. Eels: Number Systems of North American Indians, Amer. Mth. Monthly, свеска 20 (1913), стр. 263-273, 293-299, пос. 293.).

Развитак занатства и трговине помогао је кристализацији појма броја. Бројеви су груписани и обједињавани, обично кориштењем прстију једне или обе руке. То је у почетку доводило до рачуна са основом пет, затим са основом десет, и ређе са основом двадесет. Од 307 бројних система првобитних америчких народа које је проучавао Илс (W. C. Eels), 146 су били десетични, 106 петични, петично-десетични, двадесетични и петично-двадесетични. Најкарактеристичнији облик система са основом двадесет постојао је код Маја у Мексику и код Келта у Европи.

Бројеви су записивани помоћу снопова, зареза на штаповима, чворова на конопцима, каменчића или шкољака сложених по пет на гомилу. Најстарији пример коришћења рабоша (комад дрвета на којем су неписмени урезивали бројке и друге знаке) припада епохи палеолита. У Вестоници (Моравска) откривена је 1937. жбица младог вука, дужине око 17 центиметара, са 55 дубоких зареза. Првих двадесет пет зареза распоређени су у групе по пет, затим следи зарез двоструке дужине којим се завршава тај ред, а затим новим зарезом двоструке дужине почиње нови ред зареза (Illustrated London News, Oct. 2. 1957. - Isis, свеска 28 (1938), стр. 462-463.).

Дакле, рачун није настао из рачунања на прстима, како се раније тумачило, на пример код Јакоба Грима. Рачунање прстима, петицама и десетицама, појавило се тек на извесном степену друштвеног развитка. Међутим, када је дошло до тога, постало је могуће изражавање бројевним системима, чиме је омогућено формирање већих бројева. Тако је настајао примитиван тип аритметике.

Четрнаест је изражавано као 10+4, а понекад као 15-1. Множење је настало када се 20 почело изражавати не као 10+10, него као 2х10. Такве бинарне операције примењиване су током више хиљада година и представљале су неку средину између сабирања и множења, а посебно су коришћене у Египту и у доаријској култури Мохенџо-Даро на Инду. Дељење је настало тако што се 10 почело изражавати као „половина тела“, док је примена разломака била веома ретка појава (сем у Египту). На пример, у северноамеричким племенима је познат само мали број случајева примене разломака, и по правилу је то разломак 1/2, мада се понекад наилази и на 1/3 и 1/4. (Милер (G. A. Miler) је скренуо пажњу на то да речи one-half, semis, moitie, што на енглеском, латинском и француском језику значи половина, нису у директној вези са речима тих истих језика које значе два (two, duo, deux). Слично је са српским језиком. То указује на чињеницу да је појам 1/2 настао независно од појма целог броја. Видети Nat. Math. Magazine 13 (1939), 272.)

На енглеском је Дирк Ј. Стројк изложио настанак и развитак рачуна уопште, а посебно бројних система и у вези са тим развитак појма природног броја (в. Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics, Dover Publications, Inc. New York, 1966.). На руском језику, у то време, исти круг проблема је веома исцрпно и компактно обрађен у чланку И. Г. Башмакове и А. П. Јушкевича. Преглед историјског развитка реалног броја на српскохрватском језику дат је у књизи Миленка Николића, Историјска и научна еволуција реалног броја и њен педагошки третман, као и у популарној књизи Ивана Бандића, Како се некад бројало и рачунало.

Геометрија грнчарије

На сликама 1-4, десно, налазе се примерци интересантних геометријских облика на грнчарији, тканинама и плетарским производима:

(W. Lietzmann: Geometrie und Praehistorie, св. 20 (1933), стр. 436-493));
(D. E. Smith: History of Mathematics (Boston, 1923), св. 1, стр. 15 (Довер изд, 2 св, 1958.));

Референце[уреди]

  1. Др. Милош С. Московљевић, РЕЧНИК САВРЕМЕНОГ СРПСКОГ ЈЕЗИКА С ЈЕЗИЧКИМ САВЕТНИКОМ, Гутембергова Галаксија, Београд, 2000.
  2. Проф. В. А. Диткин, РЕЧНИК МАТЕМАТИЧКИХ ТЕРМИНА СА ТУМАЧЕЊИМА, (превод са руског, Москва, 1965), Научна књига, Београд, 1969.

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Број (математика)